Thiết kế bộ điều khiển số kết hợp khâu hiệu chỉnh mô hình điều khiển con lắc ngược

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

NGUYỄN THANH VÂN

THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN SỐ
KẾT HỢP KHÂU HIỆU CHỈNH MÔ HÌNH
ĐIỀU KHIỂN CON LẮC NGƯỢC

LUẬN VĂN THẠC SĨ
KỸ THUẬT ĐIỀU KHIỂN VÀ TỰ ĐỘNG HÓA

Đà Nẵng - Năm 2017


ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

NGUYỄN THANH VÂN

THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN SỐ
KẾT HỢP KHÂU HIỆU CHỈNH MÔ HÌNH
ĐIỀU KHIỂN CON LẮC NGƯỢC

Chuyên ngành: Kỹ thuật điều khiển và Tự động hóa
Mã số: 60.52.02.16

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN MINH TRÍ

Đà Nẵng - Năm 2017


LỜI CAM ĐOAN
Tơi cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn
khoa học của TS. Nguyễn Văn Minh Trí. Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là
trung thực và chưa từng được ai cơng bố trong bất kỳ cơng trình nào khác.
Tác giả luận văn
(ký và ghi rõ họ tên)

Nguyễn Thanh Vân


MỤC LỤC
Lời cam đoan
Mục lục
Tóm tắt luận văn
Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt
Danh mục các bảng
Danh mục các hình
MỞ ĐẦU ........................................................................................................................1
1. Lý do chọn đề tài (Tính cấp thiết của đề tài) .........................................................1
2. Mục tiêu nghiên cứu .................................................................................................1
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ...........................................................................2
4. Phương pháp nghiên cứu .........................................................................................2
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn .................................................................................2
6. Bố cục của đề tài .......................................................................................................2
Chương 1 – TÌM HIỂU VỀ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN CON LẮC NGƯỢC
.........................................................................................................................................3
1.1. Cấu tạo con lắc ngược ...........................................................................................3

1.2. Mơ hình hóa con lắc ngược ...................................................................................4
1.2.1. Giới thiệu về bài toán điều khiển con lắc ngược ...............................................4
1.2.2. Mơ hình tốn học của đối tượng con lắc ngược ................................................5
1.3. Các phương pháp điều khiển con lắc ngược .......................................................9
1.3.1. Bài toán điều khiển con lắc ngược .....................................................................9
1.3.2. Các phương pháp điều khiển con lắc ngược đã được nghiên cứu trước đây
.......................................................................................................................................10
1.3.2.1. Sử dụng bộ điều khiển PID ..............................................................................10
1.3.2.2. Sử dụng bộ điều khiển toàn phương tuyến tính LQR ......................................11
1.3.2.3. Các bộ điều khiển khác ....................................................................................12
1.3.3. Phương pháp điều khiển con lắc ngược của đề tài ..........................................13
1.4. Kết luận ................................................................................................................14


Chương 2 – THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN THỜI GIAN GIÁN ĐOẠN
CHO CON LẮC NGƯỢC .........................................................................................15
2.1. Tổng quan về bộ điều khiển trong miền thời gian gián đoạn ..........................15
2.2. Phân tích sự ổn định của hệ thống vịng kín trong mặt phẳng Z ....................15
2.2.1. Điều kiện ổn định của hệ thống ........................................................................15
2.2.2. Phương pháp kiểm tra độ ổn định tuyệt đối .....................................................16
2.2.2.1. Phương pháp kiểm tra tính ổn định của Jury ..................................................16
2.2.2.2. Phương pháp chuyển đổi song tuyến cùng kết hợp với tiêu chuẩn ổn định
Routh .............................................................................................................................18
2.2.3. Một vài ý kiến về sự ổn định của hệ thống điều khiển vịng kín .....................19
2.3. Các phương pháp thiết kế bộ điều khiển số ......................................................19
2.3.1. Phương pháp quỹ đạo nghiệm số.

..............................................................19

2.3.1.1 Điều kiện góc độ và cường độ ..........................................................................20

2.3.1.2. Quy tắc chung để xây dựng các quỹ đạo nghiệm số ........................................21
2.3.1.3. Ảnh hưởng của thời gian lấy mẫu T về tính đáp ứng thoáng qua ...................22
2.3.2. Phương pháp đáp ứng tần số ............................................................................23
2.3.3. Phương pháp thiết kế phân tích ........................................................................30
2.3.4. Điều khiển bậc 2 của hệ thống serνo ................................................................34
2.3.5. Lựa chọn phhương pháp thiết kế bộ điều khiển số .........................................37
2.4. Thiết kế bộ điều khiển số cho hệ thống con lắc ngược .....................................37
2.5. Kết luận ................................................................................................................42
Chương 3 – THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN SỐ KẾT HỢP KHÂU HIỆU CHỈNH
MƠ HÌNH ĐIỀU KHIỂN CON LẮC NGƯỢC .......................................................43
3.1. Giới thiệu ..............................................................................................................43
3.2. Phương pháp thiết kế khâu hiệu chỉnh mơ hình ..............................................45
3.3. Thiết kế bộ điều khiển số kết hợp khâu hiệu chỉnh mô hình điều khiển con lắc
ngược ...........................................................................................................................49
3.5. Kết luận ................................................................................................................52
Chương 4 – MƠ PHỎNG VÀ KẾT LUẬN ..............................................................55
4.1. Mơ phỏng hệ thống con lắc ngược khi có bộ điều khiển số nhưng chưa có
khâu hiệu chỉnh ..........................................................................................................55


4.2. Mơ phỏng hệ thống con lắc ngược có bộ điều khiển số kết hợp khâu hiệu
chỉnh mơ hình..............................................................................................................57
4.3. Mơ phỏng so sánh hệ thống con lắc ngược có bộ điều khiển số và hệ thống
con lắc ngược có bộ điều khiển số kết hợp khâu hiệu chỉnh mơ hình....................59
4.4. Kết luận ................................................................................................................62
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ....................................................................................63
1. Kết luận ...................................................................................................................63
2. Kiến nghị .................................................................................................................63
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................64
PHỤ LỤC ....................................................................................................................65

QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao)


THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN SỐ KẾT HỢP KHÂU HIỆU CHỈNH MƠ HÌNH
ĐIỀU KHIỂN CON LẮC NGƯỢC
Học viên: Nguyễn Thanh Vân. Chuyên ngành: Kỹ thuật điều khiển và Tự động hóa
Mã số: 105150386. Khóa K31. Trường Đại học Bách khoa – ĐHĐN
Tóm tắt – Hệ thống con lắc ngược được gắn trên xe là một đối tượng nghiên
cứu rất phổ biến. Nó thường được sử dụng để kiểm tra và thực thi sự hiệu quả của các
thuật toán điều khiển hiện đại. Tuy nhiên, với những thiết bị cần có thời gian đáp ứng
nhanh, độ chính xác, độ tin cậy cao thì các thuật tốn điều khiển chỉ đáp ứng được một
phần nào đó. Nghiên cứu này được đề xuất nhằm để hạn chế mức thấp nhất các sai số
cũng như các vấn đề trên mà người điều khiển quan tâm. Từ hệ thống con lắc ngược
cơ bản, sử dụng các biện pháp thiết kế thông thường tác giả đã xây dựng bộ điều khiển
số kết hợp thêm khâu hiệu chỉnh mơ hình cho đối tượng con lắc ngược để đạt được kết
quả tốt hơn. Phương pháp sử dụng khâu hiệu chỉnh mơ hình được giới thiệu trong luận
văn và được so sánh với kết quả khi chưa thực hiện khâu hiệu chỉnh. Tác giả đã tóm
tắt kết quả đạt được và đưa ra hướng phát triển tiếp theo của đề tài.
Từ khóa – Con lắc ngược; Hiệu chỉnh mơ hình con lắc ngược; Kiểm sốt hệ
thống kết hợp mơ hình.
Abstract – Inverted Pendulum on a cart is a very popular research object. It is
often used for test and enforce the effectiveness of modern control algorithms.
However, for devices that require fast response time, accuracy and reliability control
algorithms only meet a certain part. This research is proposed to minimize the errors and

other issues that the operators care about. From the inverted Pendulum on a cart , using
conventional design method the author built a digital controller that incorporateds the
corrected model for the pendulum object to achieve better results. The method used to
correct the model was introduced in the thesis and was compared with the results
without having corrected model. The author summarized the achieved results and set

out the direction of the future development of the topic.
Key word – Inverted Pendulum; Model correction Inverted Pendulum; Model
Matching Control System


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
CÁC KÝ HIỆU:
l

Chiều dài từ khớp đến trọng tâm G con lắc ngược (m)

G

Trọng tâm của con lắc

M

Khối lượng xe (kg)

g

Gia tốc trọng trường (m/s2)

u

Lực tác động vào xe (N)

m

Khối lượng con lắc (kg)

x

Vị trí xe (m)

θ

Góc giữa con lắc ngược và phương thẳng đứng (rad)

V

Lực tác động theo phương dọc (N)

H

Lực tác động theo phương ngang (N)

I

Mơmen qn tính (kg.m2)


DANH MỤC CÁC BẢNG

Số hiệu
bảng

Tên bảng

Trang

1.1

Thơng số mơ hình hệ thống con lắc ngược

9

2.1

Dạng tổng quát tính ổn định của Jury

19

4.1

Phân tích kết quả so sánh mơ phỏng

61


DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
Số hiệu

Tên hình vẽ

hình vẽ

Trang

1.1

Cấu trúc động học của mơ hình con lắc ngược

3

1.2

Mơ hình xe và con lắc ngược

4

1.3

Mơ hình của xe (Cart)

5

1.4

Mơ hình con lắc (Pendulum)

5

1.5

Cấu trúc bộ điều khiển PID con lắc ngược

10

1.6

Thiết kế bằng phản hồi trạng thái R

11

1.7

Cấu trúc bộ điều khiển LQR con lắc ngược

12

1.8

Mơ hình thuật tốn với điều khiển mờ PD

13

1.9a

Sơ đồ khối hệ thống điều khiển dùng bộ điều khiển số

13

1.9b

Sơ đồ khối hệ thống điều khiển dùng bộ điều khiển số kết

13

hợp khâu hiệu chỉnh mô hình

2.1

Hệ thống điều khiển thời gian gián đoạn

20

2.2

Ổn định tuyến tính thời gian bất biến hệ thống gián đoạn

23

2.3

Hệ thống điều khiển kỹ thuật số

27

2.4a

Hệ thống điều khiển số

30

2.4b

Sơ đồ biến đổi hệ thống điều khiển số tương đương

30

2.5

Sơ đồ khối của hệ thống servo

34

2.6

Sơ đồ khối hệ thống điều khiển con lắc ngược

37

3.1

Sơ đồ khối khâu hiệu chỉnh mô hình

46

3.2a

Thơng số khâu hiệu chỉnh mơ hình

54

3.2b

Thơng số khâu hiệu chỉnh mơ hình tương đương

54

4.1

Sơ đồ khối mô phỏng hệ thống dùng bộ điều khiển số

55

4.2

Đáp ứng vị trí xe chưa có khâu hiệu chỉnh

55

4.3

Đáp ứng góc lệch θ chưa có khâu hiệu chỉnh

56

4.4

Lực tác động lên xe chưa có khâu hiệu chỉnh

56

4.5

Sơ đồ khối mơ phỏng hệ thống có bộ điều khiển số kết hợp

57

khâu hiệu chỉnh mơ hình
4.6

Đáp ứng vị trí xe kết hợp khâu hiệu chỉnh

57

4.7

Đáp ứng góc lệch θ kết hợp khâu hiệu chỉnh

58

4.8

Lực tác động lên xe kết hợp khâu hiệu chỉnh

58

4.9

So sánh đáp ứng vị trí xe

59

4.10

So sánh đáp ứng góc lệch θ

60

4.11

So sánh lực tác động lên xe

60


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài (Tính cấp thiết của đề tài)
Hệ thống con lắc ngược gắn trên xe là một đối tượng nghiên cứu rất phổ biến
từ những năm 50. Nó vốn là một hệ thống khơng ổn định thường được sử dụng để
kiểm tra sự thực thi và hiệu quả của các thuật toán điều khiển. Trong thực tế ứng dụng
( hệ thống cân bằng trên xe ôtô, tàu thủy, tháp vô tuyến . . .) các kết cấu cơ học tự nó
phát sinh và chịu tác động có hại từ những dao động và mơ hình con lắc ngược được
sử dụng rất nhiều để giảm các dao động này. Về mặt điều khiển học, mơ hình con lắc
ngược rất hay được xem xét áp dụng.
Trong những năm gần đây ngành tự động hóa có những bước phát triển vượt bậc,
việc ứng dụng các sản phẩm tự động hóa vào sản xuất ngày càng phổ biến giúp nâng
cao năng suất lao động và hạ giá thành sản phẩm. Song song với q trình phát triển
đó là u cầu ngày càng cao về độ chính xác, độ tin cậy, khả năng làm việc trong môi
trường khắc nghiệt với thời gian dài của các hệ thống tự động. Vì vậy việc nghiên cứu
và phát triển các hệ thống điều khiển hiện đại cho ngành tự động hóa nhằm đáp ứng
cho các yêu cầu trên là việc làm cần thiết.
Mô hình điều khiển con lắc ngược là một mơ hình thí nghiệm hệ thống lý tưởng
cho việc ứng dụng các thuật toán điều khiển hiện đại và kỹ thuật điều khiển máy tính.
Trong những năm gần đây lý thuyết điều khiển kỹ thuật số có những bước phát triển

vượt bậc và ngày càng được ứng dụng nhiều vào thực tiễn. Việc ứng dụng lý thuyết
điều khiển kỹ thuật số vào điều khiển mơ hình con lắc ngược sẽ mang đến nhiều kiến
thức mới và kinh nghiệm bổ ích.
Xác định từ các yêu cầu trên, tác giả đã áp dụng các lý thuyết điều khiển hiện
đại để hiệu chỉnh các thông số mơ hình.Với hướng nghiên cứu đó, tác giả chọn đề tài
“Thiết kế bộ điều khiển số kết hợp khâu hiệu chỉnh mơ hình điều khiển con lắc
ngược ” để làm đề tài nghiên cứu.
2. Mục tiêu nghiên cứu
- Nghiên cứu về con lắc ngược, các phương pháp điều khiển cân bằng và lý
thuyết hệ thống điều khiển thời gian rời rạc


2

- Thiết kế bộ điều khiển số cho con lắc ngược, bộ hiệu chỉnh với hệ thống
chương trình điều khiển cho con lắc ngược theo yêu cầu đặt ra.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Mơ hình con lắc ngược, bộ hiệu chỉnh con lắc ngược
- Phạm vi nghiên cứu:
+ Xây dựng mơ hình tốn học con lắc ngược.
+ Điều khiển cân bằng hệ thống bằng bộ điều khiển số.
+ Điều khiển cân bằng hệ thống bằng bộ điều khiển số kết hợp với khâu hiệu
chỉnh
+ Mô phỏng hệ thống bằng phần mềm Matlab - Simulink, đánh giá kết quả.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý thuyết: xây dựng mơ hình con lắc ngược, xây dựng thuật tốn điều
khiển.
- Mơ phỏng để kiểm tra các thuật toán và kiểm nghiệm kết quả nghiên cứu trên phần
mềm Matlab – Simulink.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

- Con lắc ngược là cơ sở để tạo ra các hệ thống tự cân bằng như: xe hai bánh tự cân
bằng, điều khiển cân bằng khi phóng tàu vũ trụ, cân bằng giàn khoan trên biển…Khi
lý thuyết về các bộ điều khiển hiện đại ngày càng hoàn thiện hơn thì con lắc ngược là
một trong những đối tượng được áp dụng để kiểm tra độ chính xác của các lý thuyết
đó.
6. Bố cục của đề tài
Đề tài được bố cục như sau:
+ Chương 1: Tìm hiểu về hệ thống điều khiển con lắc ngược
+ Chương 2: Thiết kế hệ thống điều khiển thời gian gián đoạn cho con lắc
ngược
+ Chương 3: Thiết kế bộ điều khiển số kết hợp khâu hiệu chỉnh mơ hình điều
khiển con lắc ngược
+ Chương 4 : Mô phỏng và kết luận
+ Kết luận và kiến nghị
+ Tài liệutham khảo


3

Chương 1 – TÌM HIỂU VỀ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN CON LẮC NGƯỢC
1.1. Cấu tạo con lắc ngược
Cấu trúc động học chung của mơ hình con lắc ngược được trình bày trên hình
1.1 có kết cấu các bộ phận cơ khí gồm một xe gng nhỏ, trên xe gng có các bộ
phận chính là tay địn gắn con lắc có thể chuyển động theo trục ngang x. Xe goòng di
chuyển dọc trục ngang và được kéo di chuyển dọc trục bởi một động cơ điện một
chiều thông qua hệ thống Puly và dây đai có thể di chuyển trên đường ray phẳng trong
phạm vi chuyển động giới hạn. Vị trí của xe goòng được điều khiển bởi hệ thống điều
khiển số thông minh đảm bảo con lắc di chuyển và được giữ cân bằng. Đường ray có
độ dài cố định là điều kiện ràng buộc của thuật toán điều khiển. Máy phát tốc gắn cùng
trục Puly của cơ cấu chuyển động được sử dụng cho xác định vị trí tức thời xe gng.

Góc quay của con lắc được đo bằng một chiết áp xoay gắn trên trục quay của con lắc
ngược.

Hình 1.1: Cấu trúc động học của mơ hình con lắc ngược
1-Khối cấp nguồn cho động cơ
2- Động cơ một chiều
3- Puly dẫn động
4,8 -Dây đai dẫn động
5-Thanh dẫn hướng chuyển động của xe goòng
6-Xe goòng
7-Quả lắc
9- Tay đòn của con lắc


4

1.2. Mơ hình hóa con lắc ngược
1.2.1. Giới thiệu về bài toán điều khiển con lắc ngược
Xét hệ thống con lắc ngược như hình (1.2). Con lắc ngược (Pendulum) được
gắn vào xe kéo(Cart), xe kéo(Cart) được điều khiển bởi một tín hiệu u. Chúng ta chỉ
xét bài tốn hai chiều, nghĩa là con lắc chỉ di chuyển trong mặt phẳng. Con lắc ngược
khơng thể ổn định vì nó ln ngã xuống trừ khi có lực tác động thích hợp. Ta xét con
lắc là thanh thẳng được làm từ vật liệu đồng chất nên khối lượng của con lắc tập trung
ở trọng tâm của con lắc như hình vẽ. Yêu cầu của bài tốn là điều khiển vị trí xe sao
cho con lắc ngược luôn thẳng đứng (con lắc luôn cân bằng).

Hình 1.2: Mơ hình xe và con lắc ngược
 Chú thích:
+ l: chiều dài từ khớp đến trọng tâm G của con lắc ngược (m)
+ G: trọng tâm của con lắc

+ M: khối lượng xe (kg)
+ g: gia tốc trọng trường (m/s2)
+ u: lực tác động vào xe (N)
+ m: khối lượng con lắc (kg)
+ x: vị trí xe (m)
+ θ: góc giữa con lắc ngược và phương thẳng đứng (rad)
- Bài toán của đề tài: Giả sử con lắc ngược đang ổn định tại một vị trí cân bằng, tác
động một lực vào hệ thì con lắc ngược sẽ dao động. Bài toán đặt ra là điều khiển con


5

lắc cân bằng tại vị trí xác định mới. Vì vậy cần thiết kế một bộ điều khiển thích hợp để
giữ ổn định con lắc
1.2.2. Mơ hình tốn học của đối tượng con lắc ngược
Xét mơ hình con lắc ngược như hình (1.2):

Mơ hình xe và con lắc ngược (Pendulumand Cart) (Hình 1.2)
Từ hình (1.2) ta phân tích các lực tác động lên hệ xe ( hình 1.3) :

Hình 1.3: Mơ hình của xe (Cart)
Từ hình (1.2) ta phân tích các lực và góc θ tác động lên con lắc (hình 1.4) :

Hình 1.4: Mơ hình con lắc (Pendulum)


6

Gọi xG , yG là tọa độ trọng tâm của con lắc thì:
𝑥𝐺 = 𝑥 + 𝑙𝑠𝑖𝑛𝜃

(1.1)

𝑦𝐺 = 𝑙𝑐𝑜𝑠𝜃

(1.2)

Gọi: V là lực tác dụng theo phương dọc (thẳng đứng)
H là lực tác dụng theo phương ngang
Theo định luật 2 Neωton ta có:
𝐼

𝑑2𝜃
𝑑𝑡 2

= 𝑉𝑙𝑠𝑖𝑛𝜃 − 𝐻𝑙𝑐𝑜𝑠𝜃

(1.3)

Trong đó I là mơ men quán tính của con lắc. Đối với thanh ngang, đồng chất thì mơ

1 2
ml
3

men qn tính là I 

Sự di chuyển theo phương ngang của con lắc được mô tả:
𝑚

𝑑2 𝑥𝐺
𝑑𝑡 2

Thay 𝑥𝐺 = 𝑥 + 𝑙𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑚

(1.4)

vào (1.4) ta có:

𝑑2 (𝑥+𝑙𝑠𝑖𝑛𝜃)
𝑑𝑡 2

=𝐻

=𝐻

(1.5)

Sự di chuyển theo phương thẳng đứng của con lắc được mô tả:
𝑚

𝑑 2 𝑦𝐺
𝑑𝑡 2

= 𝑉 − 𝑚𝑔

(1.6)

Thay 𝑦𝐺 = 𝑙𝑐𝑜𝑠𝜃 vào phương trình (1.6) ta được:

𝑚

𝑑2 (𝑙𝑐𝑜𝑠𝜃)
𝑑𝑡 2

= 𝑉 − 𝑚𝑔

(1.7)

Sự di chuyển theo phương ngang của xe được mô tả:
𝑀

𝑑2 𝑥
𝑑𝑡 2

=𝑢−𝐻

(1.8)

Đạo hàm 2 vế phương trình (1.5):
𝑚

𝑑2 (𝑥+𝑙𝑠𝑖𝑛𝜃)
𝑑𝑡 2

=𝐻


7

<=> 𝑚
<=>

𝑑(𝑥̇ +𝑙𝜃̇ 𝑐𝑜𝑠𝜃)

=𝐻

𝑑𝑡

𝑚𝑥̈ − 𝑚𝑙𝜃̇ 2 𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑚𝑙𝜃̈ 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝐻

(1.9)

Đạo hàm 2 vế phương trình (1.7):
𝑚
<=> 𝑚

𝑑2 (𝑙𝑐𝑜𝑠𝜃)
𝑑𝑡 2
𝑑

𝑑𝑡

= 𝑉 − 𝑚𝑔

(−𝑙𝜃̇𝑠𝑖𝑛𝜃) = 𝑉 − 𝑚𝑔

<=> −𝑚𝑙𝜃̈𝑠𝑖𝑛𝜃 − 𝑚𝑙𝜃̇ 2 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑉 − 𝑚𝑔

(1.10)

Đạo hàm 2 vế phương trình (1.8) ta được:
𝑀𝑥̈ = 𝑢 − 𝐻

(1.11)

Thế (1.9) vào phương trình (1.11) ta được:
(𝑀 + 𝑚)𝑥̈ − 𝑚𝑙𝜃̇ 2 𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑚𝑙𝜃̈𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑢

(1.12)

Thế phương trình (1.9), (1.10) vào phương trình (1.3) ta được:
𝐼𝜃̈ = −𝑚𝑙2 𝜃̈𝑠𝑖𝑛2 𝜃 − 𝑚𝑙2 𝜃̇ 2 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑚𝑙𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃
− 𝑚𝑙𝑥̈ 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑚𝑙2 𝜃̇ 2 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠 − 𝑚𝑙2 𝜃̈𝑐𝑜𝑠 2 𝜃
<=> (𝐼 + 𝑚𝑙2 )𝜃̈ + 𝑚𝑙𝑥̈ 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑚𝑙𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃 = 0
Mà ta có mơ men qn tính của con lắc:

(1.13)

1

𝐼 = 𝑚𝑙2
3

Thay vào phương trình (1.13) ta có:
4
3

𝑚𝑙2 𝜃̈ + 𝑚𝑙𝑥̈ 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑚𝑔𝑙𝑠𝑖𝑛𝜃 = 0

(1.14)

Từ (1.12) và (1.14) ta có hệ phương trình mơ tả hệ xe và con lắc ngược như sau:
(𝑀 + 𝑚)𝑥̈ + 𝑚𝑙𝜃̈ 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑚𝑙𝜃̇ 2 𝑠𝑖𝑛𝜃 = 𝑢 (𝑎)
{4 2 ̈
𝑚𝑙 𝜃 + 𝑚𝑙𝑥̈ 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑚𝑔𝑙𝑠𝑖𝑛𝜃 = 0
(𝑏)

(1.15)

3

Từ công thức (1.15) ta biến đổi:
(1.15b) => 𝑥̈ =

4
𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃− 𝑙𝜃̈
3

𝑐𝑜𝑠𝜃

(1.16)


8

Thay vào (1.15a)
(𝑀 + 𝑚 ) (

(1.15a) =>

4
𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃− 𝑙𝜃̈
3

𝑐𝑜𝑠𝜃

) + 𝑚𝑙𝜃̈𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑚𝑙𝜃̇ 2 𝑠𝑖𝑛𝜃 = 𝑢
̇ 2 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑢.𝑐𝑜𝑠𝜃−(𝑀+𝑚)𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃+𝑚𝑙𝜃
𝜃̈ =
2 4

=>

(1.17)

𝑚𝑙(𝑐𝑜𝑠𝜃) − (𝑀+𝑚)𝑙
3

Thay (1.17) vào (1.16) ta có:
𝑥̈ =

4
𝑔𝑚𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃− 𝑙𝜃̇ 2 𝑠𝑖𝑛𝜃
4
3

3

𝑚(𝑐𝑜𝑠𝜃)2 − (𝑀+𝑚)

−

4
𝑐𝑜𝑠𝜃
3
4
𝑚(𝑐𝑜𝑠𝜃)2 − (𝑀+𝑚)
3

𝑢

(1.18)

Từ (1.17) và (1.18) ta có phương trình hệ xe và con lắc ngược:
𝑥̈ =
{

𝜃̈ =

4
𝑔𝑚𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃− 𝑙𝜃̇ 2 𝑠𝑖𝑛𝜃

4
𝑐𝑜𝑠𝜃
3
4
4

𝑚(𝑐𝑜𝑠𝜃)2 − (𝑀+𝑚)
𝑚(𝑐𝑜𝑠𝜃)2 − (𝑀+𝑚)
3
3
2
̇
𝑢.𝑐𝑜𝑠𝜃−(𝑀+𝑚)𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃+𝑚𝑙𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃
3

−

𝑢
(1.19)

4
3

𝑚𝑙(𝑐𝑜𝑠𝜃)2 − (𝑀+𝑚)𝑙

Chúng ta thấy hệ phương trình con lắc ngược là hệ phi tuyến. Để điều khiển con
lắc ngược bằng bộ điều khiển số chúng ta cần phải tuyến tính hóa mơ hình tốn học.
Giả sử góc θ nhỏ để có thể xấp sỉ 𝑠𝑖𝑛𝜃 ≈ 𝜃 ; 𝑐𝑜𝑠𝜃 ≈ 1 𝑣à 𝜃̇ ≈ 0. Với các
điều kiện như vậy chúng ta có thể tuyến tính hố các phương trình (1.19 ) trở thành:
{

𝑥̈ =
𝜃̈ =

4𝑢
4𝑀+𝑚

−3𝑢

−

4𝑀𝑙+𝑚𝑙

3𝑚𝑔𝜃
4𝑀+𝑚
3(𝑀+𝑚)𝑔𝜃

+

4𝑀𝑙+𝑚𝑙

(𝑎)
(1.20)

(𝑏)

xác định các biến trạng thái x1, x2, x3 và x4 bằng:
x1 = θ; x2 = θ̇; x3 = x; x4 = ẋ
Lưu ý rằng góc θ cho thấy sự quay của thanh con lắc về điểm P, và x là vị trí của xe.
Chúng ta coi x là đầu ra của hệ thống:
y = x = x3
Từ phương trình (1.20) ta tính được:
ẋ 1 = x2
ẋ 2 =

3(𝑀 + 𝑚)
3

𝑔𝑥1 −
𝑢
4𝑀𝑙 + 𝑚𝑙
4𝑀𝑙 + 𝑚𝑙
ẋ 3 = x4

ẋ 4 = −

3𝑚
4
𝑔𝑥1 +
𝑢
4𝑀 + 𝑚
4𝑀 + 𝑚


9

Ta có phương trình ma trận vector:
0
0
−3
3(𝑀 + 𝑚) 1 0 0 𝑥1
𝑥̇ 1
𝑔
𝑥̇ 2
0 0 0 𝑥2
4𝑀𝑙
+
𝑚𝑙

[ ]=
[𝑥 ] + 4𝑀𝑙 + 𝑚𝑙 𝑢
𝑥̇ 3
0
0
001 3
4
3𝑚
𝑥
𝑥̇ 4
000 4
−
𝑔
[ 4𝑀 + 𝑚 ]
[ 4𝑀 + 𝑚
]
𝑥1
𝑥2
𝑦 = [0 0 1 0] [𝑥 ]
3
𝑥4
Phương trình trạng thái và phương trình đầu ra hệ thống con lắc ngược được viết như
sau:
{

𝑥̇ = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢
𝑦 = 𝐶𝑥 + 𝐷𝑢

(1.21)

0

0

100
𝑔 000
𝐴 = 4𝑀𝑙+𝑚𝑙
;
0
001
3𝑚
𝑔 0 0 0]
[−

−3

3(𝑀+𝑚)

trong đó:

4𝑀𝑙+𝑚𝑙

𝐵=

0

; 𝐶 = [0 0 1 0]; 𝐷 = [0]

4

[ 4𝑀+𝑚 ]

4𝑀+𝑚

Chọn các thông số của mô hình hệ thống con lắc ngược:[6,Tr626]
Bảng 1.1: Thơng số mơ hình hệ thống con lắc ngược
Đơn

vị

Stt

Tên

Ký hiệu

1

Khối lượng xe

M

Kg

2

2

Khối lượng con lắc

M

Kg

0,1

3

Chiều dài con lắc

L

m

0,5

4

Gia tốc trọng trường

G

m/s2

9,81

tính

Khối lượng

thay các giá trị của con lắc ta được:
0
100
15.26 0 0 0
];
𝐴=[
0
001
−0.3633 0 0 0

0
−0.7407
]; 𝐶 = [0 0 1 0];𝐷 = [0]
𝐵=[
0
0.4938

Ghi chú


10

1.3. Các phương pháp điều khiển con lắc ngược
1.3.1. Bài toán điều khiển con lắc ngược
Nhiệm vụ quan trọng đầu tiên của việc điều khiển con lắc ngược là đảm bảo
cho vị trí của xe gng bám theo giá trị đặt trước và góc của con lắc so với trục thẳng
đứng gần như bằng không. Tuy nhiên việc giải bài toán này chưa xét đến điều kiện
thực tế khi con lắc làm việc, như các tác động của momen lực, ma sát…Tùy theo yêu
cầu nâng cao chất lượng điều khiển (độ chính xác) mà ta cần tính đến ảnh hưởng của
các yếu tố trên và theo đó, phương pháp điều khiển cũng trở nên đa dạng và phong phú

hơn.
1.3.2. Các phương pháp điều khiển con lắc ngược đã được nghiên cứu trước đây
1.3.2.1. Sử dụng bộ điều khiển PID [7]
Bộ điều khiển PID chỉ có thể điều khiển đồng thời một thơng số của hệ thống,
để điều khiển được góc con lắc và vị trí của xe con lắc tại cùng một thời điểm thì
chúng ta cần hai bộ điều khiển PID. Trong đó một thơng số được xem như là thơng số
chính và được điều khiển trực tiếp momen của động cơ trong khi đó thơng số cịn lại
được được áp vào tác động của điểm tham chiếu của thơng số chính. Từ đó ta có một
là góc của con lắc, hai là vị trí xe của con lắc được dùng làm thơng số chính của con
lắc. Hai tín hiệu đầu vào được đưa vào bộ điều khiển PID và đầu ra là tín hiệu lực tác
động vào xe.

Hình 1.5: Cấu trúc bộ điều khiển PID con lắc ngược
Ưu điểm của bộ điều khiển PID là dễ dàng thiết kế khơng phụ thuộc nhiều vào
mơ hình tốn của đối tượng. Bộ điều khiển sẽ thực hiện giảm tối đa sai số bằng cách
điều chỉnh giá trị điều khiển đầu vào. Trong trường hợp khơng có kiến thức cơ bản về
quá trình thì bộ điều khiển PID là tốt nhất. Tuy nhiên để đạt được kết tốt nhất, các
thông số PID sử dụng trong tính tốn phải điều chỉnh theo tính chất của hệ thống trong


11

khi kiểu điều chỉnh là giống nhau các thông số phải phụ thuộc vào đạc thù của hệ
thống.
Hạn chế các bộ điều khiển PID có thể dùng nhiều cho bài toán điều khiển và
thường đạt được kết quả như ý mà không dùng bất kỳ cải tiến hay điều chỉnh nào và
thường khơng cho ta điều khiển tối ưu. Khó khăn cơ bản của bộ điều khiển PID là
phản hồi với hệ số không đổi.
1.3.2.2. Sử dụng bộ điều khiển tồn phương tuyến tính LQR [7]
Lý thuyết điều khiển điều khiển LQR là một phương pháp điều khiển mạnh để

điều khiển hệ thống tuyến tính được mơ tả bằng phương trình trạng thái. Kỹ thuật LQR
tạo ra bộ điều khiển vịng kín ổn định với năng lượng cung cấp cho hệ thống là nhỏ
nhất.
𝑥̈ = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢

Cho hệ thống với mơ hình:

Thơng thường nếu hệ ổn định thì khi khơng bị kích thích hệ ln có xu hướng tiến về
điểm trạng thái cân bằng, tức là điểm mà khi khơng có tác động từ bên ngồi ( u = 0)
hệ sẽ nằm ln tại đó (

𝑑𝑥
𝑑𝑡

= 0 ). Như vậy rõ ràng điểm trạng thái cân bằng phải là

nghiệm của phương trình trạng thái : Ax = 0. Và nếu có giả thiết A là ma trận khơng
suy biến thì hệ tuyến tính

𝑑𝑥
𝑑𝑡

= 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢 ln chỉ có một điểm cân bằng đó là gốc tọa

độ.

Hình 1.6: Thiết kế bằng phản hồi trạng thái R
Xét bài tốn tìm bộ điều khiển R tĩnh phản hồi trạng thái để điều khiển đối tượng

𝑑𝑥

𝑑𝑡

=

𝐴𝑥 + 𝐵𝑢 . Phương pháp thiết kế khác sao cho sau khi bị nhiễu tác động đưa ra khỏi vị
trí cân bằng (hoặc điểm làm việc) đến một trạng thái x0 nào đó bộ điều khiển R sẽ kéo
được hệ từ điểm x0 về hệ tọa độ 0 (hay điểm làm việc cũ) và trong qua trình trở lại này
sự tổn hao năng lượng theo phương trình:


12
𝑡𝑓

𝐽 (𝑢 ) =

1 𝑇
1
𝑥 (𝑡𝑓 )𝑀𝑥(𝑡𝑓 ) + ∫ [𝑥 𝑇 (𝑡 )𝑄𝑥 (𝑡 ) + 𝑢𝑇 (𝑡 )𝑅𝑢(𝑡)]𝑑𝑡
2
2
𝑡0

tiến tới giá trị nhỏ nhất gọi bài toán điều khiển theo LQR. Trong Matlab ta có thể cấu
trúc lệnh K = lqr(A,B,Q,R) để tính giá trị của K. Trong đó tùy theo độ lớn tương đối
giữa trọng số Q và R mà hệ thống có đáp ứng quá độ và tiêu tốn năng lượng khác
nhau. Muốn trạng thái đáp ứng nhanh thì tăng thành phần Q tương ứng muốn giảm
năng lượng thì tăng R.

Hình 1.7: Cấu trúc bộ điều khiển LQR con lắc ngược
Điều khiển con lắc ngược bằng LQR địi hỏi ta phải xác định tương đối thơng số của

mơ hình nó quyết định đến giữ thăng bằng cho con lắc vì vậy cần thực nghiệm nhiều
để tìm ra quy luật tối ưu trong điều khiển con lắc.
1.3.2.3. Các bộ điều khiển khác
Ngoài việc điều khiển con lắc ngược bằng PID, LQR thì cịn rất nhiều phương
pháp điều khiển hiện đại khác như Fuzzy controller, Neural netωork, Điều khiển trượt.
Ví dụ:

Hình 1.8: Mơ hình tổng qt với thuật tốn điều khiển PD mờ
Tuy nhiên các phương pháp điều khiển này không phải là phạm vi nghiên cứu của đề
tài. Nên tác giả xin phép không đề cập sâu vào các phương điều khiển trên.


13

1.3.3. Phương pháp điều khiển con lắc ngược của đề tài
Như tên đề tài đã trình bày, phương pháp điều khiển con lắc ngược được đưa ra
trong đề tài tập trung nghiên cứu thiết kế bộ điều khiển số kết hợp khâu hiệu chỉnh mơ
hình điều khiển con lắc ngược.
Sơ đồ khối của hệ thống như hình (1.9):
Yđặt

Con
lắc
ngược

Bộ điều
khiển số

Yra

Hình 1.9a: Sơ đồ khối hệ thống điều khiển dùng bộ điều khiển số
Yđặt

Bộ điều khiển số
kết hợp khâu hiệu
chỉnh mô hình

Yra
Hệ thống con
lắc ngược

Hình 1.9b: Sơ đồ khối hệ thống điều khiển dùng bộ điều
khiển số kết hợp khâu hiệu chỉnh mơ hình
Trong đó:
+ Bộ điều khiển số điều khiển con lắc ngược được thiết kế ở chương 2.
+ Khâu hiệu chỉnh mơ hình được trình bày ở chương 3.
+ Chương 4 mơ phỏng mơ hình hệ thống
1.4 Kết luận
Như vậy trong chương 1 này tác giả đã thực hiện được những cơng việc sau:
+ Tìm hiểu được cấu tạo, các phương pháp điều khiển con lắc ngược đã được sử
dụng.
+ Xây dựng mơ hình tốn học cho con lắc ngược.
+ Chuyển mơ hình tốn học con lắc ngược về dạng phương trình khơng gian trạng
thái để chuẩn bị cho việc thiết kế.


14

Việc nắm rõ được cấu trúc cơ bản, các đặc tính của con lắc ngược và các phương
pháp điều khiển con lắc ngược là cơ sở kiến thức vững chắc và hết sức quan trọng

trong quá trình nghiên cứu thiết kế. Các phương trình tốn học, mơ hình con lắc nguợc
là cơ sở cho việc xây dựng bộ điều khiển ở các chương sau.