CHUYEN DE PHAN SO TOI GIAN

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chuyên đề :. Sử dụng tính chất: +) Nếu a  d và b  d thì ma  nb  d với m, n  Z +) Nếu a  m thì a  md  d . với m  Z a +) b là tối giản khi (a, b) = 1. Bài 1: CMR với mọi số tự nhiên n, các số sau là hai số nguyên tố cùng nhau. a) 7n +10 và 5n + 7 b) 2n +3 và 4n +8. Hướng dẫn a) Gọi (7n + 10, 5n + 7) = d ⇒ 7n + 10 ⋮ d và 5n + 7 ⋮ d ⇒ 5(7n + 10) – 7(5n + 7) = 1 ⋮ d ⇒ d = 1 Vậy 7n +10 vµ 5n + 7 nguyên tố cùng nhau b) Gọi (2n + 3, 4n + 8) = d ⇒ 2n + 3 ⋮ d và 4n + 8 ⋮ d ⇒ (4n + 8) – 2(2n + 3) = 2 ⋮ d Mặt khác: 2n + 3 là số lẻ ⇒ d là số lẻ ⇒ d = 1 Vậy 2n +3 vµ 4n + 8 nguyên tố cùng nhau n  19 Bài 2: Tìm các số tự nhiên n > 0 để n  2 là phân số tối giản. Hướng dẫn n  19 n  2  21 21 1  n 2 Ta có: n  2 = n  2 n  19 21 Để n  2 tối giản thì n  2 tối giản. Mà 21 chia hết cho 3 và chia hết cho 7 nên n – 2 phải không chia hết cho 3 và không chia hết cho 7. ⇒ n – 2  3k (k  N) và n – 2  7p (p  N) ⇒ n 3k + 2 (k  N) và n  7p + 2 (p  N) n  19 Vậy với n 3k + 2 (k N) và n  7p + 2 (p  N) thì n  2 tối giản 4n  5 Bài 3: Tìm tất cả các số tự nhiên n > 0 để 5n  4 có thể rút gọn được.. Hướng dẫn 4n  5 Để 5n  4 có thể rút gọn được thì 4n + 5 và 5n + 4 có ƯCLN là d > 1 ⇒ 4n + 5  d và 5n + 4  d ⇒ 5(4n + 5) – 4(5n + 4)  d hay 9  d ⇒ 4n + 5  3 và 5n + 4  3 ⇒ n – 1  3 ⇒ n – 1 = 3k ⇒ n = 3k + 1 (k . N) 4n  5 Vậy với n = 3k + 1 (k  N) thì 5n  4 có thể rút gọn được.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> n 3  2n 2  3 n 2 Bài 4: Tìm tất cả các số tự nhiên để là số tự nhiên. Hướng dẫn 3 n3  2n 2  3 n2  n 2 n 2 Ta có: = n3  2n 2  3 ⇒ n 2 Vì n  N nên n2  N Để là số tự nhiên thì n – 2  Ư(3) ⇒   1; 3 ⇒   3; 5. n–2. n. n 3  2n 2  3 n 2 Vậy với n  3; 5 thì là số tự nhiên 12n  1 Bài 5: Chứng tỏ rằng 30n  2 là phân số tối giản.. Hướng dẫn Gọi d là ước chung của 12n + 1và 30n + 2  12n + 1  d và 30n + 2  d  5(12n +1) - 2(30n + 2) =1  d Vậy d =1 nên 12n+1 và 30n + 2 nguyên tố cùng nhau 12n  1 Do đó 30n  2 là phân số tối giản A. 8n  193 4n  3. Bài 6: Tìm số tự nhiên n để phân số a) Có giá trị là số tự nhiên b) Là phân số tối giản c) Với giá trị nào của n trong khoảng từ 150 đến 170 thì phân số A rút gọn được. Hướng dẫn Ta cú:. A. 8n  193 2( 4n  3)  187 187  2  4n  3 4n  3 4n  3 1; 17; 11; 187. a) Để A N thì 187  4n + 3  4n +3   +) 4n + 3 = 1  không có n N +) 4n + 3 = 11  n = 2 +) 4n +3 = 187  n = 46 +) 4n + 3 = 17  4n = 14  không có n N 2; 46.  Vậy n   b) A là tối giản khi 187 và 4n + 3 có UCLN bằng 1  4n + 3  11k (k  N) và 4n + 3  17m (m  N)  4n + 3 - 11  11k (k  N) và 4n + 3 - 51  17m (m  N)  4(n – 2)  11k (k  N) và 4(n – 12)  17m (m  N)  n 11k + 2 (k  N) và n 17m +12 (m  N) c) A rút gọn được khi n =11k + 2 hoặc n =17m +12 156; 165 Vỡ 150 < n < 170  n  . Bài 7: Cho phân số A. . n 1 n 3. ( n  z; n 3 ).

<span class='text_page_counter'>(3)</span> a) Tìm n để A có giá trị nguyên. b) Tìm n để A là phân số tối giản. Hướng dẫn a) Ta cú:. A. n 1 n  3  4 4  1  n 3 n 3 n 3.  A có gá trị nguyên  n-3   1; 2; 4. n-3 n Vậy n . 1 4. -1 2. 2 5. -2 1. 4 7. -4 -1. 4; 2; 5; 1; 7;  1. n 1 b) Muốn cho n  3 là phân số tối giản thì ƯCLN(n+1; n-3) = 1 Ta có : (n+1; n-3) = 1  (n-3; 4) = 1  n-3  2  n là số chẵn 21n  4 Bài 8: Cho phân số: 14n  3 . Chứng minh rằng phân số tối giản với mọi số nguyên. Hướng dẫn Giả sử d = ƯCLN (21n + 4, 14n + 3) Khi đó 21n + 4 d và 14n + 3 d Suy ra 2(21n + 4) –3(14n + 3) = -1 d  d = 1 21n  4 Vậy 14n  3 là phõn số tối giản a 3  2a 2  1 A 3 a  2 a 2  2a  1 Bài 9: Cho biểu thức. a) Rút gọn biểu thức b) Chứng minh rằng nếu a là số nguyên thì giá trị của biểu thức tìm được của câu a là một phân số tối giản. Hướng dẫn (a  1)(a 2  a  1) a 2  a  1 a 3  2a 2  1  2 A 3 2 2 ( a  1 )( a  a  1 ) a  a  1 (a ≠ -1) a  2 a  2 a  1 a) Ta có: =. b) Gọi d là ước chung lớn nhất của a2 + a – 1 và a2+a +1 Vì a2 + a – 1 = a(a+1) – 1 là số lẻ nên d là số lẻ Mặt khác: 2 = [a2+a +1 – (a2 + a – 1)]  d Nên d = 1 tức là a2 + a + 1 và a2 + a – 1 nguyên tố cùng nhau. Vậy biểu thức A là phân số tối giản. ******************* CÁC CHUYÊN ĐỀ VỀ PHÂN SỐ A) Tóm tắt kiến thức cần nắm: Chuyên đề 1: Khái niệm phân số a + Ta gọi b với a ; b   ; b 0 là một phân số a + Chú ý : số nguyên a cũng là một phân số : a = 1.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 2n  15 Bài tập áp dụng: Tìm số nguyên n sao cho phân số n  1 là số nguyên. Chuyên đề 2: Phân số bằng nhau a c  + Hai phân số b d nếu a.d = b.c. Bài tập áp dụng: Bài 1: Tìm số nguyên x biết 5 x  a) 12 72. x 3  1  3 b) 15. 12  x 21 z    y  80 Bài 2: Tìm các số nguyên x ; y ; z biết 16 4 3 x 3  7  y 7 và x + y = 20 Bài 3* : Tìm các số nguyên x ; y biết n6 n5 ; 3 đồng thời nhận Bài 4*: Có hay không số nguyên n để các phân số 3. giá trị nguyên. Chuyên đề 3: Tính chất cơ bản của phân số - Rút gọn phân số 1) Tính chất cơ bản của phân số + Nếu ta nhân cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số nguyên khác 0 thì được phân số mới bằng phân số đã cho. a a.m  b b.m ( với m   ; m 0 ). + Nếu ta chia cả tử và mẫu của một phân số với một ước chung của chúng thì đươc một phân số mới bằng phân số đã cho a a:n  b b : n ( với n  ƯC(a ; b ) ). 2) Rút gọn phân số : Ta dùng tính chất 2 để rút gọn phân số + Quy tắc rút gọn phân số : Muốn rút gọn phân số ta chia cả tử và mẫu của nó với một ước chung của chúng ( ước chung này khác 1 và – 1) + Phân số tối giản là phân số không còn rút gọn được nữa. Ưóc chung của tử và mẫu chỉ có thể là 1 hoặc – 1 + Muốn rút gọn một phân số đến tối giản ta chia cả tử và mẫu của chúng với ước chung lớn nhất của chúng. Bài tập áp dụng: Bài 1: Chứng tỏ rằng các phân số sau đây bằng nhau 23 2323 232323 ; ; a) 99 9999 999999. 9909 29727 39636 ; ; b) 8808 26424 35232 11 Bài 2: Tìm phân số bằng phân số 15 biết tổng của tử và mẫu của nó bằng. 2002. 2 Bài 3: Tìm một phân số bằng phân số 3 sao cho. a) Tử của nó bằng 8 ; bằng 24 ; bằng 14.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> b) Mẫu của nó bằng 9 ; bằng 21 ; bằng 60 a Bài 4: Tìm phân số tối giản b biết. a) Cộng tử với 4 , cộng mẫu với 10 thì giá trị phân số không đổi b) Cộng mẫu vào tử , cộng mẫu vào mẫu của phân số thì được phân số mới bằng hai lần phân số đã cho. B) Bài tập tổng hợp 4 Bài 1: Cho biểu thức A = n  1 ( với n  Z ). a) Số nguyên n phải có điều kiện gì để A là phân số b) Tìm các số nguyên n để A có giá trị nguyên n Bài 2: Cho phân số B = n  4 ( với n  Z ). a) Tìm số nguyên n để B là một phân số b) Tìm tất cả các số nguyên n để B có giá trị nguyên Bài 3: Chứng minh rằng các phân số sau có giá trị là số tự nhiên 102011  2 3 a). 102010  8 9 b). Bài 4: Tìm các số nguyên x ; y biết x 15  a) 15  25. 36 44  b) y  2 77. Bài 5: Tìm các số nguyên x ; y biết x 4  a)  3 y. 2 y  b) x  9. Bài 6: Tìm các số nguyên x ; y biết x 2  y 5 a). x y  b) 3 7. Bài 7: Lập các phân số bằng nhau từ 4 số - 6 ; - 2 ; 3 và 9 Bài 8: Rút gọn các phân số sau 1999......9 a) 9999....95 ( có 10 chữ số 9 ở tử và 10 chữ số 9 ở mẫu ) 121212 3.7.13.37.39  10101 b) 424242 c) 505050  70707 a Bài 9*: Tìm các phân số b có giá trị bằng 36 21 a) 45 và BCNN (a ; b ) = 300 b) 35 và ƯCLN( a;b ) = 30 15 c) 35 biết ƯCLN( a ; b ) x BCNN (a ; b ) = 3549 1  2  3  ......  9 Bài 10: Cho phân số 11  12  13  ....  19. a) Rút gọn phân số đó.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> b) Hãy xóa đi một số hạng ở tử và xóa đi một số hạng ở mẫu để được phân số có giá trị bằng phân số đã cho Bài 11*: 21n  4 a) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì phân số 14n  3 là phân số tối. giản n 3 b) Tìm tất cả các số tự nhiên n để phân số n  12 là phân số tối giản 21n  3 c) Tìm các số tự nhiên n để phân số 6n  4 rút gọn được n4 Bài 12*Cho p = 2n  1 ( với n  Z ) . Tìm các giá trị của n để p là số nguyên tố. Bài 13: Tìm các số nguyên n để các phân số sau nhận giá trị nguyên 12 a) 3n  1. 2n  3 b*) 7. n 3 c) 2n  2. Bài 14*: Tìm các số tự nhiên n để các phân số sau tối giản 2n  3 a) 4n  1. 3n  2 b) 7n  1. 2n  7 c) 5n  2. Bài 15: Chứng minh rằng mọi số phân số có dạng : n 1 a) 2n  3 ( với n là số tụ nhiên ) 2n  3 b) 3n  5 ( với n là số tụ nhiên ) đều là phân số tối giản. Bài 16: Rút gọn cá phân số sau:  22 a) 36. 147 b) 234.  143 c) 363. Bài 17: Rút gọn cá phân số sau: 4.7.22 a) 33.14. 35.24 6 b) 8.3. 9.6  9.2 c) 18 7 y  42   Bài 18: Tìm các số nguyên x ; y biết x 21 54 8n  193 Bài 19*: Tìm số tự nhiên n sao cho phân số A = 4n  3. a) Có giá trị là số tự nhiên b) Là phân số tối giản c) Với giá trị nào của n ( 150  n  170 ) thì phân số A rút gọn được Bài 20* : Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho các phân số sau đều là phân số tối giản 5 6 7 17 ; ; ;.......; n  8 n  9 n  10 n  20 ab abab Bài 21 : So sánh các phân số cd và cdcd.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>

<span class='text_page_counter'>(8)</span>