DE VA DAP AN THI HSG CAP TINH MON TOAN 11 CHUYEN NAM 20132014

<span class='text_page_counter'>(1)</span> SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG. KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2013 - 2014 MÔN THI: TOÁN LỚP 11 CHUYÊN Ngày thi: 29/3/2014 Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề. ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có 01 trang) Câu 1 ( 4, 0 điểm). . . . 1) Giải phương trình 3  4sin 2 x 3  4sin 2 3x  1  2cos10 x. y2   2 x  2 2) Giải hệ phương trình  2  4 1  x  xy 4  y  0.. Câu 2 ( 6, 0 điểm) 1) Một đoàn tàu có 4 toa chở khách với mỗi toa có ít nhất 5 chỗ trống. Trên sân ga có 5 hành khách chuẩn bị lên tàu. Tính xác suất để trong 5 hành khách lên tàu đó có một toa có 3 khách lên, hai toa có 1 khách lên và một toa không có khách nào lên tầu. 3. 1  2) Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển f ( x)    x  x 2  (2 x  1)15 thành đa thức. 4  13. 3) Cho các số thực dương a, b  a  b  và hai dãy số un  ;vn  xác định như sau:. u1  a ; v1  b   u v un 1  n n ; vn 1  un .vn ,  n   2 . *. .. Chứng minh rằng hai dãy un  ;vn  có giới hạn hữu hạn và lim un  lim vn . Câu 3 ( 2, 0 điểm). Cho các số thực a, b, c thỏa mãn 2a  4b  11c  0 . Chứng minh rằng phương trình. ax2  bx  c  0 luôn có nghiệm thuộc khoảng  0;1 . Câu 4 ( 6, 0 điểm) 1) Cho đường thẳng  có phương trình x  y  3  0 và đường tròn  C  : x  2    y  1  1 . Tìm tọa 2. 2. độ điểm M nằm trên đường thẳng  sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến MA, MB (A, B là các tiếp điểm ) và đường thẳng AB đi qua điểm E  3;-2  . 2) Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có AB  AD = a ; AA '=. a 3 ; BAD  600. Gọi M và N lần lượt là 2. trung điểm của A'D' và A'B', E là giao điểm của MN và A'C'. a) Tính cosin của góc tạo bởi đường thẳng BE và mặt phẳng (ACC'A'). b) Chứng minh rằng AC' vuông góc với mặt phẳng (BDMN). Câu 5 ( 2, 0 điểm). Cho x, y . thỏa mãn. x  4  y 8 . x y . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 3. của S  x  y . ------ HẾT -----Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: .................................................................Số báo danh:.................................. Giám thị 1 (Họ tên và ký).............................................................................................................. Giám thị 2 (Họ tên và ký)...............................................................................................................

<span class='text_page_counter'>(2)</span> SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG. HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH. HDC ĐỀ CHÍNH THỨC. MÔN THI: TOÁN LỚP 11 CHUYÊN (Bản hướng dẫn chấm có 04 trang). NGÀY THI 29/3/2014. Hướng dẫn giải. Câu Câu 1 Xét sin x. 0. x. k ,k. Xét sin x. 0. x. k ,k. Điểm (4đ). . Thay vào phương trình ban đầu, không thỏa mãn. (*).. 0.5. Nhân hai vế của phương trình đã cho với sin x Phương trình tương đương với sin 9 x sin x 2 cos10x sin x x. 1.1. (2.0 điểm). cos 6x sin 5x. 0. x. m. sin11x. 5. sin x. 0. 0.5. , m, n n. 12. 0.5. 6. Kết hợp với (*) ta được nghiệm của phương trình là. x. m. x. m. 5k; m, n, k. 5. 12. , n. 0.5. 6. .. y2  (1)  2 x  2  2  4 1  x  xy 4  y  0 (2).. x 1 2y thỏa mãn.. 2 x. 2 1.2 (2.0 điểm). Xét f t. 0;. 2. 4. t 4 2 x. Thay vào (1) 2. g. 2. KL x ; y. x. 2. 2 x. y. 3. 4 y2. 0 nên y. y. 4. x. y. (2.0 điểm). 0.5. 2. , chứng minh được f (t ) đồng biến trên 4 . y2. 2y 2 . Xét g t. 0.5. 2. 4 t2. 2t. 2. nghịch biến trên. 2 và từ đó x = 1.. ;0. 0.5 0.5. 1; 2 .. (6đ). Câu 2 2.1. 0 ; và x = 0 không. 2. t 2 trên 0; y. 0. Kết hợp (2) được x. Gọi A là biến cố cần tính xác suất. Số cách xếp 5 khách lên 4 toa là | | 45 Số cách chọn ba khách để xếp lên cùng một toa là C 53. 0.5. 10 .. 0.5.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Số cách chọn một toa để xếp ba người này là C 41. 4. Số cách xếp hai người (mỗi người một toa) vào ba toa còn lại là A23 Suy ra |. | 10.4.6. A. 240 |. Vậy xác suất cần tìm là P. 2.2 (2.0 điểm). 21. 2x )21. Ta có (1. |. A. |. 240 45. |. 1 (2x+1)6 .(2x+1)15 64. Ta có f (x ). 6. 15 . 64. 1 (1 64. 0.5. 2x)21 .. 0.5. k k k C 21 2x. 0.5. k 0. 13 13 Hệ số của số hạng chứa x 13 trong khai triển của (2x+1)21 là C 21 2. Vậy hệ số của số hạng chứa x 13 trong khai triển thành đa thức của f (x ) là 1 13 13 13 7 C 21 2 C 21 2 26046720 64 Ta có v2. u1v1 u1. u2. ab v1. b. a. b. 2 2 Chứng minh bằng quy nạp v1 v2. uk. uk vk. 2.3. uk. v1. v2. vk. 1. uk 1.vk. 1. 2 uk v k. 1. (2.0 điểm). uk 1. vk. vk. u1. .... vk ;. 0.5. u1. vk (do uk. 1. u2 1. .... uk. vk 1 ). 0.5. 1. uk. 1. lim un. un. un 1. vn 2. 2. Vậy lim un. lim vn. Xét f (x ). 2. uk. ...u1 .. bx. 0.5. lim vn. ;. .. Câu 3 ax. 0.5. uk .. 2. .... a. vk ; vk. 0.5. v1. Vậy (un ) giảm và bị chặn dưới; (vn ) tăng và bị chặn trên nên tồn tại. c liên tục trên đoạn [0; 1].. 0.5. (2 đ) 0.5. 1 f (1) 2a+4b+11c=0 3 1 f (1) 0 thì x = 1/3 là nghiệm thỏa mãn. Nếu f (0) 9 f 3 1 ; f (1) không đồng thời bằng 0 thì trong ba số này phải có cả số Nếu f (0);9 f 3 âm và số dương.. 0.5. Từ tính liên tục của f(x) ta được phương trình ax2  bx  c  0 luôn có nghiệm. 0.5. Ta có f (0) 2.0 điểm. 0.5. 9f. 0.5.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> thuộc khoảng  0;1 . (6đ). Câu 4 Đường tròn (C) có tâm I(2; 1). Gọi M(2m ; 2m + 3) thuộc . Trung điểm của IM là E(m+1; m+ 2). Đường tròn đường kính MI có phương trình 2 2 (C1 ) : x (m 1) y (m 2) (m 1)2 (m 1)2 4.1 (2.0 điểm). Lập luận {A, B}. C1. 2(m. 1)y. 1)x. 2(m. 0.5 0.5. (C ) nên đường thẳng AB: 6m. 1. Vì AB đi qua E nên từ (*) suy ra m. 0.. (*) 9 . Suy ra M 4. 0.5 9 ; 2. 3 . 2. 0.5. A B O F C. D. A' N. B'. E. 4.2a. M. O'. (2 .0 điểm) D'. C'. Gọi O là giao điểm của AC và BD Suy ra AC vuông góc với BD; CC' vuông góc với BD theo giả thiết. BD (ACC'A') . Vậy OE là hình chiếu của BE trên mặt phẳng (ACC'A').. 0.5. Góc (BE, (ACC'A')) = góc (BE, OE) = góc BEO.. 0.5. Xét tam giác EOO' vuông tại O', tính được EO. a 15 . 4. 0.5. 2 15 . 15 15 Vậy cosin của góc giữa đường thẳng BE và (ACC'A') là . 19. 0.5. Theo chứng minh trên ta có BD vuông góc AC' (1) Gọi O' là trung điểm của A'C'; I là giao điểm của OO' và AC'. Xét tam giác ACC' và tam giác EOO' có CAC ' EOO' 300 ; AIO. 0.5. Trong tam giác BEO vuông tại O. Tính được tan BEO=. 4.2b (2.0 điểm). Từ đó chứng minh được EO vuông góc với AC' (2) Từ (1) và (2) suy ra AC' vuông góc với mặt phẳng (BDMN).. Câu 5. 600. 0.5 0.5 0.5 (2đ).

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Đặt a. x. a. 4;b. b. Suy ra. a2. 2.0 điểm. b2. y. 8 (a,b. S 3. a S. 4. Từ (*) và do a, b. 0 nên. Giải (**) được 6. S. S 3. b S2. ab S 3 S2. 0).. 0.5. 9S+36 18. (*). 0. 0.5. 9S+36 (**) 0 18 2 S S 2 9S+36 4 3 18. 12 .. Vậy Smin 6 khi a = b = 1 hay x = -3; y = 9. Smax 12 khi a = b = 2 hay x = 0; y = 12.. 0.5. 0.5. Lưu ý khi chấm bài: - Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic. Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì vẫn được điểm theo thang điểm tương ứng. - Với bài toán hình học nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không cho điểm phần tương ứng..

<span class='text_page_counter'>(6)</span>