Tài liệu BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC docx

TRƯỜNG THPT VĨNH BÌNH GV:HUỲNH PHƯỚC
-------------------------
PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC
A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1.Để chứng minh một mệnh đề là đúng với mọi
*
n∈ ¥
bằng phương pháp qui nạp toán
học,ta tiến hành hai bước:
Bước 1:Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1.
Bước 2:Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ n=k (
1k ≥
) và chứng minh
rằng nó cũng đúng với n=k+1
2.Trong trường hợp phải chứng minh một mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên
n p≥
(p
là số tự nhiên) thì:
*Ở bước 1,ta kiểm tra mệnh đề đúng với n = p
*Ở bước 2,ta giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ n=k (
k p≥
) và chứng
minh rằng nó cũng đúng với n=k+1
3.Phép thử với một số hữu hạn số tự nhiên,tuy không phải là chứng minh,nhưng cho
phép ta dự đoán được kết quả.Kết quả này chỉ là giả thiết,và để chứng minh ta có thể
dùng phương pháp quy nạp toán học.
B.BÀI TẬP
Bài 1:
Chứng minh các đẳng thức sau (với
*
n∈ ¥

)
( 1)
1)1 2 3 ...
2
n n
n
+
+ + + + =
(3 1)
2)2 5 8 ... (3 1)
2
n n
n
+
+ + + + − =
( )
1
1
3)3 9 27 ... 3 3 3
2
n n+
+ + + + = −
2 2
3 3 3 3
( 1)
5)1 2 3 ...
4
n n
n
+

+ + + + =
2
6)1.2 2.5 3.8 ... (3 1) ( 1)n n n n+ + + + − = +
1 1 1 ( 3)
7) ...
1.2.3 2.3.4 ( 1)( 2) 4( 1)( 2)
n
n n
A
n n n n n
+
= + + + =
+ + + +
( 1) ( 1)( 2)
8)1 3 6 10 ...
2 6
n n n n n+ + +
+ + + + + =
2 2 2 2
( 1)(2 1)
9)1 2 3 ...
6
n n n
n
+ +
+ + + + =
2
10)1 3 5 ... (2 1)n n+ + + + − =
Bài 2:
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên

2n ≥
,ta có:
1 2 2 1
( )( ... )
n n n n n n
a b a b a a b ab b
− − − −
− = − + + + +
Bài 3:
Cho n là số nguyên dương.Chứng minh rằng:
2
2 2 2 2
(4 1)
4)1 3 5 ... (2 1)
3
n n
n
−
+ + + + − =
2
1) (2 3 1)n n n− +
chia hết cho 6.
1 2 1
2)11 12
n n+ −
+
chia hết cho 133
7
3)n n−
chia hết cho 7

5
4)n n−
chia hết cho 5
5)13 1
n
−
chia hết cho 6
3
6) 2n n+
chia hết cho 3
7)16 15 1
n
n− −
chia hết cho 225
2 1
8)4.3 32 36
n
n
+
+ −
chia hết cho 64
3 2
9) 3 5n n n+ +
chia hết cho 3
Bài 4:
Chứng minh các bất đẳng thức:
2 *
1)2 2 5; ( )
n
n n

+
> + ∀ ∈ ¥
2 *
2)3 4 5; ( , 3)
n
n n n n> + + ∀ ∈ ≥¥
1 *
3)3 ( 2); ( , 4)
n
n n n n
−
> + ∀ ∈ ≥¥
3 *
4)2 3 1; ( , 8)
n
n n n
−
> − ∀ ∈ ≥¥
*
1 1 1
5) ... 1; ( )
1 2 3 1
n
n n n
+ + + > ∀ ∈
+ + +
¥
1 3 5 2 1 1
6) . . ....
2 4 6 2 2

3 4
n
n
n
+
<
+
+
*
1 1 1
7)1 ... ;( , 2)
2 3
n n n
n
+ + + + > ∀ ∈ ≥¥
*
1 1 1
8)1 ... ;( , 2)
2 3 2 1
n
n n n+ + + + < ∀ ∈ ≥
−
¥
Bài 5:
Với giá trị nào của số nguyên dương n,ta có:
1 2
1)2 3
n
n n
+

> +
2)2 2 1
n
n> +
2
3)2 4 5
n
n n> + +
4)3 2 7
n n
n> +
Bài 6:
Cho tổng:
1 1 1 1
) ...
1.3 3.5 5.7 (2 1)(2 1)
n
a S
n n
= + + + +
− +
1 1 1 1
) ...
1.5 5.9 9.13 (4 3)(4 1)
n
b S
n n
= + + + +
− +
1)Tính

1 2 3 4
; ; ;S S S S
2)Dự đoán công thức tính
n
S
và chứng minh bằng phương pháp qui nạp.