Toan Cao Cap 2

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Đề thi mẫu Môn Toán Cao Cấp 2. Toán Cao Cấp 2 ( 5 điểm)
Cho: f ( x, y ) = ln( x 2 y 2 + 1 + ( xy ) 2 ). a. Tính. ∂f ∂f ; ∂x ∂y. b. Tính. df(1,1). f ( x, y ) = x 4 + y 4 − 4 xy.  Tìm cực trị của hàm số  Tính. I = ∫∫ ( x 2 + y 2 ) 3 dxdy , Ω. với Ω = {( x, y ) / x 2 + y 2 ≤ 1, y ≥ 0}  Tính. ∫∫∫ ( x + y + z )dxdydz , V. V là miền giới hạn bởi 4 mặt x=0; y=o; z=0; x+y+z=1  Tính. ∫ ( x + yx L. 2. )dx − ( xy 2 + y )dy ,. với L là đường tròn đơn vị tâm O, được lấy theo chiều ngược chiều kim đồng hồ Bài giải:
f ( x, y ) = ln( x 2 y 2 + 1 + ( xy ) 2 ) a. Sử dụng. Đặt =>. (ln u ) ' =. u' ; u. ( u )' =. u' 2 u. u = ( xy) 2 + 1 + ( xy ) 2 f ( x, y ) = ln u. ∂u (1 + x 2 y 2 ) ' x) 2 xy 2 xy 2 = 2 xy 2 + = 2 xy 2 + = 2 xy 2 + ∂x 2 1+ x2 y2 2 1+ x2 y2 1+ x2 y2. ∂u (1 + x 2 y 2 ) ' y) 2x 2 y x2 y 2 2 2 = 2x y + = 2x y + = 2x y + 2 2 2 2 ∂y 2 1+ x y 2 1+ x y 1+ x2 y2 xy 2 1  ∂u 2 xy 2 +  2+ 2 2 1+ x y 1+ x2 y2 ∂f 2 ∂ x = = = xy  ( xy ) 2 + 1 + ( xy) 2 ∂x u ( xy) 2 + 1 + ( xy ) 2  .      .

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Biên soạn: ThS. Đào Ngọc Dũng - 0912765874 - x2 y 1  ∂u 2 x 2 y +  2+ 2 2 1+ x y 1+ x2 y2 ∂f ∂y 2  = = =x y  ( xy ) 2 + 1 + ( xy ) 2 ∂y u ( xy ) 2 + 1 + ( xy ) 2   ∂f ∂f (1,1)dx + (1,1)dy ∂y ∂x 1 2+ ∂f 2 = 2 2 +1; (1,1) = ∂x 1+ 2 2+2 2 2 +1 ⇒ df (1,1) = ( dx + dy ) 2+2. b.. .      . df(1,1) =. ∂f 2 2 +1 (1,1) = ∂y 2+2. f ( x, y ) = x 4 + y 4 − 4 xy  ∂f 3  ∂x = 4 x − 4 y  ∂f  = 4 y 3 − 4x  ∂y.  ∂f  ∂x = 0 4 x 3 − 4 y = 0  y = x 3  y = x3  y = x3 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  ∂f  3  3  3 3  8  = 0 4 y − 4 x = 0  y − x = 0 ( x ) − x = 0  x( x − 1) = 0  ∂y  y = x3  ⇔  x = 0  x = ±1 . => f(x) có 3 điểm dừng O(0,0), M1(1,1), M2(-1,-1) ∂2 f 2  2 = 12 x ∂ x   ∂f = −4   ∂x2 ∂y ∂ f 2  ∂y 2 = 12 y . Tại O(0,0): ∂2 f A = 2 (0,0) = 0 ∂x ∂f B= (0,0) = −4 ∂x∂y C=. ∂2 f (0,0) = 0 ∂y 2. ∆ = B 2 − AC = 16 > 0 ⇒ f không đạt cực trị tại O(0,0).

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Đề thi mẫu Môn Toán Cao Cấp 2 –. Tại M1(1,1): ∂2 f (1,1) = 12 ∂x 2 ∂f B= (1,1) = −4 ∂x∂y A=. C=. ∂2 f (1,1) = 12 ∂y 2. ∆ = B 2 − AC = ( −4) 2 − 12 ∗ 12 < 0. A = 12 > 0 => f đạt cực tiểu tại M1(1,1) Tương tự, f đạt cực tiểu tại M2(-1,-1) Vậy f không đạt cực trị tại O(0,0) f đạt cực tiểu tại M1(1,1), M2(-1,-1)  x = rCosϕ   y = rCosϕ. . (x,y) Є ℜ  0 ≤ r ≤ 1; 0 ≤ φ ≤ π π. π. 1. 1. I = ∫ dϕ ∫ ((rCosϕ ) 2 + (rSinϕ ) 2 ) 3 rdr = ∫ dϕ ∫ r 7 dr = π . 0. 0. 0. 0. r8 8. 1. = 0. 8. V = {( x, y, z ) / 0 ≤ z ≤ 1 − x − y;0 ≤ y ≤ 1 − x;0 ≤ x ≤ 1}. .  ( x + y + z)2 I = ∫ dx ∫ dy ∫ ( x + y + z )dz = ∫ dx ∫ dy  2  0 0 0 0 0 1 1− x  ( x + y + 1 − x − y ) 2 ( x + y + 0) 2  = ∫ dx ∫ dy  −  2 2   0 0 1. 1− x − y. 1− x. 1. 1− x. y =1− x. 1 1− x 1  1 1 ( x + y)3  2 = ∫ dx ∫ 1 − ( x + y ) dy = ∫ dx  y − 20 0 20  3  y =0. [. ]. 1  1 ( x + 1 − x) 3 ( x + 0) 3  = ∫ dx ((1 − x) − ) − (0 − ) 20  3 3  1. 1 2 x 1 2 x2 x4  = ∫ ( − x + )dx =  x − +  20 3 3 2 3 2 12  0 1. =. π. 3. 1 2 1 1  1 − + = 2  3 2 12  8. z =1− x − y. z =0.   .

<span class='text_page_counter'>(4)</span> . I = ∫ ( x + yx 2 ) dx − ( xy 2 + y ) dy = ∫ Pdx + Qdy = ∫∫ ( L. L. Ω. ∂Q ∂P − ) dxdy ∂x ∂y. ∂P = x2 ∂y ∂Q Q = −( xy 2 + y ) ⇒ = −y2 ∂x ∂Q ∂P − = − y 2 − x 2 = −( x 2 + y 2 ) ∂x ∂y. P = x + yx 2 ⇒. 2π. 1. 0. 0. I = − ∫∫ ( x + y ) dxdy = − ∫ dϕ ∫ (( rCosϕ ) 2 + ( rSinϕ ) 2 ) rdr 2. 2. Ω 2π. 1. 2π. = − ∫ dϕ ∫ r dr = ϕ 0 3. 0. 0. r4 . 4. 1. 0. 1 π = −2π . = − 4 2. Bổ sung: 4 điểm 1. Phương trình vi phân 2. Chuỗi số 3. Ứng dụng Toán học trong kinh tế học ------ Good luck to you ! ------.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>