SKKN Phuong trinh luong giac

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chuyên đề “HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC”. A.Phần mở đầu I. Lí do chọn đề tài: Muốn nâng cao chất lượng giáo dục, tất yếu đòi hỏi mỗi giáo viên phải biết chủ động đổi mới phương pháp giảng dạy nhằm giúp học sinh khắc sâu kiến thức và vận dụng kiến thức một cách sáng tạo. Toán học là một môn khoa học đòi hỏi học sinh phải biết tư duy sáng tạo, không áp đặt kiến thức cho học sinh, các em không thể làm việc một cách máy móc, học vẹt.... Muốn đạt được điều đó thì trong giảng dạy giáo viên phải có một phương pháp hợp lí để hướng dẫn các em học tập, vì vậy tôi chọn đề tài “ Hướng dẫn học sinh giải phương trình lượng giác” để giúp các em trang bị tốt kiến thức trong các kỳ thi. 1.Mục đích nghiên cứu: - Củng cố cho học sinh kiến thức phần lượng giác, giúp học sinh có một số đường lối chung để giải tốt phương trình lượng giác. Từ đó các em có hứng thú hơn trong học toán và các môn học khác có liên quan đến lượng giác. - Cùng đồng nghiệp hệ thống lại các dạng bài tập về phương trình lượng giác.Nghiên cứu phương pháp giảng dạy sao cho có hiệu quả. 2.Phương pháp nghiên cứu: - Điều tra quan sát học sinh : Thu thập và nghiên cứu kết quả kiểm tra kiến thức phần lượng giác học sinh qua nhiều năm học.Tìm hiểu khó khăn của học sinh khi khi giải phương trình lượng giác. - Thực nghiệm: Tôi xây dựng một hệ thống các bài tập và phân dạng bài tập,từng dạng bài tập tôi sắp xếp từ bài dễ đến bài khó, cùng với việc nghiên cứu và áp dụng phương pháp giảng dạy thích hợp sao cho các em dễ tiếp thu kiến thức. III. Giới hạn của đề tài: Nghiên cứu các dạng bài tập về phương trình lượng giác của chương trình toán lớp 11 cơ bản và nâng cao.. B. Phần nội dung I. Cơ sở lí luận: Chuyên đề lượng giác đóng một vai trò rất quan trọng trong toán học và một số môn học khác có liên quan.Nếu học sinh học tốt chuyên đề lượng giác thì các em sẽ giảm được nhiều khó khăn trong việc học toán vì có rất nhiều bài toán liên quan đến kiến thức lượng giác. Đối với các môn học khác đặc biệt là môn vật lý đòi hỏi các em phải vững kiến thức lượng giác thì mới học tốt được. II. Cơ sở thực tiển: Qua thực tế nghiên cứu tìm hiểu cho thấy có nhiều học sinh giải phương trình lượng giác còn yếu. Nguyên nhân : * Vì có nhiều công thức nên các em rất dễ lúng túng khi vận dụng. * Bài tập đa dạng, mỗi dạng lại có những cách biến đổi khác nhau đòi hỏi học sinh phải có khả năng suy luận..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> III. Các biện pháp giải quyết vấn đề: 1. BƯỚC 1: Ôn tập củng cố lí thuyết: *Giáo viên ôn tập toàn bộ công thức lượng giác, hướng dẫn học sinh cách nhớ công thức. Ví dụ: Các em chỉ cần nhớ các công thức về sin và côsin , từ đó suy ra các công thức về tang và côtang dựa vào mối quan hệ của chúng. Các công thức nhân các em có thể suy ra từ các công thức cộng, các công thức hạ bậc có thể suy ra từ công thức nhân.Các công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng có thể học thuộc bằng lời. *Nêu phương pháp chung để giải các phương trình lượng giác đơn giản như: + Phương trình bậc nhất đối với 1 hàm số lượng giác: Đưa về phương trình lượng giác cơ bản. + Phương trình bậc hai đối với 1 hàm số lượng giác: Dùng phương pháp đặt ẩn số phụ. + Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: dùng công thức cộng để đưa về phương trình bậc nhất đối với 1 hàm số lượng giác. + Phương trình đưa về dạng tích: Dùng các công thức biến đổi để đưa phương trình về dạng tích. 2. BƯỚC 2: Hướng dẫn học sinh giải 1 số phương trình lượng giác đơn giản: Giáo viên cho học sinh về nhà giải 1 số phương trình lượng giác đơn giản. Sau đó sửa cho học sinh vào các tiết bám sát và phụ đạo nhằm củng cố lí thuyết và để học sinh làm quen với các dạng bài tập. Ví dụ : Giải các phương trình sau: 1) 2 sin x  1 0 2)3cos3 x  3 0 3) tan 2 x  1 0 4)sin 2 x  2sin x  1 0 5)2cos 2 2 x  3cos 2 x  1 0 6)3tan 2 x . 3 tan x 0. 7)cot 2 2 x  (1  3)cot 2 x  3 0 8)sin 2 x  cos 2 x  2 9) 3 sin 3 x  cos3x 1 10)sin 2 x  3sin x cos x  2cos 2 x 0 3. BƯỚC 3: Hướng dẫn học sinh giải 1 số phương trình dạng nâng cao Sau khi học sinh đã nắm được phương pháp chung để giải các phương trình lượng giác đơn giản, giáo viên bắt đầu cho các em giải 1 số phương trình lượng giác dạng nâng cao hơn nhằm phát huy tính tư duy tích cực của học sinh. Những bài tương đối khó nếu học sinh không giải được thì giáo viên hướng dẫn, gợi ý cho học sinh. Sau đây tôi xin đưa ra một số dạng bài tập và gợi ý cho học sinh tìm tòi lời giải.Các dạng bài tập này đã được phân dạng và sắp xếp theo mức độ từ thấp đến cao, từ đơn giản đến phức tạp. Có tác dụng giúp các em không bị áp lực khi giải toán..

<span class='text_page_counter'>(3)</span> DẠNG 1: Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: a 2  b 2 0.  Pt có dạng : asinx + bcosx = c  Phương pháp chung để giải phương trình dạng này là chia 2 vế của phương trình cho sin  x    . c. a 2  b 2 ,sau đó dùng công thức cộng biến đổi phương trình về dạng a 2  b2 a b cos   2 ,sin   a  b2 a 2  b 2 ). Điều kiện để phương trình có nghiệm là : , ( với a 2  b 2 c 2 . Giải các phương trình sau: 1) 3 sin x  cos x 2sin 3x 2) 3  sin 2 x  cos3 x  sin 3 x  cos 2 x. 3) 3 cos5 x  2sin 3x cos 2 x  sin x 0 (1  2sin x)cos x 4)  3 (1  2sin x)(1  sin x) 2 5)sin 3x  3 cos3 x   1 sin 3x  3cos3 x  2 6)3sin 2 2 x  cos 2 2 x  2cos 2 x  2 3 sin x cos x 1 7)2sin 2 x  2 3sin x cos x  1 3 cos x  3sin x. . 8)sin 3 x . 3 cos3 x sin x cos 2 x . . 3 sin 2 x cos x. 9)sin x  cos x sin 2 x  3 cos3 x 2(cos 4 x  sin 3 x) cos 2 x  sin 4 x 10)  3 2cos 2 2 x  sin 2 x  1 11)2cos3 x.cos x  3  1  sin 2 x . 12)2cos 6 x  2cos 4 x . 3 cos 2 x sin 2 x  3. HƯỚNG DẪN + Gợi ý cách giải Chia 2 vế phương trình cho 2 + Kinh nghiệm giảng dạy Vì hệ số của sin3x là 2 nên ta có thể đưa pt đã cho về dạng cơ bản. TÓM TẮT LỜI GIẢI - ĐÁP SỐ. 1) 3 sin x  cos x 2sin 3 x    sin  x   sin 3 x 6    x   k  12   k,l  Z  5    x  l  24 2.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> + Gợi ý cách giải 2) 3  sin 2 x  cos3 x  sin 3 x  cos 2 x Chia 2 vế pt cho 2, đưa pt về dạng       x  2  k 2 sin(3x  ) sin  2 x   3 6  (k , l  Z )  7  2   x  l + Kinh nghiệm giảng dạy  30 5 Nhận thấy trong pt chỉ chứa số hạng bậc nhất đối với sin và cosin của 2 cung 2x và 3x nên gợi ý học sinh nhóm các số hạng có cùng 1 cung về 1 vế. +Gợi ý cách giải 3) 3 cos5 x  2sin 3 x cos 2 x  sin x 0 Biến đổi sin3x.cos2x thành tổng rồi đưa    x   k  PT về dạng 18 3   k,l  Z  3 cos5x-sin5x=2sinx.  x    l   6 2 Chia 2 vế pt cho2 + Kinh nghiệm giảng dạy Nhận thấy trong pt chỉ chứa số hạng bậc nhất đối với sin và cosin và chú ý 2x +3x = 5x + Gợi ý cách giải Biến đổi: 1  cos2 x sin 2 x  2 2cosxsinx=sin2x, đưa phương trình về dạng sin2x+ 3 cos2x =cosx- 3 sinx Giải tương tự bài trên + Kinh nghiệm giảng dạy -Học sinh có thể lúng túng vì thấy pt tương đối phức tạp, không tìm được lời giải, giáo viên gợi ý các em đưa theo cung 2x. - Các em có thể quên đặt điều kiện, hoặc không biết kết luận nghiệm của phương trình. Giáo viên cần hướng dẫn các em biểu diễn tập hợp nghiệm trên đường tròn lượng giác.. (1  2sin x)cos x  3 (1  2sin x)(1  sin x) Điều kiện:   x   k 2  2     x   l 2  k , l , m  Z  6  7   x  6  m2  2 PT  x  k k Z 18 3 4).

<span class='text_page_counter'>(5)</span> + Gợi ý cách giải Đặt t sin 3 x  3 cos3 x  2, t 0. 5)sin 3 x  3 cos3 x .  t  1  Ta được:  t  2 PT đã cho tương đương:  sin 3x  3 cos3x 1   sin 3x  3 cos3x 0 + Kinh nghiệm giảng dạy -Học sinh có thể qui đồng bỏ mẫu làm cho bài toán phức tạp hơn. Giáo viên cần gợi ý các em đặt ẩn số phụ. - Hướng dẫn các em đặt điều kiện và nhận nghiệm từ ẩn số t để bài toán đở phức tạp hơn. +Gợi ý cách giải Biến đổi 2sinxcosx=sin2x 2cos 2 x  1 cos 2 x ( 3 sin 2 x)2 3sin 2 2 x Ta có: 3sin 2 2 x  cos 2 2 x . . . 3 sin 2 x  cos 2 x .. 3 sin 2 x  cos 2 x. . +Kinh nghiệm giảng dạy Có thể các em không tìm được lời giải vì không biết đưa về pt tích. Giáo viên gợi ý các em nhóm các số hạng và áp dụng hằng đẳng thức sao cho xuất hiện nhân tử chung. + Gợi ý cách giải Biến đổi : 1 sin 2 x  cos 2 x 3sin 2 x  2 3 sin x cos x  cos 2 x. .  3sin x  cos x. . 2. Đặt 3 sin x  cos x làm thừa số chung + Kinh nghiệm giảng dạy Tương tự bài 6. 2  1 sin 3 x  3cos3 x  2.  2  x   k  18 3   k,l  Z   x    l   9 3. 6)3sin 2 2 x  cos 2 2 x  2cos 2 x  2 3 sin x cos x 1 . . 3 sin 2 x  cos 2 x. . . 3 sin 2 x  cos 2 x  1 0.    x   k  12 2    x l  k ,l, m  Z   2  x   m 3 . . 7)2sin 2 x  2 3 sin x cos x  1 3 cos x  3 sin x  cos x  3 sin x 0   cos x  3 sin x 3( ptvn)   x   k ,  k  Z  6. .

<span class='text_page_counter'>(6)</span> + gợi ý cách giải Nhóm các số hạng đặt thừa số chung sao cho xuất hiện thừa số : cos 2 x  sin 2 x cos 2 x + Kinh nghiệm giảng dạy Gợi ý cho HS đưa về pt tích Học sinh có thể đưa pt theo tanx + gợi ý cách giải Biến đổi sin x  2sin 3 x sin x  1  2sin 2 x  sin x cos 2 x + Kinh nghiệm giảng dạy Nhận thấy có 3 cos3x nên cần biến đổi các số hạng còn lại theo sin3x và chú ý áp dụng công thức cộng.. 8)sin 3 x . 3 cos3 x sin x cos 2 x . . 3 sin 2 x cos x. .  cos 2 x sin x  3 cos x 0.    x   k  4 2   k,l  Z    x   l  3 9)sin x  cos x sin 2 x  3 cos3x 2(cos 4 x  sin 3 x)  sin x cos 2 x  cos x sin 2 x  3 cos3 x 2cos 4 x.    cos  3 x   cos 4 x 6     x  6  k 2   k,l  Z   2  x  l  42 7 + Gợi ý cách giải cos 2 x  sin 4 x 10)  3 2 2cos 2 2 x  sin 2 x  1 Biến đổi: 2cos 2 x  1 cos 4 x + Kinh nghiệm giảng dạy sin 2 x 1  - Nhận thấy trong pt có chứa số hạng bậc  1 nhất đối với sin và côsin của 2 cung 2x sin 2 x  2 ĐK: và 4x nên gợi ý học sinh nhóm các số PT  cos 2 x  3sin 2 x  3 cos 4 x  sin 4 x hạng có cùng 1 cung về 1 vế. -Học sinh có thể đặt điều kiện mẫu thức     khác không, tuy nhiên việc nhận nghiệm  cos  2 x  3  cos  4 x  6  của pt tương đối khó.    x   k x   k  4 4  -Chú ý nghiệm  k,l  z     x  Không thỏa điều kiện của phương trình l  36 3 + Gợi ý cách giải 11) 2cos3 x.cos x  3  1  sin 2 x   Biến đổi:  2     2 3 cos 2 x  2   *2cos  2 x   1  cos  4 x   4  4 2         1  sin 4 x  sin  4 x    sin  2 x   6 6   *2cos3x.cosx = cos4x + cos2x +Kinh nghiệm giảng dạy    x   k Thông thường trong các cung có chứa  18 3    k,l  Z   số thì hướng dẫn hs dùng công thức   x   l biến đổi làm mất số  .  2.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> +Gợi ý cách giải Biến đổi: *2cos6x + 2cos4x = cos5x.cosx *sin2x = 2sinxcosx 2 * cos 2 x  1 2cos x Đặt cosx làm thừa số chung + Kinh nghiệm giảng dạy -Học sinh có thể không giải được vì không đặt được cosx làm nhân tử chung. - Giáo viên gợi ý hs nhóm 2 số hạng có chứa 3 dể có thể thấy được cách giải.. 12) 2cos6 x  2cos 4 x . 3 cos 2 x sin 2 x  3.  cos x 0   sin x  3 cos x 2cos5 x    x   k  24 2   2   x  l  k ,l, m  Z   36 3    x   m  2. DẠNG 2: Phương trình bậc 2, bậc 3 đối với 1 hàm số lượng giác Phương pháp chung là dùng các công thức biến đổi lượng giác đưa phương trình theo cùng một hàm số lượng giác có cùng 1 cung. Giải các phương trình sau: 1 2 5 2) tan 2 x   0 2 cos x 2 1) 6sin23x + cos12x = 1. 1 1 2 4x 3)   4)cos cos 2 x cos x sin 2 x sin 4 x 3 6x 8x 5)2cos 2  1 3cos 5 5 6) sin4x+cos4x=cos4x. 17 sin 8 x  cos8 x  cos2 2 x 6 6 8 8 16 7) 8) cos x  sin x 2(cos x  sin x) cos3 x  cos 2 x  1 2 cos 2 x  tan x  cos 2 x 9) \  2  3  sin x   10)sin 2  x    sin 2  x   3 3  2       sin  x    cos   x  1 x 6  3  11)   cos x  sin x.tan    2 cos x  2 cos x 17     2 x 12)sin  2 x    16 2 3sin x.cos x  20sin    2    2 12  13) 6tanx+5cot3x = tan2x sin 4 2 x  cos 4 2 x 14) cos 4 4 x     tan   x  .tan   x  4  4  1 15)cos5 x  sin 7 x   cos3 x  sin 5 x  .sin 2 x sin x  cos x 2 3 4  2sin 2 x 16)   2 3 2  cot x  1 2 cos x sin 2 x.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> 17).  1  sin x  cos 2 x  .sin  x  .   4. 1  tan x HƯỚNG DẪN. +Gợi ý cách giải Biến đổi: 1  cos6 x *sin 2 3 x  2 *cos12 x 2cos 2 6 x  1 + Kinh nghiệm giảng dạy Cung 3x và 12x có thể đưa theo cung 6x. . 1 cos x 2 TÓM TẮT LỜI GIẢI-ĐÁP SỐ. 1) 6sin23x + cos12x = 1. 2cos 2 6 x  3cos 6 x  1 0  cos6 x 1  1  cos6 x   2   x  k  3     x  l  k ,l, m  Z   18 3   x    m  18 3  1 2 5 2) tan 2 x   0 2 cos x 2  x   k , k  Z 2 ĐK: 1 PT  cos x  2    x  3  k 2   k,l  Z   x    l 2  3. +Gợi ý cách giải Biến đổi: 1 tan 2 x  2  1 cos x Đặt : 1 t cos x + Kinh nghiệm giảng dạy -Học sinh thường đưa tanx theo sinx và cosx tuy nhiên ở bài này các em nên đưa theo cosx thì bài toán sẽ đơn giản hơn. - Có thể chỉ cần đặt ĐK cos x 0 và nhận nghiêm từ chỗ này. +Gợi ý cách giải 1 1 2 3)   Chú ý: cos x sin 2 x sin 4 x sin4x=2sin2x.cos2x = ĐK: sin 4 x 0 4sinx.cosx.cos2x Chọn mẫu thức chung là sin4x Sau đó đưa phương trình theo sinx + Kinh nghiệm giảng dạy - Có thể hs chọn MTC là tích của 3 MT dẫn đến bài toán rất phức.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> tạp. - Giáo viên cần hướng dẫn hs phân tích các mẫu thức để thấy sin4x chứa thừa số của các MT còn lại, đồng thời việc đặt ĐK và nhận nghiệm đơn giản hơn.. +Gợi ý cách giải Biến đổi: 1  cos 2 x *cos 2 x  2  2x  *cos 2 x cos3    3  2x 2x 4cos3  3cos 3 3 4x  2x  *cos cos 2   3  3   2x  2cos 2    1  3 . PT  2sin 3 x  sin 2 x  sin x 0   sin x 0 (loại)    sin x  1  loại    sin x  1  2   x   l2  6   l, m  Z   x  5  m2  6. 4)cos. cos. 2x 3. Đưa phương trình theo + Kinh nghiệm giảng dạy Sau khi biến đổi 1  cos 2 x cos 2 x  2 , giáo viên gợi ý hs dùng công thức biến đổi đưa 4x 2x và 3 theo cùng 1 cung nào đó.. 4x cos 2 x 3.   x k 3  2x  cos  1  x   l 3  3  4   2x 3     cos    x   m3 3 2 4    5 2x 3  x   n3 cos    4 3 2   x  5  h3  4    x   t ,(t  Z ) 4 2.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> + Gợi ý cách giải Biến đổi: 6x 12 x *2cos 2 1  cos 5 5 12 x  4x  *cos cos3   5  5   4x   4x  4cos3    3cos    5   5  8x  4x  cos cos 2   5  5   4x  2cos 2    1  5  cos. Đưa phương trình theo + Kinh nghiệm giảng dạy Tương tự bài 4. 5). 6x 8x  1 3cos 5 5. 4x  cos 1  5  4 x 1  21    cos  ( ptvn) 5 4  4 x 1  21  cos   5 4. 4x 5. + Gợi ý cách giải 1 2 sin 2 x 2 cos 4 x 1  2sin 2 2 x Đưa phương trình theo sin2x + Kinh nghiệm giảng dạy Học sinh cần nắm công thức 1 sin 4 x  cos 4 x 1  sin 2 2 x 2 Để dể tìm thấy lời giải của bài toán. sin 4 x  cos 4 x 1 . 2cos 2. k 5  x 2  5 1  21    x  arccos  l 2  k , l , m  Z  4 4  5 1  21  x  arccos  m 2  4 4. 6) sin4x + cos4x = cos4x.  sin 2 x 0  x k.  ,k  Z 2. + Gợi ý cách giải. 17 sin 8 x  cos8 x  cos 2 2 x 16 7) *cos 2 2 x 1  sin 2 2 x 1  2 sin 2 x  1 4 8 8 2 *sin x  cos x  sin 2 x  sin 2 x  1   2 8  2 2  sin 2 x  1 ptvn  Đặt t sin 2 x ,(0 t 1)   + Kinh nghiệm giảng dạy  x  k k Z Tương tự bài 6 8 4 + Gợi ý cách giải. 6. 6. 8. 8. 8) cos x  sin x 2(cos x  sin x).

<span class='text_page_counter'>(11)</span> *2sin 8 x  sin 6 x sin 6 x  2sin 2 x  1.  cos 2 x  cos6 x  sin 6 x  0.  sin 6 x.cos2 x.  cos 2 x 0  6 6  cos x sin x    x   k , k  Z  4 2. *2cos8 x  cos6 x cos6 x  2cos 2 x  1. cos6 x.cos2 x Có thể đưa phương trình theo sin2x + Kinh nghiệm giảng dạy -Có thể đưa phương trình theo sin2x. - Hướng dẫn hs dùng đường tròn lượng giác để thu gọn nghiệm. + Gợi ý cách giải cos3 x  cos 2 x  1 2 cos 2 x  tan x  *cos 2 x 2cos 2 x  1 cos 2 x 9) 1  *tan 2 x  2  1 x   k , k  Z cos x 2 ĐK; + Kinh nghiệm giảng dạy  cos x 1 - Có thể đặt điều cos x 0 rồi pt   1  cos x  nhận nghiệm từ ĐK này.  2   x k 2  2 2   x   l 2  x k  k Z   3 3  2  x   m2 3  + Gợi ý cách giải  2  3  sin x 2 2 Đưa phương trình theo sinx bằng 10)sin  x  3   sin  x  3   2 cách sử dụng công thức hạ bậc  2sin 2 x  sin x 0 rồi áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích  sin x 0      1 cos  2 x    cos  2 x    sin x  3 3    2 cos 2 x  2  x k 1  2sin x  + Kinh nghiệm giảng dạy    x   l 2  k , l , m  Z  Hướng dẫn hs làm mất  6  2  5  x   m2 3 và 3 6 .

<span class='text_page_counter'>(12)</span> + Gợi ý cách giải. x  cos x  sin x .tan   x 2  sin x x x 2 sin x.tan 2sin cos .     sin  x    cos   x  2 2 2 cos x 6 3  2   cos x 2 x 2sin 1  cos x cos x 0 2   x Rồi tiếp tục biến đổi tương tự bài cos 0  2 trên ĐK: + Kinh nghiệm giảng dạy 1 3sin x   1  tan 2 x  3 tan x   2 cos x cos x Hướng dẫn hs làm mất 3 và 6  x k   k,l  Z    x   l 3  Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của pt là:  x m2   m, n  Z    x   n 3  + Gợi ý cách giải 17   *sin  2 x   cos 2 x 2   2sin x.cos x sin 2 x. 11). 1  cos 2 x. 17     2 x 12) sin  2 x   16  2 3 sin x .cos x  20sin     2    2 12       cos  2 x    5cos  x    3 0 3 6  .   1  cos  x    2cos 2  x     5cos  x     2 0     x   6  6 6   *sin 2     2  2 12    x   k 2    2 *cos 2 x  3 sin 2 x cos  2 x      k,l  Z  3  5   x   l 2     6  2 2cos  x    1 6  + Kinh nghiệm giảng dạy 17 - Biến đổi làm mất 12 - Sau khi hạ bậc có chứa cung  x 6 nên ta biến đổi các số  x 6 hạng còn lại theo cung 13) 6tanx+5cot3x = tan2x + Gợi ý cách giải.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> sin x cos x cos3 x *cot 3 x  sin 3 x sin 2 x *tan 2 x  cos 2 x Áp dụng công thức cộng để thu gọn lại. cos x 0  sin 3 x 0  ĐK: cos 2 x 0 PT  5  tan x  cot 3 x  tan 2 x  tan x. Biến đổi tích thành tổng cos 4 x 2cos 2 x  1 + Kinh nghiệm giảng dạy - Áp dụng công thức cộng để thu gọn lại. - Đưa các biểu thức lượng giác theo cung 2x.. 1  cos 2 x   3   cos 2 x  1  4 1 1  x  arccos  k  2 3   x  1 arccos 1  l  2 3   k , l , m, n  Z  1 1    x  arccos     m  2  4   x  1 arccos   1   n  2  4 sin 4 2 x  cos 4 2 x 14) cos 4 4 x     tan   x  .tan   x  4  4    x  k 4 2 ĐK: PT  2cos4 4x  cos2 4x  10. *tan x . 5cos 2 x sin x  cos x.sin 3x cos x.cos 2 x  5cos 2 2 x sin x.sin 3 x  12cos 2 2 x  cox 2 x  1 0 . + Gợi ý cách giải Biến đổi:     *tan   x  .tan   x  1 4  4  1 *sin 4 2 x  cos 4 2 x 1  sin 2 4 x 2 2  cos 4x 1 + Kinh nghiệm giảng dạy   Biến đổi mẫu thức trước , thấy  cos2 4x  1 ptvn  mẫu thức bằng 1 để việc đặt điều 2 kiện đơn giản hơn.     x 4  k 2   x l  ,l  Z  2 + Gợi ý cách giải 1 15)cos5 x  sin 7 x   cos 3 x  sin 5 x  .sin 2 x Biến đổi: 2 *sin2x = 2sinx.cosx sin x  cos x   sin x  cos x   sin 6 x  cos 4 x  1 0.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> *cos5 x  cos 4 x.sin x.    sin x    0  4 4  cos x  cos x  sin x     sin x 0 *sin 6 x.cos x  sin 7 x   sin x 1 sin 6 x  cos x  sin x   sin x  1 2 cos 4 x  1  sin 2 x   2  sin x  2  ptvn  + Kinh nghiệm giảng dạy  -Vế phải có sinx + cosx nên hs nhóm các số hạng ở vế trái sao   x   k cho xuất hiện thừa số sinx +cosx  4  - Phương trình chứa bậc chẵn đối   x l  k,l, m  Z  với sinx và cosx thì ta có thể đưa   chúng về cùng theo sinx hoặc  x   m 2  theo cosx. + Gợi ý cách giải 3 4  2sin 2 x 16)   2 3 2  cot x  1 Biến đổi : cos 2 x sin 2 x 1  1  tan 2 x 2 x  k ,k Z cos x 2 ĐK: 2 tan x  cot x PT  3 tan 2 x  2 tan x  3 0 sin 2 x   Đưa phương trình theo tanx x   k  3 + Kinh nghiệm giảng dạy   k,l  Z  Cần nhớ mối quan hệ   x   l 2  6 tan x  cot x sin 2 x để đưa pt theo tanx thì bài toán đơn giản hơn đưa theo sinx và cosx. + Gợi ý cách giải   1  sin x  cos 2 x .sin x      Biến đổi: 1 4  17)  cos x    1  tan x 2 2 sin  x   sin x  cos x 4  cos x 0  sin x tan x  1 tan x  ĐK:  cos x PT   sin x  cos x   1  sin x  cos 2 x  Chia 2 vế của pt cho sin x  cos x sin x  cos x 0 + Kinh nghiệm giảng dạy  sin x  cos 2 x 0 Hs cần nhớ công thức  2sin 2 x  sin x  1 0     2 sin  x   sin x  cos x sin x 1 x   k 2   4  6    k,l  Z  1  thì bài toán dể dàng tìm được  sin x  7   x   l 2  2 hướng giải.  6 DẠNG 3: Phương trình thuần nhất đối với sinx và cosx.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> 2 2 Dạng a sin x  b sin x.cos x  c cos x d  x   k ,  k  Z  2 Xét xem có là nghiệm của phương trỉnh không. 2 Chia 2 vế của phương trình cho cos x 0 đưa phương trình theo tanx 1 1  tan 2 x 2 Chú ý: cos x Giải các phương trình sau: 1)2sin 3 2 x  4 cos3 2 x 3sin 2 x 2)sin 3 x  cos 3 x sin x  cos x. 3)3cos 4 x  4 cos 2 x sin 2 x  sin 4 x 0 4)4sin 3 x  3cos3 x  3sin x  sin 2 x cos x 0 5)sin x  sin 2 x  sin 3 x 6cos 3 x HƯỚNG DẪN + Gợi ý cách giải Biến đổi: 3sin 2 x 3tan 2 x  1  tan 2 2 x  3 cos 2 x + Kinh nghiệm giảng dạy Hs thường gặp khó khăn trong việc    x  k  k Z 4 2 xét cos2x = 0 có là nghiệm của pt không? Vì vậy giáo viên nên giải thích cho các em là khi cos2x = 0 thì sin2x =1 hoặc sin2x = -1 để các em thay trực tiếp những giá trị này vào pt. + Gợi ý cách giải Biến đổi: cos x * 3 1  tan 2 x cos x sin x * 3 tan x  1  tan 2 x  cos x + Kinh nghiệm giảng dạy. TÓM TẮT LỜI GIẢI-ĐÁP SỐ. 1)2sin 3 2 x  4 cos3 2 x 3sin 2 x    x  k  k Z 4 2 Ta có: cos2x = 0 không là nghiệm của phương trình 3 Chia 2 vế của PT cho cos 2 x 0 ta được: tan 3 2 x  3tan 2 x  4 0    x  k k Z 8 2. 2)sin 3 x  cos3 x sin x  cos x.  cos x 0  x   k  k  Z  2 Ta có : là nghiệm của phương trình  x   k 3 2 Giả sử chia 2 vế của pt cho cos x 0 2 Ta được : tan x  tan x  2 0 (ptvn).  x   k ,  k  Z  2 Vậy nghiệm của pt là:. + Gợi ý cách giải Biến đổi:. 3)3cos 4 x  4 cos 2 x sin 2 x  sin 4 x 0.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> cos 2 x.sin 2 x tan 2 x 4 cos x + Kinh nghiệm giảng dạy.  cos x 0  x   k  k  Z  2 Ta có : không là nghiệm của phương trình 4 Chia 2 vế của PT cho cos x 0 ta được:. tan 4 x  4 tan 2 x  3 0.   x   k  4   x    l 2  tan x 1  4  2   k , l , m, n  Z   tan x  3   x   m 3     x   n 3  + Gợi ý cách giải Biến đổi: sin x tan x  1  tan 2 x  3 cos x sin 2 x.cos x * tan 2 x 3 cos x + Kinh nghiệm giảng dạy *. 4)4sin 3 x  3cos3 x  3sin x  sin 2 x cos x 0  cos x 0  x   k  k  Z  2 Ta có : không là nghiệm của phương trình 3 Chia 2 vế của PT cho cos x 0 ta được: tan 3 x  tan 2 x  3tan x  3 0.    x  4  k     x   l  k , l , m, Z   3    x   m  3 + Gợi ý cách giải Biến đổi: *sin2x = 2sinxcosx *sin 3 x 3sin x  4sin 3 x + Kinh nghiệm giảng dạy Đưa các biểu thức lượng giác theo cùng 1 cung.. 5)sin x  sin 2 x  sin 3x 6cos3 x  cos x 0  x   k  k  Z  2 Ta có : không là nghiệm của phương trình 3 Chia 2 vế của PT cho cos x 0 ta được:.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> tan 3 x  tan 2 x  3tan x  6 0   x arctan 2  k  tan x 2      tan x  3   x   l  k , l, m  Z   3  tan x  3     x   m 3  DẠNG 4:Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx: a(sinx +cosx) + bsinxcosx = c   t sin x  cos x  2 sin  x   , t  2 4  Phương pháp chung là đặt ẩn số phụ t2  1 sin x.cos x  2 .Giải phương trình tìm t thỏa điều kiện, sau đó giải phương trình Ta có:   2 sin  x   t 4  tìm x. Giải các phương trình sau: 1)3 sin x  cos x   2sin 2 x  3 0 2) 6(sinx – cosx) – sinxcosx = 6 3) 3(cotx – cosx) – 5(tanx –sinx) =2 sin x.cos x  sin x  cos x 1 4) cos x  5). 1 1  sin x  3 2 cos x sin x HƯỚNG DẪN. + Gợi ý cách giải Biến đổi sin2x = 2sinxcosx + Kinh nghiệm giảng dạy - Sau khi đặt t = sinx + cosx, giáo viên hướng dẫn hs bình phương 2 vế để suy ra sinx.cosx theo t. - Thay vì giải pt sinx + cosx = t, ta   2 sin  x   t 4  giải pt sẽ nhanh hơn.. TÓM TẮT LỜI GIẢI-ĐÁP SỐ 1)3  sin x  cos x   2sin 2 x  3 0 Đặt:   t sin x  cos x  2 sin  x   , t  2 4  2 t 1 sin x.cos x  2 Ta có phương trình:  t  1 2 2t  3t  1 0   1  t   2 Ta có:.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> + Gợi ý cách giải Phương trình phản xứng đối với sinx và cosx giải tương tự bài trên + Kinh nghiệm giảng dạy - Sau khi đặt t = sinx - cosx, giáo viên hướng dẫn hs bình phương 2 vế để suy ra sinx.cosx theo t. - Thay vì giải pt sinx - cosx = t, ta   2 sin  x   t 4  giải pt sẽ nhanh hơn.. + Gợi ý cách giải Biến đổi: sin x *tan x  cos x cos x *cot x  sin x Giải (1) bằng cách đặt t = sinx + cosx Giải (2) bằng cách chia 2 vế của phương trình cho cos x 0 + Kinh nghiệm giảng dạy Các em có thể khai triển vế trái dẫn đến pt phức tạp, hơn nữa số 2 không thể đặt nhân tử chung được. Giáo viên gợi ý 2 = 5 -3,rồi biến đổi mỗi số hạng để xuất hiện thừa số giống.    2 sin x     1  4      1  2 sin x      4 2     x   k 2  2   x   l 2    x    arcsin   2   m 2  k , l , m, n  Z    4   4     3 2 x   arcsin     n 2  4 4    2) 6(sinx – cosx) – sinxcosx = 6   t sin x  cos x  2 sin  x   , t  2 4  Đặt: 1 t2  sin x.cos x  2 Ta có phương trình:  t 1 t 2  12t  13 0    t  13 (loại) Nghiệm của phương trình là   x   k 2   k,l  Z  2   x   l 2 3) 3(cotx – cosx) – 5(tanx –sinx) =2 k x 2 Điều kiện: pt   sin x  cos x  sin x cos x   3cos x  5sin x  0  sin x  cos x  sin x cos x 0(1)   3cos x  5sin x 0(2)   1 2  k 2  x   arccos 4 2    1 2   x   arccos  l 2  k , l , m  Z  4 2  3  x  arctan  m  5 .

<span class='text_page_counter'>(19)</span> nhau. + Gợi ý cách giải Tương tự các bài trên + Kinh nghiệm giảng dạy Cần chú ý phần điều kiện.. 4). sin x.cos x  sin x  cos x 1.   t  sin x  cos x  2 sin  x   ,0 t  2 4  Đặt t2  1 sin x.cos x  2 Ta được t =1, t = -3 (loại) k x  ,(k  Z ) 2 Nghiệm của phương trình là: + Gợi ý cách giải 1 1 cos x   sin x  3 2 Biến đổi phương trình về dạng: cos x sin x 5)  sin x  cos x  sin x.cos x  sin x  cos x k x  ,k Z 2 3 2 sin x.cos x ĐK: + Kinh nghiệm giảng dạy   t sin x  cos x  2 sin  x   , t  2 Cần nhóm sinx + cosx và 4  Đặt: 1 1  t2  1 sin x cos x  sin x.cos x  2 Ta được phương trình: t  2  t 3  3 2t 2  t  3 2 0   t  2  5   t  2  5  l  Nghiệm của pt là:   x   k 2  4   x    arcsin  2  10   l 2  k , l , m  Z     4 2      2  10  3  x   arcsin    m2 4 2    DẠNG 5: Phương trình đưa về dạng tích Phương pháp chung là áp dụng hằng đẳng thức, sử dụng các công thức lượng giác biến đổi phương trình đưa về dạng tích. Giải các phương trình sau: 1) (2sinx - cosx)(1 + cosx) = sin2x. 2) cos3x + sin3x = cos2x. 1  cos 2 x 1  cos3 x  3 3) 1  cos 2 x 1  cos x 4) 2sin3x - cos2x + cosx = 0..

<span class='text_page_counter'>(20)</span> 5) sin5xsin4x+sin4xsin3x-sin2xsinx=0. 6)sin 2 x  2cos 2 x 1  sin x  4cos x 7) sin2x –cos2x+3sinx-cosx-1=0 8)sin 3x  cos3x  sin x  cos x  2 cos 2 x 9). sin x  sin 2 x  sin 3 x  3 cos x  cos 2 x  cos3 x. 2 10) (2sin x  1)(3cos 4 x  2sin x  4)  4cos x 3 sin 2 x 1  2cos x sin x  cos x 2.tan x 11) 2 3 3 12) tan x(1  sin x)  cos x  1 0. cos 2 x  cos x  1 2  1  sin x  sin x  cos x 13) 14) (1+tanx)(1+ sin2x) = 1+ tanx x x  x 15)1  sin .sin x  cos .sin 2 x 2cos 2    2 2  4 2 1 8  1  16)2cos x  cos 2    x    sin 2 x  3cos  x    sin 2 x 3 3 2 3  17) sin3x-3sin2x –cos2x +3sinx +3cosx-2=0 2 3tan 6 x  2 tan 2 x  cot 4 x sin8 x 18) cos 2 x 1 cot x  1   sin 2 x  sin 2 x 1  tan x 2 19) 2.  2sin 2 x 2     sin   x   2  1  cot x 2  4    1  sin x  cos 2 x  sin  x   1 4   cos x 1  tan x 2 21).  sin x  cos x  20). HƯỚNG DẪN + Gợi ý cách giải Biến đổi: sin2x = 1-cos2x= (1+cosx)(1-cosx).     sin  3 x   4  . TÓM TẮT LỜI GIẢI-ĐÁP SỐ 1) (2sinx - cosx)(1 + cosx) = sin2x.   2sin x  1  1  cos x  0.   x   k 2 Đặt 1 + cosx làm nhân tử chung   + Kinh nghiệm giảng dạy   x   l 2  k , l , m  Z   6 Học sinh có thể nhân các thừa số ở vế  5  x   m2 trái, giáo viên cần gợi ý các em trước 6 .

<span class='text_page_counter'>(21)</span> khi nhân cần lưu ý ở vế phải có thể phân tích sao cho có chứa thừa số ở vế trái. + Gợi ý cách giải 2) cos3x + sin3x = cos2x. cos2x = cos2x - sin2x   sin x  cos x   1  cos x   1  sin x  0 áp dụng hằng đẳng thức rồi đặt   sinx + cosx làm thừa số chung  x  4  k + Kinh nghiệm giảng dạy    x l 2  k ,l, m  Z  Tương tự bài 1.    x   m2 2  + Gợi ý cách giải 1  cos 2 x 1  cos3 x  Biến đổi: 1  cos 2 x 1  cos3 x 3) 3 3 1  cos x,1  cos x theo hằng đẳng thức cos x  1  *1  cos 2 x 2cos 2 x ĐK: cos 2 x  1 2 2 *1  cos 2 x 2sin x 2  1  cos x  PT   1  cos x    cos 2 x  cos x  1 0 2  1  cos x   1  cos x   + Kinh nghiệm giảng dạy  x k 2 3 3 1  cos x ,1  cos x  - Nhận thấy: có chứa. 1. 5.   x arccos  l 2  k , l , m  Z  thừa số 1-cosx và 1+ cosx nên hs biến  2 đổi các số hạng còn lại theo các thừa số  này.  x  arccos 1  5  m2 - Hs có thể sai ở chổ giải pt  2 1 5 cos x  2 + Gợi ý cách giải 4) 2sin3x - cos2x + cosx = 0. cos2x= 1 - 2sin2x và đặt cosx-1 làm thừa  cos x 1  số chung  2  sin x  cos x  sin x.cos x  1  1 0  1 Giải (1) bằng cách đặt  x k 2    t sin x  cos x  2 sin  x   , t  2   x    l  k , l  Z  4   4 2 t 1 sin x.cos x  2 + Kinh nghiệm giảng dạy Có nhiều cách biến đổi cos2x, hs cần lựa chọn công thức nào cho phù hợp để bài toán được giải quyết? + Gợi ý cách giải 5) sin5xsin4x+sin4xsin3x-sin2xsinx=0. Biến đổi tích thành tổng, sau đó biến đổi tổng thành tích đưa pt về dạng.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> sin5x(sin4x+sin2x)=0. + Kinh nghiệm giảng dạy - Các số hạng không có thừa số chung giống nhau, vì vậy hs chỉ có thể áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng. - Chỉ cần biến đổi số hạng thứ 2 và thứ 3 vì chúng xuất hiện sin5x. + Gợi ý cách giải Biến đổi: *sin 2 x 2sin x.cos x *cos 2 x 2cos 2 x  1 *4cos 2 x  1  2cos x  1  2cos x  1 Đặt 2cosx-1 làm nhân tử chung. + Kinh nghiệm giảng dạy - Vì sin2x – sinx = sinx( 2cosx – 1) nên ta đưa cos2x theo cosx - Học sinh có thể biến đổi 4cos 2 x  4cos x  3 bằng cách tìm nghiệm và phân tích thành tích. + Gợi ý cách giải Biến đổi: *cos 2 x 1  2sin 2 x *sin 2 x 2sin x.cos x Nhóm các số hạng thích hợp để xuất hiện thừa số 2sinx – 1 + Kinh nghiệm giảng dạy 2 Biến đổi 2sin x  3sin x  2 bằng cách tìm nghiệm và phân tích thành tích + Gợi ý cách giải Biến đổi tổng thành tích: sin3x –sinx và cos3x+cosx + Kinh nghiệm giảng dạy Nhận thấy sin3x –sinx và cos3x+cosx đều chứa thừa số cos2x nên ta không cần biến đổi cos2x..   x  k  5     x l  k ,l, m  Z   3   x   m  2 6)sin 2 x  2cos 2 x 1  sin x  4cos x   2cos x  1  sin x  2cos x  3 0.   x   k 2  3   k,l  Z   x    l 2  3. 7) sin2x –cos2x+3sinx-cosx-1=0   2sin x  1  sin x  cos x  2  0 1  sin x  2   x   k 2  6   k,l  Z  5   x   l 2  6 8)sin 3 x  cos3 x  sin x  cos x  2 cos 2 x. .  cos 2 x 2sin x  2cos x . . 2 0.  cos 2 x 0   cos  x    1  4 2      x 4  k 2  7   x   l 2  k , l , m  Z   12    x   m2  12.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> + Gợi ý cách giải Biến đổi: sinx+ sin3x và cosx+ cos3x thành tích + Kinh nghiệm giảng dạy Để bài toán đơn giản, hs có thể biến đổi tử thức và mẫu thức rồi rút gọn những thừa số giống nhau.. + Gợi ý cách giải Biến đổi: 3  4cos 2 x 4sin 2 x  1. sin x  sin 2 x  sin 3 x  3 cos x  cos 2 x  cos3 x ĐK: cos x  cos 2 x  cos3 x 0 sin 2 x  2cos x  1 PT   3 cos 2 x  2cos x  1 9).  tan 2 x  3    x   k , k  Z  6 2 2 10) (2sin x  1)(3cos 4 x  2sin x  4)  4cos x 3   2sin x  1  3cos 4 x  3  0.  2sin x  1  2sin x  1 Đặt 2sinx+1 làm nhân tử chung. + Kinh nghiệm giảng dạy Trước tiên cần gợi ý hs biến đổi 3  4cos 2 x xem có chứa các thứa số của số hạng còn lại không?.   x   k 2  6  7   x   l 2  k , l , m  Z   6    x m 2 . + Gợi ý cách giải Biến đổi:. sin 2 x 1  2cos x 2.tan x 11) sin x  cos x sin x 0  cos x 0 sin x  cos x 0 ĐK: . *sin2x = 2sinx.cosx sin x *tan x  cos x.   *sin x  cos x  2 sin  x   4  + Kinh nghiệm giảng dạy Học sinh có thể sai lầm ở chổ chỉ đặt điều kiện cho các mẫu thức khác 0 mà quên đặt điều kiện cho tanx có nghĩa, hoặc chỉ đặt điều kiện sin x 0  cos x 0. + Gợi ý cách giải 3 Áp dụng hằng đẳng thức cho cos x  1 Biến đổi:. cos x 2sin x.cos x   2cos x 0 2 sin x sin x  cos x cos x 2cos 2 x   0 2 sin x sin x  cos x      cos x  sin  x    sin 2 x  0 4       sin 2 x sin  x   4   2  x  k , k  Z  4 3 2 3 3 12) tan x(1  sin x)  cos x  1 0 PT .

<span class='text_page_counter'>(24)</span> sin 2 x 1  cos 2 x tan x  2  cos x cos 2 x  1  cos x   1  cos x   cos 2 x + Kinh nghiệm giảng dạy 3 Vì cos x  1 có chứa thừa số cosx -1 nên ta biến đổi số hạng còn lại theo cosx - 1 2. + Gợi ý cách giải Biến đổi: cos 2 x 1  sin 2 x  1  sin x   1  sin x  + Kinh nghiệm giảng dạy Sau khi bỏ mẫu thức học sinh có thể nhân phân phối các thừa số dẫn đến bài toán phức tạp, giáo viên gợi ý hs biến đổi các số hạng làm xuất hiện thừa số giống nhau. + Gợi ý cách giải Đặt 1+tanx làm thừa số chung + Kinh nghiệm giảng dạy Không nên biến đổi tanx theo sinx và cosx vì bài toán sẽ phức tạp hơn..  x   k 2 Điều kiện: PT   1  cos x   sin x  cos x   sin x  cos x  sin x.cos x  0.  x k 2    x   l 4    k , l , m, n  Z   2 2  x   arcsin  m2 4 2   3 2 2  x   arcsin  n 2  4 2 cos 2 x  cos x  1 2  1  sin x  sin x  cos x 13) ĐK: sin x  cos x 0 PT   1  sin x   1  cos x  0.   x   k 2   k,l  Z  2   x   l 2. 14) (1+tanx)(1+ sin2x) = 1+ tanx  x   k , k  Z 2 ĐK:  tan x  1 Pt    sin 2 x 0.   x   k    k,l  Z  4   x l + Gợi ý cách giải x x  x 15)1  sin .sin x  cos .sin 2 x 2cos 2    Biến đổi: 2 2  4 2  x   x  x x  2cos 2    1  cos   x  1  sin x   sin x  sin  1  2sin 2  2sin  1  0  4 2 2  2  2 2   Đặt sinx làm thừa số chung, sau đó tiếp  x k ,  k  Z  tục biến đổi:.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> x x x cos sin x 2cos 2 sin 2 2 2 x x 2sin  1  sin 2  2 2 x x  x 2sin  1  sin   1  sin  2 2  2 + Kinh nghiệm giảng dạy Sau khi biến đổi:  x   2cos 2    1  cos   x  1  sin x  4 2 2  Ta biến đổicác số hạng còn lại xuất hiện thừa số sinx. + Gợi ý cách giải 1 16)2cos x  cos 2    x  Biến đổi: 3 *cos 2    x  cos 2 x 1  sin 2 x 8  1 2    sin 2 x  3cos x     sin x + Kinh nghiệm giảng dạy 3 2 3  - Nhóm các số hạng sao cho xuất hiện   1  sin x   6cos x  2sin x  7  0 thừa số 1-sinx 2  - Phân tích 2sin x  9sin x  7 thành  x   k 2 , k  Z 2 tích bằng cách tìm nghiệm. + Gợi ý cách giải Biến đổi: *sin 3 x 3sin x  4sin 3 x 17) sin3x-3sin2x –cos2x +3sinx +3cosx-2=0 *cos 2 x 2cos 2 x  1   2sin x  1  2cos 2 x  3cos x  1 0 *sin 2 x 2sin x.cos x   Nhóm các số hạng sao cho xuất hiện x   k 2  6 thừa số 2sinx – 1  + Kinh nghiệm giảng dạy  x 5  l 2  Không áp dụng được công thức biến đổi 6  tổng thành tích do đó ta biến đổi các số    x   m 2  k , l , m, n, t  Z  hạng theo sinx và cosx rồi đưa về 3  phương trình tích.    x   n 2 3   x t 2  . + Gợi ý cách giải 2 tan 4 x  cot 4 x Biến đổi: sin8 x Áp dụng công thức tana – tanb + Kinh nghiệm giảng dạy -Sau khi biến đổi về dạng : 3tan6x -4tanx -2tan2x = 0 muốn biến. 2 2 tan 2 x  cot 4 x sin8 x 18) cos6 x 0  sin8 x 0 ĐK:  3tan 6 x .

<span class='text_page_counter'>(26)</span> đổi tổng thành tích thì ta phải nhóm các số hạng có cùng hệ số, vì vậy cần phân tích 3tan6x =2tan6x + tan6x - Nếu biến đổi tang theo sin và co6sin ngay từ đầu thì bài toán rất phức tạp. - Học sinh có thể loại sin2x = 0 theo điều kiện sin8x 0 mà không cần giải đến nghiệm.. + Gợi ý cách giải Biến đổi: sin x cos x *tan x  ,cot x  cos x sin x *cos 2 x  cos x  sin x   cos x  sin x  1 *sin x.cos x  sin 2 x 2 1  cos 2 x *sin 2 x  2 + Kinh nghiệm giảng dạy Nhận xét các số hạng đều có chứa thừa số cosx – sinx nên ta đặt cosx – sinx làm nhân tử chung trước khi qui đồng bỏ mẫu. + Gợi ý cách giải Biến đổi: 1 sin 2 x 2 * sin x  cos x   2sin 2 x *1  cot 2 x . PT  2  tan 6 x  tan 2 x   tan 6 x  tan 4 x 0 sin 4 x sin 2 x  0 cos6 x.cos 2 x cos6 x.cos 4 x sin 2 x  1   4  0 cos6 x  cos 4 x   sin 2 x 0  1  cos 4 x   4 1    1  x  4 arccos   4   k 2     k,l  Z   1  1   x  4 arccos   4   l 2    2. cos 2 x 1 cot x  1   sin 2 x  sin 2 x 1  tan x 2 19) sin 2 x 0  sin x  cos x 0 ĐK  PT cos x  sin x cos 2 x.cos x    sin 2 x  sin x.cos x sin x cos x  sin x   cos x  sin x   sin x.cos x  sin 2 x  1 0.   cos x  sin x   sin 2 x  cos 2 x  3 0   x   k ,  k  Z  4.  sin x  cos x  20). 2.  2sin 2 x  1  cot 2 x 2       sin   x    sin  3x    2  4 4    ĐK: sin x 0.   pt   cos 2 x  sin 2 x  sin 2 x  2 cos   2 x  sin x 4     cos   2 x   sin x  1 0 4  3  + Kinh nghiệm giảng dạy  x   k  Sau khi biến đổi vế phải có chứa thừa số 8 2   k,l  Z   x   l 2  2 sin 2 x  1  2sin 2 x sin 2 x  cos 2 x Vế phải biến đổi tổng thành tích.

<span class='text_page_counter'>(27)</span>     2 cos   2 x  2 cos   2 x  4  theo 4  Tức là biến đổi theo sin2x + cos2x.  1  sin x  cos 2 x  sin  x . + Gợi ý cách giải  * 2 sin(x + 4 ) = sinx + cosx. sin x *tan x  cos x 2 * cos 2 x 1  2sin x + Kinh nghiệm giảng dạy Nếu học sinh thấy được mối quan hệ  2 sin(x + 4 ) = sinx + cosx thì bài toán. sẽ được giải quyết dể dàng.. . 21).   4. 1  tan x. . 1 cos x 2.    x  4  k  k,l  Z    x    l ĐK:  2. PT .  1  sin x  cos 2 x   sin x  cos x  cos x. sin x  cos x cos x  cos x  1  sin x  cos 2 x  cos x  1  sin x  cos 2 x 0   2sin 2 x  sin x  1 0.   x   m2  6  m, n  Z   7   x   n2  6 Vậy nghiệm của phương trình là:  sin x 1  1  sin x   2.   x   m2  6  m, n  Z   7  x  n 2  6. DẠNG 6: Một số phương trình dạng khác Phương pháp chung là nhận xét giá trị của các biểu thức chứa trong phương trình.  A 0 sin f  x  1, cos f  x  1, A2  B 2 0    B 0 Chú ý: Giải các phương trình sau: 3 1)sin x + sinxcos4x+cos 4x = 4 . 2. 2. 2) 4cos2x + 3tan2x-4 3 cosx+2 3 tanx+4=0 3) cos22x.cosx =-1. 4) sinx+cosx= 2 (2-sin3x)..

<span class='text_page_counter'>(28)</span> 2. 5) (cos 4 x  cos 2 x ) 5  sin 3 x. 6)sin 3 x(cos x  2sin 3 x)  cos3 x(1  sin x  2cos3 x) 0 3 7) cos 2 x  cos 6 x  4(3sin x  4sin x  1) 0 8)(sin 3. x 1 2 x 1 2 81 2  )  (cos3  )  cos 4 x 2 sin 3 x 2 cos3 x 4 2 2 HƯỚNG DẪN. TÓM TẮT LỜI GIẢI-ĐÁP SỐ. + Gợi ý cách giải Đưa pt về dạng. 3 1) sin x + sinxcos4x+cos 4x = 4 .. 1 3 2 (sinx + 2 cos4x) = 4 sin24x.. 1  sin x  cos 4 x 0  2 sin 4 x 0 Phương trình vô nghiệm. + Kinh nghiệm giảng dạy Thêm, bớt các số hạng để đưa về dạng hằng đẳng thức, tuy nhiên hs thường thêm sinx.cosx nên các số hạng còn lại không thể đưa theo hằng đẳng thức. + Gợi ý cách giải Đưa về dạng A2+B2=0.. 2. 2. 2) 4cos2x + 3tan2x-4 3 cosx+2 3 tanx+4=0  (2cosx -. 3 )2 +( 3 tanx + 1)2=0.. + Kinh nghiệm giảng dạy 2 2cos x  3 0 - Nhóm các số hạng có dạng a  2ab  - Hướng dẫn hs biểu diển các họ nghiệm  3 tan x  1 0 trên đường tròn lượng giác để kết luận   nghiệm.   x  6  k 2        x   l 2  x   l 2 , l  Z 6 6      x   m 6  2 + Gợi ý cách giải 3) cos 2x.cosx =-1. cos x 1 cos 2 2 x 1 2 Pt   Chú ý: 0 cos x 1 cos x  1 + Kinh nghiệm giảng dạy   x k  Phương trình có dạng tích của những      x   l  x   m2 , m  Z 2  thừa số chứa sin f  x  và cos g  x  bằng  x   m 2 1 hoặc -1 thì có thể giải theo phương pháp trên..

<span class='text_page_counter'>(29)</span> + Gợi ý cách giải. 4) sinx+cosx= 2 (2-sin3x).. sin x  cos x  2   2  2  sin 3x   2 2 (2-sin3x)  2 (vì 2-sin3x1)   + Kinh nghiệm giảng dạy  x  4  k 2 Nhận xét giá trị ở 2 vế của phương trình.    x   l 2  6 3 Phương trình vô nghiệm. 2 + Gợi ý cách giải 5) (cos 4 x  cos 2 x ) 5  sin 3 x VT4; VP 4.  sin 3x 1 + Kinh nghiệm giảng dạy (1)  cos 4 x  cos 2 x  2 Nhận xét giá trị ở 2 vế của phương trình    sin 3x 1  (2)  cos 4 x  cos 2 x  2  Ta có sinx+cosx= 2 sin(x+ 4 )  2.  2    x  6  k 3    x   l 2       x   m 2  6 3  2  2cos 2 x  cos 2 x  1 0( ptvn) 3  n2 , n  Z 2 6)sin 3 x(cos x  2sin 3 x)  cos3 x(1  sin x  2cos3 x) 0  sin 4 x  cos3 x 2 sin 4 x 1  cos3 x 1    x  k   8 2   x l 2  3  Phương trình vô nghiệm  x. + Gợi ý cách giải Biến đổi : sin3x.cosx + sinxcos3x = sin4x + Kinh nghiệm giảng dạy -Vì các số hạng không thể biến đổi để xuất hiện các thừa số giống nhau nên ta khai triển các số hạng , sau đó thu gọn theo công thức cộng. - Nhận thấy VT 2 nên phương trình được nghiệm đúng khi VT = 2. + Gợi ý cách giải Chú ý 3sinx-4sin3x=sin3x cos 6 x 1  2sin 2 3 x. rồi đưa PT về dạng A2+B2=0. + Kinh nghiệm giảng dạy. 3. 7) cos 2 x  cos 6 x  4(3sin x  4sin x  1) 0 2.  cos 2 x   sin 3 x  1 0.

<span class='text_page_counter'>(30)</span> Sau khi biến đổi nhận thấy các số hạng có dạng hằng đẳng thức vì vậy ta đưa PT về dạng A2+B2=0. + Gợi ý cách giải 3 64 81 6 VT=4+(1- 4 sin2x)(1+ s in x ) 4 81 VP  4. + Kinh nghiệm giảng dạy - Học sinh có thể sai lầm ở chỗ dùng BĐT Côsi dẫn đến VT  8 và kết luận phương trình vô nghiệm. -Giáo viên gợi ý hs đưa giả thiết theo sinx bằng cách áp dụng công thức sin 6.   x   k   2   x   m 2 , m  Z 2  x   l 2  2 3 x 1 2 x 1 2 8)(sin 3  )  (cos 3  ) 2 sin 3 x 2 cos3 x 2 2 81  cos 2 4 x 4 64  81  3   4   1  sin 2 x   1  6   cos 2 4 x  4   sin x  4   sin 2 x 1  x   k ,  k  Z  2. x x 3  cos 6 1  sin 2 x 2 2 4 và. 1 sin x 64 DẠNG 7: Nhận dạng tam giác Phương pháp chung là dựa vào giả thiết đã cho giải tìm các góc của tam giác, từ đó xác định đặc tính của tam giác. Chú ý đối với tam giác ABC , gọi A,B,C là số đo 3 góc của tam giác, a,b,c lần lượt là số đo 3 cạnh tương ứng Ta có: A + B + C = 1800 (số đo các góc đều dương). Nhận dạng tam giác thỏa điều kiện sau: ( Giả sử các biểu thức đã cho có nghĩa) sin B  sin C 1)sinA= cos B  cos C b c a   2) cos B cos C sin B.sin C a 2  b 2  sin  A  B   a 2  b 2  sin  A  B   3) sin 6 x.cos6 x . AB 4) atanB +btanA= (a+b)tan 2. 5). 6). c 2 sin 2 A  a 2 sin 2C b 2 cot. B 2. 2a  c 1  cos B (1)  sin B  2 2 4 a  c  a 2  b  c  a  b3  c 3  a 3 (2) . sin A  sin B  sin C  3 7) cos A  cosB  cos C.

<span class='text_page_counter'>(31)</span> 8) 2(acosA +bcosB +ccosC) = a+b+c 9 sin 2 A  sin 2 B  2sin A sin B   3cos C  cos 2 C 4 9) a cos A  b cos B  c cos C 2 P  a sin B  b sin C  c sin A 9R 10) ( P là nửa chu vi, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC). HƯỚNG DẪN + Gợi ý cách giải. TÓM TẮT LỜI GIẢI- ĐÁP SỐ. sin B  sin C 1) sinA= cos B  cos C Biến đổi tổng thành tích B C B C 2sin cos + Kinh nghiệm giảng dạy 2 2 Cần lưu ý A, B, C là 3 góc của  sin A  B C B C 2cos cos một tam giác nên ta có: 2 2 B C A cos 0 cos 0 A A 2 2  sin A.sin cos và 2 2 A A A  2sin 2 cos  cos 0 2 2 2 A 2  sin  2 2 0  A 90 Vậy tam giác ABC vuông tại A + Gợi ý cách giải b c a   Đưa a,b,c theo sinA , sinB và 2) cos B cos C sin B.sin C sinC sin B sin C sin A    sinB.cosC + sinC.cosB= cos B cos C sin B.sin C sin(B+C) = sinA 1 1   + Kinh nghiệm giảng dạy  sin A    0 Trong giả thiết có chứa cạnh  cos B.cos C sin B.sin C  và góc của tam giác thì ta áp  cos B.cos C  sin B.sin C 0 dụng định lí sin để đưa chúng  cos( B  C ) 0 theo cùng1 đại lượng là góc  B  C 900 (hoặc cạnh) của tam giác. Thông thường ta nên dưa giả thiết theo góc của tam giác vì Vậy tam giác ABC vuông tại A nó có nhiều công thức biến đổi hơn. + Gợi ý cách giải  a 2  b 2  sin  A  B   a 2  b 2  sin  A  B  3) Đưa a,b theo sinA và sinB  sin 2 A  sin  A  B   sin  A  B   Biến đổi tổng thành tích + Kinh nghiệm giảng dạy sin 2 B  sin  A  B   sin  A  B   Học sinh có thể thiếu nghiệm  sin A.sin B  sin 2 A  sin 2 B  0 A + B = 900.

<span class='text_page_counter'>(32)</span>  sin 2 A sin 2 B  A B  0  A  B 90 Vậy tam giác ABC vuông hoặc cân tại C + Gợi ý cách giải Đưa a,b theo sinA và sinB Biến đổi tổng thành tích 2sinA.cosA= sin2A + Kinh nghiệm giảng dạy Học sinh cần nắm công thức biến đổi tổng thành tích của tang để lời giải ngắn gọn hơn.. A B 4) atanB +btanA= (a+b)tan 2. A B  A B     a  tan B  tan  tan A   b  tan 2  2    AB AB     sin A  tan B  tan  tan A   sin B  tan 2  2    B A B A sin sin 2 2  sin A sin B AB AB cos B cos cos A cos 2 2 B A sin 2  sin A  sin B  0  A  B  cos B cos A  cos 2 B A  sin 0  A B  2   0  sin 2 A  sin 2 B 0  A  B 90 Vậy tam giác ABC vuông hoặc cân tại C B c 2 sin 2 A  a 2 sin 2C b 2 cot 2 5)  2sin 2 C.sin A.cos A  2sin 2 A.sin C.cos C B B B 4sin cos 2 cos 2 2 2 B  2sin A sin C sin  A  C   2sin B cos 2 0 2  cos  A  C   cos B 1  cos B. + Gợi ý cách giải Đưa a,b,c theo sinA, sinB, sinC và côtang theo sin và côsin sin2A =2 sinA.cosA B B sin B 2sin cos 2 2 sinA.cosC + sinC.cosA= sin(A +C) = sinB 2sin A.sin C   cos( A  C ) 1 cos( A  C )  cos( A  C )  A  C 0 B 2cos 2 1  cos B  A C 2 Vậy tam giác ABC cân tại B + Kinh nghiệm giảng dạy B Cần đưa góc 2 theo góc B để biến đổi chúng theo A và C..

<span class='text_page_counter'>(33)</span> + Gợi ý cách giải sin 2 B 1  cos 2 B  1  cos B   1  cos B  4a 2  c 2  2a  c   2a  c  + Kinh nghiệm giảng dạy 2 2 Nhận thấy 4a  c không thể lấy căn bậc 2 vì vậy ta bình phương 2 vế của (1). 2a  c 1  cos B (1)  sin B  2 2 4 a  c  a 2  b  c  a  b3  c 3  a 3 (2) . 6) Bình phương 2 vế pt (1) Đưa a,c theo sinA,sinC ta được 1  cos B 2sin A  sin C  1  cos B 2sin A  sin C  2sin A cos B  sin  A  B  0  2sin A cos B  sin A cos B  sin B cos A 0  sin A cos B  sin B cos A 0  sin  A  B  0. + Gợi ý cách giải Ta có: A  B  C  AB  C    2 2 2 AB   C     2 3 6 2 + Kinh nghiệm giảng dạy Cần bám sát giả thiết: A  B  C  để chuyển đổi qua lại các đại lượng chứa góc A, B theo góc C..  A B  a b Thay a = b vào (2) ta được a=c Vậy tam giác ABC là tam giác đều sin A  sin B  sin C  3 cos A  cosB  cos C 7)  sin A . 3 cos A  sin B . 3 cos B  sin C .        2sin  A    2sin  B    2sin  C   0 3 3 3    A B   AB     4sin    cos  2sin  C   0 3 2 3  2  A B  C C   C    4sin    cos  4sin    cos    0 2 6 2  2 6  2 6   sin   6 A  sin   2. C  A B  A  B    cos     0   cos 2  2 3   2    B   C    sin    sin    0 6  2 6  2 6.  A 600    B 600  C 600  Vậy tam giác ABC có ít nhất 1 góc bằng 600 + Gợi ý cách giải Đưa a,b,c theo sinA, sinB, sinC Hướng dẫn học sinh cm: *sin2A+sin2B+sin2C =4sinA.sinB.sinC. 3 cos C 0. 8) 2(acosA +bcosB +ccosC) = a+b+c.

<span class='text_page_counter'>(34)</span> sin A  sin B  sin C A B C 4cos cos cos 2 2 2 B C A sin 2 2 + Kinh nghiệm giảng dạy Học sinh cần thuộc các công thức trên để dể dàng tìm được cách giải bài toán cos. + Gợi ý cách giải Lấy căn bậc 2 ở 2 vế Biến đổi tổng thành tích C cos C 2cos2  1 2 A B A B 1  cos2 sin 2 2 2 + Kinh nghiệm giảng dạy Sau khi biến đổi giả thiết thấy có chứa số hạng C A B cos 2 2 C 2cos 2 2 2cos. Gợi ý chúng ta đưa chúng về dạng hằng đẳng thức..  sin A sin B sin C cos. A B C cos cos 2 2 2. A B C sin sin 1 2 2 2 A B C A B C  4sin cos  4sin cos 1 2 2 2 2 A A B C 1  sin 2  sin cos  0 2 2 2 4 2 A 1 B C 1 2 B C    sin  cos 0   sin 2 2 2  4 2   8sin. B C  A 1 sin  cos 0  2 2 2  sin B  C 0  2  B C  0  A 60 Vậy tam giác ABC là tam giác đều 9 sin 2 A  sin 2 B  2sin A sin B   3cos C  cos 2 C 4 9) 3  sin A  sin B cos C  2 C A B C 3  2cos cos 2cos 2  1  2 2 2 2 2. 2. C 1 A B  1 A B    cos  cos    sin  0 2 2 2  2 2   A B  C 1 cos  cos 0  1  2 2 2   1 sin A  B 0  2   2 2  2   A B Thay vào (1) ta được: C 1 cos   C 1200  A B 300 2 2 Vậy tam giác ABC có C=1200, A=B=300.

<span class='text_page_counter'>(35)</span> + Gợi ý cách giải Từ a b c   2 R sin A sin B sin C đưa a, b, c theo R và sinA, sinB, sinC sin2A+sin2B+sin2C =4sinA.sinB.sinC Đưa sinA, sinB, sinC theo a, b, c và R + Kinh nghiệm giảng dạy Đưa giả thiết theo sinA, sinB và sinC rồi từ đó dùng định lí sin đưa chúng theo các cạnh của tam giác.. a cos A  b cos B  c cos C 2P  a sin B  b sin C  c sin A 9R 10) R  2sin A cos A  2sin B cos B  2sin C cos C  2 P   a sin B  b sin C  c sin A 9R R  sin 2 A  sin 2 B  sin 2C  2 P   a sin B  b sin C  c sin A 9R R.4sin A sin B sin C 2P   a sin B  b sin C  c sin A 9 R abc a bc   ab  bc  ca 9 2. 2. 2.  b  a  c   c  b  a   a  b  c  0 a  c 0   b  a 0  a b c b  c 0  Vậy tam giác ABC là tam giác đều. V. Hiệu quả áp dụng: Sau khi thực hiện đề tài ôn luyện cho các em học sinh của trường trong các giờ dạy bồi yếu, bồi giỏi, luyện thi đại học, tôi thấy học sinh có tiến bộ hơn về giải bài toán lượng giác,các em có tích cực và hứng thú hơn khi học chuyên đề này. C.KẾT LUẬN I. Ý nghĩa của đề tài đối với công tác giảng dạy, học tập. Việc áp dụng đề tài này cho học sinh có ý nghĩa quan trọng nhằm giúp các em có kiến thức vững vàng hơn về môn lượng giác, từ đó các em có thái độ tích cực hơn trong học tập và giáo viên cũng có hứng thú hơn trong giảng dạy. II. Bài học kinh nghiệm, hướng phát triển: - Trong giảng dạy môn toán cần hệ thống và phân loại các dạng bài tập từ đó đưa ra phương pháp giải chung cho mỗi loại. - Học sinh ứng dụng kiến thức của đề tài để giải các bài tập có liên quan đến lượng giác ở các lớp trên. D.TÀI LIỆU THAM KHẢO: - Sách giáo khoa đại số và giải tích 11của Bộ giáo dục và đào tạo do Trần Văn Hạo chủ biên, xuất bản năm 2007. - Sách bài tâp đại số và giải tích 11 NC của nhà xuất bản GD do Nguyễn Huy Đoan chủ biên, xuất bản năm 2007. - Giới thiệu đề thi tuyển sinh ĐH và CĐ của nhà xuất bản trẻ doLê Anh Vũ chủ biên, xuất bản năm 1999. - 111 bài toán lượng giác của nhà xuất bản Đại học Quốc gia TP. Hồ Chí Minh do Phan Văn Hùng chủ biên, xuất bản năm 2001. - Một số đề thi đại học và cao đẳng của bộ giáo dục và đào tạo..

<span class='text_page_counter'>(36)</span> MỤC LỤC. Trang. A.Phần mở đầu I. Lí do chọn đề tài II. Mục đích và phương pháp nghiên cứu III. Giới hạn của đề tài IV. Kế hoạch thực hiện B.Phần nội dung I. Cơ sở lí luận II. Cơ sở thực tiển III.Thực trạng nghiên cứu IV. Các biện pháp giải quyết vấn đề V.Hiệu quả áp dụng C.KẾT LUẬN I. Ý nghĩa của đề tài đối với công tác giảng dạy, học tập. II. Khả năng áp dụng III. Bài học kinh nghiệm, hướng phát triển IV. Đề xuất, kiến nghị D.TÀI LIỆU THAM KHẢO. 1 1 1 1 2 2 2 2 35 35 35 36 36 36. Châu Thành, ngày 20 tháng 10 năm 2013 NGƯỜI VIẾT. NGUYỄN THỊ ÁNH SƯƠNG. DUYỆT CỦA BAN GIÁM HIỆU. DUYỆT CỦA TỔ TRƯỞNG. ĐOÀN CHÍ TRUNG.

<span class='text_page_counter'>(37)</span>