ON TAP HINH HOC KY II

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Bài 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AN và BM cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại D và E a) Chứng minh tứ giác ABMN nội tiếp đường tròn, xác định tâm I của đường tròn này. b) Chứng minh: CD = CE c) Chứng minh: MN // DE. 0   a) Ta có: AMB  ANB 90 (gt) Vì hai điểm M và N cùng nhìn đoạn AB dưới góc 90 0, nên tứ giác ABNM nội tiếp đường tròn đường kính AB, tâm của đường tròn này là trung điểm I của AB.. . . . b) Có: DAC EBC (2 góc cùng phụ với ACB )  D sdCE   s dC (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau)  CD = CE   c) Có BMN BAN (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BN của (I))  D BE  D BA (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BD của (O)) BMN BE  D  MN. Suy ra :. // DE (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau). Bài 2: Cho đường tròn (O, R) hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên cung AC . o. lấy điểm E sao cho AOE 60 ; ED cắt AB tại I a) Chứng minh tứ giác EIOC nội tiếp đường tròn b) Kẻ AH và BK vuông góc với CE. Chứng minh AH . KE = BK. HE c) Tính theo R diện tích hình quạt EOBC.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> o o   a) Xét tứ giác EIOC có IOC 90 (gt); DEC 90 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) =>.    IEC 90o , do đó IOC  IEC 90o  90o 180o. Vậy tứ giác EIOC nội tiếp đường tròn b) Ta có AB  CD (gt) => D là điểm chính giữa của ADB o  o  o    nên AED BED 45 => HEA 45 ; KEB 45 (góc nhội tiếp chắn BC ). o  o    Xét hai tam giác vuông AHE và BKE có: H K 90 ; HEA KEB 45 => AHE BKE. AH HE  => BK KE hay AH . KE = BK . HE AE  AOE 60o. c) Sđ . o. . o. o. o. Sđ BCE 180  sd AE 180  60 120 Diện tích hình quạt EOBC là:  R 2 .120o  R 2  o 3 (đvdt) S = 360 Bài 3: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R. Các đường cao AH và BK của tam giác cắt đường tròn tại D và E, AH cắt BK tại I. a) Chứng minh các tứ giác KIHC và AKHB nội tiếp đường tròn. b) Chứng minh tam giác IBD cân. c) Chứng minh  BIC =  BDC từ đó suy ra độ dài đường tròn ngoại tiếp  BIC theo R. d) Chứng minh CO  HK..   a) Tứ giác KIHC có IKC = IHC = 900 (gt)    IKC + IHC = 900 + 900 = 1800. Vậy tứ giác KIHC nội tiếp đường tròn đường kính IC.   Tứ giác AKHB có AKB = AHB = 900 (gt)  hai đỉnh H và K cùng nhìn AB dưới một góc vuông Vậy tứ giác AKHB nội tiếp đường tròn đường kính AB.   b) ADB = ACB (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB)      BID = ACB ( cùng bù HIK )  ADB = BID . Vậy  IBD cân tại B c) Xét  BIC và  BDC có. BC chung    IBD cân có BC là đường cao nên cũng là đường phân giác  IBC = DBC.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> IB = BD (vì  IBD cân tại B) Vậy  BIC =  BDC (c.g.c) Do đó đường tròn ngoại tiếp hai  BIC và  BDC đều bằng nhau Mà độ dài đường tròn ngoại tiếp  BDC bằng 2  R nên độ dài đường tròn ngoại tiếp  BIC bằng 2  R Bài 4: Từ 1 điểm A bên ngoài (O; R), vẽ tiếp tuyến AB (với B là tiếp điểm) và cát tuyến AMN đến đường tròn (O) (với M nằm giữa A, N). Gọi I là trung điểm của MN. a. Chứng minh tứ giác ABOI nội tiếp đường tròn  b. Tia phân giác của MBN cắt MN tại D, cắt đường tròn (O) tại K. Chứng minh AB = AD 0  c. Cho BNM 30 . Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi cung BM và dây BM 0  d. Cho BOM 90 . Tính thể tích hình nón được tạo thành khi quay BOM xung quanh cạnh OB.. B A. M 1 D. O I. N. K. a. C/m: Tứ giác ABOI nội tiếp: NI = IM (gt)   OIA 900  OBA 900 ( gt )   OBA   OIA 1800.  tứ giác ABOI nội tiếp đường tròn đường kính OA b. C/m: AB = AD    KM  NBK KBM (gt )  NK    D  sñ BM  sñ NK  sñ BK  1 2 2  D  KBA   ABD c©n t¹i A  AB = AD  1  sñ BK   KBA   2 S ShqOBM  SOBM  2.300 60 0 sñ BM. c. Gọi S là diện tích hình viên phân cần tìm. ShqOBM . .OB 2 .n .R 2 .n R 2    ñvdt  6 360 0 3600.

<span class='text_page_counter'>(4)</span>  0 BOM đều do OB = OM = R và BOM 60 OB 2 3 R 2 3   ñvdt  4 4 R 2 R 2 3 R 2 Svp    2  3 3  ñvdt  6 4 12 1 1 1 V  R 2 h  .R 2 .R  .R 3 3 3 3 d. Thể tích hình nón: (đvdt) SOBM . . . Bài 5: Cho đường tròn (O; R), đường kính BC. A là điểm bên ngoài đường tròn sao cho AB, AC cắt đường tròn (O) tại D, E (B, D, E, C cùng thuộc nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng BC) a/ Chứng minh AD.AB = AE.AC b/ Đường tròn ngoại tiếp  ABC cắt đường thẳng OA tại I (I khác A ), DE cắt AI tại F. Chứng minh tứ giác IFEC nội tiếp được đường tròn. c/ Trong trường hợp  ABC đều, tính diện tích hình quạt ODEC theo R. A D F E. O. B. C. I. 1   ABE ACD  sd DE A 2 a) Ta có ACD  ABE ( chung, ) AD AC    AD.AB AE.AC AE AB   b) Ta có CIF CBA (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)    CBA DEA DEA. (tứ giác BDEC nội tiếp,. . là góc ngoài). . Suy ra CIF DEA Nên tứ giác IFEC nội tiếp 0  c) ABC đều  ABC 60. . . 0. . nên sđ DEC 2ABC 120 (ABC là góc nội tiếp) Diện tích hình quạt DOCE : R 2 n R 2 120 R 2 S   360 360 3 (đvdt).

<span class='text_page_counter'>(5)</span>