giao an boi duong HSG toan 8 I

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (202.08 KB, 24 trang )

(1)Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8 TiÕt 1-2-3-4 Chuyên đề 1:. phÐp nh©n vµ phÐp chia ®a thøc. D¹ng tæng qu¸t: Phép nhân đơn thức với đa thức,đa thức với da thức: A(B+C) = A.B +A.C ( A + B)( C+ D ) = A . C + A . D + B . C + B . D Bµi to¸n 1:. C¸c bµi to¸n vËn dông: Cho biÓu thøc: M = 3 (2+ 1 )− 1 ⋅ 432 229. a) Bằng cách đặt. 433. 229 433. 4 229 ⋅433. 1 1 =a , =b , h·y rót gän biÓu thøc M theo 229 433. a. vµ. b. b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc M. Gi¶i: a) M = 3 a(2=b)− a(1 − b) − 4 ab=5 a b) M = 5 a=5 ⋅ 1 = 5 229. Bµi to¸n 2:. 229. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A= x 5 −5 x 4 +5 x 3 − 5 x2 +5 x − 1. víi x= 4. Gi¶i:. C¸ch 1. Thay x=4 , ta cã A = 4 ❑5 -5.4 ❑4 +5.4 ❑3 -5.4 ❑2 +5.4-1 = 4 ❑5 -(4+1).4 ❑4 +(4+1).4 ❑3 -(4+1)4 ❑2 + (4+1).4-1 = 4-1 =3 C¸ch 2: Thay 5 bëi x+ 1 , ta cã: A = x 5 −( x +1) x 4 +(x +1)x 3 −( x+1) x 2 +(x +1)x −1 = x 5 − x 5 + x 4 − x 4 + x 3 − x 3 − x ❑2 + x 2+ x −1 = x −1 = 3.. NhËn xÐt: Khi tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc, ta thêng thay ch÷ b»ng sè.Nhng ë vÝ dô 1 vµ ë c¸ch 2 cña vÝ dô 2, ta l¹i thay sè b»ng ch÷. Bµi to¸n 3: biÕt r»ng Gi¶i: 2. Chứng minh hằng đẳng thức (x − a)(x − b)+( x − b)( x − c)+(x − c)( x −a)=ab+ bc+ca − x 2 2 x =a+b+ c. Biến đổi vế trái ta đợc: 2. 2. 2. x − bx − ·+ ab+ x − cx − bx + bc+ x − cx+ ab=3 x − 2 x (a+ b+c )+(ab +bc +ca). Thay a+b +c bởi 2 x đợc vế trái bằng − x 2 +ab+ bc+ca , bằng vế phải.. bµi tËp: Bµi tËp 1: Rót gän bÓu thøc.

(2) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8 2 y − x − {2 x − y − [ y +3 x −(5 y − x) ] } Víi x=a 2+2 ab+ b2 , y =a2 −2 ab+b 2 .. Bµi tËp 2:. a)Chøng minh r»ng 210+ 211 +212 chia hÕt cho 7 b) ViÕt 7.32 thµnh tæng cña ba luü thõa c¬ sè 2 víi c¸c sè mò lµ ba sè tù nhiªn liªn tiÕp Bµi tËp 3:. TÝnh. 1 1 4 upload.123doc.net 5 8 3 ⋅ − ⋅5 − + 117 119 117 119 117 ⋅upload.123doc.net 39. Bµi tËp 4:. Chứng minh hằng đẳng thức: ( (a2 +b 2+ c 2 − ab− bc −ca )(a+b+ c)=a( a2 − bc)+b (b2 −ca )+ c (c 2 − ab). Bµi tËp 5: Rót gän biÓu thøc ( x+a)( x+b)(x+ c) biÓu r»ng a+b +c=6, ab+ bc+ ca=−7, abc=−60. TiÕt 5-6-7-8 Chuyên đề 2:. các hằng đẳng thức đáng nhớ Ngoài bảy hằng đẳng thức quen thộc,h/s cần biết đến các hằng đẳng thức mở réng. từ đẳng thức (1) ta suy ra: 2. 2. 2. 2. a+b +c ¿ =a + b + c + 2ab+ 2 bc+2 ca ¿. Më réng:. a1 +a 2+. . .. .. . .. .. a n ¿2 =a1 +a2 +. .. .. . .. .. . ..+ an −1 +an +2 a1 a2 +. .. .. . .. .. .+2 an − 1 a n ¿ 2. 2. 2. 2. Tæng qu¸t: n. n. a+b ¿ =B(a )+ b =B(b) +a ¿. n. C¸c vÝ dô : VÝ dô 1: Gi¶i. Cho x+y=9 ; xy=14. TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau: a) x-y ; b) x ❑2 +y ❑2 ; c)x ❑3 +y ❑3 .. a) (x-y) ❑2 =x ❑2 -2xy+y ❑2 =x ❑2 +2xy+y ❑2 -4xy=(x+y) ❑ -4xy=9 ❑2 -4.14=25=5 ❑2 2.

(3) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8 suy ra x-y = ± 5 b) (x+y) ❑2 =x ❑2 +y ❑2 +2xy suy ra x ❑2 +y ❑2 =(x+y) ❑2 -2xy = 9 ❑2 -2.14 = 53 c) (x+y) ❑3 = x ❑3 +y ❑3 +3x ❑2 y+3xy ❑2 = x ❑3 +y ❑3 +3xy(x+y) suy ra x ❑3 +y ❑3 =(x+y) ❑3 -3xy(x+y) =9 ❑3 -3.14.9. = 351. NhËn xÐt: 1. Hai số có bình phơng bằng nhau thì chúng đối nhau hoặc bằng nhau.Ngợc lại , hai số đối nhau hoặc bằng nhau có bình phơng bằng nhau. ( A – B) ❑2 = ( B – A ) ❑2 2. §Ó tiÖn sö dông ta cßn viÕt: ( A + B) ❑3 = A ❑3 + B ❑❑ + 3AB(A+B) 3. VÝ dô 3:. ( A – B) ❑3 = A ❑3 - B ❑3 - 3AB(A-B ) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : A = (x + 3y – 5) ❑2 - 6xy + 26. Gi¶i : A = x ❑2 + 9y ❑2 + 25 + 6xy – 10x -30y – 6xy + 26 = ( x ❑2 - 10x + 25) + ( 9y ❑2 - 30y + 25 ) + 1 = ( x -5) ❑2 + ( 3y-5) ❑2 + 1 V× (x-5) ❑2 0 (dÊu “ =” x¶y ra ⇔ x=5 ); (3y-5) ❑2 0 (dÊu 5 “=” x¶y ra ⇔ y= ) nên A 1.Do đó GTNN của a =1 (khi và chỉ khi x=5 ; 3. y ¿ 5 ). 3 Ta viÕt min A = 1. NhËn xÐt : 1. Các hằng đẳng thức đợc vận dụng theo hai chiều ngợc nhau. Ch¼ng h¹n: (A – B ) ❑2 = A ❑2 - 2AB + B ❑2 hoÆc ngîc l¹i 2. Bình phơng của mọi số đều không âm : ( A – B ) ❑2 0 (dÊu “ =” x¶y ra ⇔ A = B). VÝ dô 4: Cho ®a thøc 2x ❑2 - 5x +3.ViÕt ®a thøc trªn díi d¹ng mét đa thức của biến y trong đó y =x+ 1. Giải: thay x bởi y-1, ta đợc :. VÝ dô 5:. Gi¶i:. 1x ❑2 - 5x +3 = 2( y – 1) ❑2 - 5( y-1 ) + 3 = 2 ( y ❑2 - 2y + 1) – 5y + 3 + 5 = 2y ❑2 - 9y + 10 Sè nµo lín h¬n trong hai sè A vµ B ? A = (2+1)(2 ❑2 +1)(2 ❑4 +1)(2 ❑8 +1)(2 ❑16 +1) B = 2 ❑32 .. Nhân hai vế của A với 2-1, ta đợc : A = (2-1)(2+1)(2 ❑2 +1)(2 ❑4 +1)(2 ❑8 +1)(2 ❑16 +1). áp dụng hằng đẳng thức (a+b)(a-b) = a ❑2 - b ❑2 nhiều lần, ta đợc:.

(4) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8 A = 2 ❑32 -1. VËy A < B.. VÝ dô 6: Gi¶i :. Rót gän biÓu thøc : A = (a + b + c) ❑3 + (a - b – c) ❑3 -6a(b + c) ❑2 .. A = [a + (b + c)] ❑3 + [a – (b + c)] ❑3 - 6a(b + c ) ❑2 = a ❑3 + 3a ❑2 (b + c) + 3a(b + c) ❑2 + (b + c) + a 3 -3a 2 (b + c) + + a ❑ ❑ ❑3 - 3a ❑2 (b + c) + 3a(b + c) ❑2 - (b + c) ❑3 2 6a(b + c) ❑ = 2a ❑3. Bµi tËp vËn dông: A – C¸c. Bµi 6:. hằng đẳng thức (1),(2),(3),(4). TÝnh nhamh kÕt qu¶ c¸c biÓu thøc sau: a) 127 ❑2 +146.127 + 73 ❑2 ; b) 9 ❑8 .2 ❑8 - (18 ❑4 - 1)(18 ❑4 + 1) ; c) 100 ❑2 - 99 ❑2 + 98 ❑2 - ..... + 2 ❑2 - 1 ❑2 d) (20 ❑2 +18 ❑2 +...+4 ❑2 +2 ❑2 ) – (19 ❑2 +17 ❑2 +...+3 ❑2 +1 ❑2 ) ; e). ¿ 2 2 780 − 220 1252 +150. 125+752 ¿. Bµi 7 : TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc b»ng c¸ch hîp lÝ : 2 2 a) A = 2582 − 242 2. 254 −246 92.136 + 46 ❑2 ;. ; b) B = 263 ❑2 + 74.263 + 37 ❑2 ; C = 136 ❑2 -. c) D = (50 ❑2 + 48 ❑2 +..........+2 ❑2 ) – (49 ❑2 +47 ❑2 +...........+3 2 2 ❑ +1 ❑ ) Bµi 8 : Cho a ❑2 + b ❑2 + c ❑2 = ab + bc + ca . Chng minh r»ng a = b = c . Bµi 9 : T×m x vµ t×m n N biÕt x ❑2 + 2x + 4 ❑n - 2 ❑n+1 +2 = 0. B – C¸c Bµi 10 :. hằng đẳng thức (5), (6), (7) :. Rót gän c¸c biÓu thøc : a) x(x-1)(x+1) – (x+1)(x2-x+1) ; b) 3x2(x+1)(x-1) – (x2-1)(x4+x2+1)+(x2-1)3; c) (a+b+c)3+((a-b-c)3+(b-c-a)3+(c-a-b)3 ; Bµi 11 : T×m x biÕt : 6(x+1)2-2(x+1)3+2(x-1)(x2+x+1) = 0 Bµi 12 : Chứng minh các hằng đẳng thức : (a+b+c)3 = a3+b3+c3+3(a+b)(b+c)(c+a). Bµi 13 :.

(5) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8. Bµi 14 :. Cho a+b+c+d = 0 . Chøng minh r»ng : a3+b3+c3+d3 = 3(ab – cd)(c +d) . Cho a+b = 1 .TÝnh gi¸ trÞ cña M = 2(a3+b3) – 3(a2 +b2) .. TiÕt 9-10-11-12 Chuyên đề 3:. Tø Gi¸c – h×nh Thang – H×nh thang c©n. *) Kh¸i niÖm chung vÒ tø gi¸c: +) §Þnh nghÜa : a) Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đờng thẳng. A, B, C, D là các đỉnh ; AB, BC, CD, DA là các cạnh.. Ta chỉ xét tứ giác đơn trong đó các cạnh chỉ có thể cắt nhau tại các đỉnh. Trong tứ giác đơn ABCD, ta phân biệt : hai đỉnh kề nhau (cùng nằm trên một cạnh ) với hai đỉnh đối nhau(không kề nhau(xuất phat từ một đỉnh) với hai cạnh đối (không kề nhau). Đờng chéo của tứ giác là đoạn thẳng nối hai đỉnh đối nhau. Trong tập hợp , các điểm của mặt phẳng chứa một tứ giác đơn, ta phân biệt ®iÓm thuéc tø gi¸c, ®iÎm trong tø gi¸c, ®iÓm ngoµi tø gi¸c. b) ABCD là tứ giác lồi ⇔ ABCD luôn thuộc nửa mặt phẳng với bờ là đờng th¼ng chøa bÊt kú c¹nh nµo cña nã. Tứ giác (đơn) không lồi là tứ giác lõm. Trong h×nh, ABCD lµ tø gi¸c låi A. B. 3. §Þnh lÝ: Tæng c¸c gäc trong tø gi¸c b»ng 3600 . *) T×m hiÓu s©u vÒ tø gi¸c gi¸c låi: Định lí : Trong một tứ giác lồi , hai đờng chéo cắt nhau. Đảo lại, nếu một tứ giác có hai đờng chéo cắt nhau thì đó là một tứ giác låi. ABCD lồi ⇔ ABCD có hai đờng chéo cắt nhau. D. C. Để chứng minh định lí, cần nhớ lại mấy định lí sau đây: (I) Tia Oz n»m trong gäc xOy ⇔ tia Oz c¾t ®o¹n th¼ng MN, víi M Oz, N Oy (II) NÐu tia Oz n»m trong xOy th× Oz vµ Oy n»m trong nöa mÆt ph¼ng bê chøa Oy; Oz vµ O x n»m trong nöa mÆt ph¼ng bê chøa Oy. (III) Cho tam gi¸c ABC a) C¸c trung tuyÕn xuÊt ph¸t tõ c¸c ®iÓm A vµ C c¾t nhau t¹i ®iÓm M. Tø gi¸c ABCM lµ låi hay kh«ng låi? V× sao?.

(6) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8 b) M lµ mét ®iÓm tuú ý thuéc miÒn trong cña tam gi¸c ABC( kh«ng th¼ng hàng với hai đỉnh nào của tam giác). Với vị trí nào của điểm M thì ABCM lµ tø gi¸c låi? c) M vµ N lµ hai ®iÓm tuú ý thuéc miÒn trong cña tam gi¸c ABC( vµ kh«ng thẳng hàng với đỉnh nào của tam giác). Chứng minh rằng trong năm điểm A, B, M, N, C bao giờ cũng chọn ra đợc bốn điểm là đỉnh của một tứ giác låi. B Gi¶i a) ABCM kh«ng låi (lâm), v× B vµ C n»m ë hai nöa mÆt phẳng đối nhau có bờ chứa AM (h .2a) M b) Kết quả ở câu a/ cũng đúng khi M là điểm bÊt k× thuéc miÒn trong cña tam gi¸c ABC. NÕu M thuéc miÒn ngoµi cña ABC th× cã hai trêng hîp : A - M ở trong góc đối đỉnh của một góc của tam giác. trong h .2b, M ở trong góc đối đỉnh của góc B . Dễ thấy rằng lúc đó đỉng B l¹i lµ ®iÓm thuéc miÒn trong của tam giác MAC, do đó AMCB không lồi(lõm). - M ë trong mét gãc cña tam gi¸c. trong h×nh 2b, M’ n»m trong gãc A. Do đó AM’ là tia trong của góc A, mà A và M’ nằm ở hai phía của cạnh BC, cho nên ®o¹n Am’ c¾t ®o¹n th¼ng BC vµ ABM’C lµ tø gi¸c låi.. C. Tóm lại, trong h .2b, các miền đợc gạch chéo là tập hợp các điểm M mà MABC lµ tø gi¸c lâm. Các miền khác (để trắng ) là tập hợp các điểm M mà M, A, B, C là các đỉnh của tứ giác lồi. j M. B. M'. A. C. c) §êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm M vµ N bao giê cũng không cắt một cạnh của tam giác ABC. Trong h .2c, đờng thẳng MN không c¾t AC. Tø gi¸c MNCA lµ tø gi¸c låi(®iÓm N thuéc miÒn ngoµi cña tam B gi¸c MAC vµ n»m trong gãc MAC). M. N. C. A. c¸c vÝ dô : VÝ dô 1:. H .2a. Chứng minh rằng trong một tứ giác lồi tổng độ dài các cạnh(chu vi) lớn hơn tổng độ dài các đờng chéo và nhỏ hơn hai lần tổng độ dài các đờng chéo. *) NhËn xÐt :.

(7) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8 Đây là bài toán về chứng minh bất đẳng thức về các độ dài. nên kẻ thêm các đờng phụ, xét các tam giác để áp dụng mệnh đề :” Trong một tam giác, toỏng độ dài hai cạnh lớn hơn độ dài cạnh thứ ba”. Gi¶i B Cho tø gi¸c ABCD(h. 7). Ta ph¶i chøng minh : AC + BD < AB + BC + CD + DA < 2( AC + BD) C 1) Chøng minh AC + BD < AB + BC + CD + DA Ta cã : o AC < AB +BC (bất đẳng thức trong Δ ABC) AC < AD + DC (bất đẳng thức trong Δ ADC) BD < BC + CD (bất đẳng thức trong Δ BCD) A BD < BA + AD (bất đẳng thức trong Δ BAD) Từ đó : 2( AC + BD) < 2(AB +BC + CD + DA) AC + BD < AB + BC + CD + DA 2) Chøng minh AB + BC + CD + DA < 2( AC + BD). Trong tam gi¸c ABO vµ CDO, ta cã : AB < BO + OA (1) CD < CO + OD (2) Céng (1) vµ (2) ta cã : AB + CD < BO + OD + CO + OA AB + CD < BD + AC (3) T¬ng tù, trong tam gi¸c BCO vµ ADO, ta cã : AD + BC < BD + AC (4) Từ (3) và (4) ta đợc : AB + BC + CD + DA < 2( AC + BD). (®pcm) *) NhËn xÐt: 1) Từ mỗi bất đẳng thức (3) và (4) ta thấy vế trái là tổng của hai cạnh của tứ giác, còn vế phải là tổng của hai đờng chéo. Vậy có thể phát biểu mệnh đề : “ Trong một tứ giác giác lồi, tổng của hai cạnh đối nhỏ hơn tổng của hai đờng chÐo”. 2) Nếu tứ giác ABCD không lồi, thì hai bất đẳng thức trong bài 7 có còn đúng không ? vì sao? VÝ dô 2: Cho một tứ giác lồi ABCD, Tronh đó AB + BD không lớn hơn AC + CD. Chøng minh r»ng : AB < AC. C Gi¶i Gäi giao ®iÓm cña AC vµ BD lµ O Trong tam gi¸c AOB, ta cã : B AB < AO + OB (1) O Trong tam gi¸c COD, ta cã : D CD < CO + OD (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã : AB + CD < BO + OD + CO + OA AB + CD < AC + BD (3) Theo gi¶ thiÕt : A AB + BD AC + CD (4) Tõ (3) vµ (4) suy ra AB < AC.(®pcm). VÝ dô 3 : Cho tø gi¸c låi ABCD. Gäi P vµ Q lµ trung ®iÓm cña hai c¹nh AD vµ BC. Chøng minh r»ng :. D.

(8) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8 DC+ AB 2. PQ. Gîi ý : ở đây có bất đẳng thức giữa độ dài các đoạn thẳng , nên kẻ đờng phụ để có các hình tam giác, lại có trung điểm của các cạnh, nên nhgĩ đến việc áp dụng định lí về đờng trung bình trong tam giác. B Gi¶i GT Tø gi¸c ABCD A PA = PD, QB = QC DC+ AB KL PQ 2. Cm:. Q. Ta kẻ thêm đờng chéo AC và lấy trung điểm P F F cña AC. Trong tam giác ACD, PF là đờng trung bình, do đó : PF = DC D 2 Trong tam giác ACD, PF là đờng trung bình. do đó : QF = AB 2 NÕu P,Q vµ F kh«ng th¼ng hµng th× trong tam gi¸c PQF ta cã: PQ < PF + QF = DC+ AB 2 NÕu P, Q, vµ F th¼ng hµng th× F lµ ®iÓm n»m gi÷a cña hai ®o¹n th¼ng PQ vµ ta cã : PQ = PF + QF = DC+ AB 2 Nh vËy trong mäi trêng hîp, ta cã : DC+ AB . ( ®pcm) 2. PQ. NhËn xÐt : Cã thÓ thÊy ngay r»ng : P, Q, F th¼ng hµng Do đó ta chứng minh đợc rằng :. ⇔. AB//CD.. DC+ AB PQ . 2 Trong đó dấu = xảy ra khi và chỉ khi AB//CD.. lÝ:. Nh vậy, qua việc giải bài toán trên, ta chứng minh cùng một lúc hai định (1) NÕu ABCD lµ h×nh thang (AB//CD) th× PQ = CD+ AB 2 (2) NÕu ABCD kh«ng lµ h×nh thang (AB//CD) th× PQ CD+ AB vµ PQ < DC+ AB 2. Bµi tËp 1:. 2. C¸c bµi tËp :. Cho A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ giác lồi,E là một điểm thuộc miÒn trong cña ttam gi¸c OCD, víi O lµ giao ®iÓm cña hai ®o¹n th¼ng AC vµ BD. ChØ ra tø gi¸c låi nhËn bèn trong n¨m ®iÓm A, B, C, D, E.. C.

(9) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8. Bµi tËp 2:. Chøng minh r»ng tõ n¨m ®iÓm bÊt k× trong mÆt ph¼ng(kh«ng cã ba điểm nào thẳng hàng) Bao giờ cũng chọn đợc bốn điểm là các đỉnh của một tứ gi¸c låi. Bµi tËp 3:. Chøng minh r»ng trong mét tø gi¸c låi cã c¸c gãc kh«ng b»ng nhau th× cã Ýt nhÊt mét gãc tï. Bµi tËp 4:. Cho tø gi¸c låi ABCD, hai c¹nh AD vµ BC kÐo dµi gÆp nhau t¹i E, hai c¹nh AB vµ CD kÐo dµi gÆp nhau t¹i M. KÎ hai ph©n gi¸c cña hai gãc CED vµ BMC c¾t nhau t¹i K. tÝnh gãc EKM theo c¸c gãc trong cña tø gi¸c ABCD.. *) h×nh thang – h×nh thang c©n: H×nh thang: -) §Þnh nghÜa: H×nh thang lµ tø gi¸c cã hai c¹nh song song. AB//CD ABCD lµ h×nh thang ⇔ hoÆc (AB//CD,AD//BC) AD//BC B A. D. A. B. C. A. B. D. C. D Trong h×nh thang, hai cạnh song song là hai cạnh đáy; hai cạnh kia lµ hai c¹nh bªn, ®o¹n th¼ng C trung b×nh nối trung điểm của hai cạnh bên gọi là đờng 2. Định lí (về đờng trung bình) AB+ CD AB//CD ⇒ PQ//AB vµ PQ = 2 h×nh thang c©n 1. §Þnh nghÜa: Hình thang cân là hình thang có hai gọc ở đáy bằng nhau. 2. TÝnh chÊt: §Þnh lÝ 1: Trong h×nh thang c©n, hai c¹nh bªn b»ng nhau. H×nh thang ABCD (AB//CD) : ⇒ BC= AD Định lí 2 : Trong hình thang cân hai đờng chéo bằng nhau. H×nh thang ABCD(AB//CD) : ⇒ AC = BD. Định lí 3 :(đảo của định lí 2) Nếu hình thang có hai đờng chéo bằng nhau thì nó là hình thang cân. 3. DÊu hiÖu nhËn biÕt h×nh thang c©n: §Ó chøng minh h×nh thang lµ c©n, ta cã thÓ chøng minh h×nh thang đó có một trong các tính chất sau : 1) Hai gọc ở đáy bằng nhau(định nghĩa). 2) Hai đờng chéo bằng nhau. VÝ dô 4 :.

(10) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8 Cho tam giác ABC cân, đỉnh A. Lấy các điểm E, K lần lợt trên các tia AB vµ AC sao cho : AE + AK = AB + AC Chøng minh r»ng : BC < EK. A. K. L. Gi¶i : LÊy trªn AB mét ®iÓm L sao cho AL = AK LÊy trªn AC mét ®iÓm D sao cho AD = AE Râ rµng c¸c tam gi¸c ALK vµ AED lµ nh÷ng tam giác cân có chung góc ở đỉnh A nên các góc đáy của chúng bằng nhau. Suy ra LK// ED, do đó DELK là hình thang cân, có các đờng chéo bằng nhau. DL = EK (1) Gọi O là giao điểm của hai đờng chéo DL và EK, ta xét tổng : EK + DL = (EO + OK) + (DO + OL) = (EO + OD) + (OK + OL) Từ (1) và đẳng thức cuối cùng này, ta có : 2 EK = (EO + OD) + (OK + OL) (2) O. B. C. D. E. Nhng trong tam gi¸c OKL, ta cã : OK + OL > LK Trong  DEO : EO + OD > ED Tõ (2), (3) vµ (4) : 2EK > LK + ED Tõ gi¶ thiÕt AE + AK = AB + AC Suy ra BE = CK MÆt kh¸c dÔ thÊy BCDE lµ h×nh thang c©n nªn BE = CK VËy DC = CK. Tơng tự, ta cũng chứng minh đợc B là trung điểm của EL. Từ đó, BC ;là đờng trung bình của hình thang DELK, suy ra : LK + ED = 2BC Tõ (5) vµ (6), ta cã : EK > BC ( ® p c m).. (3) (4) (5). (6). VÝ dô 5 :. Cho hình thang ABCD (AB//CD) có hai đờng chéo vuông góc. Biết đờng cao AH = h, Tính tổng hai đáy. Gi¶i : VÏ AE// BD (E CD). V× AC  BD (gt) nªn AC  AE B A (quan hÖ gi÷a tÝnh song song vµ vu«ng gãc). Ta cã AE = BD ; AB = DE (tÝnh chÊt ®o¹n ch¾n) AC = BD (tính chất đờng chéo hình thang cân)Suy ra O AC = AE ; AEC vuông cân tại A ; đờng cao AH cũng là trung tuyến, do đó AH = 1 1 EC  (AB  CD) 2 2 hay E D H AB + CD =2h. NhËn xÐt: Khi giải toán về hình thang, đặc biệt là hình thang cân, nếu cần vẽ đờng phô ta cã thÓ : - Từ một đỉng vẽ đờng thẳng song song với một đờng chéo (nh ví dụ trªn). - Từ một đỉnh vẽ một đờng thẳng song song với một cạnh bên. - Từ một đỉnh vẽ thêm một đờng cao.. C.

(11) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8 VÝ dô 6 : 0   Cho tø gi¸c ABCD cã AD = AB = BC vµ A  C 180 . Chøng minh r»ng a) Tia DB lµ tia ph©n gi¸c cña gãc D. b) Tø gi¸c ABCD lµ h×nh thang c©n. K. Gi¶i : 1  C  A A 1   2 a) VÏ BH CD, BK AD. Ta cã (cïng bï A 2 ) do đó  BHC =  BKA(cạnh huyền, 1 2 gãc nhän), suy ra BH = BK. D VËy DB lµ tia ph©n gi¸c cña gãc D. b) Góc A1 là góc ngoài tại đỉnh A của tam giác cân ADB nên. B. víi. H.  2D   A  ADC  A  AB// CD (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau). 1 1 1    VËy tø gi¸c ABCD lµ h×nh thang. H×nh thang nµy cã ADC C1 (v× cïng b»ng A1 ) nªn lµ h×nh thang c©n. NhËn xÐt : Để chứng minh tứ giác là hình thang cân, trớc tiên phải chứng minh tứ giác đó là hình thang, sau đó chứng minh hai góc kề một đáy bằng nhau(theo định nghĩa) hoặc hai đờng chéo bằng nhau.. Trong ví dụ trên, sau khi chứng minh đợc AB//CD cần tránh sai lầm cho rằng vì AD = BC (gt) nªn ABCD lµ h×nh thang c©n, sai lÇm ë chç h×nh thang cã hai c¹nh bằng nhau cha chắc đã là hình thang cân.. C¸c bµi tËp vËn dônG Bµi tËp 5:. Cho tứ giác lồi ABCD trong đó AD = DC và đờng chéo AC là phân gi¸c cña gãc DAB. Chøng minh r»ng ABCD lµ h×nh thang. Bµi tËp 6 :. Chứng minh rằng trong một hình thang đờng thẳng đi qua trung điểm của một cạnh bên song song với hai đáy thì đi qua trung điểm của cạnh bên kia. Bµi tËp 7:. Cho tứ giác ABCD trong đó CD> AB . Gọi E, F lần lợt là trung điểm cña BD vµ AC . Chøng minh r»ng nÕu E F = CD − AB th× tø gi¸c ABCD lµ h×nh thang. 2 Bµi tËp 8: Cho tam giác ABC trong đó AB > AC. Gọi H là chân đờng cao kẻ từ đỉnh A và M, N, P lần lợt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC. Chøng minh r»ng tø gi¸c MNHP lµ h×nh thang c©n. Bµi tËp 9: Cho tam giác ABC cân, đỉnh A. Lấy các điểm E, K lần lợt trên các tia AB vµ AC sao cho : AE + AK = AB +AC Chøng minh r»ng :. BC < EK .. C.

(12) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8. TiÕt 13 =>18 Chuyên đề 5 (6tiết): §êng trung b×nh cña tam gi¸c, cña h×nh thang *) KiÕn thøc c¬ b¶n : 1. a) §êng th¼ng ®i qua trung ®iÓm mét c¹nh cña tam gi¸c vµ song song víi c¹nh thø hai th× nã ®i qua trung ®iÓm cña c¹nh thø ba. b) §êng th¼ng ®i qua trung ®iÓm mét c¹nh bªn cña h×nh thang vµ song song với hai đáy thì đi qua trung điểm của cạnh bên thứ hai. 2. a) §êng trung b×nh cña tam gi¸c lµ ®o¹n th¼ng nèi trung ®iÓm hai c¹nh cña tam gi¸c. (h.8) b) §êng trung b×nh cña h×nh thang lµ ®o¹n nèi trung ®iÓm hai c¹nh bªn cña h×nh thang.(h.9) A. A. E. D. B F. E. F. C. D. C. h.8 h.9 3.a) §êng trung b×nh cña tam gi¸c th× song song víi c¹nh thø ba vµ b»ng nöa cạnh đấy. b) Đờng trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy. Bæ sung :. Trong h×nh thang cã hai c¹nh bªn kh«ng song song, ®o¹n th¼ng nèi trung điểm hai đờng chéo thì song song với hai đáy và bằng nửa hiệu hai đáy. Trong h.10 : A B MN // AB // CD CD  AB MN  2 . M N C¸c vÝ dô minh häa. D. *) VÝ dô 1: Cho tø gi¸c ABCD. Gäi M, N lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AD vµ AB  CD MN  2 Chøng minh r»ng nÕu th× tø gi¸c ABCD lµ h×nh thang. A O Gi¶i : Gäi O lµ trung ®iÓm cña BD. C¸c ®o¹n th¼ng OM, ON lần lợt là đờng trung bình của ABD và M BCD nªn D. C. B. BC.. N. C.

(13) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8 AB 2 vµ OM // AB ; (1) CD ON = 2 vµ ON // CD ; (2) Suy ra O n»m gi÷a M vµ N. VËy ba ®iÓm M, O, N th¼ng hµng (3). Từ (1), (2), (3) suy ra AB // CD do đó tứ giác ABCD là hình thang. OM . +) NhËn xÐt : Trong giả thiết của bài toán có trung điểm hai cạnh đối của tứ giác, nối hai điểm này ta cha đợc đờng trung bình của tam giác nào cả. Vì thế ta đã vẽ thêm trung điểm của đờng chéo BD ( hoặc AC ) và vận dụng đợc định lí đờng trung bình của tam giác để chứng minh. Việc vẽ thêm trung điểm của một đoạn thẳng để vận dụng đờng trung bình của tam giác là việc vẽ đờng phụ thờng gặp khi giải bài toán hình học. *) VÝ dô 2 : Cho hình thang ABCD ( đáy AB nhỏ hơn đáy CD ). Tìm điều kiện của hình thang này để hai đờng chéo của nó chia đờng trung bình thành ba phần b»ng nhau. A B Gi¶i : Gäi M, N lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AD vµ BC ; MN cắt BD tại P, cắt AC tại Q ; MN là đờng trung bình của N M Q h×nh thang nªn MN // AB // CD. P XÐt ABD cã MA = MD ; MP // AB nªn PB = PD D XÐt ADC cã MA = MD ; MQ // CD nªn QA = QC. MP và NQ lần lợt là đờng trung bình của ABD và ABC nên AB MP NQ  2 . PQ là đoạn nối trung điểm hai đờng chéo của hình thang ABCD nên CD  AB PQ  2 . AB2 CD  AB   2 2 Ta cã : MP = +Q = QN  AB CD  AB  CD 2.AB +) NhËn xÐt : Nếu không có điều kiện đáy AB nhỏ hơn đáy CD thì khi AB = 2.CD , chứng minh tơng tự nh trên ta vẫn có hai đờng chéo chia đờng trung bình thành ba phÇn b»ng nhau. Tóm lại, nếu hình thang có một đáy gấp đôi đáy kia thì hai đờng chéo của nó chia đờng trung bình làm ba phần bằng nhau. *) VÝ dô 3 : Từ ba đỉnh của một tam giác, hạ các đờng vuông góc xuống một đờng thẳng d không cắt cạnh nào của tam giác đó. Chứng minh rằng tổng độ dài ba đờng vuông góc đó gấp ba lần độ dài đoạn thẳng vuông góc hạ từ trọng tâm tam giác xuống đờng thẳng d. Gi¶i : Giả sử ABC có ba đờng trung tuyến AD, BE, CF cắt nhau tại O; các đoạn thẳng AG, BH, OI, CK đều vuông góc với đờng thẳng d. Ta phải chứng minh: AG + BH + CK = 3OI. C.

(14) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8 A. F. E O. M C B. D. Tõ trung ®iÓm M cña BO vµ tõ E, ta h¹ MN vµ EP vu«ng gãc víi d. Ta cã BH // MN // OI // AG // EP //CK ( chóng cïng vu«ng gãc víi d). V× O lµ täng t©m cña tam gi¸c ABC nªn BM = MO = OE. Ta l¹i cã HN = N I G P K IN = IP (đờng thẳng song song H cách đều). Nh vậy ta đợc ba hình thang vuông BOIH, MEPN, ACKG lần lợt có MN, OI, EP là các đờng trung bình. Từ đó suy ra MN + EP = 2.OI hay 2MN + 2EP = 4.OI (1) Nhng 2MN = BH + OI, 2EP = AG + CK, thay vào (1) ta đợc BH + OI + AG + CK = 4.OI suy ra AG + BH + CK = 3.OI.  VÝ dô 4 : Cho mét ®iÓm C ë ngoµi mét ®o¹n th¼ng AB. Dùng c¸c tam gi¸c vu«ng  AC = CBB'  = 1v ). Chøng minh r»ng c©n ACA’, BCB’ ra ngoµi tam gi¸c ABC ( A' vÞ trÝ cña ®iÓm M ( trung ®iÓm cña A’B’) kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ chän ®iÓm C. Gi¶i : Hạ A’H, C E và B’F cùng vuông góc với đờng thẳng AB. Ta dễ dàng chứng minh đợc các cặp tam giác vuông sau đây bằng nhau : B' A' HA = AEC (1) M B'FB =  BEC (2) Suy ra AH = BF = CE. Gäi N lµ C A' trung ®iÓm cña HF th× N còng lµ trung ®iÓm cña AB. MN còng lµ đờng trung bình của h×nh thang vu«ng A’HFB’ nªn F H E N B A A'H + B'F MN  AB vµ MN = 2 . Nhng tõ (1) vµ (2) ta cã A’H = AE ; B’F = BE AE + BE AB MN =  2 2 . nªn AB MN = 2 , nghÜa VËy MN vu«ng gãc víi AB t¹i trung ®iÓm N cña AB vµ là vị trí điểm M đợc hoàn toàn xác định không phụ thuộc vào việc chọn điểm C ( C là điểm bất kì, C và M cùng thuộc nửa mặt phẳng có bờ là đờng thẳng AB). c¸c bµi tËp vËn dông Bµi 1:  Cho tam gi¸c ABC cã A =  . Trªn c¹nh CA lÊy ®iÓm D sao cho CD = AB. KÎ đờng thẳng xy qua trung điểm của AD và BC. tính góc do đờng thẳng xy tạo với AB. Bµi 2 : Trên hai cạnh của góc nhọn xOy, ta đặt các đoạn thẳng AB và CD bằng nhau ( A n»m gi÷a O vµ B, C n»m gi÷a O vµ D). C¸c ®iÎm I vµ E lÇn lît lµ trung.

(15) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8 điểm của AC và BD. Chứng minh rằng đờng thẳng IE song song với tia phân gi¸c cña gãc xOy. Cho tam gi¸c ABC. Dùng tam gi¸c vu«ng c©n ABD( vu«ng ë A, D vµ C cïng thuéc nöa mÆt ph¼ng bê AB), dùng tam gi¸c vu«ng c©n AEC ( vu«ng ë A, E vµ B cïng thuéc nöa mÆt ph¼ng bê AC). Gäi K, I, M lÇn lît lµ trung ®iÓm cña EC, BD vµ BC. Chøng minh r»ng tam gi¸c KMI vu«ng c©n. Bµi 4: Cho hai điểm A và B ở ngoài đờng thẳng xy. tìm hệ thức giữa khoảng cách từ trung điểm O của đoạn thẳng AB đến xy và các khoảng cách từ A và B đến xy. Bµi5 : Cho tam giác ABC. Đờng thẳng xy đi qua đỉnh A. Gọi B’ và C’ là chân đờng vuông góc kẻ từ B và C xuống xy. Hãy xác định vị trí của đờng thẳng xy để tổng BB’ + CC’ đặt giá trị lớn nhất.. TiÕt 19 => 24 Chuyên đề 4: ( 6tiết). ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. *) KiÕn thøc c¬ b¶n:.

(16) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8 1. Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một tích cña nh÷ng ®a thøc . 2. C¸c ph¬ng ph¸p th«ng thêng : +) Phơng pháp đặt nhân tử chung AB + AC – AD = A(B+C-D). +) Phơng pháp dùng hằng đẳng thức : A2 ± 2AB + B2 = (A ± B)2 A3 ± 3A2B + 3AB2 ± B3= (A ± B)3 A2 – B2 = (A-B)(A+B) A3- B3 = (A-B)( A2+ AB + B2) A3 + B3 = (A+ B)( A2 –AB + B2) +) Ph¬ng ph¸p nhãm c¸c h¹ng tö : AC –AD + BC – BD = (C –D )(A + B) *) N©ng cao : 1. Dạng tổng quát của các hằng đẳng thức hiệu hai bình phơng, hiệu hai lËp ph¬ng lµ : An – Bn = (A – B)(An-1 + An-2B +....+ ABn-2 + Bn-1). 2. Dạng tổng quát của hằng đẳng thức tổng hai lập phơng là : An + Bn = (A + B)(An-1 – An-2B +An-3B2 - ..... – AB2 + Bn-1). 3. ¸p dông vµo tÝnh chÊt chia hÕt : A n – Bn ⋮ A – B víi n N vµ A B ; An + B n ⋮ A + B víi n lÎ vµ A -B : A2k – B2k ⋮ A2 – B2 víi k N vµ A ± B . c¸c vÝ dô minh ho¹: VÝ dô 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö : a) x2 – 6x + 8 ; b) 9x2 + 6x -8 ; Gi¶i : Ba h¹ng tö cña ®a thøc kh«ng cã nh©n tö chung , còng kh«ng lËp thµnh bình phơng của một nhị thức. Do đó ta nghĩ đến việc tách một hạng tử thành hai hạng tử để tạo thành đa thức có bốn hoặc năm hạng tử. a) C¸ch 1. x2 -6x + 8 = x2 – 2x – 4x + 8 = x(x – 2) – 4(x – 2) = (x – 2)(x- 4) C¸ch 2. x2 – 6x + 8 = x2 – 6x + 9 – 1 = (x -3)2- 1 = (x – 2)(x – 4) C¸ch 3. x2 – 6x +8 = x2 - 4 - 6x+12 = (x+ 2)(x – 2)–6(x-2) =(x- 2)(x4) C¸ch 4. x2– 6x+8 = x2- 16 – 6x+24 = (x+4)(x– 4) -6 (x- 4) = (x – 4)(x – 2) b) Có nhiều cách tách một hạng tử thành hai hạng tử khác, trong đó hai cách sau lµ th«ng dông nhÊt : C¸ch 1: T¸ch h¹ng tö bËc nhÊt thµnh hai h¹ng tö råi dïng ph¬ng ph¸p nhãm c¸c hạng tử và đặt nhân tử chung mới. 9x2 +6x – 8 = 9x2 -6x + 12x – 8 = 3x(3x – 2) + 4(3x – 2) = (3x -2)(3x + 4) Cách 2: Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử rồi đa đa thức về dạng hiệu cña hai b×nh ph¬ng. 9x2 + 6x – 8 = 9x2+6x+1-9 = (3x + 1)2- 32= (3x +4)(3x -2). *) Chó ý : C¸ch t¸ch h¹ng tö bËc nhÊt thµnh hai h¹ng tö dùa vµo h»ng đẳng thức : mpx2 + (mp +nq)x +nq = (mx +n)(px + q). Nh vậy trong tam thức bậc hai : ã2 =bx + c, hệ số b đợc tách thành b1 + b2 sao cho b1b2 =ac . Trong thùc hµnh ta lµm nh sau :.

(17) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8 1. T×m tÝch ac . 2. Ph©n tÝch ac ra tÝch cña hai thõa sè nguyªn b»ng mäi c¸ch. 3. Chän hai thõa sè mµ tæng b»ng b. Trong ®a thøc 9x2 + 6x -8 th× a=9, b=6, c = -8. Bíc 1 : TÝch ac = 9 (- 8) = -72. Bớc 2 : Phân tích -72 ra tích hai thừa số trái dấu, trong đó thừa số dơng có giá trị tuyệt đối lớn hơn ( để tổng hai thừa số đó bằng 6). -72 = (-1).72 = (-2).36 =(-3).24 =(-4) .18 = (-6).12 =(-8).9 Bíc 3 : Chän hai thõa sè mµ tæng b»ng 6. §ã lµ -6 vµ 12. Trong trêng hîp tam thøc a x2 + bx +c cã b lµ sè lÎ, hoÆc a kh«ng lµ b×nh ph¬ng cña mét sè nguyªn th× gi¶i theo c¸ch 1 gän h¬n c¸ch 2. VÝ dô 2 : Ph©n tÝch thµnh nh©n tö :(x2 +x)2 +4x2 +4x -12. Giải : Ta nhận thấy nếu đặt x2 +x =y thì đa thức có dạng y2 + 4y -12 là tam thức bậc hai đối với y. Ta có : y2 +4y -12 = y2 +6y -2y -12 = y(y +6) – 2(y +6) =(y + 6)(y -2)= (x2 +x +6)(x +x – 2)= (x2 + x +6)(x+2)(x – 1) Cách làm nh trên gọi là đổi biến. 2. Chú ý : Tam thức bậc hai a x2 +bx +c sẽ không phân tích tiếp đợc nhân tử trong ph¹m vi sè h÷u tØ nÕu : Theo c¸ch 1, khi ph©n tÝch ac ra tÝch cña hai thõa sè nguyªn b»ng mäi c¸ch, kh«ng cã hai thõa sè nµo cã tæng b»ng b, hoÆc Theo c¸ch 2, sau khi ®a tam thøc vÒ d¹ng a ph¬ng cña sè h÷u tØ.. x2 – k th× k kh«ng lµ b×nh. Tam thức x2 +x +6 không phân tích thành nhân tử đợc nữa(trong phạm vi sè h÷u tØ) v× : Theo c¸ch 1, tÝch ac =6 =1.6= 2.3, kh«ng cã hai thõa sè nµo cã tæng b»ng 1. Cßn theo c¸ch 2, x2 + x+6 = x2 + 2x. 1 + 1 + 23 = (x + 1 )2 + 23 . 2. 4. 4. 2. 4. 23 4. Ta thÊy kh«ng lµ b×nh ph¬ng cña mét sè h÷u tØ. VÝ dô 3: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö : x3 + 3x2 – 4. Gi¶i : Ta t¸ch c¸c h¹ng tö cña ®a thøc trªn b»ng ph¬ng ph¸p t×m nghiÖm cña ®a thøc. Ta nh¾c l¹i a lµ nghiÖm cña ®a thøc f(x) nÕu f(a)= 0. Nh vËy nÕu ®a thøc f(x) chøa nh©n tö x-a th× a ph¶i lµ nghiÖm cña ®a thøc. Ta l¹i chó ý r»ng, nÕu ®a thøc trªn cã mét nh©n tö lµ x-a th× nh©n tö cßn l¹i lµ x2 + bx + c, suy ra –ac = -4, tøc lµ a ph¶i lµ íc cña -4. Tæng qu¸t, trong ®a thøc víi hÖ sè nguyªn, nghiÖm nguyên nếu có phải là ớc của hạng tử không đổi. Ước của -4 là ± 1, ± 2, ± 4. KiÓm tra ta thÊy -1 lµ nghiÖm cña ®a thøc. Nh vËy ®a thøc chøa nh©n tö x-1, do đó ta tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhân tử chung x-1. C¸ch 1.. x3 +3x2 – 4 = x3 -x2 + 4x2 -4 = x2 (x -1)+ 4(x-1)(x2 +4x+4) =(x-1)(x+2)2.. C¸ch 2 .. x3 +3x2 – 4= x3 -1 + 3x2 -3 = (x-1)(x2 +x+1) + 3(x-1)(x+4) = (x-1)(x2 +x+1+3x+3) = (x-1)(x+2)2..

(18) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8 Ta còng chó ý r»ng nÕu ®a thøc cã tæng c¸c hÖ sè b»ng 0 th× ®a thøc chøa nh©n tö x-1, nÕu ®a thøc cã tæng c¸c hÖ sè cña h¹ng tö bËc ch½n b»ng tæng c¸c hÖ sè bËc lÎ th× ®a thøc chøa nh©n tö x+1 VÝ dô 4 : Ph©n tÝch thµnh nh©n tö : 2x3 -5x2 + 8x -3. Gi¶i : C¸c sè ± 1, ± 3 kh«ng lµ nghiÖm cña ®a thøc, vËy ®a thøc kh«ng cã nghiÖm nguyªn. Nhng ®a thøc cã thÓ cã nghiÖm h÷u tØ. Trong ®a thøc với hệ số nguyên , nghiệm hữu tỉ nếu có phải có dạng p trong đó p là ớc của q hÖ sè tù do,q lµ íc d¬ng cña hÖ sè cao nhÊt. Nh vËy nghiÖm h÷u tØ nÕu cã cña ®a thøc trªn chØ cã thÓ lµ ± 1, ± 1 , ± 3, hoÆc ± 3 . Sau khi kiÓm tra ta 2. 2. 1 2. thÊy x= là một nghiệm nên đa thức chứa nhân tử x- 1 hay 2x-1. Do đó ta 2 tìm cách tách các hạng tử của đa thức để xuất hiện nhân tử chung 2x-1. 2x3 -5x2 +8x -3 = 2x3 –x2 -4x2 +2x +6x -3 = x2 (2x-1)-2x(2x-1) + 3(2x-1) = (2x-1)(x2 – 2x +3). Có thể giải bài tập trên bằng phơng pháp hệ số bất định : nếu đa thức trên phân tích đợc thành nhân tử thì phải có dạng : ( a x +b)(cx2 +dx +m). PhÐp nh©n nµy cho kÕt qu¶ : a cx3 +(ad +bc)x2 +(am +bd)x +bm. Đồng nhất đa thức này với 2x3 -5x2 +8x -3, ta đợc ac =2, ad +bc =-5, am +bd =8, bm =-3 Có thể giả thiết rằng a > 0 (vì nếu a < 0 thì ta đổi dấu cả hai nhân tử), do đó a=1 hoặc a=2. XÐt a=2 th× c=1, ta cã 2d +b =-5, 2m +bd =8, bm = -3 ;b cã thÓ b»ng ± 1, ± 3. XÐt b =-1 th× m=3, d=-2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn trªn. VËy a=2, c=1, b=-1, m=3, d=-2. Ta cã : 2x3 -5x2 +8x -3= (2x-1)(x2 – 2x +3). VÝ dô 5:. Cho x vµ y lµ hai sè kh¸c nhau, tho¶ m·n ®iÒu kiÖn : 9x(x-y) – 10(y –x)2 = 0. Chøng minh r»ng: x = 10y. Gi¶i: 9x(x – y) – 10(y-x)2 = 9x(x-y) -10(x-y)2 =(x-y)[9x -10(xy)]=(x-y)(10y –x). Theo đề bài ta có (x-y)(-x +10y) = 0. V× x y nªn –x +10y = 0 hay x = 10y.. C- c¸c bµi tËp vËn dông Bµi tËp 1:. Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö : a) 5x(x -2y) + 2(2y –x)2 ; b) 7x(y -4)2 – (4 –y)3 ; 2 2 2 2 2 c) (x +4y -5) – 16(x y +2xy +1). d) x4 -25x2+20x -4; e) (a+b+c)2+(a-b+c)2- 4b2. f) a5 + b5 – (a+b)5. Bµi tËp 2: Chøng minh r»ng:.

(19) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8 a) 432 + 43. 17 ⋮ 60 b) 2110 - 1 ⋮. 200. c) 20052007 + 20072005. ⋮ 2006. d) 495 – 49 ⋮ 100.. Bµi tËp 3: Cho x2y-y2x + x2z – z2x+ y2z+z2y = 2xyz Chøng minh r»ng trong ba sè x,y,z Ýt nhÊt còng cã hai sè b»ng nhau hoÆc đối nhau. Bµi tËp 4 : Ph©n tÝch thµnh nh©n tö : a) x5+x + 1 b) x7+ x2+ 1. Bµi tËp 5 : Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö : a) A = (a-b)3 + (b-c)3+ (c-a)3 b) B = (a+ b -2c)3 + (b + c -2a)3 + (c + a – 2b)3. Bµi tËp 6 : Ph©n tÝch ®a thøc A thµnh tÝch cña mét nhÞ thøc bËc nhÊt víi mét ®a thøc bËc ba víi hÖ sè nguyªn sao cho hÖ sè cao nhÊt cña ®a thøc bËc ba lµ 1: A = 3x4 + 11x3 – 7x2 – 2x + 1. Bµi tËp 7 : Ph©n tÝch ®a thøc B thµnh tÝch cña hai tam thøc bËc hai víi hÖ sè nguyªn : B = x4 – 6x3 + 11x2 – 6x + 1.. TiÕt 25-26-27-28 Chuyên đề 6 :. ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n vÒ chia hÕt trong t¹p hîp z c¸c sè nguyªn.. I. Nh¾c l¹i mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n ë líp 6 vµ 7 vÒ lÝ thuyÕt trong Z. 1. TÝnh chia hÕt : a) §Þnh nghÜa : Cho a, b  Z ( b 0).

(20) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8 NÕu cã q  Z sao cho a = bq Th× ta nãi: a lµ béi cña b hoÆc b lµ íc cña a a chia hÕt cho b hoÆc b chia hÕt a KÝ hiÖu: ab a b  a = bq b) TÝnh chÊt c¬ b¶n cña quan hÖ “ chia hÕt” trong Z Víi mäi a, b, c, m  Z : 1. a/ 0 (a  0) 2. 1/ a 3. a/ a (a  0) (a, b  0) 4. a/b vµ b/a  a =  b (a, b  0) 5. a/ b vµ b/ c  a/c (TÝnh chÊt b¾c cÇu) (c 0) 6. c/a vµ c/b  c/ (am + bn) 2. PhÐp chia cã d : a) §Þnh lÝ : Cho hai sè nguyªn a, b (b> 0), bao giê còng cã duy nhÊt cÆp sè nguyªn q, r sao cho : a = bq + r víi 0 r  b . r lµ sè d trong phÐp chia a cho b. (r = 0 : th× a chia hÕt cho b) Khi r 0 , cã thÓ lÊy sè d lµ sè ©m r’ = r- b. b) Chia a cho b>0 th× sè d r lµ mét trong b sè : b  r= 0, 1, 2, 3,......+ 2 +) b ch¾n b  r= 0, 1, 2, 3,......2) (hoÆc b-1  r= 0, 1, 2, 3,......  2 . +) b lÎ 3. Thuật toán Euclide để tìm ƯCLN của hai số : Ước chung lớn nhất của hai số dơng a và b đợc kí hiệu là ƯCLN(a, b) hoÆc (a, b). ThuËt to¸n Euclide gióp ta t×m ¦CLN mét c¸ch kh¸c. ThuËt to¸n dùa trªn ®iÞnh lÝ sau ®©y : +) NÕu a lµ béi cña b th× ¦CLN(a, b) = b  (a, b) = b a = bq +) NÕu a chia cho b, d r 0 , th× ¦CLN(a, b) b»ng ¦CLN(b, r) do đó, ta có thể thực hiện các phép chia liên tiếp để tìm ƯCLN(a, b). VÝ dô : T×m ¦CLN(300, 105). - Chia 300 cho 105, ta đợc d 90 - chia 105 cho 90, ta đợc d 15 - Chia 90 cho 15, ta đợc d 0 VËy : ¦CLN(300, 105) = 15. Có thể thấy rõ điều đó nh sau : 300 = 105. 2 + 90  (300; 105) = (105; 90).

(21) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8 105 = 90 . 1 + 15  (105; 90 ) = (105; 15)  ( 90; 15 ) = 15 90 = 15 . 6 VËy : (300; 15) = 15 Trong thực hành, ta đặt phép tính nh sau :. b.. 300 105 105 90 2 90 15 1 0 6 4. Một số định lí quan trọng : *) §Þnh lÝ 1 : Mét sè d lµ íc chung cña a vµ b khi vµ chØ khi d lµ íc cña ¦CLN(a, b). d/a vµ d / b  d / (a, b) *) §Þnh lÝ 2 : Mét sè m lµ béi chung cña a vµ b khi vµ chØ khi m lµ béi cña BCNN(a, b) m a vµ m  b  m [ a, b] *) §Þnh lÝ 3 : (a,b). [a, b] = ab *) §Þnh lÝ 4 : NÕu a, b nguyªn tè cïng nhau vµ tÝch a.c chia hÕt cho b th× c chia hÕt cho. ac  b vµ (a, b) = 1  c b *) §Þnh lÝ 5 : NÕu c chia hÕt a vµ cho b mµ a, b nguyªn tè cïng nhau th× c cia hÕt cho tÝch a.b. c  a, c  b vµ (a, b) = 1  c a.b II – Ph¬ng ph¸p gi¶i mét sè bµi to¸n vÒ chia hÕt : *) ph¬ng ph¸p 1 : §Ó chng minh A(n) chia hÕt cho b, cã thÓ xÐt mäi trêng hîp vÒ sè d khi chia n cho p. Bµi to¸n 1: Chøng minh r»ng víi mäi n  Z : A(n) = n(n2 + 1)(n2 + 4)  5 Gi¶i : XÐt mäi trêng hîp khi chia n Z cho 5, ta cã sè d lµ : r = 0,  1,  2..  n 5 b) r =  1.  n = 5k  1  n 2  25 k 2 10k +1  (n 2  4)  5. a) r = 0.  n = 5k  2  n 2 = 25k 2 20k  4 2 c) r =  2  ( n  1)  5. A(n) là tích của ba thừa số, trong mọi trờng hợp đều có một thừa số chia hết cho 5. VËy A(n)  5 , víi mäi n  Z ..

(22) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8 VÝ dô 2 : Chøng minh r»ng : a) Tæng cña 3 sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho 3 ; b) Tæng cña 5 sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho 5 ; c) Tæng cña 2k + 1 sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho 2k + 1. Gîi ý : a) (n – 1) + n + (n + 1) = 3n b) (n – 2) + (n – 1) + n + (n + 1) + (n + 2) = 5n c) (n – k ) + (n – k + 1) + .... + n + (n + 1) + .... + (n + k – 1) + ( n + k) = (2k + 1) n. VÝ dô 3 : Chøng minh r»ng : a) Trong 2 sè nguyªn liªn tiÕp, cã mét vµ chØ mét sè chia hÕt cho 2 (ch½n) ; b) Trong 3 sè nguyªn liªn tiÕp, cã mét vµ chØ mét sè chia hÕt cho 3 ; c) Trong k sè nguyªn liªn tiÕp, cã mét vµ chØ mét sè chia hÕt cho k ; *) Ph¬ng ph¸p 2 : §Ó chøng minh A(n) chia hÕt cho mét sè m, nãi chung nªn ph©n tÝch m ra thõa sè : m = p.q 1) NÕu p, q nguyªn tè cïng nhau : ta t×m c¸ch chøng minh : A(n)  q A(n)  p vµ (Suy ra A(n)  p.q, theo định lí 5 về chia hết ). VÝ dô 4 : a) Chøng minh r»ng tÝch cña 3 sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho 6. b) TÝch cña 4 sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho bao nhiªu. Gi¶i : a) Gäi ba sè nguyªn liªn tiÕp lµ n, n +1, n + 2 TÝch cña chóng lµ : A(n) = n(n + 1)(n + 2) Ta cã 6 = 2.3 ( 2 vµ 3 lµ sè nguyªn tè). Trong 2 số nguyên liên tiếp n và n + 1, bao giờ cũng có một số chẵn, do đó A(n) 2 Trong 3 sè nguyªn liªn tiÕp n, n + 1, n + 2 bao giê còng cã mét sè chia hÕt cho 3, nªn tÝch cña chóng lu«n chia hÕt cho 3 : A(n)  3 . A(n)  2 vµ A(n)  3, mµ (2, 3) = 1 nªn A(n)  2.3 = 6 Chó ý r»ng : ba sè nguyªn liªn tiÕp cã thÓ lµ n – 1, n vµ n + 1. b) A(n) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) Tríc hÕt, ta thÊy r»ng trong bèn sè nguyªn liªn tiÕp : n, n + 1, n + 2, n+3, bao giê còng cã mét sè cia hÕt cho 2 vµ mét sè kh¸c chia hÕt cho 4. ThËt vËy : NÕu n = 2k th× n + 2 = 2k + 2 = 2(k + 1) Do đó : - Khi k ch½n th× n  4 cßn (n + 2)  2 - Khi k lÎ th× (n + 2)  2 cßn n  2 T¬ng tù nh vËy, nÕu xÐt n + 1 vµ n + 3 cã mét sè chia hÕt cho 4, sè kia chia hÕt cho 2. Do đó A(n) = n(n + 1)(n + 2)(n +3)  4.2 = 8 Theo a) th× n(n + 1)(n + 2)(n +3) 3 mµ (3, 8) = 1 nªn A(n) 3.8 = 24. 2) NÕu p, q kh«ng nguyªn tè cïng nhau : Ph©n tÝch A(n) ra thõa sè : A(n) = B(n). C(n) vµ t×m c¸ch chøng minh.

(23) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8 B(n)  p vµ C(n)  q suy ra B(n).C(n)  p. q Bµi tËp : Chøng minh r»ng tÝch cña hai sè ch½n liªn tiÕp chia hÕt cho 8. Trong trêng hîp 3 sè ch½n liªn tiÕp th× tÝch chia hÕt cho bao nhiªu. *) Ph¬ng ph¸p 3 : Để chứng minh A(n) chia hết cho m, ta có thể biến đổi A(n) thành tổng của nhiều hạng tử và chứng minh mỗi hạnh tử đó chia hết cho m. VÝ dô 5 : Chøng minh r»ng lËp ph¬ng cña mét sè nguyªn bÊt k× (n > 1) trõ ®i 13 lÇn số nguyên đó thì luôn chia hết cho 6. Gi¶i : Ta ph¶i chøng mhinh : A(n) = n3 – 13n  6 Chú ý rằng : 13n = 12n + n, mà 12n  6, ta biến đổi A(n) thành A(n) = (n3 – n) – 12n. Ta cã : n3 – n = n(n2 – 1) = (n – 1)n(n + 1). §©y lµ tÝch cña ba sè nguyªn liªn tiÕp, tÝch nµy lu«n chia hÕt cho 6. A(n) là hiệu của hai hạng tử : n3 – n và 12n, mỗi hạng tử đều chia hết cho 6, nªn : A(n)  6. VÝ dô 6 : Chøng minh r»ng tæng lËp ph¬ng cña ba sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho 9. G¶i : Ba sè nguyªn liªn tiÕp lµ n, n +1, n+ 2, ta ph¶i chøng minh : A = n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 chia hÕt cho 9. Ta cã : A = n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 = 3n3 + 9n2 + 15n + 9 = 3n3 -3n + 18n + 9n2 + 9 = 3n(n – 1)(n + 1) + 18n + 9 + 9n2 n, n – 1, n + 1 là ba số nguyên liên tiếp, trong đó một số chia hết cho 3, vËy : B = 3n(n – 1)(n + 1)  9 C = 18n + 9n2 +9  9 A = B +C mµ B  9, C  9 nªn A  9. §Ó chøng minh mét tæng kh«ng chia hÕt cho m, ta chøng minh mét h¹ng tử nào đó không chia hết cho m, còn tất cả các hạng tử đều chia hết cho m. VÝ dô 7 : Chøng minh r»ng : n2 + 4n + 5 kh«ng chia hÕt cho 8 víi mäi sè n lÎ . Gi¶i : §Æt n = 2k + 1, ta cã : n2 + 4n + 5 = (2k + 1)2 + 4(2k + 1) + 5 = (4k2 + 4k + 1) + (8k + 4) +5 = (4k2 + 4k) + (8k + 8) + 2 = 4k(k + 1) + 8(k + 1) +2 §©y lµ tæng cña ba h¹ng tö, h¹ng tö ®Çu 4k(k + 1) chia hÕt cho 8, h¹ng tö thø hai 8 (k + 1) còng chia hÕt cho 8, riªng h¹nh tö hø ba lµ 2 kh«ng chia hÕt cho 8. Vậy tổng đã cho không chia hết cho 8. Bµi tËp : Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn n : a) n3 – n + 4 kh«ng chia hÕt cho 3 ; b) n2 + 11n + 39 kh«ng chia hÕt cho 49 ;.

(24) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8 c). n2 + 3n + 5 kh«ng chia hÕt cho 121. *) Ph¬ng ph¸p 4 : §Ó chøng minh r»ng A(n) chia hÕt cho m, ta cã thÓ ph©n tÝch A(n) thµnh nhân tử, trong đó có một nhân tử bằng m : A(n) = m . B(n) Thờng phải sử dụng các hằng đẳng thức. Nói riên, từ các hằng đẳng thức (9), (10) vµ (11) ta cã : an – bn chia hÕt cho a – b (a  b) víi n bÊt k× an – bn chia hÕt cho a + b (a  - b) víi n ch½n ( n = 2k) an + bn chia hÕt cho a + b (a  - b) víi n lÎ ( n = 2k + 1). VÝ dô 8 : Chøng minh r»ng : 25 + 35 + 55  5 . Gîi ý : V× 5 lµ sè lÎ, nªn 25 + 35  (2 + 3) . VÝ dô 9 : Chøng minh r»ng : 24n – 1 chia hÕt cho 15. Gi¶i : 24n – 1 = (24)n – 1n = (24 – 1)[(24)n – 1 + .... + 1] = 15 . M VËy : (24n – 1)  15 Bµi tËp : a)Chøng minh r»ng : A = 71 + 72 +.......+ 74k (trong đó k là số tự nhiên) chia hết cho 400. b) Chøng minh biÓu thøc : A = 75(41975+ 41974+ .....+ 42 + 5) + 25 chia hÕt cho 41976. *) Ph¬ng ph¸p 5 : Dïng nguyªn t¾c Dirichlet NÕu nhèt 9 chó thá vµo 4 c¸i chuång th× ph¶i cã mét c¸i chuång nhèt Ýt nhÊt lµ 3 chó thá..

(25)

giao an boi duong HSG toan 8 I

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về