Tài liệu Đề khảo sát môn toán khối 12 docx

SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC
Trường THPT Yên Lạc
ĐỀ KHẢO SÁT MÔN TOÁN KHỐI 12
Lần 3 - Năm học 2009 - 2010.
Thời gian làm bài 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 1: 2 điểm
Cho hàm số
( )
2
4 2 11
(1)
1
x m x m
y
x
+ − + −
=
−
a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số khi
5.m
=
b) Tìm
m
để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với trục hoành.
Câu 2: 2 điểm
a) Giải phương trình:
( )
( )
2
cos . cos 1

2 1 sin .
sin cos
x x
x
x x
−
= +
+
b) Giải phương trình
2 2
7 5 3 2 .x x x x x− + + = − −
Câu 3: 1 điểm
Tính tích phân
(
)
1
2
1
ln 5I x x dx
−
= + +
∫
.
Câu 4: 1 điểm
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1, gọi
,M N
là các điểm lần lượt di động trên các cạnh
,AB AC
sao cho
( ) ( )

DMN ABC⊥
. Đặt
, .AM x AN y= =
Tính thể tích tứ diện
DAMN
theo
x
và
y
. Chứng minh rằng
3 .x y xy+ =
Câu 5: 2 điểm
a) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ
Oxy
cho đường thẳng
( )
: 7 10 0d x y− + =
. Viết
phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng
( )
: 2 0x y∆ + =
và tiếp xúc với đường thẳng
( )
d

tại điểm
( )
4;2 .A
b) Trong không gian với hệ trục toạ độ
Oxyz

cho đường thẳng
( )
1 3 3
:
1 2 1
x y z
d
− + −
= =
−
và
mặt phẳng
( )
: 2 2 9 0P x y z+ − + =
. Hãy viết phương trình tham số của đường thẳng
( )
∆
nằm trong
mặt phẳng
( )
P
cắt và vuông góc với đường thẳng
( )
.d
Câu 6: 1 điểm
Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với
[ ]
1;3x∀ ∈
2
2 ( 1) 15

2
2010 2010 ( 8)( 3 2).
x m x
m x x
+ + +
≤ − + − +
Câu 7: 1 điểm
Học sinh thi khối A chỉ làm phần (a), học sinh thi khối B, D chỉ làm phần (b)
a) Cho
2 2
1.x y xy+ − =
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:
4 4 2 2
.M x y x y= + −
b) Cho
, , 0x y z ≥
. Chứng minh rằng:

( )
2 2 2 2 2 2
3x xy y y yz z z zx x x y z+ + + + + + + + ≥ + +
.
-------------------------------Hết--------------------------
(Giám thị không giải thích gì thêm)
Họ tên học sinh------------------------------------------------------Số báo danh--------------------------------
ĐÁP ÁN ĐỀ KHẢO SÁT TOÁN 12 LẦN 3 NĂM HỌC 2009 – 2010.
Đáp án gồm 04 trang
CÂU - PHẦN NỘI DUNG CHÍNH ĐIỂM
Câu 1: 2 điểm
a) 1 điểm

Khi
5m
=
hàm số có dạng:
2
1
1
x x
y
x
+ −
=
−
+ TXĐ:
{ }
\ 1R
0.25
+ Sự biến thiên:

( )
2
2
2
'
1
x x
y
x
−
=

−
- Xét dấu
'y
và kết luận được:
Hàm ĐB trên
( )
;0−∞
và
( )
2;+∞
; hàm NB trên
( )
0;1
và
( )
1;2
.
Hàm đạt CĐ tại
D
0, 1
C
x y= =
; hàm đạt CT tại
2, 5
CT
x y= =
- Tìm được các giới hạn đặc biệt và đồ thị có TCĐ là đường thẳng
1x =
, tiệm cận
xiên là đường thẳng

2y x= +
0.25
Bảng biến thiên: 0.25
+ Đồ thị:
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10 -5 5 10
f x
( )
=
x
2
+x
( )
-1
x-1
0.25
b) 1 điểm
ĐK:
1x ≠
Đặt
2
( ) ( 4) 2 11, ( ) 1U x x m x m V x x= + − + − = −
Để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành thì hệ

0
' 0
y
y
=


=

có nghiệm
0.25
x
'y
y
−∞
+∞
1
0
2
0
0
1
5
−∞
−∞
+∞
+∞
+
+
−

−
( ) 0
...
'( ) 0
U x
U x
=

⇔ ⇔

=

có nghiệm
1x
≠
0.25
2
( 4) 2 11 0 (1)
2 4 0 (2)
x m x m
x m

+ − + − =
⇔

+ − =

có nghiệm
1x
≠

Từ (2) suy ra
4
2
m
x
−
=
; do
1 2x m
≠ ⇒ ≠
0.25
Thay
4
2
m
x
−
=
vào (1) ta có
2
16 60 0m m− + =

10
6
m
m
=

⇔


=

(thoả mãn ĐK
2m
≠
)
0.25
Câu 2: 2 điểm
a) 1 điểm
ĐK:
sin cos 0x x+ ≠
0.25
Khi đó
( )
( ) ( ) ( )
2
1 sin cos 1 2 1 sin sin cosPT x x x x x⇔ − − = + +

( ) ( )
1 sin 1 cos sin sin .cos 0x x x x x⇔ + + + + =

( ) ( ) ( )
1 sin 1 cos 1 sin 0x x x⇔ + + + =
0.25

sin 1
cos 1
x
x
= −


⇔

= −

(thoả mãn ĐK)
0.25

3
2
2
2
x k
x m
π
π
π π

= +

⇔

= +

(
,k m∈ Z
)
0.25
b) 1 điểm
2

2 2
3 2 0
7 5 3 2
x x
PT
x x x x x

− − ≥

⇔

− + + = − −


0.25
2
3 2 0
5 2( 2)
x x
x x x

− − ≥

⇔

+ = − +


0.25
3 1

0
2
5 2.
x
x
x
x
x


− ≤ ≤

⇔ ≠


+

+ = −


( )
( )
2
2 0
1 16 0
x
x x
− ≤ <



⇔

+ − =


0.25

1x⇔ = −
0.25
Câu 3: 1 điểm
Đặt
(
)
( )
1
2
1
ln 5x t I t t dt
−
= − ⇒ = + − −
∫
0.25
=
1
2
1
5
ln
5
dt

t t
−
+ +
∫
0.25
=
1
1
ln5dt I
−
−
∫
0.25

1
1
2 (ln5).I t
−
⇒ =
ln5.I⇒ =
0.25
Câu 4: 1 điểm Dựng
DH MN H
⊥ =
Do
( ) ( ) ( )
DMN ABC DH ABC⊥ ⇒ ⊥
mà
.D ABC
là

tứ diện đều nên
H
là tâm tam giác đều
ABC
.
0.25
D
A
B
C
H
M
N
Tính được
6
3
DH =
diện tích tam giác
AMN
là
0
1 3
. .sin 60
2 4
AMN
S AM AN xy= =
Thể tích tứ diện
.D AMN
là
1 2

.
3 12
AMN
V S DH xy= =
0.25
Ta có
AMN AMH AMH
S S S= +
0 0 0
1 1 1
.sin 60 . .sin 30 . .sin30
2 2 2
xy x AH y AH⇔ = +
0.25

3 .x y xy+ =
0.25
Câu 5: 2 điểm
a) 1 điểm
Tâm
I
của đường tròn phải nằm trên đường thẳng
( )
'd
vuông góc với
( )
d
tại
A
.

PT của
( )
'd
là:
7 30 0x y+ − =
0.25
Toạ độ của
I
là nghiệm của hệ
2 0
7 30 0
x y
x y
+ =


+ − =


( )
6; 12 .I⇒ −
0.25
Bán kính của đường tròn là
200 10 2R IA= = =
0.25
Vậy PT của đường tròn là
( ) ( )
2 2
6 12 200x y− + + =
0.25

b) 1 điểm
Tìm được giao điểm của
( )
d
và
( )
P
là
( )
0; 1;4A −
0.25
VTPT của
( )
P
là
( )
2;1; 2n = −
r
, VTCP của
( )
d
là
( )
1;2;1u = −
r
. Do
( )
∆
nằm
trong

( )
P
và vuông góc với
( )
d
nên một VTCP của
( )
∆
là
,n u
 
 
r r
0.25
Ta có
( )
, 5;0;5n u
 
=
 
r r
hay một VTCP của
( )
∆
là
( )
1;0;1
0.25
PTTSố của
( )

∆
là
1
4
x t
y
z t
=


= −


= +


( )
t ∈ R
0.25
Câu 6: 1 điểm
*ĐKC: Giả sử BPT đã cho nghiệm đúng với
[ ]
1;3x∀ ∈ ⇒
BPT phải nhận

1x
=
và
2x
=

là nghiệm
2 17 1
3 23 1
m
m
 + ≤

⇒

+ ≤



8.m
⇔ = −
0.5
*ĐKĐ: Với
8m
= −
bất phương trình (1) có dạng:
2
2 8 7 1x x− + ≤
2
1 2 8 7 1 1 3.x x x⇔ − ≤ − + ≤ ⇔ ≤ ≤
Vậy với
8m
= −
thì bất phương trình (1) nghiệm đúng với
[ ]
1;3x∀ ∈

.
0.5
Câu 7:1 điểm
a) 1 điểm
Ta có:
2 2
1 2x y xy xy xy= + − ≥ −
1xy⇒ ≤

2
1 ( ) 3 3x y xy xy= + − ≥ −
⇒
1
3
xy ≥ −
Vậy ta có:
1
1
3
xy− ≤ ≤
0.25
( )
( )
2
2
2 2 2 2 2 2 2 2
3 1 3 2 2 1M x y x y xy x y x y xy= + − = + − = − + +
đặt
t xy
=

ta cã
2
1
2 2 1, ;1
3
M t t t
 
= − + + ∈ −
 
 
0.25
Xét hàm số
2
1
( ) 2 2 1, ;1
3
f t t t t
 
= − + + ∈ −
 
 
và lập đúng BBT của hàm số
( )f t
trên
đoạn
1
;1
3
−
 

 
 
0.25
Từ BBT ta có:
2 2
1
1 3
max ( )
2
2 2
1
xy
M f
x y xy

=

= = ⇔


+ − =

3 5 3 5
;
2 2
3 5 3 5
;
2 2
x y
x y


+ −

= =

⇔

− +

= =


2 2
1
1 1
min ( )
3
3 9
1
xy
M f
x y xy

= −

= − = ⇔


+ − =


3 3
;
3 3
3 3
;
3 3
x y
x y

= = −


⇔

= − =


0.25
b) 1 điểm
Ta có:
2 2
x xy y+ +
=
2 2 2
3 3
2 2 2
x y x y x y+ − +
     
+ ≥
 ÷  ÷  ÷

     
0.25

⇒
( )
2 2
3
2
x xy y x y+ + ≥ +
(1) ( do
, , 0x y z ≥
)
0.25
Tương tự ta có:
( )
2 2
3
2
y yz z z y+ + ≥ +
(2)

( )
2 2
3
2
x xz z x z+ + ≥ +
(3)
0.25
Cộng (1), (2), (3) theo vế ta có ĐPCM. Dấu bằng xảy ra khi
0x y z= = ≥

.
0.25
Lưu ý khi chấm bài:
-Đáp án chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh. Khi
chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó.
-Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm.
-Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được
điểm.
-Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau.
-Trong lời giải câu 4 nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ sai hình không cho điểm.
-Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
-----------------HẾT--------------------