Tài liệu Ôn tập giải tích (1) doc

Đề 1:
Câu 1: Tìm khai triển Taylor của
2
( , )
x y
f x y
x y
+
=
+
tại điểm (2,1) đến cấp 3.
X=x-2, Y=y-1
f(X,Y)= = 1+ = 1 + [1-(X/3 +Y/3)+ (X/3 +Y/3)
2
-(X/3 +Y/3)
3
+ o(ρ
3
)]
= + X - Y - X
2
+ Y
2
+ XY + X
3
- Y
3
- XY
2
+ o(ρ
3

)
= + (x-2) - (y-1) - (x-2)
2
+ (y-1)
2
+ (x-2)(y-1) + (x-2)
3
- (y-1)
3
- (x-2)(y-1)
2
+ o(ρ
3
)
Câu 2:tìm cực trị của hàm
2 2
12 3z x y xy x y= + + − −
Điểm dừng: <=> x=7, y=-2
A= z’’
xx
=2, B=z’’
xy
=1, C=z’’
yy
=2
Δ=AC-B
2
=3>0, A=2>0 =>z(x,y) đạt cực tiểu tại (7,-2)
Câu 3: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số
∑

∞
=
1n
n
n
v
u
với u
n
=
n
n






+
2
1
2
và v
n
=
2
2
1
n
n







+
= = = 2/e
2
<1 =>
∑
∞
=
1n
n
n
v
u
hội tụ theo tiêu chuẩn Cauchy
Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
1 2
1
( 1)
4 (3 1)
n n
n
n
x
n
−

∞
=
−
−
∑
ρ= = =1/4
=> -4<x
2
<4 => -2<x<2
x= 2 : = hội tụ theo tc Leibnitz
Miền hội tụ: [-2;2]
Câu 5: Tính tích phân kép
2 2
1
D
I dxdy
x y
=
∫∫
+
, trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi
2 2
2 6 ,x x y x y x≤ + ≤ ≥
x=rcosφ, y=rsinφ
2 2
1
D
I dxdy
x y
=

∫∫
+
= = = 4-2
Câu 6: Tính tích phân
( )
( )
2
2
cos
x
C
I e xy dx y y x dy= + + +
∫
với C là chu vi tam giác ABC, A(1,1),
B(2,2), C(4,1), chiều kim đồng hồ.
Các đk công thức Green thỏa
Chiều C ngược chiều quy ước
( )
( )
2
2
cos
x
C
I e xy dx y y x dy= + + +
∫
= = =-7/2
Câu 7: Tính
( )= + + +
∫Ñ

C
I ydx z x dy xdz
, với C là giao của
2 2
1+ =x y
và
1z y= +
, chiều kim đồng hồ
theo hướng dương trục 0z.
Công thức Stokes
I = = =
= = =
Câu 8: Tính tích phân mặt loại một
( )
2 2
= +
∫∫
S
I x y dS
, trong đó S là phần mặt nón
2 2 2
z x y= +
, nằm
giữa hai mặt phẳng
0, 1z z= =
.
D=pr
xOy
S là hình chiếu của phần mặt nón xuống xOy, D={x
2

+y
2
=1}
( )
2 2
= +
∫∫
S
I x y dS
= = /2
Đề 2:
Câu 1. Cho hàm
2
( , )
xy
f x y xe=
. Tính
2
(2,1)d f
.
f'’
x
= +xy
2
f’’
xx
= 2y
2
+ xy
4

=> f’’
xx
(2,1)= 4e
2
f’’
xy
= 4xy + 2x
2
y
3
=> f’’
xy
(2,1)=16e
2
f’
y
=2x
2
y
f’’
yy
= 2x
2
+4x
3
y
2
=> f’’
yy
(2,1)=40e

2
 d
2
f(2,1)=4e
2
dx
2
+ 32e
2
dxdy + 40e
2
dy
2
Câu 2. Tìm gtln, gtnn của
2 2
2 2 1
( , ) ( )
x y
f x y y x e
− +
= −
trên miền
2 2
{( , ) | 4}D x y x y= + ≤
 x=0,y=0 v x=1,y=0 v x=-1,y=0
Xét: L(x,y,λ)= +λ(x
2
+y
2
-4)

 x=0,y= , λ=-5e
5
v x= ,y=0, λ=-3e
-3
f(0,0)=0 f(1,0)=-1 f(-1,0)=1
f(0,2)= f(0,-2)=4e
5
f(2,0)= f(-2,0)=-4e
-3
Maxf=4e
5
x
2
+y
2
4
Minf=-1
x
2
+y
2
4
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số: a/
)2(
2
2
1
+
∞
=

∑






+
−
nn
n
n
n
b/
1
1
3.
)2...(6.4.2
)12...(5.3.1
+
∞
=
∑
−
n
n
n
n
a) = = =1/e
3

<1

)2(
2
2
1
+
∞
=
∑






+
−
nn
n
n
n
hội tụ theo tc Cauchy
b) = = 6>1

1
1
3.
)2...(6.4.2
)12...(5.3.1

+
∞
=
∑
−
n
n
n
n
phân kỳ theo tc D’alembert
Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa
3
1
( 1) ( 3)
2 ln
n n
n
x
n n
∞
=
− −
∑
+
ρ= = = 1
=> -1<x-3<1=> 2<x<4
x=2: phân kỳ theo tc so sánh
x=4: hội tụ theo tc Leibnitz
Miền hội tụ (2,4]
Câu 5. Tính tích phân kép

2 2
x y
D
I e dxdy
− −
=
∫∫
, trong đó D là miền phẳng giới hạn
bởi
2 2
1 4, 0, 3x y y y x≤ + ≤ ≥ ≤
2 2
x y
D
I e dxdy
− −
=
∫∫
= = (e
-4
-e
-1
)
Câu 6. Tính tích phân
( ) ( )
C
I x y dx x y dy= + + −
∫
, với C là phần đường cong
siny x x= +

, từ
(0,0)A
đến
( , )B
π π
.
= => tích phân ko phụ thuộc đường đi
( ) ( )
C
I x y dx x y dy= + + −
∫
= =
Câu 7. Tìm diện tích phần mặt cầu
2 2 2
z R x y= − −
nằm trong hình trụ
2 2
x y Rx+ =
.
Gọi S là phần mặt cầu
2 2 2
z R x y= − −
nằm trong hình trụ
2 2
x y Rx+ =

D=pr
xOy
S, D={x
2

+y
2
Rx}
S= dxdy = rdr =2R(
Câu 8. Tính tích phân mặt loại hai
3 3 3
= + +
∫∫
S
I x dydz y dxdz z dxdy
, với S là biên vật thể giới hạn bởi
2 2 2 2 2
4,+ + ≤ ≥ +x y z z x y
, phía trong.
Các đk công thức Gauss thỏa
3 3 3
= + +
∫∫
S
I x dydz y dxdz z dxdy
= -
=-3 = (
Đề 3:
Câu 1. Cho hàm
( , ) (2 )ln
x
f x y x y
y
= +
. Tính

2
(1,1)d f
f’x= 2ln + (2x+y)/x
f’’xx= 2/x –y/x
2
=> f’’xx(1,1)=1
f’’xy= -2/y +1/x => f’’xy(1,1)=-1
f’y= ln - (2x+y)/y = ln -2x/y -1
f’’yy= -1/y +2x/y
2
=> f’’yy(1,1)=1
 d
2
f(1,1)=dx
2
-2dxdy+dy
2
Câu 2. Tìm cực trị của hàm số z = xy +
x
3
+
y
9
với x > 0, y > 0
Điểm dừng:
 x=1, y=3
A=z’’
xx
=6/x
3

B=z’’
xy
= 1 C=z’’
yy
=18/y
3
Δ=AC-B
2
= -1
x=1, y=3 => Δ=3>0, A=6>0 => z(x,y) đạt cực tiểu tại x=1, y=3
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số
1
1 4 7 (3 2)
(2 1)!!
n
n
n
∞
=
× × −
∑
−
L
Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa
1
!( 4)
n
n
n
n x

n
∞
=
−
∑
ρ= = =
n
=1/e
=> -e<x-4<e => -e+4<x<e+4
x= -e+4: = phân kỳ
x= e+4: phân kỳ theo so sánh
Miền hội tụ (-e+4,e+4)
Câu 5. Tính tích phân kép
( 2)
D
I x dxdy= +
∫∫
, trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi
2 2
1, 0
9 4
x y
y+ ≤ ≥
x=3rcosφ, y=2rsinφ
( 2)
D
I x dxdy= +
∫∫
= = 6
Câu 6. Tính tích phân

( ) ( )
2 3 2
C
I x y dx x y dy= + + +
∫Ñ
, trong đó C là biên của miền phẳng giới hạn
bởi
2
2 ,y x y x= − = −
, chiều kim đồng hồ.
S là biên của miền phẳng giới hạn bởi
2
2 ,y x y x= − = −
Các đk CT Green thỏa, C ngược chiều quy ước
( ) ( )
2 3 2
C
I x y dx x y dy= + + +
∫Ñ
= = -2 = -9
Câu 7. Tìm diện tích phần mặt
2 2
z x y= +
nằm trong hình cầu
2 2 2
2x y z z+ + =
.
S là phần mặt
2 2
z x y= +

nằm trong hình cầu
2 2 2
2x y z z+ + =
.
D=pr
xOy
S, D={x
2
+y
2
1}
S= dxdy = rdr =
Câu 8. Tính
2=
∫∫
S
I xdS
, với S là phần mặt trụ
2 2
4+ =x y
nằm giữa hai mặt phẳng
1, 4z z= =
.
S1={x= }, S2={ x= }
D1=pr
yOz
S1=D2=pr
yOz
S2
2=

∫∫
S
I xdS
= + = 2 dydz + 2 dydz =0
Đề 4:
Câu 1. Cho hàm
2 2
( , ) 4 sin ( )f x y y x y= + −
. Tính
2
(0,0)d f
f’x= 2sin(x-y)cos(x-y)=sin2(x-y)
f’’xx= 2cos2(x-y)=> f’’xx(0,0)=2
f’’xy= -2cos(x-y)=> f’’xy(0,0)=-2
f’y= 8y-2sin(x-y)cos(x-y)=8y-sin2(x-y)
f’’yy= 8+2cos2(x-y) => f’’yy(0,0)=10
 d
2
f(0,0)=2dx
2
-4dxdy+10dy
2
Câu 2. Tìm cực trị của hàm
3 2
12 8 .z x y x y= + −
Điểm dừng:
 x=2, y=-4
A=z’’
xx
=6xy+24 B=z’’

xy
= C=z’’
yy
=0
Δ=AC-B
2
= -9 =-144<0
 z(x,y) ko có cực trị
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số
1
2 5 8 (3 1)
1 5 9 (4 3)
n
n
n
∞
=
× × −
∑
× × −
L
L
= =3/4 <1

1
2 5 8 (3 1)
1 5 9 (4 3)
n
n
n

∞
=
× × −
∑
× × −
L
L
hội tụ theo tc D’alembert
Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa
3
1
( 1) ( 1)
2 ( 1)ln( 1)
n n
n
n
x
n n
∞
=
− +
∑
+ +
= =1/8
=> -8<x+1<8 => -9<x<7
x=-9: phân kỳ theo tc tích phân
x=7: hội tụ theo tc Leibnitz
 Miền hội tụ (-9,7]
Câu 5. Tính tích phân
)2222

ln(. yxyx
D
++
∫∫
dxdy với D là miền 1
≤
x
2
+y
2
≤
e
2
x=rcosφ, y=rsinφ
)2222
ln(. yxyx
D
++
∫∫
dxdy = )rdr = (2/9e
3
+1/9)
Câu 6. Cho P(x,y)= y, Q(x,y)= 2x-ye
y
. Tìm hàm h(y) thảo mãn điều kiện: h(1)=1 và biểu thức
h(y)P(x,y)dx+ h(y)Q(x,y)dy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó. Với h(y) vừa tìm, tính tích phân
[ ]
∫
+
L

dyyxQyhdxyxPyh ),()(),()(
trong đó L là đường cong có phương trình: 4x
2
+9y
2
=36, chiều
ngược kim đồng hồ từ điểm A(3,0) đến B(0,2).
h(y)P(x,y)dx+ h(y)Q(x,y)dy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó
 = => h(y) =y+c
h(1)=1 => c=0
 h(y)= y
[ ]
∫
+
L
dyyxQyhdxyxPyh ),()(),()(
=
= = -2e
2
+2
Câu 7. Tìm diện tích phần mặt
2 2
2z x y+ + =
nằm trong hình paraboloid
2 2
z x y= +
.