Bat dang thuc

<span class='text_page_counter'>(1)</span>tµi liÖu tham kh¶o. bất đẳng thức đại số I.KiÕn thøc c¬n b¶n: 1.C¸c bÊt d¼ng thøc th«ng dông: a) ∀ A : A 2 ≥ 0 , A 2=0 ⇔ A=0 . b)Cho a> 0 , ta cã: | A|≤ a ⇔− a ≤ A ≤ a . | A|≥ a ⇔ A≤−a ¿ A ≥a . ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ c) ∀ a , b :|a|−|b|≤|a+ b|≤|a|+|b| .. 2.§¼ng thøc liªn quan:. a). c − a ¿2 b − c ¿ 2+¿ a − b ¿2 +¿ ¿. .. 1 a2 +b 2+ c 2 −ab − bc − ca= ¿ 2 b) a3 +b 3+ c 3 − 3 abc=(a+ b+c )(a2 +b 2+ c2 −ab − bc − ca) .. II.C¸c vÝ dô : VÝ dô 1: Chøng minh r»ng ∀ a , b ≥0 , ta cã : a+b ≥ 2 √ ab . Vµ a+b=2 √ ab ⇔a=b . (Bất đẳng thức Cô-Si). Chøng minh: 2 Ta cã √ a − √ b ¿ ≥ 0 . Suy ra a+b − 2 √ ab ≥ 0 . a+b − 2 √ab=¿ VËy a+b ≥ 2 √ ab . 2 Vµ √ a − √ b ¿ =0 ⇔ √ a − √ b=0 ⇔ a=b . a+ b=2 √ ab ⇔ a+b −2 √ ab=0 ⇔ ¿ VÝ dô 2: Chøng minh r»ng ∀ a , b , c ≥ 0 , ta cã : Vµ. x+ y ¿ 2 ≤ 4 ⇔ −2 ≤ x + y ≤2 4 x + y ¿ ≥ 0 ⇔0 ≤ ¿ . x+ y ¿2 −¿ ⇒ 4¿. a+b +c=3 √3 abc ⇔ a=b=c .. (Bất đẳng thức Cô-Si). Chøng minh: 2 2 2 Ta cã a+b +c − 3 √3 abc= 1 ( √3 a+ √3 b+ √3 c ) [ ( √3 a − √3 b ) + ( √3 b− √3 c ) + ( √3 c − √3 a ) ] ≥ 0 . 2 Suy ra a+b +c − 3 √ abc ≥0 . 2 x+ y ¿ ≤ 4 ⇔ −2 ≤ x + y ≤2 4 x+ y ¿ ≥ 0 ⇔0≤ ¿ VËy . 2 x+ y ¿ −¿ ⇒ 4¿ Vµ a+b +c=3 √3 abc ⇔ a=b=c . 2 VÝ dô 3: Chøng minh r»ng : ac+2bd ¿2 , ∀2 a , b2 , c , d . (a +b )(c +d )≥ ¿ 3. DÊu “=” x¶y ra khi nµo ?.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> (Bất đẳng thức Bunhiacôxki ).. Chøng minh:. ad − bc ¿2 ≥ 0 Ta cã ac+ bd ¿2=a 2 d 2 +b2 c 2 − 2 acbd=¿ . (a2 +b 2)(c 2 +d 2 )− ¿ 2 bd ¿ ≥ 0 Suy ra ac+ . 2 2 (a +b )( c2 +d 2 )− ¿ bd ¿2 VËy ac+ . DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi 2 2 2 2 (a +b )(c +d )≥ ¿. ad=bc .. VÝ dô 4: Chøng minh r»ng : 2. x 1 x 2+ y 1 y 2 + z 1 z 2 ¿ , 2 (x 1+ y12+ z 21 )(x22 + y 22 + z 22) ≥ ¿. ∀ x1 , x2 , y1 , y2 , z1 , z2 .. DÊu “=” x¶y ra khi nµo ?. (Bất đẳng thức Bunhiacôxki ).. Chøng minh: 2. x 1 x 2+ y 1 y 2 + z 1 z 2 ¿ 2 (x 1+ y12+ z 21 )(x22 + y 22 + z 22) ≥ ¿ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ⇔ x 1 y 2 + y 1 x2 + x 1 z 2 + z 1 x 2 + y 1 z 2 + z 1 y 2 ≥2 x 1 x 2 y 1 y 2+ 2 x 1 x 2 z1 z 2+ 2 y 1 y 2 z 1 z 2 : luôn đúng.. VÝ dô 5: Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc. Chøng minh r»ng : 2 2 2 a) a +b ≥ a+ b ≥ ab .. ( ) ( ) ( ) ( ). 2 2 3 3 b) a +b ≥ a+b ,víi a+b ≥ 0 . 2 2 2 2 2 2 c) a +b +c ≥ a+ b+c ≥ ab + bc+ca . 3 3 3 3 3 3 3 d) a +b +c ≥ a+b+c abc . 3 3 3. DÊu “=” xÈy ra khi nµo ? VÝ dô 6: Cho a2 +b 2=1 . Chøng minh r»ng : − √ 2 ≤a+ b ≤ √2 . Chøng minh: 2 2 2 2 Ta cã a+b ¿ ≤ 2(a + b )=2 . Suy ra a+b ¿ ≤ 2 ⇔|a+b|≤ √ 2 . ¿ ¿ VËy − √ 2 ≤a+ b ≤ √ 2 . VÝ dô 7:Chøng minh r»ng ∀ a , b ta cã : a2 +b 2 ± ab ≥ 0 . DÊu “=” x¶y ra khi nµo ? Chøng minh: 2. Ta cã a2 +b 2 ± ab=a2 ±ab+ 1 b2 + 3 b2= a ± 1 b + 3 b2 ≥ 0 . 4. 4. (. 2. ). 4. Suy ra a2 +b 2 ± ab ≥ 0 . DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi. ¿ 1 a ± b=0 2 . b=0 ⇔ a=b=0 ¿{ ¿. III.C¸c bµi tËp: Bµi 1. Cho x, y, z lµ c¸c sè thùc d¬ng. Chøng minh r»ng : a) 1 + 1 ≥ 4 . b). x y x+ y 1 1 1 9 + + ≥ . DÊu “=” xÈy ra khi nµo ? x y z x+ y+ z.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Bµi 2.Cho a+b=2 . Chøng minh r»ng : a 4 +b4 ≥ 2 . a. b. + ≥ √ a+ √ b . Bµi 3. Cho a , b>0 . Chøng minh r»ng: √b √ a Bµi 4.Chøng minh r»ng víi 3 sè d¬ng a, b, c bÊt k×, ta lu«n cã 3. 3. 3. a b c a+b+ c . + 2 + 2 ≥ 2 2 2 2 3 a +ab+b b + bc+c c +ca +a 3 (Híng dÉn: Ta cã 2 a 2 ≥ 2 a −b ). 3 a +ab+b Bµi 5. Cho x, y, z tháa m·n ®iÒu kiÖn x 2+ y 2 + z 2=1 . Chøng minh r»ng : 1 − ≤ xy +yz +zx ≤1 . 2. Bµi 6. Cho 3 sè a, b, c bÊt k×, chøng minh r»ng : 2 a) ab+ bc+ ca ¿ ≥3 acb (a+ b+c ) . ¿ a  b  c  d 2  (a  c ) 2  (b  d )2 2. b). 2. 2. 2. 2. 2. 2. .. 2. 2 2 2 2 2 Híng dÉn: a  b  c  d  (a  c)  (b  d )  a  b . c  d ac  bd , DÊu “=” xÈy ra khi ad  bc 0 . 3 3 3 c) a  b  c  6abc (a  b  c)(ab  bc  ca) ; 3. d) (a  b  c)  9abc 4(a  b  c)( ab  bc  ca) . Bµi 7.Cho a, b,c > 0. Chøng minh r»ng : √ a2 +ab+ b2+ √ b2 +bc +c 2 +√ c 2+ca + a2 ≥ √ 3(a+ b+c ) . (Híng dÉn: Ta cã √ a2 +ab+ b2 ≥ √3 ( a+b) ). 2. 1 1 2 + ≥ . 2 2 1+ a 1+b 1+ ab 1 1 1 3 + + ≥ . 3 3 3 1+ a 1+b 1+ c 1+ abc. Bµi 8.a)Cho ab ≥ 1 . Chøng minh r»ng : b)Cho a , b , c ≥ 1 . Chøng minh r»ng : Híng dÉn: b− a ¿2 (ab− 1) ¿ ¿ a) . 1 1 2 + ≥ ⇔¿ 2 2 1+a 1+b 1+ab. b)¸p dông c©u a) cho biÓu thøc. 1 1 1 1 + + + . 3 3 3 1+ a 1+b 1+ c 1+ abc. áp dụng bất đẳng thức Cô si : Bµi 9.Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n 1 + 1 = 2 . Chøng minh r»ng a c b A=(3 − x )(4 − y)(2 x +3 y) . DÊu “=” xÈy ra khi nµo?. Híng dÉn: Ta cã 1 + 1 = 2 . Suy ra b= 2 ac .. a c b a+c a+b c+ b a+3 c 3 a+c 3 c a + = + =1+ ( + ) ≥ 4 . DÊu “=” xÈy ra khi a=b=c. 2a−b 2c−b 2a 2c 2 a c. Vµ Bµi 10.Cho x, y, z lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n xyz=1. Chøng minh r»ng 1+ x 2 1+ y 2 1+ z 2 + + ≥3 2 2 2. ( ) ( )( ). DÊu “=” xÈy ra khi nµo?. vµ. 1+ x 3 1+ y 3 1+ z 3 + + ≥3 . 2 2 2. ( ) ( )( ).

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Bµi 11.Cho x, y, z thuéc ®o¹n [0; 1] . Chøng minh r»ng : x y z 3 1 1 1 + + ≤ ≤ + + 2 2 2 2 1+ x 1+ y 1+ z 1+ x 1+ y 1+ z. .. Híng dÉn:. x 1 ≤ . 2 1+ x 2 9 3 vµ 1 + 1 + 1 ≥ ≥ . 1+ x 1+ y 1+ z 3+ x+ y+ z 2 Bµi 12.Cho 3 sè d¬ng a , b , c . Chøng minh r»ng : t −1 ¿2 (t 2 +2t +3)≥ 0 . t 4 − 4 t +3 ≥0 ⇔ ¿. Ta cã. Híng dÉn: 2 abc Ta cã a2 + bc ≥ 2 a √ bc= . Suy ra 2 1 ≤ √ bc ≤ b+ c . √ bc a + bc 2 abc 4 abc Bµi 13. Cho a , b , c ≥ 0 vµ 1 + 1 + 1 ≥2 . Chøng minh r»ng : abc ≤ 1 . 1+ a 1+b 1+ c. 8. Híng dÉn: 1 1 1 + + ≥2 ⇒ 1 ≥ b + c ≥ 2 bc 1+ a 1+b 1+ c 1+ a 1+ b 1+c (1+ b)( 1+ c) 1 8 abc ≥ Suy ra . (1+a)(1+b)(1+c ) (1+a)(1+b)(1+c ) Bµi 14. Cho a , b , c tháa m·n ®iÒu kiÖn a+b +c=1 . Chøng minh r»ng : 1 1 1 1+ 1+ 1+ ≥ 64 . a b c. √. ( )( )( ). Híng dÉn: 4. 1 a+1 a+b+ a+c 2 √ ab+2 √ ac 4 √ a2 bc . 1+ = = ≥ ≥ a a a a a Bµi 15.Cho a , b ≥ 1 . Chøng minh r»ng : a √ b −1+b √ a −1 ≤ ab. Híng dÉn:. ⇔√. a √ b −1+b √ a −1 ≤ ab. a −1 √ b −1 + ≤1 a b. mµ √ a − 1 ≤ a −1+1 = 1 . a. 2a. 2. Bµi 16. Cho a , b , c >0 . Chøng minh r»ng : 1 1 1 1 1 1 1 + + ≤ + + 2 a+ b+c 2 b+ c+ a 2 c+ a+b 4 a b c Híng dÉn: ¸p dông 1 + 1 ≥ 4 (x, y >0 ). x y x+ y Bµi 17. Cho a , b , c >0 . Chøng minh r»ng : 1 1 1 1 1 1 1 + + ≤ + + . a+b b+c c + a 2 a b c Híng dÉn: ¸p dông 1 + 1 ≥ 4 (x, y >0 ). x y x+ y. (. (. ). Bµi 18. Cho a , b , c >0 . Chøng minh r»ng : a) a + b + c ≥ 3 ; b). b+c c +a a+b 2 a2 b2 c2 a+ b+c + + ≥ b+c c +a a+b 2. .. ). .. ..

<span class='text_page_counter'>(5)</span> a b c d    2 c) b  c c  d d  a a  b . + b+c c +a a+b 15 + + ≥ d) a + b + c . b+c c +a a+b a b c 2. Híng dÉn: a) a + b + c ≥ 3. ⇔ (a+b +c)(. 1 1 1 9 + + )≥ . b+ c c +a a+b 2. b+c c +a a+b 2 1 1 1 ⇔ (2 a+2 b+2 c)( + + )≥ 9 : luôn đúng. b+ c c+ a a+b 2 2 2 b) a + b + c ≥ a+ b+c ⇔ (a+b +c)( a + b + c )≥ 3 (a+b+ c) . b+ c c +a a+b 2 b+c c +a a+b 2 a a 2a c) . = ≥ b+ c √ a (b+c ) a+ b+c Bµi 19. Cho a , b>0 vµ a+b=1 . Chøng minh r»ng : 1 1 2 3 + 2 2 ≥6 ; + 2 2 ≥ 14 . a) b) ab a + b ab a + b. √. Híng dÉn: a). 1 1 + 2 2 ≥6 ab a + b. ⇔ a2+ b2 +ab ≥ 6 ab(a2+ b2 )⇔ 12 a 2 b2 −7 ab+ 1≥ 0 .. Đặt t=ab , với t ≤ 1 . Suy ra f (t)=12 t 2 −7 t +1≥ 0 : luôn đúng. 4 Bµi 20.(§H2011A)Cho x, y, z lµ ba sè thùc thuéc ®o¹n [1; 4] vµ x ≥ y , x ≥ z . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P= x + y + z . 2 x +3 y y + z z + x Híng dÉn: 1. P=. 2+3. y x. 1. +. 1+. +. 1. z x 1+ y z. ≥. (áp dụng bất đẳng thức :. 1. 2. +. y x . 1+ x y 1 1 2 + ≥ 1+ a 1+b 1+ √ ab. √. 2+ 3. ( ab ≥ 1 ). DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ. khi a=b hoÆc ab=1 ). DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi x= y hoÆc x=z (1). §Æt. √. x =t , víi y. t ∈ [ 1 ; 2 ] . Ta cã. P≥. t2 2 . + 2 2t +3 1+t. 2 XÐt hµm sè f (t)= t2 + 2. , víi t ∈ [ 1 ; 2 ] . Ta cã f ' (t)<0 . 2 t +3 1+t Suy ra f (t)≥ f (2)=34 . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi t=2 ⇔ x =4 ⇔ x =4 , y =1 (2). 33 y Suy ra P≥ 34 . Tõ (1) vµ (2) suy ra dÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi : 33 x=4 , y=1 , z=4 . VËy min P=34 , khi : x=4 , y=1 , z=4 . 33 Bµi 21.(§H2011B)Cho a vµ b lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n 2 2 2(a + b )+ab=(a+b)(ab+2) . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P=4. (. a 3 b3 a2 b 2 + − 9 + b 3 a3 b2 a 2. ) (. ). .. Híng dÉn: §Æt t= a + b , ta cã P=4 ( t 3 − 3t ) −9 ( t 2 − 2 )=4 t 3 − 9 t2 −12 t+18 . b a.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Víi 2(a 2+ b2)+ab=(a+b)(ab+2)⇔ 2 a + b + 1= 1 + 1 (ab+2) ⇔2. ( ab + ba )+1=( 1b + 1a )( ab+2). x+ y ¿2 x+ y ¿ 4 −2 ¿ . A=¿. (b a) (b a) a b 2 2 a b ⇔2 ( + )+1=a+b + + ≥2 √ 2( + ) b a a b √b √a. Bµi 22.(§H2009D)Cho c¸c sè thùc kh«ng ©m x, y tháa m·n x+ y=1 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc S=(4 x2 +3 y )(4 y 2 +3 x)+25 xy . 3 Bài 23.(ĐH2009B)Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn x+ y ¿ + 4 xy ≥ 2 .Tìm giá ¿ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A=3 (x 4 + y 4 + x 2 y 2)−2(x 2 + y 2)+1 . Híng dÉn: x 2+ y 2 ¿2 −2(x 2 + y 2)+1 . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi x 2= y 2 . 9 A≥ ¿ 4 x+ y ¿ 2 −2 ≥ 0 ⇒ x+ y ≥ 1 x + y ¿3 +¿ §Æt t=x 2+ y2 , víi x+ y ¿3 + 4 xy ≥ 2⇒ ¿ ¿ x+ y ¿2 ¿ Suy ra . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi x= y= 1 . ¿ 2 x 2+ y 2 ≥ ¿ Suy ra t ≥ 1 . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi x= y= 1 . 2 2 9 9 9 f (t )  t 2  2t  1 A ≥ t 2 − 2t +1 f ' (t)= t −2>0 4 Vµ . XÐt hµm sè , ta cã . 4 2. Suy ra f (t)≥ f ( 1 )= 9 . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi t= 1 ⇔ x= y = 1 . 2 16 2 9 1 Suy ra A ≥ . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi x= y= . 16 2 9 VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A b»ng ; khi x= y= 1 . 16 2. 2. Bµi 24.(§H2009A)Chøng minh r»ng víi mäi sè thùc d¬ng x, y, z tháa m·n x ( x+ y+ z )=3 yz , ta cã. Híng dÉn:. y+ z ¿3 x+ z ¿ +3( x+ y )( x + z)( y + z )≤ 5 ¿ . x+ y ¿ 3+ ¿ ¿ 3. y+ z ¿2 x + z ¿ 2 −(x + y)( x + z )=¿ Ta cã . x+ y ¿ 2+¿ x ( x+ y+ z )=3 yz ⇔ (x+ y )( x + z)=4 yz ⇔¿ y + z ¿3 Suy ra . y + z ¿ 2 .( y + z )=3 ¿ 3(x + y )( x+ z )( y + z)=3. 4 yz .( y+ z)≤3 ¿.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> vµ. y + z ¿3 y+ z ¿2 ≤2 ¿ x+ z ¿3 =(2 x+ y+ z) ¿ (v× x + y ¿3 +¿ ¿. 2 x + y + z ≤2( y+ z ) ).. Bµi 25.(§H2005D)Cho c¸c sè d¬ng x, y, z tháa m·n xyz=1. Chøng minh r»ng. √1+ x 3 + y 3 + √ 1+ y 3+ z 3 + √1+ z 3 + x3 ≥3 √ 3 .. xy. yz. zx. Bµi 26.(§H2005A)Cho x, y, z lµ c¸c sè d¬ng tháa m·n 1 + 1 + 1 =4 . Chøng minh x. y. z. 1 1 1 + + ≤1 . r»ng 2 x + y + z x+ 2 y + z x + y +2 z Híng dÉn:. Ta cã. 1 1 1 1 1 2 1 1 ≤ + ≤ + + 2 x + y + z 4 x + y x + z 16 x y z. (. ) (. ). . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi. x=y=z . 1 1 1 2 1 ≤ + + , x +2 y + z 16 x y z 1 1 1 1 2 ≤ + + . x + y +2 z 16 x y z 1 1 1 1 1 1 1 + + ≤ + + =1 . Suy ra 2 x + y + z x+ 2 y + z x + y +2 z 4 x y z Bài 27.(ĐH2006A)Cho hai số thực x ≠ 0 , y ≠ 0 thay đổi thỏa mãn điều kiện 1 1 2 2 ( x+ y) xy= x + y − xy . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc A= 3 + 3 . x y. T¬ng tù ta cã :. (. ). (. ) (. ). Híng dÉn:. 2 Ta cã ( x+ y) xy= x2 + y 2 − xy ⇔ 1 + 1 = 1 + 1 − 3. x. y. (x y). xy. ⇔. (. 1 1 2 1 1 3 3 1 1 + − + = ≤ + x y x y xy 4 x y. ) (. ). (. 2. ). . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi x=y . 1 1 1 2 1 1 1 1 + − 4 + ≤ 0 ⇒ + ≤ 4 . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi x= y= . 2 x y x y x y 2 3 Vµ A= 1 + 1 1 + 1 − 3 = 1 + 1 ≤ 64 . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi x y x y xy x y 1 x= y= . 2 VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña A b»ng 64; khi x= y= 1 . 2. Suy ra. ( (. ) ( ) ) [( ) ] (. ). Bài 28.Cho a là số cố định, còn x, y là các số thay đổi. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biÓu thøc Híng dÉn:. 2 x +ay +5 ¿2 x − 2 y +1 ¿2 +¿ . A=¿. min A=0 ⇔ a) x −2 y +1=0 cã nghiÖm ⇔ a≠ − 4 . 2 x +ay +5=0 ¿{ 2 x −4 y+ 5¿ 2 b)Với a=− 4 . Khi đó x − 2 y +1 ¿2 +¿ . A=¿.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> 2. 6 9 9 2t +3 ¿ =5 t +12t +9=5 t + + ≥ §Æt t=x − 2 y +1 . Ta cã 5 5 5 . 2 A=t +¿ 9 Suy ra A ≥ .DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi t=− 6 . 5 5 9 6 Suy ra min A= khi t=− . 5 5 VËy nÕu a ≠ −4 th× gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A b»ng 0, vµ nÕu a=− 4 th× gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A b»ng 9 . 5 Bµi t¬ng tù: Cho c¸c sè thùc x, y tháa m·n x+ 2≤ 2 y . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc H=5 x 2+ 20 y 2 −20 xy+22 x − 44 y +26 . Bµi 29. Cho c¸c sè thùc x, y tháa m·n x 2+ y 2 =1+ xy . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc T =x 4 + y 4 − x 2 y 2 . 2. ( ). 2. Híng dÉn: Ta cã x 2+ y 2 =1+ xy ≥2 xy vµ x 2+ y 2 =1+ xy ≥− 2 xy . Suy ra − 1 ≤ xy ≤1 . 3 1+xy ¿2 − 3 x2 y 2=− 2 x 2 y 2 +2 xy +1 vµ . x 2+ y 2 ¿2 −3 x 2 y 2=¿ T =¿ §Æt t=xy . Suy ra max T = 3 ; min T = 1 . 2 9 Bµi 30.Cho c¸c sè thùc x, y tháa m·n 0 ≤ x ≤3 , biÓu thøc A=(3 − x )(4 − y)(2 x +3 y) .. 0 ≤ y ≤ 4 . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña. Híng dÉn: 3 Ta cã A= 1 (6 − 2 x )(12− 3 y)(2 x+ 3 y )≤ 1 6 −2 x+12 −3 y +2 x+3 y =36 .. 6. 6. (. 3. ). DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi 6-2x=12-3y=2x+3y hay x=0, y=2. VËy maxA=36; khi x=0, y=2. Bµi 31.Cho c¸c sè thùc x, y, z tháa m·n x ≥ 3 , y ≥ 4 , z ≥ 2 . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc F= √ x − 3 + √ y −4 + √ z − 2 . x. Híng dÉn:. y. z. Ta cã: √ x −3= ( x − 3).3 ≤ x − 3+3 = x ⇔ √ x −3 ≤ 1 . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ 3 x 2 √3 2 √3 2 √3 khi x-3=3 hay x=6. T¬ng tù √ y − 4 ≤ 1 . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi y=8.. √. y 4 √ z −2 ≤ 1 . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi z=4. z 2 √2 Bµi 32.Cho c¸c sè thùc x, y, z tháa m·n xy + yz+zx =4 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc F=x 4 + y 4 + z 4 .. Híng dÉn: Ta cã x 2+ y 2 + z 2 ≥ xy+ yz+ zx=4 . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi x=y=z= ± 2 . x 2+ y 2+ z 2 ¿2 ¿ . ¿ 4 4 4 F=x + y + z ≥ ¿. Bµi 33.Cho x, y, z > 0 vµ x+y+z=1. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña P= x + y + z . x+ 1 y+ 1 z+ 1 Híng dÉn:.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Ta cã P=3 −( 1 + 1 + 1 ) . x+1. Mµ. y +1 z +1 1 1 1 (x+ y+ z+3)( + + )≥ 9 x+ 1 y +1 z+ 1. ⇔(. 1 1 1 9 + + )≥ . x +1 y +1 z +1 4. DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi x=y=z= 1 . 3. Suy ra P≤ 3 . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi x=y=z= 1 . 4 3 Bµi 34.Cho c¸c sè thùc d¬ng a, b, c tháa m·n abc=1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu bc thøc P= 2. ac ab + 2 . 2 2 a b+ a c b a+b c c a+c 2 b Híng dÉn: §Æt x= 1 , y= 1 , z= 1 . Ta cã xyz=1 vµ a b c 2 2 2 x y z x+ y + z 3 . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi x=y=z=1. P= + + ≥ ≥ y + z z+ x x + y 2 2 2. +. Bµi 35.(HSG TØnh NA 2007). 3. sin x π . > cos x , ∀ x ∈ 0 ; x 2 b)Cho hai sè thùc x, y tháa m·n a=x+ y , b= y + z ,c= z+ x . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt , gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc P=x 3 +2 y 2+3 x 2 +4 xy − 5 x . Bµi 36.(HSG TØnh NA 2006)Cho c¸c sè thùc x, y tháa m·n 0< x ≤ y < π . Chøng minh r»ng ( x 3 − 6 x )sin y ≤( y 3 −6 y )sin x . Bµi 37.(HSG TØnh NA 2000)Cho hai sè thùc x, y tháa m·n x> 0 , y > 0 , x + y=1 vµ m 1 m lµ sè d¬ng cho tríc. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña tæng S= 2 2 + . xy x +y. a)Chøng minh r»ng :. ( ). ( ). Bµi 38.(HSG TØnh NA 2008)Cho c¸c sè thùc d¬ng a, b, c . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc P= √ bc + √ ca + √ ab . a+3 √ bc b+ 3 √ca c+3 √ ab Híng dÉn: a b c + + ) . Ta cã 3 P=3 −( a+3 √ bc b+3 √ ca c +3 √ ab a b c + + §Æt Q= . Ta cã a+3 √ bc b+ 3 √ca c+3 √ ab √ a+ √b+ √ c ¿2 a b c ( + + )(a+3 √ bc+ b+3 √ ca+ c+ 3 √ab)≥ ¿ a+3 √ bc b+3 √ ca c +3 √ ab √ a+ √b+ √ c ¿2 ¿ √ a+√ b+ √ c ¿ +√ ab+ √ bc+ √ ca . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi ¿ ¿ ¿ ⇔ Q ≥¿ Suy ra P≤ 3 . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi a=b=c . 4 VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña P b»ng 3 ; khi a=b=c . 4 2. a=b=c .. Bµi 39.(HSG TØnh NA 2009)Cho c¸c sè thùc d¬ng x, y, z . Chøng minh r»ng 1 1 1 36 + + ≥ . x y z 9+ x 2 y 2+ y 2 z 2+ x 2 z2. Híng dÉn:.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> 1 1 1 36 + + ≥ ⇔( xy +yz +zx)(9+ x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2)−36 xyz ≥ 0 x y z 9+ x 2 y 2+ y 2 z 2+ x 2 z2. Ta cã. 2. 3. [. 4. 3. ]. 4. 3. 3. ⇔ 3 ( √ xyz ) 9+3 ( √ xyz ) −36 xyz ≥ 0 ⇔ ( √ xyz ) − 4 √ xyz+3 ≥ 0 . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi x= y=z . 2 2 Đặt t=√3 xyz , với t>0. Ta có t −14 ¿ (t +2t +3)≥ 0 : luôn đúng. t − 4 t +3 ≥0 ⇔ ¿. Bµi 40.(HSG TØnh NA 2010B) a)Cho x, y lµ c¸c sè thùc tháa m·n log4 ( x+ 2 y )+log 4 ( x −2 y )=1 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P=2 x −| y| . b)Cho c¸c sè thùc d¬ng a, b, c tháa m·n a+b +c=1 . Chøng minh r»ng ab bc ca 3    ab  c bc  a ca  b 2 .. Híng dÉn:. b)§Æt A= ab. bc ca . Ta cã + ab+c bc +a ca +a 1 9 a=b=c= . Suy ra A 2 ≤ . 3 4. √. +. √. √. A 2 ≤3. ( abab+c + bcbc+ a +caca +b ). . DÊu “=” xÈy. ra khi Bµi 41.(HSG TØnh NA2010A) a)Cho x, y lµ c¸c sè thùc tháa m·n log4 ( x+ 2 y )+log 4 ( x −2 y )=1 . Chøng minh r»ng 2 x −| y|≥ √ 15 . 2 2 2 2 b)Cho các số thực a, b, c không đồng thời bẳng 0, thỏa mãn a+b +c ¿ =2( a + b +c ) . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc Híng dÉn: a+b+ c ¿ 2. b)Ta cã a+b +c ¿ 2=2(a2+ b2 +c 2)⇔ ab +bc +ca= 1 ¿ . Suy ra 4. ¿. 3. a+ b+c ¿ ¿ ¿ . 3 3 3 4 (a + b +c ) P= ¿ §Æt x= a , y= b , a+b+ c a+b +c ¿ x + y + z=1 1 xy + yz+zx = 4 ⇔ . ¿ y + z =1− x 1 yz=x 2 − x+ 4 ¿{ ¿. z=. c . Ta cã a+b+ c. 2 2 2 Vµ y + z ¿ ≥ 4 yz ⇔ 3 x − 2 x ≤ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 3 . ¿. ¿ a3 +b 3+ c3 . P= (a+b+ c)(ab+ bc+ ca).

<span class='text_page_counter'>(11)</span> 1 4 3 3 2 x +¿=4 x + 4 x − 7 x+3 P=4(x 3 + y 3 + z 3)=4 ¿. (. 1− x ¿3 −(1− x) x 2 − x+. Suy ra. ). .. XÐt hµm sè f ( x)=4 x 3+ 4 x 2 − 7 x+ 3 , víi x ∈ 0 ; 2 3 f ' (x)=12 x 2+ 8 x −7=0 ⇔ x=. [ ] . Ta cã. 1 . 4. Bµi 42.Cho c¸c sè thùc d¬ng x, y, z tháa m·n x+ y+ z ≤ 3 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña 2. 2 P=x + y + z + . x+ y+ z 2. 2. 2. biÓu thøc Híng dÉn: §Æt t=x+ y+ z . Ta cã ( x+ y+ z)( 1 + 1 + 1 )≥9 x. y z. 1 1 1 9 ⇒ + + ≥ .Víi x y z t. t∈¿ .. Suy ra P≥ t + 9 . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi x=y=z=1. t. Bµi 43.Cho c¸c sè thùc d¬ng x, y tháa m·n 2 + 3 =6 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x y biÓu thøc S=x + y . Bµi 44.Cho c¸c sè thùc kh«ng ©m x, y tháa m·n x+ y=1 .T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc P= x + y . y +1 x+ 1. Bµi 45.Cho c¸c sè thùc d¬ng x, y, z tháa m·n x 2+ y 2 + z 2=1 . Chøng minh r»ng x y z 3 3 + + ≥ √ . y 2 + z 2 z 2+ x2 x 2 + y 2. 2. Híng dÉn:. x y z 3 3 + 2 2+ 2 2≥ √ 2 2 2 y +z z + x x + y. 2. 2. 2. x y z 3 √3 + + ≥ . 2 2 2 2 x (1− x ) y (1 − y ) z( 1− z ) 2 XÐt hµm sè f (t)=t (1 −t 2) , víi t ∈(0 ; 1) . Ta cã f (t)≤ . 3 √3 an +bn a+b n Bµi 46.Cho n lµ sè tù nhiªn lín h¬n 1. Chøng minh r»ng . ≥ 2 2. Ta cã. ⇔. ( ). Híng dÉn: c − x ¿n , víi c>0. Ta cã f (x) ≥ f ( c ) . n 2 f ( x)=x +¿ §Æt a=x , b=c − x . Suy ra a+b >0 . n n n VËy a +b ≥ a+b . 2 2. XÐt hµm sè. ( ). Bµi 47.(HSG12A-NA:2011-2012) Cho ba sè thùc x, y, z tháa m·n x  y  z xyz và x  1, y  1, z  1 . T×m gi¸ trÞ nhá P. nhÊt cña biÓu thøc Híng dÉn: P. x 1 y  1 z 1  2  2 y2 z x .. x  1 y  1 y  1 z  1 z  1 x  1   1  1  1    1  1  1     x y z   x 2 y2 z2  y2 z2 x2     (1)..

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Mà. x  1 y  1 y  1 z  1 z  1 x  1   y2 z2 x2.  1  1 1  1 1  1  x  1  2  2    y  1  2  2    z  1  2  2  y  z  z  x x y 2 2 2  x  1   y  1   z  1 xy yz xz (2). Tõ (1) và (2) suy ra  1 1 1 1 1 1 1 1 1  P     2  2  2  2    x y z x y z  xy yz zx  1 1 1   1 xy yz zx Tõu gi¶ thiÕt ta cã 1 1 1 1 1 1      1 2 2 2 x y z xy yz zx Mà. (3). (4).. (5).. 2.  1 1 1  1 1 1  1 1 1  x  y  z  3  xy  yz  zx   x  y  z  3    . (6).. Tõ (3), (4), (5) và (6) suy ra P  3  1 . DÊu b»ng xÈy ra khi x y z  3 . VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P là 3  1 . Bµi 48.(HSG12B-NA:2011-2012) Cho x,y,z lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n xyz=1. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc P. 1 1  x2. . 1 1 y2. . 1 1 z2. . ___________________________________________________________________ khai thác một số bất đẳng thức quen thuộc i.Phơng pháp biến đổi tơng đơng: Bµi to¸n 1: Cho a, b lµ c¸c sè thùc d¬ng. Chøng minh r»ng: a. b. a b + ≥ √ a+ √ b √b √ a 1. + + ≥2 . 1.1)Cho a, b lµ c¸c sè thùc d¬ng . Chøng minh r»ng √ b √ a √ a+ √ b Híng dÉn: a b a b 1 1 + ≥ √ a+ √ b . Suy ra + + ≥ √ a+ √ b+ ≥2 . Ta cã √b √ a √ b √ a √ a+ √b √ a+ √ b 1.2)Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc d¬ng. Chøng minh r»ng a2 b2 c2 2 + + + ≥2 . b+c c +a a+b a+b+c. Híng dÉn:. 2. Ta chøng minh. 2. 2. a b c a+ b+c . ThËt vËy: + + ≥ b+c c +a a+b 2. ..

<span class='text_page_counter'>(13)</span> 2. 2. 2. 2. 2. 2. a b c a+ b+c a b c 3 + + ≥ ⇔ a+ + b+ + c+ ≥ (a+b +c) b+c c +a a+b 2 b+c c +a a+b 2 a+b+ c a+ b+c a+ b+c 3 ⇔a +b +c ≥ (a+ b+c ) b +c c +a a+b 2 a b c 3 a b c 9 . ⇔ + + ≥ ⇔1+ +1+ +1+ ≥ b+ c c+ a a+ b 2 b+c c+ a a+ b 2 Mà 1+ a +1+ b +1+ c ≥(a+ b+c ) 1 + 1 + 1 ≥ 9 : luôn đúng. b +c c +a a+b a+b b+c c +a 2. (. (. ) (. ) (. )(. )(. ). ). (. ). 1.3)Cho x, y, z lµ nh÷ng sè thùc d¬ng . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc x y z 3 P= + + + . √ y+ √ z √ z + √ x √ x + √ y √ x+ √ y + √ z 1.4)Cho c¸c sè thùc d¬ng x, y, z tháa m·n x+ y+ z ≤ 3 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña 2. 2 P=x + y + z + . x+ y+ z 2. 2. 2. biÓu thøc Híng dÉn: §Æt t=x+ y+ z . Ta cã ( x+ y+ z)( 1 + 1 + 1 )≥9 x. 1 1 1 9 ⇒ + + ≥ .Víi x y z t. y z. t∈¿ .. Suy ra P≥ t + 9 . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi x=y=z=1. t Bµi to¸n 1.5: a)Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc tháa m·n a+b +c ≥ 0 . Chøng minh r»ng a+ b+c ¿3 ¿ . ¿ a3 +b 3+ c 3 ≥ ¿. b)Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc. Chøng minh r»ng a+ b+c ¿2 ¿ . ¿ a2 +b 2+ c 2 ≥ ¿. 1.6)Cho x, y, z lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n xy + yz+ xz=xyz . Chøng minh r»ng 3 3 3 x + y + z ≥ 81 . Híng dÉn: x + y + z ¿3 1 1 1 ¿ Ta cã . Mµ xy + yz+ xz=xyz ⇔ + + =1 . ¿ x y z 3 3 3 x + y + z ≥¿ Suy ra (x+ y+ z)( 1 + 1 + 1 )≥9 ⇔ x+ y + z ≥ 9 . x y z VËy x 3+ y3 + z 3 ≥ 81 . 1.7)Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n a+b +c=1 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña 3 3 3 biÓu thøc P= 1 + 1 + 1 . 1+ a 1+b 1+c. ( )( )( ). Híng dÉn: §Æt x= 1. 1+ a. , y= 1. 1+b. , z= 1. DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi. 1+ c. . Ta cã 1 + 1 + 1 =4 . Suy ra x+ y+ z ≥ 9 .. 3 x= y=z = 4. x. hay. y. z. 1 a=b=c= . 3. 4.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> P=x 3 + y 3 + z 3 ≥. Suy ra. a=b=c=. 81 . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi 64. x= y=z =. 3 4. hay. 1 . 3. VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P b»ng 81 , khi a=b=c= 1 . 64 3 1.8)Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc d¬ng. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc 3. P=. 3. a b c + + b+c c+ a a+ b. 3. ( )( ) ( ). .. Híng dÉn: §Æt x= a , y= b , z= c . Ta cã 1 + 1 + 1 ≥6 . Suy ra x+ y+ z ≥ 3 . b+c c +a a+b x y z 2 Bµi to¸n 1.9: Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc d¬ng . Chøng minh r»ng a2 b2 c2 a+ b+c . + + ≥ b+c c +a a+b 2. Híng dÉn:. a b c 3 a2 b2 c2 a+ b+c ⇔ (a+b +c)( + + )≥ (a+b+ c) . + + ≥ b+ c c +a a+b 2 b+c c +a a+b 2 a b c 3 1 1 1 9 ⇔ + + ≥ ⇔ (a+b +c)( + + )≥ . b+ c c+ a a+ b 2 b+ c c +a a+b 2 1 1 1 ⇔ (2 a+2 b+2 c)( + + )≥ 9 : luôn đúng. b+ c c+ a a+b 1.10)Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n ab+ bc+ ca=1 . Chøng minh r»ng a2 b2 c2 √ 3 . + + ≥ b+c c +a a+b 2. Híng dÉn: 2. a+b +c ¿ ≥ 3(ab +bc +ca)⇒a+ b+c ≥ √ 3 . ¿. 1.11)Cho x, y, z lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n x+ y+ z=1 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña. biÓu thøc. x+ y ¿ 2 ¿ y + z ¿2 ¿ 2 z+x¿ . ¿ ¿ ¿ ¿ P=¿. Híng dÉn: §Æt a=x+ y , b= y + z ,c= z+ x . Ta cã a+b +c=2 vµ a2 b2 c 2 a+b+ c P= + + ≥ =1 . b+ c c+ a a+ b. 2. Bµi to¸n 1.12:Cho x, y, z lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n xyz=1. Chøng minh r»ng 1+ x 2 1+ y 2 1+ z 2 + + ≥3 2 2 2. ( ) ( )( ). vµ. 1+ x 3 1+ y 3 1+z 3 + + ≥3 . 2 2 2. ( ) ( )( ). DÊu “=” xÈy ra khi nµo? 1.13)Cho x, y, z lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n xyz=1 . Chøng minh r»ng a) ( x+ y )2+ ( y + z )2 + ( z + x )2 ≥ 12 . b) ( x+ y )3+ ( y+ z )3 + ( z + x )3 ≥ 24 . 1.14)Cho x, y, z lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n x+ y+ z=1 . Chøng minh r»ng 2 2 2 1 x + y +z ≥ vµ x 3+ y3 + z 3 ≥ 1 . 3. 9.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> 1.15)Cho x, y, z lµ c¸c sè thùc tháa m·n x 2+ y 2 + z 2=1 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P=x 3 + y 3 + z 3 . 1.16)Cho x, y lµ c¸c sè thùc tháa m·n x 2+ y 2 =1 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P=x 3 + y 3 . Bµi to¸n 1.17: Cho a , b , c >0 . Chøng minh r»ng : 1 1 1 1 1 1 1 + + ≤ + + . a+b b+c c + a 2 a b c Híng dÉn: ¸p dông 1 + 1 ≥ 4 (x, y >0 ). x y x+ y. (. ). 1.18)Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n x ≠ 0 , y ≠ 0 . Chøng minh r»ng 1 1 1 1 + + ≤ . a+b b+c c +a 2 1.19)Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n a+b +c=1 . Chøng minh r»ng ab bc ca 1 + + ≤ . a+b b+c c +a 2 1.20)Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n a+b +c=1 . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc A= ab + bc + ca . a+b b+c c +a Híng dÉn:. √ √ √ √ √ √√ √ √. ab bc ca a+b b +c c+ a 1 + + ≤ + + ≤ (√ a+b+ √b+ c+ √ c+ a) a+b b+c c +a 2 a+b 2 √ b+ c 2 √ c +a 2 √ a+b+ b +c + c+ a ¿2 ≤ 6 (a+b+ c)=6 ⇒ √ a+b+ √b +c + √ c+ a ≤ √6 ¿ 6 √ Suy ra A ≤ . DÊu “=” xÈy ra khi a=b=c= 1 . 3 2 A=. Bµi to¸n 1.21.Chøng minh r»ng víi 3 sè d¬ng a, b, c bÊt k×, ta lu«n cã 3. 3. 3. a b c a+b+ c . + 2 + 2 ≥ 2 2 2 2 3 a +ab+b b + bc+c c +ca +a 3 (Híng dÉn: Ta cã 2 a 2 ≥ 2 a −b ). 3 a +ab+b 1.22)Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n a+b +c=1 .Chøng minh r»ng 3 3 3 a b c 1 . + + ≥ 2 2 2 2 2 2 a +ab+b b + bc+c c +ca +a 3 1.23)Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n abc=1 .Chøng minh r»ng a3 b3 c3 + + ≥1 . a2 +ab+b 2 b2 + bc+c 2 c 2 +ca +a2. Bµi to¸n 1.24:Cho a, b,c > 0. Chøng minh r»ng : √ a2 +ab+ b2+ √ b2 +bc +c 2 +√ c 2+ca + a2 ≥ √ 3(a+ b+c ) . (Híng dÉn: Ta cã √ a2 +ab+ b2 ≥ 3 (a+b) ). 2 1.25)Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n a+b +c=1 .Chøng minh r»ng : √ a2 +ab+ b2+ √ b2 +bc +c 2 + √ c 2+ca + a2 ≥ √ 3 . 1.26)Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n abc=1 .Chøng minh r»ng : √ a2 +ab+ b2+ √ b2 +bc +c 2 + √ c 2+ca + a2 ≥ 3 √3 . Bµi to¸n 1.27:Cho a , b , c >0 . Chøng minh r»ng : a2 b2 c2 a+ b+c + + ≥ b+c c +a a+b 2. Híng dÉn: Ta cã a + b + c ≥ 3 b+c c +a a+b. 2. . ⇔ (a+b +c)(. 1 1 1 9 + + )≥ . b+ c c +a a+b 2.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> 1 1 1 + + )≥ 9 : luôn đúng. b+ c c+ a a+b 2 2 2 vµ a + b + c ≥ a+ b+c ⇔ (a+b +c)( a + b + c )≥ 3 (a+b+ c) . b+ c c +a a+b 2 b+c c +a a+b 2 1.28)Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n a+b +c=1 .Chøng minh r»ng : a2 b2 c2 1 . + + ≥ b+c c +a a+b 2 1.29)Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n x= y=2 .Chøng minh r»ng : a2 b2 c2 3 . + + ≥ b+c c +a a+b 2 ⇔ (2 a+2 b+2 c)(. II.Ph¬ng ph¸p ®a vÒ hµm sè mét biÕn: 2.1)Cho x, y lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n 4 + 9 =5 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu x. y. thøc H=x + y + 4 . x+ y Híng dÉn: §Æt t=x+ y , víi 4 + 9 =5 .Ta cã : (x+ y)( 4 + 9 )≥ 25⇒ x+ y ≥ 5⇒ t ≥ 5 . x. y. x. y. 4 H=t + . t. Vµ 2.2)Cho c¸c sè thùc x, y, z tháa m·n xy + yz+zx =1 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu 4 thøc P=x 4 + y 4 + z 4 + 4 4 4 . Híng dÉn:. x + y +z. §Æt t=x 4 + y 4 + z 4 , víi x 2+ y 2 + z 2 ≥ xy+ yz+ zx=1 . Suy ra. x2 + y 2 + z 2 ¿ 2 ¿ . ¿ 4 4 4 x + y +z ≥ ¿. 2.3)Cho c¸c sè thùc a, b tháa m·n a2 +b 2=1 . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P=(a+b)( 2ab+ a+b) . Híng dÉn: Ta cã. a+b ¿ 2+(a+ b)− 1 a+b ¿2 −(a+b) . a+b ¿ 3+ ¿ ¿=¿ P=(a+b)¿ 2. 2. 2. §Æt t=a+ b , víi a2 +b 2=1 . Suy ra a+b ¿ ≤ 2(a + b )≤ 2⇔ − √ 2≤ a+ b≤ √ 2 ¿ hay t ∈[− √ 2; √2] . Vµ P=t 3 +t2 −t , víi t ∈[− √ 2; √2] . 2.4)Cho x, y lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n x+ y=xy . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P=x 3 + y 3 − 9 xy . Híng dÉn: x+ y ¿2 −3 xy x+ y ¿ 2 − 9(x+ y) Ta cã . x+ y ¿3 −3 ¿ ¿ − 9 xy=¿ P=(x+ y)¿ 2 x+y¿ §Æt t=x+ y , víi 1 x+ y=xy ≤ ¿ 4 3 2 Vµ P=t − 3 t −9 t , víi t ≥ 4 .. ⇒ x+ y≥4. ⇒t ≥4 ..

<span class='text_page_counter'>(17)</span> 2.5)Cho x, y lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n 1 + 1 =1 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu x. y. 4 P=x 2 + y 2+ . x+ y. thøc Híng dÉn: 2. x+ y ¿ −2(x + y )+. 4 x + y . §Æt. t=x+ y . Víi. P=¿. 1 1 ( x+ y)( + )≥ 4 ⇒ x + y ≥ 4 . x y. 2.6)Cho x, y, z lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n 1 + 1 = 1 . Chøng minh r»ng x. 2. y. z. 2. x +y z 33 . DÊu “=” xÈy ra khi nµo ? + ≥ 2 x+ y 4 z. Híng dÉn:. 2. x+y ¿ ¿ ¿ . DÊu “=” xÈy ra khi x= y 2 2 x +y z + ≥¿ 2 x+y z §Æt t= x + y . Víi 1 + 1 = 1 ⇒ x+ y ≥ 4 hay z x y z z 2 XÐt hµm sè f (t)= t + 1 , víi t ≥ 4 . 2 t. t ≥ 4 .DÊu “=” xÈy ra khi. x= y=2 z .. 2.7)Cho x, y, z lµ c¸c sè thùc d¬ng. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc 2 P=x 2 + y 2+ z2 + . x+ y+ z Híng dÉn: x+ y+ z ¿2 ¿ . DÊu “=” xÈy ra khi ¿ P≥¿. x= y=z . 2. §Æt t=x+ y+ z . Ta cã P≥ f (t)= t + 2 víi t> 0 . 3 t 2.8)Cho x, y, z lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n xyz=1 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P=x 2 + y 2+ z2 + 2 . x+ y+ z Híng dÉn: x+ y+ z ¿2 ¿ . DÊu “=” xÈy ra khi x= y=z . ¿ P≥¿ §Æt t=x+ y+ z . Ta cã x+ y+ z ≥ 3 √3 xyz=3⇒ t ≥ 3 2 vµ P≥ f (t)= t + 2 víi t ≥ 3 . 3 t. 2.9)Cho x, y lµ c¸c sè thùc d¬ng. Chøng minh r»ng 4 xy ( x 2+ y 2)+ x+ y ≥ 6 xy . Híng dÉn: 1 1 2 2 2 2 4 xy ( x + y )+ x+ y ≥ 6 xy ⇔ 4( x + y )+ + ≥ 6 . x. 4 x+ y . 1 1 2 2 4 ( x + y )+ + ≥2 ¿ x y x+ y ¿ 2+. y.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> §Æt t=x+ y . XÐt hµm sè f (t)=2 t 2+ 4 , víi t> 0 . t. 2.10)Cho x, y lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n x 2+ y 2 =xy ( x + y ) . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P=x 3 + y 3 − 6 xy . Híng dÉn: x + y ¿2 x+ y ¿ 3 −3 ¿ . P=¿. §Æt t=x+ y . Víi x 2+ y 2 =xy ( x + y ) . Ta cã Suy ra. x+ y ¿ ¿ ¿ ¿. 2. x+ y ¿ ¿ ¿ ¿. x+ y ¿3 ¿ ¿ xy ( x + y )≤ ¿. vµ. x+ y ¿ ¿ ¿ ¿. 2. 3. hay x+ y ≥ 2 . Vµ P=t 3 − 3 t2 , víi t ≥ 2 .. 2.11)Cho x, y lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n x 2+ y 2 =xy ( x + y ) . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P=x 3 + y 3 − 9(x + y )− 6 xy . 2 c)( a+b+ c) 2.12)Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n b+ c ¿ =a(b+ 2. a +¿. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P=a3+ b3 +c 3 +3( bc −2 a)(b +c) − 9(a+ b+c ) . Híng dÉn: §Æt x=a , y=b+c . 2.13)Cho x, y, z lµ c¸c sè thùc tháa m·n x 2+ y 2 + z 2=1 . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ 4 trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P=xy+ yz+ zx+ . xy +yz +zx +2 Híng dÉn:. §Æt t=xy + yz+ zx , víi x 2+ y 2 + z 2=1 ⇒ − 1 ≤ xy + yz+zx ≤1 hay t ∈ − 1 ; 1 . 2. Ta cã P=f (t)=t+ 4. t+ 2. [. 2. ]. , víi t ∈ − 1 ; 1 .. [. 2. ]. 2. t +2 ¿ ¿ t +2 ¿2 ¿ ¿ ¿. 4 f ' (t)=1 − ¿. .. 1 13 f (0)=2 , f (− )= , f (1)= 7 . 2 6 3 1 7 Suy ra Pmax=f (1)= khi t=1 hay x= y=z =± . 3 √3 vµ Pmin =f (0)=2 khi t=0 hay xy + yz+zx =0 vµ x 2+ y 2 + z 2=1 . 2.14)Cho x, y, z lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n 1 + 1 = 1 .Chøng minh r»ng x y z x+ y z 17 + ≥ . DÊu “=” xÈy ra khi nµo ? z x+ y 4 2.15)Cho x, y, z lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n 1 + 1 = 1 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x y z 1 biÓu thøc x 2+ y 2 + z 2 ≥ . 3.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> 2.16)Cho x, y, z lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n 1 + 1 = 1 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x. 3. biÓu thøc P= x + y +. ( z ) ( x +z y ). y. z. 3. .. 2.17)Cho x, y, z lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n 1 + 1 = 1 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x. 4. biÓu thøc P= x + y +. y. z. 4. ( z ) ( x +z y ). .. 2.18)Cho x, y, z lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n 1 + 1 = 1 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x. biÓu thøc P= x+ y +. √ √ z. y. z. z . x+ y. 2.19)Cho x, y lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n x 2+ y 2 +2=2(x+ y)+ √ xy . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A=2 xy+ √ xy − 4 . x+ y Híng dÉn: 2 2 2 Ta cã x+ y ¿ + 4 ≤ 2(x + y )+4=4(x + y )+2 √ xy ≤ 5( x + y) ¿ x+ y ¿ 2 −5 (x+ y )+4 ≤0 ⇔ 1≤ x+ y ≤ 4 . ⇒¿ 2 vµ x+ y ¿ −2(x + y )+2 . Suy ra 2 xy+ √ xy=¿ 4 2 x+ y ¿ −2( x + y )+2− x + y . §Æt t=x+ y , víi t ∈ [ 1 ; 4 ] . A=¿ Khi đó A=f (t )=t 2 −2 t+ 2− 4 ,với t ∈ [ 1 ; 4 ] . t 2 3 2 4 2 t −2 t + 4 2(t +1)(t −2 t+2) f ' (t)=2 t − 2+ 2 = = >0 . t t2 t2. Suy ra max A=f (4)=8 khi x=y=2; vµ min A=f (1)=5 khi x= y= 1 . 2 4 4 2.20)Cho x, y lµ c¸c sè thùc tháa m·n x + y =2 xy . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ 2. nhá nhÊt cña biÓu thøc. x+ y ¿ . 2 2 2 2 A=xy +3 x y + 2 xy (x + y )− ¿. Híng dÉn: x+ y ¿2 ¿ x 2+ y 2 ¿2 ¿ Ta cã x + y ¿4 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ x+ y ¿ 2 ≤ 4 ⇔ −2 ≤ x + y ≤2 x + y ¿4 ≥ 0 ⇔0 ≤ ¿ . x+ y ¿2 −¿ ⇒ 4¿ x+ y ¿2 Vµ 2 x+ y ¿ 4 −2 ¿ . §Æt t=x+ y , víi A=¿. t ∈ [ − 2; 2 ] ..

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Khi đó 2 A=f (t)=t 4 − 2t 2 ,với t ∈ [ − 2; 2 ] f ' (t)=4 t 3 − 4 t=0 ⇔ t=0 , t=±1 . f (0)=0 , f (±1)=− 1, f (± 2)=8 . Suy ra max A=4 khi x= y=± 1 . 1 min A=− khi x= 1+ √2 √ 7 −5 , y = 1 − √ 2 √ 7 − 5 hoÆc. 2 2 2 1− √2 √ 7 −5 1+ √ 2 √ 7 − 5 hoÆc −1+ √ 2 √ 7 −1 − 1− √ 2 √ 7 −1 hoÆc x= , y= x= , y= 2 2 2 2 −1− √ 2 √ 7 −1 − 1+ √2 √ 7 −1 . x= , y= 2 2 2.21)Cho c¸c sè thùc x ≠ 0 , y ≠ 0 tháa m·n x 4 + y 4 +2=2( x 2+ y 2)+ xy . T×m gi¸ trÞ 4 lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A=2 x 2 y 2 + xy − 2 2 . x +y. Híng dÉn:. 5 x 2+ y 2 ¿2 +2 ≤ x 4 + y 4 +2=2( x 2 + y 2 )+ xy ≤ ( x 2 + y 2 ) 2 Ta cã 1 ¿ 2 2 2 2 2 2 2 2 x + y ¿ −5( x + y )+ 4 ≤ 0 ⇔1 ≤ x + y ≤ 4 . ⇔¿ 4 x 2+ y 2 ¿2 −2(x 2 + y 2)+2 − 2 2 2 2 vµ x + y . §Æt t=x + y , víi t ∈ [ 1 ; 4 ] . A=¿ 2.22)Cho x, y lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n 2(x 3+ y 3)+ x 3 y 3 =6 x 2 y 2 . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A=4 1 + 1 + 3 . x y xy. (. ). Híng dÉn: 3. 3. 3. 3. 2. 2. 2( x + y )+ x y =6 x y ⇔ 4. Ta cã. ( x1 + y1 )+ 2=12xy 3. 3. vµ. 1 1 3 1 1 12 1 1 2 + + 2≤ 4 3 + 3 +2= ≤ 3 + . x y xy x y x y 3 2 Suy ra 1 + 1 + 2≤ 3 1 + 1 ⇔ 1 ≤ 1 + 1 ≤1+ √ 3 . x y x y x y §Æt t= 1 + 1 , víi t ∈ [ 1 ; 1+ √ 3 ] .Ta cã A=4 t +t 2 −t +1− 1 = t2 +3 t +1− 1 . x y 2t+2 2 t+ 2 1 2 XÐt hµm sè f (t) = t +3 t +1− ,víi t ∈ [ 1 ; 1+ √ 3 ] . 2 t+ 2 2 2 t+2 ¿ ¿ . ¿ 2 f ' (t)=2 t + 3+ ¿ Suy ra min A=f (1)=19 khi x= y=2 ; max A=f (1+ √3) khi x= y= √ 3 −1 . 4. (. ). (. (. ). ). (. (. ). ).

<span class='text_page_counter'>(21)</span>