Gioi han day so 1

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chương IV.GIỚI HẠN BÀI 1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A- TÓM TẮT KIẾN THỨC. 1. Định nghĩa giới hạn hữu hạn.  Dãy số (un) được gọi là có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu tuỳ ý, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim un= 0 hay un →0 khi n→+∞  Dãy số (un) được gọi là có giới hạn a khi n→+∞ Kí hiệu: lim un= a hay un → a khi n→+∞ 2. Định nghĩa giới hạn vô cực.  Dãy số (un) được gọi là có giới hạn + ∞ khi hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim un =+ ∞ hay un →+∞ khi  Dãy số (un) được gọi là có giới hạn −¿ ∞ Kí hiệu: lim un= −¿ ∞ hay un →−∞. |un|. có thể nhỏ hơn một số dương bé. nếu lim (un −¿ a)= 0. n→+∞ , nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ số. n→+∞ . khi n→+∞ , nếu lim ( −¿ un) = + khi n→+∞ .. ∞. 3. Các giới hạn đặc biệt.. 1. ∙ lim q n= 0 nếu|q|<1 +∞ nếu q>1 +¿ ∙ lim nk =+∞ , k ∈ Z ¿ u n=¿ lim c=c . Nếu un =c ( c làhằng số ) thì lim ¿. {. 1 ∙ lim =0 , lim 3 n 0 n +¿ 1 =0, k ∈ Z nk ∙ lim ¿. 4.. Định lí về giới hạn hữu hạn. a) Nếu lim un = a và lim vn = b, thì: o lim(un+ vn) = a + b ; o lim unvn = ab. ;. b) Nếu un ≥0 ∀ n và lim un=a thì a≥ 0 và c) Nếu |un| ≤ vn, n và lim vn = 0 thì. lim(un - vn) = a - b un a = lim v n b. √ u =√ a. n lim lim un = 0. B- PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.. Vấn đề 1: Tính giới hạn của dãy số nhờ vào các định lý về giới hạn  Phương pháp: Biến đổi biểu thức biễu diễn dãy số về dạng có thể áp dụng được định lí.. 1) Nếu biểu thức có dạng phân thức, ta thường chia tử số và mẫu số cho nk, trong đó k là số mũ cao nhất của n (hoặc qn với q là số lớn nhất có luỹ thừa n). 2) Nếu biểu thức không có dạng trên, tuỳ trường hợp có thể dùng các phép biến đổi sau: o Đặt thừa số chung để áp dụng định lí về giới hạn vô cực. o Nhân và chia cho biểu thức liên hợp để đưa về dạng phân thức, khi biểu thức chứa biến n dưới dấu căn.. Chú ý: ∙ lim ( un + v n )=lim un +lim v n ∙ lim ( un −v n ) =lim u n−lim v n ∙ lim ( un . v n ) =lim un . lim v n. Các giới hạn đặc biệt: với a là hằng số:. lim u n lim un ⁡ = , nếu v n ≠ 0. vn lim v n ⁡ ∙ lim ( k . un ) =k . lim un ∙ lim k =k , ( k làhằng số ) ∙.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> −¿. 0 →−∞ a 0+¿ →+∞ , ¿ a ¿.  Nếu a > 0:. −¿. 0 →+ ∞ a 0+¿ →−∞ , ¿ a ¿.  Nếu a < 0:. +) Nếu lim un = + thì. lim 1 =0 un. lim un . lim vn = a a >0. lim(unvn) . . a<0. . . a >0. . . a<0. . ∞ ∞. 0 ; +∞−(+∞ ) ; −∞+(+∞) ; 0 ta phải khử các dạng vô. Chú ý : khi gặp các dạng vô định: 0 .±∞ ; định đó bằng cách: chia tử và mẫu cho n hoặc x mũ lớn nhất; phân tích tử hoặc mẫu thành nhân tử để đơn giản, nhân cả tử và mẫu với một lượng liên hợp;… * Liên hợp của biểu thức:. 3. 3 n −2n+5 1+2 n3 VD1. Tính lim . 3 n3 2n 5 lim n − 3+ 3 n3 n n 3. 3 n 3−2n+5 1+2 n3 Giải: Ta có: lim =. ( (. 1 2 n3 n 3+ 3 n n 3. ). ). 2 5 2 5 + 3) 3− 2 + 3 2 n n n n 3 = 1 1 2 n3 ( 3 +2 ) +2 3 n n = lim. n3 (3− =¿ lim. 5 n +2 .3 n n VD2. Tính lim 4 +1 n. 5 +2 .3 n Giải: Ta có: lim 4 +1. 5n. n. = lim. (. 5 n 2.3 n + 5 n 5n. 4n 1 5 n+ n 5 5 n. (. ). =. ). 5. n. 3 5. n. [ ( )] [( ) ( ) ]. lim 5n 1+2∙. 4 n 1 + 5 5. 3 5 n 4 1 + 5 5. n. () ()() 1+2 ∙. = lim. n. n. Vì . . 3 5. n. 4 n 1 + 5 5. n. lim. 3 5. n. [ ( )] [ ( )] [( ) ( ) ] ( ) ( ). lim 1+ 2∙. =lim ⁡1+lim 2∙. 4 n 1 n = lim + lim =0+0=0 5 5. 5 n +2 .3 n +∞ n Vậy : lim 4 +1 =. √ 4 n2+1−n VD3. Tính. lim. =1+2. lim. 1+2 n. 3 n 3 3 n =1+2.0=1>0 do <1 nên lim =0 5 5 5. (). (. mà. 4 n 1 n + >0 5 5. ()(). () ).

<span class='text_page_counter'>(3)</span> lim n. 2. √ 4 n +1−n 1+2 n. Giải: Ta có: lim. lim ¿. √. =. (. n. √ 4 n2 + 1 − n n. n. ). ( 1n + 2nn ). lim. √ 4 n2 +1 − n n 1 2n + n n. =. n. lim =. √ 4 n2+ 1 −1 lim √ n2 = 1 +2 n. √. 4 n2 +1 −1 n2 1 +2 n. 4 n2 1 1 + 2 −1 lim 4+ 2 −1 2 n n n 2−1 1 = = = 1 1 2 2 +2 +2 n n. √. 2. n +3 n−7 n+1 VD4. Tính lim( n) 2 n +3 n−7 n ( n+1 ) n2+3 n−7 lim n ( n+1 ) −( n2 +3 n−7 ) lim − = n+1 n+1 n+1 n+1 Giải: Ta có : lim(n )= 7 −2+ 7 n −2 lim n −2+ =lim = =−2 2 2 n lim n +n−n −3 n+7 lim −2 n+7 1 1 ¿ = = 1+ n+1 n+1 1 n n 1+. (. ). (. ). ( n). VD5. Tính lim( 2n3+3n-1). 3 1 − 3 2 n3 3 n 1 2 Giải: Ta có lim (2n3+3n-1) = lim ⁡n n3 + n 3 − n3 =¿ lim n3( 2+ n n ) = + 3. VD6. Tính lim( -2n2+n. √n. Giải: Ta có : lim(-2n2+n. VD7. Tính lim(. (. - n+4) −2 n2 n √n n 4 lim n + 2 − 2 + 2 =¿ -n+4) = lim n2( -2 + n2 n n n 2. √n. √ n2+1+√ n2−n ). 1 1 ¿ lim n 1+ 2 +n 1− =¿ n lim n n. (√. √ ). √ n2+1−√ n2−n) 2. 2. lim ( √ n2 +1 ) −( √ n2−n ) =. (. ). 1 1 4 − + )=−∞ √ n n n2 .. 1 1 + n2 1− 2 n n. (√ ( ) √ (√ √ ) = lim. 1+. n2 1+. ( )). 1 1 + 1− =+ ∞ n n2. √ n2+1−√ n2−n). Giải: Ta có : lim( 2. ∞. √ n2+1+ √ n2−n ). Giải: Ta có : lim(. VD8. Tính lim(. ). 2. √ n +1+ √ n −n. =. ( √ n2 +1−√ n2−n)( √ n2 + 1+ √ n 2−n). √n 2+1+√ n2−n. =lim. lim ( n2 +1 ) −( n2−n ) 2. 2. √ n +1+√ n −n. =. lim n2 +1−n2 +n. √. ( n1 )+ √ n ( 1− 1n ). n 2 1+. 2. 2. =. lim 1+n 1 1 n 1+ 2 +n 1− n n. √. √.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> lim n ¿ n. (√. 1+. 1 +1 n. ( 1n +1). 1 1 + 1− 2 n n. √ ). = lim. 1 1 + 1− 2 n n. √ √ 1+. =. 1 2. LUYỆN TẬP. Bài 1: Tính. 3. n2 - 3n + 1- 2 a)lim 1- 4n. 4n2 - 3n + 1- 1 a)lim 2- 3n Bài 2: Tính. b ¿ lim. lim. b). 2 n −2 n+3 c¿ 3 1−4 n 4n3  3n  1. n. 7 +4 . 3 3n +1 c) lim. 3. lim n +2 n−1 a ¿ lim ( 2 −5 ) b ¿ 5 Bài 3: Tính: n +4 n−7 n. Bài 4: Tính:. n. n −2n 2 b) lim 1−3 n 4 n−5 n lim( √ 3n−1−√ 2n−1) e) lim 2 n +3 .5 n. d¿. n3  3n  2 ¿ b) lim 2n 2  1 Bài 5: Tính: a ¿ lim ¿. h) lim. . n2  n  n. c ) lim. . . l ) lim. . c) lim (n – 2n3).  3n  2 n  2n  1 3. e) lim 2.3n  5.4n. d ) lim 3n 2  n  1. n. 3. (1+2 n)(2−3 n ) ( 4 n−5)2 lim. a¿. c ¿ lim ( 4n + (−1 )n ). n3  2 n 2  1. . n 2  3n  n. f ) lim 3n 2  1  2n. .

<span class='text_page_counter'>(5)</span>