19 phuong phap chung minh BDT

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chuyên đề:. Bất đẳng thức. T¸c gi¶ : NguyÔn –V¨n –Thñy su tËp vµ biªn so¹n n¨m 2000 chØnh söa n¨m :2007 B¸c tÆng ch¸u - chóc ch¸u thµnh c«ng A- Më ®Çu: Bất đẳng thức là một trong những mảng kiến thức khó nhất của toán học phổ thông . Nhng thông qua các bài tập về chứng minh bất đẳng thức học sinh hiểu kỹ và sâu sắc hơn về giải và biện luận ph¬ng tr×nh , bÊt ph¬ng tr×nh ,vÒ mèi liªn hÖ gi÷a c¸c yÕu tè cña tam gi¸c vÒ t×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña mét biÓu thøc. Trong qu¸ tr×nh gi¶i bµi tËp , n¨ng lùc suy nghĩ , sáng tạo của học sinh đợc phat triển đa dang và phong phú vì các bài tập về bất đẳng thức có cách giải không theo quy tắc hoặc khuôn mẫu nào cả. Nó đòi hỏi ngời đọc phải có cách suy nghĩ lôgic sáng tạo biết kết hợp kiến thức cũ với kiến thức mới một cách l«gÝc cã hÖ thèng. Cũng vì toán về bất đẳng thức không có cách giải mẫu , không theo một phơng pháp nhất định nên học sinh rât lúng túng khi giải toán về bất đẳng thức vì vậy học sinh sẽ không biết bắt đầu từ đâu và đi theo hơng nào .Do đó hầu hết học sinh không biết làm toán về bất đẳng thứcvà không biết vận dụng bất đẳng thức để giải quyÕt c¸c lo¹i bµi tËp kh¸c. Trong thực tế giảng dạy toán ở trờng THCS việc làm cho học sinh biết chứng minh bất đẳng thức và vận dụng các bất đẳng thức vào giải các bài tập có liên quan là công việc rất quan trọngvà không thể thiếu đợc của ngời dạy toán ,thông qua đó rèn luyện T duy lôgic và khả năng sáng tạo cho học sinh .Để làm đợc điều đó ngời thầy giáo phải cung cấp cho học sinh một số kiến thức cơ bản và một số phơng pháp suy nghĩ ban đầu về bất đẳng thức . Chính vì lí do trên nên tôi tự tham khảo biên soạn chuyên đề bất đẳng thức nhằm mục đích giúp học sinh học tèt h¬n.. Danh mục của chuyên đề S.t.t 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.. Néi dung PhÇn më ®Çu Nội dung chuyên đề C¸c kiÕn thøc cÇn lu ý Các phơng pháp chứng minh bát đẳng thức Phơng pháp 1:dùng định nghiã Phơng pháp 2:dùng biến đổi tơng đơng Phơng pháp 3:dùng bất đẳng thức quen thuộc Ph¬ng ph¸p 4:dïng tÝnh chÊt b¾c cÇu Ph¬ng ph¸p 5: dïng tÝnh chÊt Cña tû sè Ph¬ng ph¸p 6: dïng ph¬ng ph¸p lµm tréi Phơng pháp 7: dùmg bát đẳng thức tam giác Phơng pháp 8: dùng đổi biến Ph¬ng ph¸p 9: Dïng tam thøc bËc hai Ph¬ng ph¸p 10: Dïng quy n¹p to¸n häc Ph¬ng ph¸p 11: Dïng chøng minh ph¶n chøng C¸c bµi tËp n©ng cao øng dông cña bÊt d¼ng thøc Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị Dùng bất đẳng thức để: giải phơng trình hệ phơng trình Dùng bất đẳng thức để : giải phơng trình nghiệm nguyên Tµi liÖu tham kh¶o. B- néi dung PhÇn 1 : c¸c kiÕn thøc cÇn lu ý. trang 1 2 3 4 4 6 8 10 12 14 16 17 18 19 21 23 28 29 31 33.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 1- §Þnh nghÜa 2- TÝnh chÊt 3-Một số hằng bất đẳng thức hay dùng Phần 2:một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức 1-Phơng pháp dùng định nghĩa 2- Phơng pháp dùng biến đổi tơng đơng 3- Phơng pháp dùng bất đẳng thức quen thuộc 4- Ph¬ng ph¸p sö dông tÝnh chÊt b¾c cÇu 5- Ph¬ng ph¸p dïng tÝnh chÊt tØ sè 6- Ph¬ng ph¸p lµm tréi 7- Phơng pháp dùng bất đẳng thức trong tam giác 8- Phơng pháp đổi biến số 9- Ph¬ng ph¸p dïng tam thøc bËc hai 10- Ph¬ng ph¸p quy n¹p 11- Ph¬ng ph¸p ph¶n chøng PhÇn 3 :c¸c bµi tËp n©ng cao PHầN 4 : ứng dụng của bất đẳng thức 1- Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị 2-Dùng bất đẳng thức để giải phơng trình và bất phơng trình 3-Dùng bất đẳng thức giải phơng trình nghiệm nguyên PhÇn I : c¸c kiÕn thøc cÇn lu ý 1-§inhnghÜa  A  B  A  B 0   A  B  A  B 0 2-tÝnh chÊt + A>B ⇔ B< A + A>B vµ B >C ⇔ A>C + A>B ⇒ A+C >B + C + A>B vµ C > D ⇒ A+C > B + D + A>B vµ C > 0 ⇒ A.C > B.C + A>B vµ C < 0 ⇒ A.C < B.C + 0 < A < B vµ 0 < C <D ⇒ 0 < A.C < B.D + A > B > 0 ⇒ A ❑n > B ❑n ∀n +A> B A ❑n > B ❑n víi n lÎ ⇒ + | A| > |B| A ❑n > B ❑n víi n ch½n ⇒ + m > n > 0 vµ A > 1 ⇒ A ❑m > A ❑n + m > n > 0 vµ 0 <A < 1 ⇒ A ❑m < A ❑n 1 1 +A < B vµ A.B > 0 > ⇒ A B 3-một số hằng bất đẳng thức + A ❑2 0 víi ∀ A ( dÊu = x¶y ra khi A = 0 ) n  + A 0 víi ∀ A ( dÊu = x¶y ra khi A = 0 ) + | A|≥ 0 víi ∀ A (dÊu = x¶y ra khi A = 0 ) + - | A| < A = | A| AB  A  B + ( dÊu = x¶y ra khi A.B > 0) + | A − B|≤|A|−|B| ( dÊu = x¶y ra khi A.B < 0).

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Phần II : một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức Phơng pháp 1 : dùng định nghĩa KiÕn thøc : §Ó chøng minh A > B Ta chøng minh A –B > 0 Lu ý dùng hằng bất đẳng thức M ❑2.  0 víi M. VÝ dô 1  x, y, z chøng minh r»ng : a) x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 xy+ yz + zx b) x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 2xy – 2xz + 2yz c) x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 +3 2 (x + y + z) Gi¶i: a) Ta xÐt hiÖu x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 - xy – yz - zx 1 = .2 .( x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 - xy – yz – zx) 2 2 y− z¿ 2 x − z ¿ +¿ ≥ 0 1 = đúng với mọi x;y;z  R 2 x− y¿ +¿ 2 ¿ ¿ V× (x-y)2 0 víix ; y DÊu b»ng x¶y ra khi x=y (x-z)2 0 víix ; z DÊu b»ng x¶y ra khi x=z (y-z)2 0 víi z; y DÊu b»ng x¶y ra khi z=y VËy x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 xy+ yz + zx DÊu b»ng x¶y ra khi x = y =z b)Ta xÐt hiÖu x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 - 2xy +2xz –2yz =( x – y + z) ❑2 0 đúng với mọi x;y;z  R VËy x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z  R DÊu b»ng x¶y ra khi x+y=z c) Ta xÐt hiÖu x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 +3 – 2( x+ y +z ) = x ❑2 - 2x + 1 + y ❑2 -2y +1 + z ❑2 -2z +1 = (x-1) ❑2 + (y-1) ❑2 +(z-1) ❑2 0 DÊu(=)x¶y ra khi x=y=z=1 VÝ dô 2: chøng minh r»ng : 2 2 2 a2 +b2 +c 2 a+ b+c 2 a) a +b ≥ a+ b ;b) ≥ 2 2 3 3 c) H·y tæng qu¸t bµi to¸n. ( ). (. ). gi¶i 2. 2. 2. a +b a+b − 2 2 2 2 2 2 = 2 ( a + b ) − a + 2ab+ b 4 4 1 2 2 2 = ( 2 a +2 b − a −b 2 −2 ab ) 4. a) Ta xÐt hiÖu. ( ).

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 1 ( a −b )2 ≥ 0 4 2 2 2 VËy a +b ≥ a+ b 2 2 DÊu b»ng x¶y ra khi a=b b)Ta xÐt hiÖu a2 +b2 +c 2 a+b+ c 2 − 3 3 1 = ( a − b )2 + ( b − c )2 + ( c − a )2 ] ≥ 0 [ 9 2 2 2 2 VËy a +b +c ≥ a+ b+c 3 3 =. ( ). (. ). (. ). DÊu b»ng x¶y ra khi a = b =c c)Tæng qu¸t a21 +a22 +. .. .+a2n a1 +a2 +. .. .+an 2 ≥ n n Tóm lại các bớc để chứng minh A B tho định nghĩa Bíc 1: Ta xÐt hiÖu H = A - B Bớc 2:Biến đổi H=(C+D) ❑2 hoặc H=(C+D) ❑2 +….+(E+F) ❑2 Bíc 3:KÕt luËn A  B. (. ). VÝ dô:(chuyªn Nga- Ph¸p 98-99) Chứng minh m,n,p,q ta đều có m ❑2 + n ❑2 + p ❑2 + q ❑2 +1 m(n+p+q+1) Gi¶i: 2 2 2 2 m m m m ⇔ − mn +n2 + − mp+ p2 + − mq+q2 + − m+1 ≥ 0 4 4 4 4 2 2 2 2 m m m m ⇔ − n + − p + − q + −1 ≥ 0 (luôn đúng) 2 2 2 2. (. (. )(. )(. DÊu b»ng x¶y ra khi. )(. )(. )(. m −n=0 2 m − p=0 2 m −q=0 2 m −1=0 2. )(. ). ). m 2 m p= 2 m q= 2 m=2. { { ⇔. n=. ⇔. {n=m=2 p=q=1. Bµi tËp bæ xung phơng pháp 2 : Dùng phép biến đổi tơng đơng Lu ý: Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã đợc chứng minh là đúng. Chú ý các hằng đẳng thức sau: ( A + B )2= A2 +2 AB+B 2 ( A + B+C )2=A 2 +B 2+C 2 +2 AB+2 AC+2 BC ( A + B )3= A3 +3 A 2 B+3 AB2 + B3.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> VÝ dô 1: Cho a, b, c, d,e lµ c¸c sè thùc chøng minh r»ng 2 a) a2 + b ≥ ab 4 b) a2 +b 2+1 ≥ ab+a+ b c) a2 +b 2+ c 2+ d2 + e2 ≥ a ( b +c +d +e ) Gi¶i: 2. a) a2 + b ≥ ab 4 2 2 2 2 ⇔ 4 a +b ≥ 4 ab ⇔ 4 a − 4 a+b ≥ 0 (bất đẳng thức này luôn đúng) ⇔ ( 2 a −b )2 ≥ 0 2 VËy a2 + b ≥ ab (dÊu b»ng x¶y ra khi 2a=b) 4 2 2 b) a +b +1 ≥ ab+a+ b 2 ⇔ 2(a +b2 +1)> 2(ab+ a+b) 2 2 2 2 ⇔ a − 2ab+ b +a −2 a+1+b − 2b +1≥ 0 b −1 ¿2 ≥0 a −1 ¿2 +¿ Bất đẳng thức cuối đúng. a −b ¿ 2+ ¿ ⇔¿ VËy a2 +b 2+1 ≥ ab+a+ b DÊu b»ng x¶y ra khi a=b=1 c) a2 +b 2+ c 2+ d2 + e2 ≥ a ( b +c +d +e ) ⇔ 4 (a 2+ b2+ c 2+ d 2+ e2 )≥ 4 a ( b+c + d+ e ) ⇔ ( a 2 − 4 ab+ 4 b 2) + ( a2 − 4 ac+ 4 c 2 ) + ( a2 − 4 ad + 4 d 2 ) + ( a 2 − 4 ac +4 c2 ) ≥ 0 ⇔ ( a −2 b )2 + ( a− 2 c )2 + ( a− 2 d )2+ ( a− 2 c )2 ≥ 0 Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh VÝ dô 2: Chøng minh r»ng: ( a10 +b 10) ( a2+ b2 ) ≥ ( a8 +b 8 )( a4 + b4 ) Gi¶i: ⇔ a12 +a10 b2 +a 2 b10 +b 12 ≥ a12+ a8 b4 + a4 b 8+ b12 ( a10 +b 10) ( a2+ b2 ) ≥ ( a8 +b 8 )( a4 + b4 ) ⇔ a8 b2 ( a 2 − b2 ) +a2 b8 ( b 2 − a2 ) ≥0 0 ⇔ a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4) 0 ⇔ a2b2(a2-b2)(a6-b6) Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh VÝ dô 3: cho x.y =1 vµ x.y 2 2 Chøng minh x + y 2 √2 x− y Gi¶i: 2. 2. x +y 0 ⇒ x2+y2 2 √ 2 v× :x y nªn x- y 2 √ 2 ( x-y) x− y 0 ⇔ x2+y2+2- 2 √ 2 x+ 2 √ 2 y -2 0 ⇒ x2+y2- 2 √ 2 x+ 2 √ 2 y 2 2 2 0 v× x.y=1 nªn 2.x.y=2 ⇔ x +y +( √ 2 ) - 2 √ 2 x+ 2 √ 2 y -2xy 2 0 Điều này luôn luôn đúng . Vậy ta có điều phải chứng minh ⇒ (x-y- √ 2 ) VÝ dô 4: 1)CM: P(x,y)= 9 x 2 y 2 + y 2 − 6 xy −2 y+ 1≥ 0 ∀ x , y∈ R 2 2 2 2)CM: (gîi ý :b×nh ph¬ng 2 vÕ) √ a +b +c ≤|a|+|b|+|c| 3)choba sè thùc kh¸c kh«ng x, y, z tháa m·n:.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> x . y . z =1 1 1 1 + + < x+ y+ z x y z Chứng minh rằng :có đúng một trong ba số x,y,z lớn hơn 1 (đề thi Lam Sơn 96-97) Gi¶i: XÐt (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 =(xyz-1)+(x+y+z)-xyz( + + )=x+y+z - ( + + ¿>0 (v× + + < x+y+z theo gt) x y z x y z x y z → 2 trong 3 sè x-1 , y-1 , z-1 ©m hoÆc c¶ ba sç-1 , y-1, z-1 lµ d¬ng. NÕñ trêng hîp sau x¶y ra th× x, y, z >1 → x.y.z>1 M©u thuÉn gt x.y.z=1 b¾t buéc ph¶i x¶y ra trêng hîp trªn tức là có đúng 1 trong ba số x ,y ,z là số lớn hơn 1. {. Ph¬ng ph¸p 3:. dùng bất đẳng thức quen thuộc. A/ một số bất đẳng thức hay dùng 1) Các bất đẳng thức phụ: a) x 2+ y 2 ≥ 2 xy b) x 2+ y 2 ≥∨xy∨¿ dÊu( = ) khi x = y = 0 c) ( x+ y )2 ≥ 4 xy a b d) + ≥2 b a a1 +a2 +a 3+. . ..+ an 2)Bất đẳng thức Cô sy: ≥ √ a1 a2 a3 . .. . an n 3)Bất đẳng thức Bunhiacopski 2 +¿ n ¿ x 21+ x 22 +.. . .¿ 2 ( a1 x 1+ a2 x 2 +. .. .+an x n ). Víi. ai >0. ( a 2 + a22+ .. ..+ a2n ) . 2. ¿ 4) Bất đẳng thức Trê- b-sép: aA+ bB+cC a+b+ c A+ B+C a≤ b ≤ c NÕu ≥ . ⇒ A ≤ B≤ C 3 3 3 aA+ bB+cC a+b+ c A+ B+C a ≤b ≤ c NÕu ≤ . ⇒ A ≥ B ≥C 3 3 3 DÊu b»ng x¶y ra khi a=b=c A=B=C b/ c¸c vÝ dô vÝ dô 1 Cho a, b ,c lµ c¸c sè kh«ng ©m chøng minh r»ng (a+b)(b+c)(c+a) 8abc Gi¶i: Cách 1:Dùng bất đẳng thức phụ: ( x+ y )2 ≥ 4 xy Tacã ; ( a+b )2 ≥ 4 ab ; ( b+ c )2 ≥ 4 bc ( c +a )2 ≥ 4 ac 2 2 2 2 ⇒ ( a+b )2 ( b+ c )2 ( c +a )2 64 a b c =( 8 abc ) ⇒ (a+b)(b+c)(c+a) 8abc DÊu “=” x¶y ra khi a = b = c 1 1 1 vÝ dô 2(tù gi¶i): 1)Cho a,b,c>0 vµ a+b+c=1 CMR: (403-1001) + + ≥9 a b c. { {. {.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> 2)Cho x,y,z>0 vµ x+y+z=1 CMR:x+2y+z 4 (1 − x)(1 − y )(1 − z) 3)Cho a>0 , b>0, c>0 a b c 3 CMR: + + ≥ b+c c +a a+b 2 4)Cho x 0 ,y 0 vÝ dô 3:. tháa m·n 2 √ x − √ y=1. ;CMR: x+y. 1 5. Cho a>b>c>0 vµ a2 +b 2+ c 2=1 chøng minh r»ng a3 b3 c3 1    b c a c a b 2. Gi¶i: Do a,b,c đối xứng ,giả sử a. b. {. ⇒. c. a 2 ≥ b2 ≥c 2 a b c ≥ ≥ b+ c a+ c a+ b. ¸p dông B§T Trª- b-sÐp ta cã 2 2 2 a b c a + b +c a b c a2 . +b 2 . + c2 . ≥ . + + b+ c a+ c a+ b 3 b+ c a+c a+ b 3 3 3 a b c 1 VËy DÊu b»ng x¶y ra khi a=b=c= + + ≥ b+c a+ c a+b 2 vÝ dô 4: Cho a,b,c,d>0 vµ abcd =1 .Chøng minh r»ng : a2 +b 2+ c 2+ d2 + a ( b+c ) +b ( c +d ) +d ( c +a ) ≥ 10 Gi¶i: Ta cã a2 +b 2 ≥ 2 ab 2 2 c + d ≥ 2 cd 1 1 1 Do abcd =1 nªn cd = (dïng x+ ≥ ) ab x 2 1 Ta cã a2 +b 2+ c 2 ≥ 2(ab+cd )=2(ab+ )≥ 4 (1) ab a ( b+ c )+ b ( c+ d )+ d ( c+ a ) =(ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad) 1 1 1 = ab+ + ac+ + bc+ ≥ 2+ 2+ 2 ab ac bc VËy a2 +b 2+ c 2+ d2 + a ( b+c ) +b ( c +d ) +d ( c +a ) ≥ 10 vÝ dô 5: Cho 4 sè a,b,c,d bÊt kú chøng minh r»ng: b+d ¿2 ¿ a+c ¿2 +¿ ¿ √¿ Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski tacã ac+bd √ a2 +b2 . √c 2 +d 2 2 mµ ( a+ c ) + ( b+ d )2=a 2+ b2+ 2 ( ac + bd ) + c2 +d 2 ( a 2+b 2 ) +2 √ a2+ b2 . √ c 2+ d 2+ c 2+ d 2 b+d ¿2 ¿ ⇒ a+ c ¿2 +¿ ¿ √¿ vÝ dô 6: Chøng minh r»ng. (. (. )(. )(. ). ). =. 1 3 1 = . 3 2 2. 1 √3. MÆt kh¸c:.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> 2. 2. 2. a +b + c ≥ ab+ bc+ac Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski C¸ch 1: XÐt cÆp sè (1,1,1) vµ (a,b,c) ta cã ( 12 +12+12 ) (a2 +b 2+ c2 )≥ ( 1 .a+ 1. b+1 . c )2 3 ( a 2+b 2+ c 2 ) ≥ a2 +b 2+ c 2+2 ( ab+ bc+ ac ) ⇒ §iÒu ph¶i chøng minh DÊu b»ng x¶y ra khi a=b=c ⇒ a2 +b 2+ c 2 ≥ ab+ bc+ac. Ph¬ng ph¸p 4:. Sö dông tÝnh chÊt b¾c cÇu. Lu ý: A>B vµ b>c th× A>c 0< x <1 th× x ❑2 <x vÝ dô 1: Cho a, b, c ,d >0 tháa m·n a> c+d , b>c+d Chøng minh r»ng ab >ad+bc Gi¶i: a −c >d >0 Tacã a>c +d ⇒ b>c +d b −d >c >0 (a-c)(b-d) > cd ⇒ ⇔ ab-ad-bc+cd >cd (®iÒu ph¶i chøng minh) ⇔ ab> ad+bc vÝ dô 2: 5 Cho a,b,c>0 tháa m·n a2 +b 2+ c 2= 3 1 1 1 1 Chøng minh + + < a b c abc Gi¶i: Ta cã :( a+b- c)2= a2+b2+c2+2( ab –ac – bc) 0 ¿ 1 ( a2+b2+c2) ⇒ ac+bc-ab ¿ 2 ¿ ¿ 5 1 1 1 + − ⇒ ac+bc-ab ¿ 1 Chia hai vÕ cho abc > 0 ta cã 6 a b c ¿ vÝ dô 3 Cho 0 < a,b,c,d <1 Chøng minh r»ng (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d Gi¶i: Ta cã (1-a).(1-b) = 1-a-b+ab Do a>0 , b>0 nªn ab>0 (1) ⇒ (1-a).(1-b) > 1-a-b Do c <1 nªn 1- c >0 ta cã ⇒ (1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c ⇒ (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d) =1-a-b-c-d+ad+bd+cd ⇒ (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d (§iÒu ph¶i chøng minh) vÝ dô 4 1- Cho 0 <a,b,c <1 . Chøng minh r»ng 3 3 3 2 2 2 2 a +2 b +2 c <3+ a b+b c +c a Gi¶i : Do a < 1 ⇒ a2 <1 vµ Ta cã ( 1− a2 ) . ( 1− b ) <0 ⇒ 1-b- a2 + a2 b > 0 ⇒ 1+ a2 b2 > a2 + b. {. mµ 0< a,b <1. {. ⇒. a2 > a3 , b2 > b3. ¿ ¿ ¿. 1 abc.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Tõ (1) vµ (2) ⇒ 1+ a2 b2 > a3 + b3 VËy a3 + b3 < 1+ a2 b2 T¬ng tù b3 + c 3 1+b2 c c ❑3 + a3  1+c 2 a Cộng các bất đẳng thức ta có : 3 3 3 2 2 2 2 a +2 b +2 c ≤ 3+a b+b c+ c a b)Chøng minh r»ng : NÕu a2 +b 2=c 2 +d 2=1998 th× ac+bd =1998 (Chuyªn Anh –98 – 99) Gi¶i: Ta cã (ac + bd) ❑2 + (ad – bc ) ❑2 = a ❑2 c ❑2 + b ❑2 d 2 +2 abcd+ a2 d 2 +b2 c 2 - 2 abcd = = a2(c2+d2)+b2(c2+d2) =(c2+d2).( a2+ b2) = 19982 rá rµng (ac+bd)2 ( ac+ bd )2 + ( ad − bc )2=19982 ⇒ |ac+ bd|≤1998 2-Bµi tËp : 1, Cho c¸c sè thùc : a1; a2;a3 ….;a2003 tháa m·n : a1+ a2+a3 + ….+a2003 =1 1 c høng minh r»ng : a ❑12 + a22 +a 23+ .. ..+ a22003 ( đề thi vào chuyên nga pháp 20032003 2004Thanh hãa ) 2,Cho a;b;c 0 tháa m·n :a+b+c=1(?) 1 1 1 Chøng minh r»ng: ( −1 ¿ .( − 1).( −1)≥ 8 a b c. Ph¬ng ph¸p 5:. dïng tÝnh chÊtcña tû sè. KiÕn thøc 1) Cho a, b ,c lµ c¸c sè d¬ng th× a a a+ c a – NÕu >1 th× > b b b+ c a a a+ c b – NÕu <1 th× < b b b+ c 2)NÕu b,d >0 th× tõ a c a a+c c < ⇒ < < b d b b+ d d ` vÝ dô 1 : Cho a,b,c,d > 0 .Chøng minh r»ng a b c d 1< + + + <2 a+b+ c b+c +d c+ d+ a d +a+ b.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Gi¶i : Theo tÝnh chÊt cña tØ lÖ thøc ta cã a a a+ d <1 ⇒ < a+b+ c a+b+c a+b+ c+ d a a MÆt kh¸c : > a+b+ c a+b+ c+ d Tõ (1) vµ (2) ta cã. (1) (2). a a a+d < < (3) a+b+ c+ d a+b+ c a+b+ c+ d T¬ng tù ta cã b b b+ a (4) < < a+b+ c+ d b+c +d a+b+ c+ d c c b +c (5) < < a+b+ c+d c +d +a a+b+ c+d d d d+ c (6) < < a+b+ c+ d d +a+b a+ b+c +d céng vÕ víi vÕ cña (3); (4); (5); (6) ta cã a b c d 1< + + + <2 ®iÒu ph¶i chøng minh a+b+ c b+c +d c+ d+ a d +a+ b vÝ dô 2 : ab+cd c a c a Cho: < vµ b,d > 0 .Chøng minh r»ng < 2 2< b d b b +d d ab cd ab ab+cd cd c a c ⇒ 2< 2 < 2 2 < 2= Gi¶i: Tõ < ⇒ 2 b d b d b b +d d d ab+cd c a VËy < 2 2< ®iÒu ph¶i chøng minh b b +d d vÝ dô 3 : Cho a;b;c;dlµ c¸c sè nguyªn d¬ng tháa m·n : a+b = c+d =1000 a b t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña + c d a b a b a a+b b gi¶i : Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö : Tõ : ⇒ ≤ ≤ c d c d c c+ d d a ≤ 1 v× a+b = c+d c b a b a, NÕu :b 998 th× 999 + 998 ⇒ d c d a b 1 999 b, NÕu: b=998 th× a=1 ⇒ = + §¹t gi¸ trÞ lín nhÊt khi d= 1; c=999 + c d c d a b 1 VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña =999+ khi a=d=1; c=b=999 + c d 999.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Ph¬ng ph¸p 6: Ph¬ng ph¸plµm tréi Lu ý: Dùng các tính bất đẳng thức để đa một vế của bất đẳng thức về dạng tính đợc tổng hữu hạn hoặc tích hữu h¹n. (*) Phơng pháp chung để tính tổng hữu hạn : S = u1 +u2 +.. . .+ un Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát u ❑k về hiệu của hai số hạng liên tiếp nhau: uk =ak −a k+1 Khi đó : S = ( a1 − a2 ) + ( a2 − a3 ) +.. . .+ ( an − an+1 ) =a1 −a n+1 (*) Ph¬ng ph¸p chung vÒ tÝnh tÝch h÷u h¹n P = u1 u 2 . .. .u n Biến đổi các số hạng uk về thơng của hai số hạng liên tiếp nhau: ak uk = ak+ 1 a1 a 2 a a Khi đó P = . .. . .. n = 1 a2 a 3 an+1 an +1 VÝ dô 1 : Víi mäi sè tù nhiªn n >1 chøng minh r»ng 1 1 1 1 3 < + +. .. .+ < 2 n+1 n+2 n+ n 4 Gi¶i: 1 1 1 Ta cã víi k = 1,2,3,…,n-1 > = n+k n+ n 2n Do đó: 1 1 1 1 1 n 1 + +.. .+ > +. ..+ = = n+1 n+2 2n 2n 2 n 2n 2 VÝ dô 2 : Chøng minh r»ng: 1 1 1 1+ + +.. . .+ >2 ( √ n+ 1− 1 ) √2 √ 3 √n Gi¶i :. 1 2 2 = > =2 ( √ k +1 − √ k ) √k 2 √ k √ k + √k + 1 Khi cho k chạy từ 1 đến n ta có Ta cã. Víi n lµ sè nguyªn.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> 1 > 2 ( √ 2− 1 ) 1 >2 ( √3 − √ 2 ) √2 ……………… 1 >2 ( √ n+1− √ n ) √n Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có 1 1 1 1+ + +.. . .+ >2 ( √ n+ 1− 1 ) √2 √ 3 √n VÝ dô 3 : n. Chøng minh r»ng. ∑ k12 < 2. ∀ n∈ Z. k=1. Gi¶i:. 1 1 1 1 < = − 2 k k ( k −1 ) k −1 k Cho k chạy từ 2 đến n ta có 1 1 <1 − 2 2 2 1 1 1 < − 32 2 3 .. . .. .. . .. .. .. . .. 1 1 1 < − 2 n n −1 n 1 1 1 ⇒ 2 + 2 +. .. .+ 2 <1 2 3 n Ta cã. n. VËy. ∑ k12 < 2 k=1. Ph¬ng ph¸p 7: Dùng bất đẳng thức trong tam giác Lu ý: NÕu a;b;clµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c th× : a;b;c> 0 Vµ |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a-b| < c < b+a VÝ dô1: Cho a;b;clµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c chøng minh r»ng a, a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac) b, abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b) Gi¶i.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> a)V× a,b,c lµ sè ®o 3 c¹nh cña mét tam gi¸c nªn ta cã a2 <a(b+c ) 0<a< b+c  0<b< a+c b2 <b(a+c ) 0<c <a+ b c 2< c (a+b) Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac) 2 b) Ta cã a > b-c   b2 − c2 ¿ >0 a >a − ¿ 2 c −a ¿ b > a-c   >0 2 2 b >b − ¿ 2 ¿ >0 c > a-b   a −b 2 2 c >c − ¿ Nhân vế các bất đẳng thức ta đợc ⇒ a 2 b2 c 2 > [ a2 − ( b − c )2 ][ b 2 − ( c − a )2 ] [ c 2 − ( a −b )2 ] 2 2 2 ⇒ a 2 b 2 c 2 > ( a+b − c ) ( b +c − a ) ( c +a −b ) ⇒ abc> ( a+b − c ) . ( b+c −a ) . ( c +a −b ). {. {. VÝ dô2: (404 – 1001) 1) Cho a,b,c lµ chiÒu dµi ba c¹nh cña tam gi¸c Chøng minh r»ng ab+ bc+ ca< a2 +b2 +c 2 <2(ab+ bc+ ca) 2) Cho a,b,c lµ chiÒu dµi ba c¹nh cña tam gi¸c cã chu vi b»ng 2 Chøng minh r»ng a2 +b 2+ c 2+2 abc< 2. Ph¬ng ph¸p 8: VÝ dô1:. đổi biến số. a b c 3 (1) + + ≥ b+c c +a a+b 2 Gi¶i : y+z − x z+x − y x+y −z §Æt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta cã a= ; b= ;c= 2 2 2 y + z − x z +x − y x+ y − z 3 ta cã (1) ⇔ + + 2x 2y 2z 2 y z x z x y + − 1+ + −1+ + −1 ≥3 ⇔ x x y y z z y x z x z y + ¿+( + )+( + )≥ 6 ⇔ ( x y x z y z y x z x z y Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì ( + ≥ 2; + ≥2 ; + ≥ 2 nªn ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh x y x z y z VÝ dô2: Cho a,b,c > 0 Chøng minh r»ng.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Cho a,b,c > 0 vµ a+b+c <1 Chøng minh r»ng 1 1 1 + 2 + 2 ≥9 2 a +2 bc b +2 ac c +2 ab. (1). Gi¶i: §Æt x = a2 +2 bc ; y = b2 +2 ac ; z = c 2+ 2ab Ta cã x+ y+ z=( a+b +c )2< 1 1 1 1 (1) ⇔ + + ≥ 9 Víi x+y+z < 1 vµ x ,y,z > 0 x y z Theo bất đẳng thức Côsi ta có x+ y+ z ≥ 3. √3 xyz 1 1 1 + + ≥ 3. . 3 1 x y z xyz. √. ⇒. ( x+ y+ z ) .. ( 1x + 1y + 1z ) ≥ 9. Mµ x+y+z < 1 1 1 1 VËy + + ≥9 x y z VÝ dô3: Cho x 0 Gîi ý: §Æt √ x=u. ,y 0. ,. (®pcm). tháa m·n. √ y=v. 2 √ x − √ y=1. CMR. x+ y ≥. ⇒ 2u-v =1 vµ S = x+y = u2 +v 2. Bµi tËp 1) Cho a > 0 , b > 0 , c > 0. CMR:. 1 5 ⇒ v = 2u-1 thay vµo tÝnh S min. 25 a 16 b c + + >8 b+c c +a a+b. 2)Tæng qu¸t m, n, p, q, a, b >0 CMR ma nb pc 1 2 + + ≥ ( √m+ √ n+ √ p ) − ( m+n+ p ) b+c c +a a+b 2.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Ph¬ng ph¸p 9:. dïng tam thøc bËc hai. Lu ý : Cho tam thøc bËc hai f ( x )=ax 2 + bx+ c NÕu Δ< 0 th× a . f ( x )> 0 ∀ x∈R NÕu. Δ=0. th×. NÕu. Δ> 0. th× a . f ( x )> 0 a . f ( x )< 0. ∀ x ≠−. a . f ( x )> 0. víi víi. b a. x< x1 hoÆc x 1< x < x 2. VÝ dô1: Chøng minh r»ng f ( x , y ) =x 2+5 y 2 −4 xy +2 x −6 y +3> 0 Gi¶i: Ta cã (1) ⇔ x 2 −2 x ( 2 y −1 ) +5 y 2 − 6 y+ 3>0 Δ ' =( 2 y −1 )2 −5 y 2+ 6 y − 3 2 2 ¿ 4 y − 4 y +1− 5 y + 6 y − 3 2 − ( y −1 ) − 1<0 VËy. f ( x , y )> 0. víi mäi x, y. VÝ dô2: Chøng minh r»ng f ( x , y ) =x 2 y 4 +2 ( x 2 +2 ) . y 2 +4 xy + x 2> 4 xy 3 Gi¶i: Bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với x 2 y 4 +2 ( x 2 +2 ) . y 2 + 4 xy + x 2 − 4 xy 3> 0 y 2+1¿ 2 . x2 + 4 y (1 − y )2 x+ 4 y 2 >0 ⇔¿ ' 2 Ta cã Δ =4 y ( 1− y 2 )2 − 4 y 2 ( y 2 +1 )2=− 16 y 2< 0 V× a = ( y 2 +1 )2 >0 vËy f ( x , y ) > 0 (®pcm). x> x2. (1). ( x 2> x 1 ).

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Ph¬ng ph¸p 10: dïng quy n¹p to¸n häc KiÕn thøc: Để chứng minh bất đẳng thức đúng với n>n 0 ta thực hiện các bớc sau : 1 – Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n=n0 2 - Giả sử BĐT đúng với n =k (thay n =k vào BĐT cần chứng minh đợc gọi là giả thiết quy nạp ) 3- Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐT cần chứng minh rồi biến đổi để dïng gi¶ thiÕt quy n¹p) 4 – kết luận BĐT đúng với mọi n>n 0 VÝ dô1: Chøng minh r»ng 1 1 1 1 + 2 +.. . .+ 2 <2 − ∀ n∈ N ; n>1 2 n 1 2 n Gi¶i : 1 1 Víi n =2 ta cã 1+ <2 − (đúng) 4 2 Vậy BĐT (1) đúng với n =2 Giả sử BĐT (1) đúng với n =k ta phải chứng minh BĐT (1) đúng với n = k+1 ThËt vËy khi n =k+1 th× 2 k +1¿ ¿ ¿ (1) ⇔ 1 1 1 1 + 2 +.. . .+ 2 + 2 1 2 k ¿ Theo gi¶ thiÕt quy n¹p 2 k +1¿ ¿ ¿ ⇔ 1 1 1 1 + 2 +.. . .+ 2 + ¿ 2 1 2 k 2 k + 1¿ ¿ ¿ ⇔ 1 1 +.. . .+ 2 ¿ 1. (1). 2. k +1 ¿ ¿ k +1 ¿2 ⇔ ¿ k +1+1 ¿ VÝ dô2: Cho n ∈ N Chøng minh r»ng. ⇔ k2+2k<k2+2k+1 Điều này đúng .Vậy bất đẳng thức (1)đợc chứng minh. vµ a+b> 0 a+b 2. n. ( ). n. n. a +b 2. (1) Gi¶i. Ta thấy BĐT (1) đúng với n=1 Giả sử BĐT (1) đúng với n=k ta phải chứng minh BĐT đúng với n=k+1 ThËt vËy víi n = k+1 ta cã k+ 1 k+1 a+b k+1 a +b (1) ⇔ 2 2. ( ).

<span class='text_page_counter'>(17)</span> k. k+ 1 k+1 a+b a+b a +b (2) . 2 2 2 k k k+ 1 k k k +1 k+1 k +1 a +b a+ b a + ab +a b+ b a +b ⇔ VÕ tr¸i (2) . = ≤ 2 2 4 2 k+ 1 k+1 k+1 k k k+1 a +b a +ab +a b+ b ⇔ − ≥0 2 4 (3) ⇔ ( a k − bk ) . ( a −b ) ≥ 0 Ta chøng minh (3) (+) Gi¶ sö a b vµ gi¶ thiÕt cho a -b ⇔ a |b| k k k k k ⇔ ⇒ ( a − b ) . ( a −b ) ≥ 0 a ≥|b| ≥ b k (+) Gi¶ sö a < b vµ theo gi¶ thiÕt - a<b ⇔ ⇔ |a| <bk ⇔ ak <b k Vậy BĐT (3)luôn đúng ta có (đpcm). ⇔. ( ). Ph¬ng ph¸p 11:. ( a k − bk ) . ( a −b ) ≥ 0. Chøng minh ph¶n chøng. Lu ý: 1) Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng , ta hãy giả sử bất đẳng thức đó sai và kết hợp với các giả thiết để suy ra điều vô lý , điều vô lý có thể là điều trái với giả thiết , có thể là điều trái ngợc nhau .Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh là đúng 2) Giả sử ta phải chứng minh luận đề “G ⇒ K” phép toán mệnh đề cho ta : Nh vậy để phủ định luận đề ta ghép tất cả giả thiết của luận đề với phủ định kết luận của nó . Ta thêng dïng 5 h×nh thøc chøng minh ph¶n chøng sau : −− −− A - Dùng mệnh đề phản đảo : K ⇒ G B – Phủ định rôi suy trái giả thiết : C – Phủ định rồi suy trái với điều đúng D – Phủ định rồi suy ra 2 điều trái ngợc nhau E – Phủ định rồi suy ra kết luận : VÝ dô 1:.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Cho ba sè a,b,c tháa m·n a +b+c > 0 , ab+bc+ac > 0 , abc > 0 Chøng minh r»ng a > 0 , b > 0 , c > 0 Gi¶i : Gi¶ sö a 0 th× tõ abc > 0 ⇒ a 0 do đó a < 0 Mµ abc > 0 vµ a < 0 ⇒ cb < 0 Tõ ab+bc+ca > 0 ⇒ a(b+c) > -bc > 0 V× a < 0 mµ a(b +c) > 0 ⇒ b + c < 0 a < 0 vµ b +c < 0 ⇒ a + b +c < 0 tr¸i gi¶ thiÕt a+b+c > 0 VËy a > 0 t¬ng tù ta cã b > 0 , c > 0 VÝ dô 2: Cho 4 sè a , b , c ,d tháa m·n ®iÒu kiÖn ac 2.(b+d) .Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai: 2 2 , a <4b c <4 d Gi¶i : Giả sử 2 bất đẳng thức : a2 < 4 b , c 2< 4 d đều đúng khi đó cộng các vế ta đợc (1) a2 +c 2 <4 (b +d) Theo gi¶ thiÕt ta cã 4(b+d) 2ac (2) 2 2 Tõ (1) vµ (2) ⇒ hay ( a − c )2 <0 (v« lý) a +c <2 ac 2 2 Vậy trong 2 bất đẳng thức a < 4 b và c < 4 d có ít nhất một các bất đẳng thức sai. VÝ dô 3: Cho x,y,z > 0 vµ xyz = 1. Chøng minh r»ng 1 1 1 NÕu x+y+z > th× cã mét trong ba sè nµy lín h¬n 1 + + x y z Gi¶i : Ta cã (x-1).(y-1).(z-1) =xyz – xy- yz + x + y+ z –1 1 1 1 =x + y + z – ( + + ) v× xyz = 1 x y z 1 1 1 theo gi¶ thiÕt x+y +z > + + x y z nªn (x-1).(y-1).(z-1) > 0 Trong ba sè x-1 , y-1 , z-1 chØ cã mét sè d¬ng ThËt vËy nÕu c¶ ba sè d¬ng th× x,y,z > 1 ⇒ xyz > 1 (tr¸i gi¶ thiÕt) Còn nếu 2 trong 3 số đó dơng thì (x-1).(y-1).(z-1) < 0 (vô lý) VËy cã mét vµ chØ mét trong ba sè x , y,z lín h¬n 1.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> PhÇn iii :. c¸c bµi tËp n©ng cao. 1/dùng định nghĩa 1) Cho abc = 1 vµ. Ta cã hiÖu:. 2. 2. a +¿ b2+c2> ab+bc+ac a >36 . . Chøng minh r»ng 3 Gi¶i 3. a2 +¿ b2+c2- ab- bc – ac 3 2 a2 = a +¿ +¿ b2+c2- ab- bc – ac 4 12 2 2 = ( a +¿ b2+c2- ab– ac+ 2bc) + a − 3bc 4 12 3 a =( -b- c)2 + a − 36 abc 2 12 a 3 a =( -b- c)2 + a − 36 abc >0 (v× abc=1 vµ a3 > 36 nªn 2 12 a. a +¿ b2+c2> ab+bc+ac §iÒu ph¶i chøng minh 3 2) Chøng minh r»ng 4 4 2 2 a) x + y + z +1 ≥2 x .(xy − x + z +1) b) víi mäi sè thùc a , b, c ta cã a2 +5 b2 − 4 ab+2 a − 6 b+3>0 2 2 c) a +2 b −2 ab+2 a − 4 b+2 ≥ 0 Gi¶i : a) XÐt hiÖu H = x 4 + y 4 + z 2 +1 −2 x 2 y 2+ 2 x 2 − 2 xz − 2 x = ( x 2 − y 2) 2+ ( x − z )2 + ( x −1 )2 H 0 ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh b) VÕ tr¸i cã thÓ viÕt H = ( a −2 b+1 )2 + ( b − 1 )2+1 ⇒ H > 0 ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh c) vÕ tr¸i cã thÓ viÕt H = ( a −b +1 )2+ ( b −1 )2 0 ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh ⇒ H VËy :. Ii / Dùng biến đổi tơng đơng. a >0 ).

<span class='text_page_counter'>(20)</span> 1) Cho x > y vµ xy =1 .Chøng minh r»ng 2 ( x2 + y 2 ) ≥8 ( x − y )2 Gi¶i : 2 2 2 2 Ta cã (v× xy = 1) x + y =( x − y ) +2 xy =( x − y ) +2 2 2 2 4 2 ⇒ ( x + y ) =( x − y ) +4 . ( x − y ) +4 Do đó BĐT cần chứng minh tơng đơng với ( x − y )4 +4 ( x − y )2 +4 ≥ 8. ( x − y )2 ⇔ ( x − y )4 −4 ( x − y )2 + 4 ≥ 0 2 ⇔ [ ( x − y )2 − 2 ] ≥ 0 BĐT cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh 2) Cho xy. 1 .Chøng minh r»ng 1 1 2 + ≥ 2 2 1+ x 1+ y 1+ xy. Gi¶i :. 1 1 2 + ≥ 2 2 1+ x 1+ y 1+ xy 1 1 1 1 − + − ≥0 ⇔ 2 2 2 1+ x 1+ y 1+ y 1+ xy 2 2 xy − x xy − y + ≥0 ⇔ ( 1+ x 2 ) . (1+ xy ) ( 1+ y 2 ) . ( 1+ xy ) x( y −x) y(x− y) + ≥0 ⇔ 2 ( 1+ x ) . (1+ xy ) ( 1+ y 2 ) . ( 1+ xy ) ( y − x )2 ( xy −1 ) ≥0 ⇔ ( 1+ x 2 ) . ( 1+ y 2) . ( 1+xy ) BĐT cuối này đúng do xy > 1 .Vậy ta có điều phải chứng minh Ta cã. (. )(. ). Iii / dùng bất đẳng thức phụ 1) Cho a , b, c lµ c¸c sè thùc vµ a + b +c =1 1 Chøng minh r»ng a2 +b 2+ c 2 ≥ 3 Gi¶i : ¸p dông B§T BunhiaC«pski cho 3 sè (1,1,1) vµ (a,b,c) Ta cã ( 1. a+1 . b+1 . c )2 ≤ ( 1+1+1 ) . ( a2 +b2 +c 2 ) ⇔ ( a+b +c )2 ≤ 3 . ( a2 +b2 +c 2 ) 1 (v× a+b+c =1 ) (®pcm) a2 +b 2+ c 2 ≥ ⇔ 3.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> 2) Cho a,b,c lµ c¸c sè d¬ng. ( a+b +c ) .. Chøng minh r»ng. ( 1a + 1b + 1c )≥ 9. (1). Gi¶i : a a b b c c 1+ + + +1+ + + +1≥ 9 b c a c a a a b a c b c 3+ + + + + + ≥ 9 ⇔ b a c a c b x y ¸p dông B§T phô Víi x,y > 0 + ≥2 y x Ta có BĐT cuối cùng luôn đúng 1 1 1 VËy ( a+b +c ) . + + ≥ 9 (®pcm) a b c (1) ⇔. (. )( )( ). (. ). Iv / dïng ph¬ng ph¸p b¾c cÇu 1) Cho 0 < a, b,c <1 .Chøng minh r»ng : 3 3 3 2 2 2 2 a +2 b +2 c <3+ a b+b c +c a Gi¶i : Do a <1 ⇒ a2 <1 vµ b <1 Nªn ( 1− a2 ) . ( 1− b2 ) >0 ⇒1+ a2 b − a2 −b> 0 Hay 1+a2 b> a2+ b (1) 2 MÆt kh¸c 0 <a,b <1 ⇒ a >a 3 ; b>b 3 2 3 3 ⇒ 1+a >a + b VËy a3 +b 3< 1+ a2 b T¬ng tù ta cã b3 +c 3 <1+b 2 c a3 +c 3 <1+c 2 a ⇒. 2 a3 +2 b3 +2 c 3<3+ a2 b+b 2 c +c 2 a. 2) So s¸nh 31 ❑11. (®pcm). vµ 17 ❑14. Gi¶i : 11. Ta thÊy. 31. <. 3211  25.  . 256 2 4.14  24. MÆt kh¸c Vëy 31 ❑11.  . 14. 11. 255  256. 1614  1714. < 17 ❑14. (®pcm). V/ dïng tÝnh chÊt tØ sè 1) Cho a ,b ,c ,d > 0 .Chøng minh r»ng : a b b c cd d a 2    3 a b c b c d c d a d a b Gi¶i : V× a ,b ,c ,d > 0 nªn ta cã a b a b a b d   a  b  c  d a  b  c a  b  c  d (1) b  c b c bc a   a  b  c  d b  c  d a  b  c  d (2).

<span class='text_page_counter'>(22)</span> d a d a d a c   a  b  c  d d  a  b a  b  c  d (3) Cộng các vế của 4 bất đẳng thức trên ta có : a b bc cd d a 2    3 a b c b c d c d a d a b. (®pcm). 2) Cho a ,b,c lµ sè ®o ba c¹nh tam gi¸c Chøng minh r»ng a b c 1   2 b  c c  a a b Gi¶i : V× a ,b ,c lµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c nªn ta cã a,b,c > 0 Vµ a < b +c ; b <a+c ; c < a+b a a a 2a    b c a b c a b c Tõ (1) a a  MÆt kh¸c b  c a  b  c a a 2a b b 2b     VËy ta cã a  b  c b  c a  b  c T¬ng tù ta cã a  b  c a  c a  b  c c c 2c   a b c b a a b c Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có : a b c 1   2 b  c c  a a b (®pcm). V/ ph¬ng ph¸p lµm tréi : 1) Chøng minh B§T sau : 1 1 1 1   ...   (2n  1).(2n  1) 2 a) 1.3 3.5 1 b). 1 1 1   ...  2 1.2 1.2.3 1.2.3.....n. Gi¶i : a) Ta cã 1 1  2k  1  (2k  1) 1  1 1   .     2n  1 .  2n  1 2 (2k  1).(2k 1) 2  2k  1 2k 1  Cho n chạy từ 1 đến k .Sau đó cộng lại ta có 1 1 1 1  2  1   ...   . 1   1.3 3.5 (2n  1).(2 n 1) 2  2 n 1  2 (®pcm) b) Ta cã 1 1 1 1 1 1 1   ...   1   .....  1.2 1.2.3 1.2.3.....n 1.2 1.2.3  n  1 .n 1 1  1  1 1  1 1   1        ....     2 2 n  2  2 3  n 1 n < (®pcm).

<span class='text_page_counter'>(23)</span> Phần iv : ứng dụng của bất đẳng thức 1/ dùng bất đẳng thức để tìm cc trị Lu ý - NÕu f(x)  A th× f(x) cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ A - NÕu f(x)  B th× f(x) cã gi¸ trÞ lín nhÊt lµ B VÝ dô 1 : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña : T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| Gi¶i : Ta cã |x-1| + |x-4| = |x-1| + |4-x|  |x-1+4-x| = 3 (1) x  2  x  3  x  2  3  x  x  2  3  x 1 Vµ VËy T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4|  1+3 = 4 Ta cã tõ (1)  DÊu b»ng x¶y ra khi 1  x 4 (2)  DÊu b»ng x¶y ra khi 2 x 3 VËy T cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 4 khi 2 x 3 VÝ dô 2 : T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) víi x,y,z > 0 vµ x+y+z =1 Gi¶i : V× x,y,z > 0 ,¸p dông B§T C«si ta cã 3 3 xyz x+ y + z 1 1  3 xyz   xyz  3 27 áp dụng bất đẳng thức Côsi cho x+y ; y+z ; x+z ta có  x  y  .  y  z  .  z  x  3 3  x  y  .  y  z  .  x  z   2 3 3  x  y  .  y  z  .  z  x . 1 DÊu b»ng x¶y ra khi x=y=z= 3 8 1 8 .  VËy S  27 27 729 8 1 VËy S cã gi¸ trÞ lín nhÊt lµ 729 khi x=y=z= 3 VÝ dô 3 : Cho xy+yz+zx = 1. (2).

<span class='text_page_counter'>(24)</span> 4 4 4 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x  y  z Gi¶i : ¸p dông B§T Bunhiacèpski cho 6 sè (x,y,z) ;(x,y,z).  xy  yz  zx . Ta cã. 2.  x2  y 2  z 2.  1  x2  y 2  z 2. .  . . 2. 2. (1) 2. 2. 2. Ap dông B§T Bunhiacèpski cho ( x , y , z ) vµ (1,1,1) ( x 2  y 2  z 2 )2 (12  12  12 )( x 4  y 4  z 4 )  ( x 2  y 2  z 2 ) 2 3( x 4  y 4  z 4 ). Ta cã. 4 4 4 Tõ (1) vµ (2)  1 3( x  y  z ) 1  x4  y 4  z 4  3. 1 3  VËy x  y  z cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 3 khi x=y=z= 3 VÝ dô 4 : Trong tam gi¸c vu«ng cã cïng c¹nh huyÒn , tam gi¸c vu«ng nµo cã diÖn tÝch lín nhÊt Gi¶i : Gäi c¹nh huyÒn cña tam gi¸c lµ 2a §êng cao thuéc c¹nh huyÒn lµ h H×nh chiÕu c¸c c¹nh gãc vu«ng lªn c¹nh huyÒn lµ x,y 1 .  x  y  .h a.h a. h 2 a. xy 2 Ta cã S = Vì a không đổi mà x+y = 2a VËy S lín nhÊt khi x.y lín nhÊt  x  y VËy trong c¸c tam gi¸c cã cïng c¹nh huyÒn th× tam gi¸c vu«ng c©n cã diÖn tÝch lín nhÊt 4. 4. 4. Ii/ dùng b.đ.t để giải phơng trình và hệ phơng trình.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> VÝ dô 1 : Gi¶i ph¬ng tr×nh sau 4 3 x 2  6 x  19  5 x 2  10 x  14 4  2 x  x 2 Gi¶i : 2 2 Ta cã 3x  6 x  19 3.( x  2 x  1)  16. 3.( x  1) 2  16 16 2. 5 x 2  10 x  14 5.  x  1  9 9 2 2 VËy 4. 3 x  6 x  19  5 x  10 x  14 2  3 5 DÊu ( = ) x¶y ra khi x+1 = 0  x = -1 2 2 2 VËy 4 3 x  6 x  19  5 x  10 x  14 4  2 x  x VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = -1 VÝ dô 2 : Gi¶i ph¬ng tr×nh. khi x = -1. x  2  x 2 4 y 2  4 y  3 Gi¶i : ¸p dông B§T BunhiaCèpski ta cã : x  2  x 2  12  12 . x 2   2  x 2   2. 2 2 DÊu (=) x¶y ra khi x = 1 2 4 y 2  4 y  3  2 y 1  2 2 MÆt kh¸c 1 DÊu (=) x¶y ra khi y = - 2 1 2 2 VËy x  2  x 4 y  4 y  3 2 khi x =1 vµ y =- 2  x 1   1  y  2 VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ VÝ dô 3 : Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh sau:  x  y  z 1  4 4 4  x  y  z  xyz Gi¶i : ¸p dông B§T C«si ta cã x4  y 4 y 4  z 4 z 4  x4   2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y  y z  z x x4  y4  z4 . . x2 y 2  y 2 z 2 z 2 y 2  z 2 z 2 x2 z 2  y 2 x2   2 2 2.  y 2 xz  z 2 xy  x 2 yz  xyz.( x  y  z ) V× x+y+z = 1) 4 4 4 Nªn x  y  z xyz.

<span class='text_page_counter'>(26)</span> 1 DÊu (=) x¶y ra khi x = y = z = 3  x  y  z 1 1  4 4 4 x  y  z  xyz VËy  cã nghiÖm x = y = z = 3 VÝ dô 4 :. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh sau  xy  4 8  y 2 (1)  2 (2)  xy 2  x  8  y 2 0 hay y  8  x 2  2  x . y 2 2 x. Tõ ph¬ng tr×nh (1) Tõ ph¬ng tr×nh (2).  x 2  2 2 x  22 0  (x . 2)2 0.  x  2  x  2 NÕu x = 2 th× y = 2 2 NÕu x = - 2 th× y = -2 2. VËy hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm.  x  2   y  2. vµ. Iii/ dùng B.Đ.t để giải phơng trình nghiệm nguyên 1) T×m c¸c sè nguyªn x,y,z tho¶ m·n x 2  y 2  z 2  xy  3 y  2 z  3 Gi¶i : V× x,y,z lµ c¸c sè nguyªn nªn x 2  y 2  z 2  xy  3 y  2 z  3.  x 2 2   y  2 2.

<span class='text_page_counter'>(27)</span>  x 2  y 2  z 2  xy  3 y  2 z  3 0  2  y2   3y2   x  xy      3 y  3   z 2  2 z 1 0 4   4  . . 2. . 2. y 2  y    x    3   1   z  1 0 2  2  2. y 2  y   x    3   1   z  1 0 2 2  Mµ  2. y     x    3 2   y   x  2 0  y    1 0  2  z  1 0  . (*). 2. x, y  R. 2. y  2  1   z  1 0 2   x 1   y 2  z 1 .  x 1   y 2  z 1 . C¸c sè x,y,z ph¶i t×m lµ VÝ dô 2: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh 1 1 1   2 x y z Gi¶i : Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö x  y z 1 1 1 3 2      2 z 3 x y z z Ta cã Mµ z nguyªn d¬ng vËy z = 1 1 1  1 Thay z = 1 vào phơng trình ta đợc x y 1 1 1   y  y 2 mµ y nguyªn d¬ng Theo gi¶ sö x y nªn 1 = x y Nªn y = 1 hoÆc y = 2 Víi y = 1 kh«ng thÝch hîp Víi y = 2 ta cã x = 2 VËy (2 ,2,1) lµ mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh Hoán vị các số trên ta đợc các nghiệm của phơng trình lµ (2,2,1) ; (2,1,2) ; (1,2,2) VÝ dô 3 : T×m c¸c cÆp sè nguyªn tho¶ m·n ph¬ng tr×nh x  x y. (*) Gi¶i : (*) Víi x < 0 , y < 0 th× ph¬ng tr×nh kh«ng cã nghÜa (*) Víi x > 0 , y > 0.

<span class='text_page_counter'>(28)</span> 2 Ta cã x  x  y  x  x  y  x  y2  x  0. §Æt. x k. (k nguyªn d¬ng v× x nguyªn d¬ng ) k .(k  1)  y 2. Ta cã 2 k 2  k  k  1   k  1 Nhng  k  y  k 1 Mµ gi÷a k vµ k+1 lµ hai sè nguyªn d¬ng liªn tiÕp kh«ng tån t¹i mét sè nguyªn d¬ng nµo c¶ Nªn kh«ng cã cÆp sè nguyªn d¬ng nµo tho¶ m·n ph¬ng tr×nh .  x 0  VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt lµ :  y 0. Tµi liÖu tham kh¶o ************ 1- toán nâng cao và các chuyên đề đại số 8 -nxb gi¸o dôc 8 – 6 – 1998 T¸c gi¶ : NguyÔn Ngäc §¹m – NguyÔn ViÖt H¶i – Vò D¬ng Thôy 2- toán nâng cao cho học sinh - đại số 10 -nxb §¹i häc quèc gia hµ néi – 1998 T¸c gi¶ : Phan Duy Kh¶i 3 – toán bồi dỡng học sinh đại số 9 -nhµ xuÊt b¶n hµ néi T¸c gi¶ : Vò H÷u B×nh – T«n Th©n - §ç Quang ThiÒu 4 – sách giáo khoa đại số 8,9,10 -nxb gi¸o dôc – 1998 5 – toán nâng cao đại số 279 bài toán chọn lọc -nhµ xuÊt b¶n trÎ – 1995 T¸c gi¶ : Vâ §¹i Mau 6 – Giáo trình đại số sơ cấp trờng đhsp i – hà nội ----------------&&&-----------------.

<span class='text_page_counter'>(29)</span>

<span class='text_page_counter'>(30)</span>