chuyen de rut gon bieu thuc va cac bai tap lien quan

<span class='text_page_counter'>(1)</span>2. VÝ dô 2: 4  x Cho A =. x 3 x 6  x  2 x  2 x (víi x > 0; x 4). a) Rót gän biÓu thøc b) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x sao cho 2A-1  0 (§Ò thi tèt nghiÖp líp 9 Qu¶ng Ninh n¨m 2002- 2003) Gi¶i: a) Víi x > 0 vµ x 4 4 x 3 x 6 A   x x 2 x ( x  2) . 4( x  2)  ( x  3) x  x  6 x ( x  2). . 4 x  8 x  3 x  x 6 x ( x  2). x 2 x ( x  2) 1  x . b) 2A - 1  0.  2 A 1 (§K: x > 0 vµ x 4)  A. 1 2. 1 1  x 2 1 1   x 4 ( b×nh ph¬ng 2 vÕ kh«ng ©m) .  x   1; 2;3. tháa m·n ®iÒu kiÖn x > 0 vµ x 4 x   1; 2;3 KÕt luËn: Víi th× 2A - 1  0 3. VÝ dô 3:( §Ò thi tèt nghiÖp THCS thµnh phè Hµ Néi n¨m 2001- 2002) Cho biÓu thøc: x2 x x 4 P ( x  ):(  ) x 1 x 1 1  x a) Rót gän biÓu thøc P b) T×m gi¸ trÞ cña x tháa m·n P < 0 c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P Gi¶i:  x 0  x 0   a) §KX§: 1  x 0  x 1 Điều kiện để biểu thức P có nghĩa là x 0 và x 1. (2 ®iÓm).

<span class='text_page_counter'>(2)</span>  Rót gän: Víi x 0 vµ x 1 x ( x  1)  ( x  2) x ( x  1)  x  4 P : x 1 ( x  1)( x  1) . x x  x 2 x x  x  4 : x 1 ( x  1)( x  1). . . x 2 x 4 : x  1 ( x  1)( x  1) (Thªm ®iÒu kiÖn x 4). ( x  2)( x  1)( x  1) ( x  1).( x  4) x1 x 2. . Víi x 0 ; x 1 vµ x 4 th× biÓu thøc P =. x1 x 2. b) P < 0 x1  0 x 2 (§iÒu kiÖn : x 0; x 1; x 4 ). . x  1 0. . x 1. (V×. x  2  0x  R  ).  x 1. KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn phÇn a víi 0  x  1 th× P < 0 P. c). x 2 3 x 2   x 2 x 2.  P cã GTNN. .  . 3 1  x 2. 3 x 2. 3 x  2 cã GTNN x  2 cã GTNN ( do ph©n thøc cã tö vµ mÉu d¬ng). x cã GTNN x 0.  x 0 (Thỏa mãn điều kiện xác định) 1  KÕt luËn: Víi x = 0 th× P cã GTNN lµ 2 4. VÝ dô 4: x 2 x 2 (1  x) 2  ). 2 x  2 x 1 Cho biÓu thøc P = x  1 a) Rót gän biÓu thøc (.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P khi x= 7  4 3 c) Tìm giá trị của x để biểu thức P có giá trị lớn nhất. Gi¶i: 2 a) XÐt: x  2 x  1 ( x  1) 1x  0.  x 0  x 0    x  1  0   x 1 * §KX§: Víi x 0 vµ x 1 th× biÓu thøc P cã nghÜa  Víi x 0 vµ x 1 ta cã: ( x  2)( x  1)  ( x  2)( x  1) (1  x) 2 . 2 2 ( x  1)( x  1) P= x  x  2 x  2  x  x  2 x  2 ( x  1) 2  . 2 ( x  1)( x  1) .  2 x .( x  1) 2 ( x  1)( x  1).2. .  x ( x  1) x 1.  x ( x  1)  x x. Víi x 0 vµ x 4 th× biÓu thøc P cã kÕt qu¶ rót gän lµ:  x .( x  1) hoÆc. x x. b) x 7  4 3 4  2.2 3  3 (2  . x 2. 3 2 . 3) 2. 3. Với x 7  4 3 thay vào biểu thức P = x  x ta đợc P = 2  3  7  4 3 3 3  5 Với giá trị x= 7  4 3 (thỏa mãn điều kiện xác định ) Th× P = 3 3  5 c) P  x  x  ( x  x ) 1 1 1    ( x ) 2  2 x .    2 4 4  1 1    ( x  ) 2   2 4  1 1   ( x  )2 4 2.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 1 2 ) 2 P cã GTLN cã GTNN 1 1 ( x  ) 2 0x  0  ( x  ) 2 0 2 2 do 1  x  0 2 1  x 2 1  x 4 ( Tháa m·n ®iÒu kiÖn x 0; x 4 )  ( x. x Thay. 1 1 1  0 4 4 vào P ta đợc P = 4. 5. VÝ dô 5( §Ò thi THCS cña thµnh phè Hµ Néi n¨m 2002-2003) Cho biÓu thøc: 4 x 8x x1 2 (  ):(  ) 4  x x 2 x x P = 2 x a) Rót gän P b) Tìm giá trị của x để P =-1 c) Tìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có: m( x  3) P  x  1 Gi¶i: a) XÐt: x  2 x  x ( x  2)  x 0  x  0  x 0    x 4 4  x 0  x  2 0  §KX§:   Víi x > 0 vµ x 4 cã: 4 x 8x x1 2  ):(  ) x  4 2  x x ( x  2) x P= (. . 4 x ( x  2)  8 x : ( x  2)( x  2). . 4 x  8x  8x : ( x  2)( x  2). .  4x  8 x : ( x  2)( x  2). x  1  2( x  2) x ( x  2) x  1 2 x  4 x ( x  2)  x 3 x ( x  2) ( Thªm §K x 9). (2,5 ®).

<span class='text_page_counter'>(5)</span> .  4 x ( x  2) x ( x  2) . ( x  2)( x  2) 3 x.  4 x . x ( x  2) (3  x )( x  2) 4x  x 3 . Víi x > 0 , x 4, x 9 th× P =. 4x x 3. b) P =-1 4x   1 x 3 ( §K: x > 0, x 4, x 9 )  4 x 3  x  4x  3 . §Æt. x 0. x  y ®iÒu kiÖn y > 0. 2 Ta cã ph¬ng tr×nh: 4 y  y  3 0 C¸c hÖ sè a + b + c = 4- 1-3 =0  y1  1 (kh«ng tháa m·n ®iÒu kiÖn y > 0). 3 4 ( tháa m·n ®iÒu kiÖn y > 0) 3 9 y  x 4 Víi th× x = 16 ( tháa m·n §KX§) 9 VËy víi x = 16 th× P = - 1 y2 . c) m( x  3) P  x  1 (§K: x > 0; x 4, x 9 ) 4x  m( x  3)  x 1 x 3  m.4 x  x  1 x 1  m 4x ( do 4x > 0) x 1 x 1 1 1     4x 4x 4 4x  XÐt 4 x Có x > 9 ( thỏa mãn điều kiện xác định) 1 1   x 9 ( hai ph©n sè d¬ng cïng tö sè, ph©n sè nµo cã cïng mÉu lín h¬n th× ph©n số đó nhỏ hơn).

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 1 1  4 x 36 1 1 1 1     4 4 x 4 36 1 1 5    4 4 x 18 .  5 x 1   5 18 4x  m  18 m  x  1 4x Theo kÕt qu¶ phÇn trªn ta cã:  5 m ,x 9 18  KÕt luËn: víi th× m( x  3) P  x  1.  6. VÝ dô 6 ( §Ò thi tuyÓn sinh chuyªn H¹ Long n¨m häc 2005-2006) Cho biÓu thøc: 3 x8  x  5 x  6 P(x) =. 1  x 2. 1 x 3. a) Tìm x để P(x) có nghĩa và rút gọn P(x) 4 b) Gi¶i ph¬ng tr×nh P(x) = x  5. (2,5 ®). Gi¶i: a) XÐt: x  5 x  6  x  2 x  3 x  6  x ( x  2)  3( x  2) ( x  2)( x  3).  x 0    x  2 0    x  3 0  P cã nghÜa.  x 0   x 2    x 3.  x 0   x 4  x 9 . VËy víi x 0, x 4, x 9 th× biÓu thøc P (x) cã nghÜa  Víi x 0, x 4, x 9 th×: 3 x8  ( x  2)( x  3) P(x) =. 1  x 2. 1 x 3. . 3 x  8  ( x  3)  ( x  2) ( x  2)( x  3). . 3 x  8 x 3 x 2 ( x  2)( x  3). x3  x(2)3.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> . 1 x 2. KÕt luËn : VËy víi x 0, x 4, x 9 th×. 4 b) P(x) = x  5 1 4   x  2 x 5. P. 1 x 2. ( §K: x 0, x 4, x 9, x 5 ).  x  5 4 x  8  x  4 x  3 0 §K: y 0 2 Ta cã ph¬ng tr×nh : y  4 y  3 0 C¸c hÖ sè: a + b +c = 1- 4 + 3 =0  y1 1 y2 3 ; (tháa m·n ®iÒu kiÖn y > Víi y1 1  x  x 1 ( tháa m·n §KX§) §Æt. x y. y2 3  x  x 9. ( kh«ng tháa m·n §KX§). 4  KÕt luËn: NghiÖm cña ph¬ng tr×nh P(x)= x  5 lµ x = 1 7. VÝ dô 7:( §Ò thi tuyÓn sinh chuyªn H¹ Long n¨m häc 1999-2000) Cho biÓu thøc:.  x ( x  2) 2 4 8 x  32  2   : (1  )   2 ( x  1)  3 2  x 8  x x 2  x  P=  a) Rót gän P. b) TÝnh gi¸ trÞ cña P víi x = 9  4 5 c) Tìm các giá trị chính phơng x để P có giá trị nguyên Gi¶i: 2 a) XÐt: ( x  1) 1x 0 nªn :. ( x  1) 2  3 4 2  x 2x 0 8  x x 23  ( x )3 (2   x 0   2  x  0  §KX§: .  x 0   x 4. Víi x 0, x 4 th× P cã nghÜa. x )(4  2 x  x ). (3 ®).

<span class='text_page_counter'>(8)</span> 1. 2 2 x  2 x   2 x 2 x 2 x. Cã: Điều kiện để phép chia thực hiện đợc là x 0 VËy §KX§ cña P lµ : x > 0 vµ x 4  Với x > 0 và x 4 ta đặt P =A : B x ( x  4 x  4) 4   x  2 x  1  3 2  x (2  A=. ( . 8 x  32 x )(4  2 x  x). x x  4 x  4 x )(2  x )  4( x  2 x  4)  8 x  32 ) (2  x )( x  2 x  4). 2( x )3  8 x  8 x  x 2  4( x ) 3  4 x  4 x  8 x  16  8 x  32 (2  x )( x  2 x  4).  2( x )3  x 2  8 x  16  (2  x )( x  2 x  4) .  ( x )3 (2  x )  8( x  2) (2  x )( x  2 x  4). (2  x )  8  ( x )3   (2  x )(4  2 x  x) 2  x (2  x ) 2 2 x :  2  x x VËy P = (2  x )2 x. x Víi x > 0 vµ x 4 th× P = b) x 9  4 5 9  2.2 5 ( 5  2) 2. . x  5 2  5 2. Thay x 9  4 5 vào P ta đợc : (2  5  2) 2 5 5( 5  2)   5 5  10 5  4 5  2 5  2 P= * Víi x = 9  4 5 th× P = 5 5  10 c) Theo kÕt qu¶ phÇn a ta cã:. (2  x ) 2 x P=.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> . 44 x x x. 4 4 x x   x x x 4  4 x x . V× x lµ sè chÝnh ph¬ng nªn x  N , x  N. 4 x cã gi¸ trÞ nguyªn P cã gi¸ trÞ nguyªn  x  ¦ (4) . x   1, 2, 4.  1 1. x. x. x. -1 Kh«ng x®. 2 4. -2 Kh«ng x®. 4 16. Với x =1 và x = 16 thỏa mãn điều kiện xác định phần a x = 4 không thỏa mãn điều kiện xác định phần a * Víi c¸c sè chÝnh ph¬ng x = 1 hoÆc x = 16 th× P cã gi¸ trÞ nguyªn 8. VÝ dô 8:( §Ò «n thi tèt nghiÖp THCS cña SGD). (. x xy y x y. Chøng minh:. 2 y. xy ) : ( x  y ) . .  Điều kiện để đẳng thức có nghĩa:. x y. 1. Gi¶i:.   x, y 0  x, y 0     x y x  y   Với x 0, y 0, x  y biến đổi vế trái:. (. x xy y x y. ( (. . xy ) : ( x  y ) . ( x )3  ( y )3 x y. ( x  y )( x  x y. . 2 y x y. xy ) : ( x  y ) . xy  y ). . 2 y x y. xy ) : ( x  y ) . 2 y x y. -4 Kh«ng x®.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> ( x . xy  y . xy ) : ( x  y ) . . x  y  2 xy 2 y  x y x y. . x  y  2 xy  2 y ( x  x y. 2 y x y. y). x  y  2 xy  2 xy  2 y x y x y  x y 1 . Sau khi biến đổi, vế trái có kết quả bằng vế phải, đẳng thức đợc chứng minh. C. MéT Sè BµI TO¸N VÒ RóT GäN BIÓU THøC Bµi 1:( §Ò thi tuyÓn sinh líp 10 chuyªn H¹ Long n¨m häc 2000 - 2001). y2  3y x  2x y x x Cho biÓu thøc: A = a) Rót gän biÓu thøc A. b) TÝnh gi¸ trÞ cña A khi x =  4 3  7 vµ y = 20  8 6  11  4 6. (2 ®). Bµi 2:(§Ò thi tuyÓn sinh líp 10 chuyªn H¹ Long n¨m häc 2003 – 2004) 2 x x 3x  3 2 x  2 (   ):(  1) x  9 x  3 x  3 x  3 Cho biÓu thøc: P = a) Rót gän P 1  b) Tìm x để P < 2 c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P (2®) Bµi 3:( §Ò thi tuyÓn sinh líp 10 chuyªn H¹ Long n¨m häc 2002 – 2003) Cho biÓu thøc: 3(a  a  1) a 1 a 2   a 2 a  1 víi a 1, a 0 P= a a  2 a. Rót gon biÓu thøc. 1 b. Tìm giá trị của a để biểu thức P nhận giá trị nhỏ nhất Bµi 4:( §Ò thi tèt nghiÖp líp 9 n¨m häc 2001 – 2002) 1 1     : x x  x  1 x  x  1   a. Cho biÓu thøc: A = Rót gän biÓu thøc. (2,5®).

<span class='text_page_counter'>(11)</span> 2 b. Víi gi¸ trÞ nµo cña k, ph¬ng tr×nh sau cã 2 nghiÖm ph©n biÖt: kx  6 x  5 0 (2,5®) Bµi 5:( §Ò thi dù bÞ tèt nghiÖp líp 9 n¨m häc 2001 – 2002) 1 1 2 x  x  x víi x >0, x 0 Cho biÓu thøc: A = 1  x a. Rót gän biÓu thøc b. Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× A = 3 (2®). Bµi 6:( §Ò thi tèt nghiÖp líp 9 n¨m häc 2000 – 2001) Cho biÓu thøc:. x  x1. 2x  x 1 x ( x  1) víi x > 0. A= a. Rót gän biÓu thøc A. b. TÝnh c¸c gi¸ trÞ cña biÓu thøc A khi x = 3  8 c. Tìm các giá trị của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên. (2,5®). Bµi 7:( §Ò thi tèt nghiÖp líp 9 n¨m häc 2003 – 2004) 3 2( 50  2  10)  2 5 2 a.Thùc hiÖn phÐp tÝnh. x1 , x2. 2 lµ 2 nghiÖm cña ph¬ng tr×nh : x  5 x  m 0 2 x  x 11 Tìm giá trị của m để: 1 2. b. Gäi. (2®). Bµi 8:( §Ò thi tèt nghiÖp líp 9 n¨m häc 2004 – 2005) 1.TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc 2. Cho ph¬ng tr×nh bËc 2:. 1 1  5 2 5 2 5 x 2  mx  1 0(*). a. Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ cña tham sè m, ph¬ng tr×nh (*) lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt b. Gäi. x1 ; x2 lµ 2 nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (*), h·y tÝnh: x12 x2 2  x2 x1 theo m. (2,5®). Bµi 9:( §Ò thi tèt nghiÖp cña Hµ Néi n¨m häc 2000 – 2001) Cho biÓu thøc:.  x 4 3   x 2     :  x ( x  2) x  2 x   P =. x   x  2 . a. Rót gän P. b. TÝnh gi¸ trÞ cña P biÕt x = 6  2 5 c. Tìm các giá trị của n để có x thỏa mãn:. . 1xPn. (2,5®). Bµi 10:( §Ò thi tèt nghiÖp cña Hµ Néi n¨m häc 2003 – 2004).

<span class='text_page_counter'>(12)</span> 1   x  1 1 x      x  :  x x x  x     Cho biÓu thøc: P = a. Rót gän P. 2 b. TÝnh gi¸ trÞ cña P biÕt x = 2  3 c. T×m gi¸ trÞ cña x tháa m·n: P x 6 x  3 . x 4. (2,5®).

<span class='text_page_counter'>(13)</span>