giai de toan lop 10 nam 20142015

<span class='text_page_counter'>(1)</span>SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH ĐỀ CHÍNH THỨC. KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2014-2015 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút. Mã đề 01 Bài 1: Rút gọn các biểu thức a) P  20 . 1   1 Q     x  16  x  4 x  4   b) với x  0, x  16. 45  5 5.  2x  5y 7  Bài 2: Giải hệ phương trình  x  2y 4 2 2 Bài 3: Cho phương trình bậc hai x  2mx  m  m  1 0 (m là tham số) a) Giải phương trình khi m = 2 x 2  x 22 3x1x 2  1 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn 1 Bài 4: Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H a) Chứng minh rằng BCEF nội tiếp đường tròn 0  0  b) Biết ABC 45 , ACB 60 , BC = a. Tính diện tích tam giác ACD theo a 2 2 Bài 5: Cho x, y > 0 thỏa mãn x  y 2 . Tìm GTNN của. P. x2 y2  y x. LỜI GIẢI Bài 1: a) P  4.5  9.5  5 5 2 5  3 5  5 5 4 5   2 x  x  16  x  4 x 4   Q 2 x  x  16    x 4  x  16  x 4    b)  2x  5y 7  y  1  x 6     x 4  2y  y  1 Bài 2: Hệ phương trình tương đương  2x  4y 8  x 6  Hệ phương trình có nghiệm duy nhất  y  1. . . . x 2  4x  3 0  x 2  x  3x  3 0  x  x  1  3  x  1 0 Bài 3: a) Khi m = 2 ta có phương trình  x 1   x  1  x  3 0    x 3 . Phương trình có tập nghiệm là S = {1; 3}. b) Ta có.  ' m 2   m 2  m  1 m  1. . Để phương trình bậc hai đã cho có 2 nghiệm phân biệt x 1; x2  x1  x 2 2m  x .x m 2  m  1 thì  '  0  m  1  0  m  1 . Khi đó theo hệ thức Viets ta có  1 2 2 2 x12  x 22 3x1x 2  1   x1  x 2   2x1x 2 3x1x 2  1   x1  x 2   5x1x 2 1 0 Theo bài ra  m 1  4m 2  5  m 2  m  1  1 0  m 2  5m  4 0   m  1  m  4  0    m 4 Đối chiếu điều kiện m > 1 ta có m = 4 thỏa mãn bài toán 0   Bài 4: a) Theo giả thiết ta có BFC BEC 90 . Do đó đỉnh E, F cùng nhìn đoạn BC dưới một góc bằng 900.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Nên tứ giác BCEF nội tiếp được đường tròn đường kính BC (Bài toán cung chứa góc) 0 0   b) Xét ADB có ADB 90 (gt) và ABC 45 (gt) nên ADB vuông cân tại D  AD = BD = BC – CD = a – CD. Mặt khác ACD vuông tại D. Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn ta có: AD AD a  CD  tgACD   tg600   CD CD CD a  CD 3 a  CD  CD  3 1  AD a  CD a . SACD Vậy. a a 3  3 1 3 1 .. AD.CD a2 3   2 2 3 1. . . . a2 2 3  3 2. . . 4 A F. E H. 2. a b2  a  b    m  n . Thật vậy Bài 5: Cách 1: Ta chứng minh BĐT phụ sau: Với m, n > 0 và mọi a, b thì m n 2 2 60 a 2 b2  a  b  na 2  mb 2 B a  b45 2 C       m  n   na 2  mbD2  mn  a  b   n 2a 2  m2 b2 m n mn mn mn 2 mn  a 2  b 2  mn  a 2  b 2   2mnab  n 2a 2  m 2 b 2  2mnab 0   na  mb  0 luôn đúng 2. 0. P Áp dụng BĐT phụ trên ta có. x4 x2 y. . 0. y4 y2 x. . x. 2.  y2 . 2. x 2 y  y2 x. x 2 y  y 2 x x.x y  y.y x  Mặt khác theo BĐT Bunhia ta có 4 4 P   x 2  y2   x 2 y  y2 x  2xy  x  y  . Do đó Ta lại có.  x  y. 2. x. y.  y 2   x 2 y  y 2x . 2. 4. Vậy. 2. 0  x 2  y 2 2xy  2  x 2  y 2   x  y    x  y   2  x 2  y 2 . P 2. x. 2. 2. .  2 x. 2. y. 2. . 4 2. 2.2. 2 . GTNN của P là 2. Đạt được khi x = y = 1. 2. Cách 2: Từ giả thiết x  y 2 . P Ta có.  1 2  y2 2  x 2 2 2 x2 y2 1       2    x x y y  y y x y x x y x  . .  1 1  2   2.2  y x  Áp dụng BĐT Cauchy ta có  Áp dụng BĐT Bunhia ta có. . .   x x  y y  Ta lại có.  x  y. 2. x. 2. x.  x. x y y . 1 1 4 .  4 x y xy 2. y. 2. . x 2  y2 xy  1  2 và.   x  y.  y 2   x  y   2  x  y . (3) 2. 0  x 2  y 2 2xy  2  x 2  y 2   x  y    x  y   2  x 2  y 2 . 4. xy 1. (1).

<span class='text_page_counter'>(3)</span>   2  x  y   2 2  x 2  y 2   2. (3). Từ (1), (2) và (3) suy ra P  2 GTNN của P là 2. Đạt được khi và chỉ khi x = y = 1 Lời giải: Nguyễn Ngọc Hùng – THCS Hoàng Xuân Hãn – Đức Thọ - Hà Tĩnh (Dự đoán biểu điểm: Bài 1a: 1,5đ, 1b: 1đ, Bài 2: 1,5đ, Bài 3a: 1đ, 3b: 1đ Bài 4a: 1,5đ, 4b: 1,5đ, Bài 5: 1đ) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT HÀ TĨNH NĂM HỌC 2014-2015 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút Mã đề 02 Bài 1: Rút gọn các biểu thức a) P  18 . 1   1 Q     x  25  x  5 x  5   b) với x  0, x  25. 32  5 2. 5x  2y 7  Bài 2: Giải hệ phương trình  2x  y 4 2 2 Bài 3: Cho phương trình bậc hai x  2mx  m  m  1 0 (m là tham số) a) Giải phương trình khi m = -2 2 2 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x ; x thỏa mãn x1  x 2 3x1x 2  1 1. 2. Bài 4: Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AM, BN, CP cắt nhau tại H a) Chứng minh rằng BCNP nội tiếp đường tròn 0  0  b) Biết ABC 45 , ACB 60 , BC = a. Tính diện tích tam giác ACM theo a x2 y2 P  2 2 y x x  y  2 Bài 5: Cho x, y > 0 thỏa mãn . Tìm GTNN của LỜI GIẢI Bài 1: a) P  9.2  16.2  5 2 3 2  4 2  5 2 4 2   2 x  x  25  x  5 x 5   Q x  25   2 x   x 5  x  25 x5    b) 5x  2y 7  x  1  x  1     y 4  2x  y 6 Bài 2: Hệ phương trình tương đương  4x  2y 8  x  1  Hệ phương trình có nghiệm duy nhất  y 6. . . . x 2  4x  3 0  x 2  x  3x  3 0  x  x  1  3  x  1 0 Bài 3: a) Khi m = -2 ta có phương trình  x 1   x  1  x  3 0    x 3 . Phương trình có tập nghiệm là S = {1; 3}. b) Ta có.  ' m 2   m 2  m  1   m  1. . Để phương trình bậc hai đã cho có 2 nghiệm phân biệt  x1  x 2  2m   '  0    m  1  0  m   1 x1.x 2 m 2  m  1   x1; x2 thì . Khi đó theo hệ thức Viets ta có.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 2. Theo bài ra. 2. x12  x 22 3x1x 2  1   x1  x 2   2x1x 2 3x1x 2  1   x1  x 2   5x1x 2 1 0.  m  1  4m 2  5  m 2  m  1  1 0  m 2  5m  4 0   m  1  m  4  0    m  4 Đối chiếu điều kiện m < -1 ta có m = -4 thỏa mãn bài toán 0   Bài 4: a) Theo giả thiết ta có BPC BNC 90 . Do đó đỉnh P, N cùng nhìn đoạn BC dưới một góc bằng 900 Nên tứ giác BCNP nội tiếp được đường tròn đường kính BC (Bài toán cung chứa góc) 0 0   b) Xét AMB có AMB 90 (gt) và ABC 45 (gt) nên AMB vuông cân tại M  AM = BM = BC – CM = a – CM . Mặt khác AMC vuông tại M. Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn ta có AM AM a  CM  tgACM   tg600   CM CM CM a  CM 3 a  CM  CM  3 1  AM a  CM a . SACM Vậy. a a 3  3 1 3 1 .. AM.CM a2 3   2 2 3 1. . . . a2 2 3  3 . 2. . 4 A P. 2. a 2 Nb 2  a  b    m  n . Thật vậy Bài 5: Cách 1: Ta chứng minh BĐT phụ sau: Với m, n > 0 và mọi a, b thì m n 2 2 a 2 b2  a  b  na 2  mb 2  a  b  2 2 2      m  n na  mb  mn a  b     45   60 B C n 2 a 2  m 2 b 2 m n mn mn mn M 2 mn  a 2  b 2  mn  a 2  b 2   2mnab  n 2a 2  m 2 b 2  2mnab 0   na  mb  0 luôn đúng. H. 0. P Áp dụng BĐT phụ trên ta có. x4 x2 y. . 0. y4 y2 x. . x. 2.  y2 . 2. x 2 y  y2 x. x 2 y  y 2 x x.x y  y.y x . Mặt khác theo BĐT Bunhia ta có 4 4 P   x 2  y2   x 2 y  y2 x  2xy  x  y  . Do đó Ta lại có.  x  y. 2. Vậy. y.  y 2   x 2 y  y 2x . 2. 4. x. 2. 0  x 2  y 2 2xy  2  x 2  y 2   x  y    x  y   2  x 2  y 2 . P 2. x. 2.  2 x.  2. y. 2. . 4 2. 2.2. 2. . GTNN của P là 2. Đạt được khi x = y = 1 2 2 x  y  2 Cách 2: Từ giả thiết  1 2  y2 2  x 2 2 2 x2 y2 1  P      2     x x  y y  y y x y x x y x   Ta có  1 1  1 1 4 x 2  y2 2  .   2.2 xy  1  4 xy 1  y x x y 4 xy  2 Áp dụng BĐT Cauchy ta có và (1). . Áp dụng BĐT Bunhia ta có. x.  x. x y y . 2.  y2   x  y . .

<span class='text_page_counter'>(5)</span> . .   x x  y y  Ta lại có.  x  y. 2. x. 2.  y 2   x  y   2  x  y . (3) 2. 0  x 2  y 2 2xy  2  x 2  y 2   x  y    x  y   2  x 2  y 2 .   2  x  y   2 2  x 2  y 2   2. (3). Từ (1), (2) và (3) suy ra P  2 GTNN của P là 2. Đạt được khi và chỉ khi x = y = 1 Lời giải: Nguyễn Ngọc Hùng – THCS Hoàng Xuân Hãn – Đức Thọ - Hà Tĩnh (Dự đoán biểu điểm: Bài 1a: 1,5đ, 1b: 1đ, Bài 2: 1,5đ, Bài 3a: 1đ, 3b: 1đ Bài 4a: 1,5đ, 4b: 1,5đ, Bài 5: 1đ).

<span class='text_page_counter'>(6)</span>