PPT đại số 11 tiết 14 bài 3 đại số và giải tích 11 huỳnh ngọc thúy hồng soạn mới

Tiết 14: Bài 3
MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
THƯỜNG GẶP


Bài cũ:
Giải phương trình sau:

� � 1
a.sin �x  �
� 3� 2


� �
� sin �x  � sin
6
� 3�

b.sin 2 x  sin x  0
� sin x  sin x  1  0

sin x  0
�
�
Phương trình �
sin x  1
�

� 
2
�  

x


k
2

x    k 2
0
� 2 2sin x  5sin x  2 �
�
x  k
3 6
��
,  k ��
��
�
�
,  k ��
7

giải
như
thế
nào
?


5

�

�
x
 k 2
�
x 
 k 2
x    k 2
�
6
�
6
� 3
�
2


II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1. Định nghĩa
Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng

at 2  bt  c  0,
trong đó a, b, c là các hằng số và

t

là một trong các hàm số lượng giác.

Ví dụ:

a.cos 2 x  2 cos x  3  0

( là phương trình bậc hai đối với cos x )

b.5 tan 2 2 x  9 tan 2 x  2  0 ( là phương trình bậc hai đối với tan 2x )


2. Cách giải
B1: Đặt ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ ( nếu có).
B2: Đưa về phương trình bậc hai at  bt  c  0 và giải phương trình bậc hai
2

B3: Đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác và giải


Ví dụ: Giải các phương trình sau

a.2sin 2 x  5sin x  2  0

b.tan 2

x
x
 4 tan  3  0
2
2

x
ĐK: cos �0
2

Phương trình trở thành: 2t  5t  2  0

x
Đặt t  tan
2
t 2  4t  3  0
Phương trình trở thành:

t  2 (loại)
�
�� 1
�
t
� 2

x
tan  1
Với t  1 hay
2
x 

�   k � x   k 2 ,  k ��

Đặt t  sin x

ĐK: 1 �t �1
2

1
1

t

sin
x

Với
hay
2
2
� 
x   k 2
�
6
��
,  k ��
5
�
x
 k 2
�
� 6

2

4

Với

t 1
�

��
t 3
�

2

x
t  3 hay tan  3
2

x
�  arctan 3  k � x  2 arctan 3  k 2 ,  k ��
2
Vậy phương trình có nghiệm


x   k 2 , x  2 arctan 3  k 2 ,  k ��
2


3. Phương trình đưa về dạng phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
Dạng 1: Bài toán sử dụng cơng thức lượng giác cơ bản

Giải các ví dụ sau:

Công thức lượng giác cơ bản

a. 6 cos 2 x  5sin x  2  0
� 6  1  sin 2 x   5sin x  2  0

� 6sin 2 x  5sin x  4  0
Đặt t  sin x,  1 �sin x �1

 1 � 6t 2  5t  4  0
� 4
t
(loại)
�
3
��
1
�
t
� 2

(1)

1
t
2

1.sin 2 x1 cos 2 x  1
� sin x  
2 x 1
2.tan x.cot
� � 1
� sin x  sin �
2 �
3.1  tan
� x6 

�cos 2 x

�
1
x


k 22
� 4.16cot
x
��
, k �
� 2 x
sin
7
�
x
 k 2
�
� 6


Giải các ví dụ sau:

b.tan x  3 cot x  3  1  0

ĐK:

3
� tan x 

 3 1  0
tan x
� tan 2 x 
Đặt





3  1 tan x  3  0 (2
)

t  tan x

 2 � t 2  



3 1 t  3  0

�
t 3
��
t 1
�

cos x �0,sin x �0

t  3 ta có tan x  3


� tan x  tan
3

� x   k  k �� thỏa đk
3
t  1 ta có tan x  1

� tan x  tan
4

� x   k  k �� thỏa đk
4


Dạng 2: Bài tốn sử dụng cơng thức nhân đơi
Ví dụ: Giải phương trình sau

Cơng thức nhân đơi

cos 2 x  3cos x  4  0
�
� 22cos
cos22 xx13cos
 3cos
x x540 0
Đặt t  cos x  1 �t �1

 3 � 2t 2  3t  5  0
t  1
�

�� 5
�
t
� 2

loại

sin 2 x  2sin x.cos x
3

t  1

2
2
cos
2
x

cos
x

sin
x
ta có cos x  1
 2 cos 2 x  1
2
� x   k122sin
 k ��
x

Dạng 3: a cos 2 x  b.cos x sin x  c sin 2 x  d  0
Ví dụ: Giải phương trình sau

2sin 2 x  5sin x cos x  cos 2 x  2

(4
)

2
TH1: Nếu cos x  0 � sin x  1 thay vào phương trình ta có 2.1  5.0  0  2 � 2  2 (vơ lí)
2
TH2: Nếu cos x �0 chia cả hai vế phương trình cho cos x

sin 2 x 5sin x cos x cos 2 x
2
4
�
2



 
cos 2 x
cos 2 x
cos 2 x cos 2 x

Vậy phương trình có nghiệm x 



1
 k , x  arctan  k ,  k ��
4
4


Bài tập về nhà
Giải các phương trình sau

a.3cos 2 x  2sin x  2  0

b.2 tan x  3cot x  2  0
d .4 cos 2 x  3sin x cos x  3sin 2 x  1

c.2 cos 2 2 x  3sin 2 x  2

x
e.cos 2 x  2 cos x  2sin
2
1
1
2
f .sin x 
 sin x  2
sin x
sin x
2