De HSG Toan 9 co dap an

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Gv: Phạm Doãn Lê Bình. lebinh234.name.vn. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 TỈNH THỪA THIÊN - HUẾ - năm 20121 (Thời gian làm bài: 150 phút) q q p p  x − 4(x − 1) + x + 4(x − 1)  1 p Bài 1. (2,5 điểm) Cho biểu thức Q = · 1− . x−1 x2 − 4(x − 1) 1) Rút gọn biểu thức Q. 2) Tính giá trị Q khi x = 2013. Bài 2. (4 điểm) Cho phương trình x2 − 2(m − 1)x + 2m − 5 = 0 (1). 1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm dương. 2) Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình (1).  2  2 x1 x2 Tìm m nguyên dương để A = + có giá trị nguyên. x2 x1 √ √ 1 1 + 3x + 1 = 2 + x + 2. 2 (x − 1) x √ √ √ 2) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) sao cho x < y và x + y = 2012.. Bài 3. (4 điểm) 1) Giải phương trình. Bài 4. (5 điểm) Cho hai đường tròn (O; R) và (O0 ; R0 ) (R > R0 ) cắt nhau tại A và B. Một tiếp tuyến chung tiếp xúc với đường tròn (O) tại C, tiếp xúc với đường tròn (O0 ) tại D. Gọi I là giao điểm của AB và CD, B 0 là điểm đối xứng của B qua I; C 0 là điểm đối xứng của B qua CD. Qua A kẻ cát tuyến song song với CD cắt đường tròn (O) tại P , cắt đường tròn (O0 ) tại Q. Gọi M ; N lần lượt là giao điểm của DB, CB với P Q. 1) Chứng minh rằng A là trung điểm của M N . 2) Chứng minh rằng năm điểm A, C, B 0 , C 0 , D cùng nằm trên một đường tròn. Bài 5. (2,5 điểm) Cho đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC, cạnh BC tiếp xúc với đường tròn (O) tại D. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC vuông tại A thì SABC = BD.DC. Bài 6. (2 điểm) Tìm số tự nhiên n để 2012 + n2 là số chính phương. NGUYỄN TẤN TRƯỜNG (SỞ GD&ĐT Thừa Thiên - Huế) sưu tầm và giới thiệu ĐÁP ÁN Bài 1. 1)√ĐK: 1 < x 6= 2.√   x−1−1 + x−1+1 x−2 · Q= |x − 2| x−1 2 Khi 1 < x < 2 thì Q = 1−x 2 Khi x > 2 thì Q = √ x−1 √ 2 503 2) Do x = 2013 > 2 nên Q = √ = 503 2013 − 1 1. Báo Toán học & Tuổi trẻ số 422, tháng 8 năm 2012. 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Gv: Phạm Doãn Lê Bình. lebinh234.name.vn. Bài 2 1) Ta có ∆0 = (m − 2)2 + 2 > 0 ∀m nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 (x1 < x2 ) với mọi m. 5 Để phương trình có nghiệm dương thì x1 ≤ 0 < x2 hoặc 0 < x1 < x2 ⇔ m ≤ hoặc 2 5 m > ⇔ ∀m ∈ R. 2 x4 + x42 ((x1 + x2 )2 − 2x1 x2 )2 − 2(x1 x2 )2 2) A = 1 = (x1 x2 )2 (x1 x2 )2 2  (4m2 − 12m + 14)2 9 = − 2 = 2m − 1 + −2 (2m − 5)2 2m − 5 . Để A nguyên thì 9 .. (2m − 5) ⇔ 2m − 5 ∈ {±1, ±3, ±9}. Vậy m ∈ {1; 2; 3; 4; 7}. Bài 3. ĐK x 6= 0, x 6= 1 và x ≥ −. 1 (*) 3. Biến đổi PT thành   √ √ 1 1 1 1 √ =0 − = x + 2 − 3x + 1 ⇔ (2x − 1) +√ (x − 1)2 x2 (x − 1)2 x2 x + 2 + 3x + 1 1 ⇔ 2x − 1 = 0 ⇔ x = (thỏa mãn (*)). 2 2) ĐK:√0 ≤ x < y và√x, y ∈ N. √ √ √ √ Ta có x + y = 2 503 do đó x = a 503, y = b 503 với a, b ∈ N, a + b = 2, a < b. Do đó a = 0; b = 2. Vậy (x; y) = (0; 2012). Bài 4. (h.1) 1) Vì P Q//CD, theo Hệ quả của định lí BI DI BI CI = ; = Thales ta có AN BA AM BA CI DI ⇒ = (1) AN AM Ta có ∆ACI v ∆CBI (g.g) ⇒ CI 2 = AI.BI (2) Tương tự DI 2 = AI.BI (3) Từ (2) và (3) ta có CI = DI. Từ (1) ta có AM = AN (đpcm). 2) Từ Câu 1 thì tứ giác BCB 0 D là hình bình 0 D (4). Mặt khác \ = CB \ hành. Do đó CBD Hình 1 \ = CAI [ + DAI [ CAD [ [ \ + CDB \ = BCI + BDI = BCD 0 D = BCD \ + CB \ \ + CDB \ + CBD \ = 180o (5) ⇒ CAD 0 nên tứ giác ACB D nội tiếp (6) 0 D (7) \ = CC \ Mặt khác, C 0 là điểm đối xứng của B qua CD, suy ra CBD 0 D = 180o , nên tứ giác ACC 0 D nội tiếp (8) \ + CC \ Từ (4), (5) và (7) ta có CAD 0 Từ (6) và (8) ta có 5 điểm A, C, B , C, D cùng nằm trên một đường tròn. Bài 5. (h.2) Đặt AB = c, AC = b, BC = a. Đường tròn (O) tiếp xúc AC, AB thứ tự tại E, F . 2BD = BD + BF = (BC − DC) + (AB − AF ) = (BC + AB) − (DC + AF ) = (BC + AB) − (CE + AE) = BC + AB − CA = a + c − b ⇒ 2DB = a − (b − c). Tương tự 2DC = a + (b − c). 2 Hình 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Gv: Phạm Doãn Lê Bình. lebinh234.name.vn. Suy ra 4DB.DC = a2 − (b2 + c2 ) + 2bc (1) 1 1 Nếu tam giác ABC vuông tại A thì a2 = b2 + c2 và SABC = AB.AC = b.c (2) 2 2 bc Từ (1) và (2) suy ra DB.DC = = SABC (đpcm) 2 Bài 6 Giả sử 2012 + n2 = m2 (m, n ∈ N; m > n). Suy ra (m + n)(m − n) = 2012. Nhận thấy m + n + m − n = 2m nên hai số m + n và m −n cùng tính chẵn lẻ.  m + n = 1006 m = 504 Suy ra m + n và m − n đều chẵn, m + n > m − n. Do đó ⇔ m−n=2 n = 502. Vậy số cần tìm n = 502.. 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span>