bài tập dạy thêm toán lớp 11 ( CHƯƠNG 1 CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN) ( có lời giải)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (755.1 KB, 41 trang )
CHUYÊN ĐỀ 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP
CHƯƠNG 1: CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
1. Đường tròn lượng giác và dấu của các giá trị lượng giác
Góc
I
II
III
IV
sin x
+
+
–
–
cos x
+
–
–
+
tan x
+
–
+
–
cot x
+
–
+
–
WORD=> ZALO_0946 513 000
2. Công thức lượng giác cơ bản
tan .cot 1
sin 2 cos 2 1
1 tan 2
1
cos 2
1 cot 2
3. Cung liên kết
Cung đối nhau
Cung bù nhau
Cung phụ nhau
cos a cos a
sin a sin a
�
�
sin � a � cos a
�2
�
sin a sin a
cos a cos a
�
�
cos � a � sin a
�2
�
tan a tan a
tan a tan a
�
�
tan � a � cot a
�2
�
cot a cot a
cot a cot a
�
�
cot � a � tan a
�2
�
Góc hơn kém π
π
Góc hơn kém 2
Cách nhớ:
�
�
sin � � cos
�2
�
sin bù
sin sin
cos cos
tan tan
cos đối
phụ chéo
�
�
cos � � sin
�2
�
tang và côtang
hơn kém nhau pi
�
�
tan � � cot
�2
�
Trang 1
1
sin 2
cot cot
�
�
cot � � tan
�2
�
TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MƠN-LỚP
4. Cơng thức cộng cung
sin a �b sin a.cos b �cos a.sin b
tan a �b
cos a �b cos a.cos b msin a.sin b
tan a �tan b
1 mtan a.tan b
cot a �b
cot a.cot b m1
cot a �cot b
5. Công thức nhân đôi, nhân ba và hạ bậc
Nhân đôi
Hạ bậc
sin 2 2sin .cos
sin 2
1 cos 2
2
WORD=> ZALO_0946 513 000
cos 2 sin 2
cos 2 �
�
2 cos 2 1 1 2sin 2
�
cos 2
1 cos 2
2
tan 2
2 tan
1 tan 2
tan 2
1 cos 2
1 cos 2
cot 2
cot 2 1
2 cot
cot 2
1 cos 2
1 cos 2
Nhân ba
Hạ bậc
sin 3 3sin 4sin 3
sin 3
3sin sin 3
4
cos 3 4 cos3 3cos
cos3
3cos cos 3
4
tan 3
3 tan tan 3
1 3 tan 2
6. Góc chia đơi
Đặt
t tan
x
2
sin x
2t
1 t2
cos x
1 t2
1 t2
tan x
2t
1 t2
7. Cơng thức biến đổi tổng thành tích
cos a cos b 2 cos
sin a sin b 2sin
ab
ab
cos
2
2
ab
a b
cos
2
2
cos a cos b 2sin
sin a sin b 2 cos
Trang 2
ab
a b
sin
2
2
ab
a b
sin
2
2
sin a b
tan a tan b
cos a.cos b
cot a cot b
tan a tan b
sin a b
cos a.cos b
cot a cot b
sin b a
sin a.sin b
TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP
sin a b
sin a.sin b
8. Cơng thức biến đổi tích thành tổng
cos a.cos b
1
cos a b cos a b �
�
�
2�
sin a.sin b
1
�
cos a b cos a b �
�
2�
1
sin a.cos b �
sin a b sin a b �
�
2�
WORD=> ZALO_0946 513 000
MỘT SỐ CÔNG THỨC THƯỜNG DÙNG
1 sin 2 x sin x cos x ;1 sin 2 x sin x cos x
2
2
2
2
.
x�
x�
� x
� x
1 sin x �
sin cos �;1 sin x �
sin cos �
2�
2 �.
� 2
� 2
1 cos 2 x 2sin 2 x;1 cos 2 x 2 cos 2 x .
x
x
1 cos x 2 cos 2 ;1 cos x 2sin 2
2
2.
� �
� �
sin x cos x 2 sin �x � 2 cos �x �
� 4�
� 4�
.
� �
� �
sin x cos x 2 sin �x � 2 cos �x �
� 4�
� 4 �.
� �
� �
sin x 3 cos x 2 cos �x � 2sin �x �
� 6�
� 3 �.
� �
� �
3 sin x cos x 2sin �x � 2 cos �x �
� 6�
� 3 �.
1
3 cos 4 x
sin 4 x cos 4 x 1 sin 2 2 x
2
4
.
3
5 3cos 4 x
sin 6 x cos6 x 1 sin 2 2 x
4
8
.
BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT SỐ GÓC ĐẶC BIỆT
Trang 3
0�
30�
45�
60�
90�
120�
135�
150�
180�
360�
0
6
4
3
2
2
3
3
4
5
6
2
sin
0
1
2
1
3
2
2
2
1
2
0
0
cos
1
3
2
tan
0
3
3
1
cot
||
3
1
2
2
2
2
3
2
1
2
TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP
0
1
2
3
||
3
3
3
0
3
3
WORD=> ZALO_0946 513 000
Một điểm M thuộc đường trịn lượng giác sẽ có tọa độ M
2
2
3
2
1
1
1
3
3
0
0
1
3
cos ;sin
BÀI 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Mục tiêu
1. Nêu rõ tính chất 4 hàm lượng giác cơ bản sin x, cos x, tan x, cot x .
2. Phân biệt được tập xác định, tập giá trị, tính tuần hồn và đồ thị của các hàm lượng giác.
Kiến thức
Trang 4
||
||
Tìm được tập xác định của hàm lượng giác.
TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MƠN-LỚP
Xác định được chu kì của các hàm lượng giác.
Vẽ được đồ thị của các hàm lượng giác.
Biết xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm lượng giác.
WORD=> ZALO_0946 513 000
Trang 5
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Hàm số y = sinx
TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP
Đồ thị hàm số y sin x
Tập xác định D �.
Tập giá trị
1,1 , tức là
1 �sin x �1, x ��.
Hàm số y sin x là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số
nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
Hàm số y sin x là hàm số tuần hồn với chu kì T 2 .
Hàm số y = cosx
Đồ thị hàm số y cos x
WORD=> ZALO_0946 513 000
Tập xác định D �.
Tập giá trị
1,1 , tức là
1 �cos x �1, x ��.
Hàm số y cos x là hàm số chẵn nên đồ
thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng.
Hàm số y cos x là hàm số tuần hồn với chu kì T 2 .
Hàm số y = tanx
Đồ thị hàm số y tan x
Tập xác định
�
�
D �\ � k , k ���
�2
.
Tập giá trị R.
Hàm số y tan x là hàm số lẻ nên đồ thị hàm
số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
Hàm số y tan x là hàm số tuần hồn với chu
kì T .
Hàm số y = cotx
Đồ thị hàm số y cot x
Tập xác định
Trang 6
D �\ k , k ��
TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP
.
Tập giá trị �.
Hàm số y cot x là hàm số lẻ nên đồ thị
hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối
xứng.
Hàm số y cot x là hàm số tuần hồn với
chu kì T
WORD=> ZALO_0946 513 000
Chu kì
Tập xác định
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Tính chẵn lẻ
Hàm chẵn
Đồ thị nhận Oy làm trục đối
cứng. Hàm số chẵn khi
Hàm lẻ
Đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm
đối xứng. Hàm số lẻ khi
Trang 7
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MƠN-LỚP
Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm lượng giác
Phương pháp giải
Tập xác định của các hàm phân thức, căn thức
Ví dụ 1: Tìm tập xác định của hàm số
1. Hàm số phân thức
y 2 3 cos x .
y
P x DKXD
���
� Q x �0
Q x
Hướng dẫn giải
.
Vì 1 �cos x �1, x �� nên
2. Hàm số chứa căn thức
DKXD
y 2 n P x ���
� P x �0
3 �cos x � 3, x ��
.
� 2 3cos x 0, x ��.
WORD=> ZALO_0946 513 000
3. Hàm số chứa căn thức dưới mẫu số
y
P x
2n
Q x
Vậy tập xác định của hàm số là D �.
DKXD
���
�Q x 0
Ví dụ 2: Tìm tập xác định của hàm số
.
� 1 �
y sin � 2
�
�x 4 �
Tập xác định của một số hàm lượng giác cơ bản
1.
y sin �
u x �
�
�
� u x
xác định.
Hướng dẫn giải
2.
y cos �
u x �
�
�
� u x
xác định.
� 1 �
y sin � 2
�
�x 4 �xác định
Hàm số
3.
y tan �
u x �
�
�
۹ �
u x
2
4.
y cot �
u x �
�
�
۹�u x
k , k
xác định
xác định
xác định
xác định
k , k
�
� x 2 4 �0
.
۹�x
�
2.
.
Vậy tập xác định của hàm số là
Ví dụ mẫu
Ví dụ. Tìm tập xác định của hàm số
y cot 2018 x 1
.
Hướng dẫn giải
Hàm số
y cot 2018 x 1
k 1
x�
, k ��
2018
xác định � 2018 x 1 �k �
.
�k 1
�
D �\ �
, k ���
�2018
Vậy tập xác định của hàm số
.
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Tập xác định của hàm số
A.
D �\ k
.
B.
y sin
1
2x
x
là
D 1;1 \ 0
.
C. D �.
D.
D �\ 0
Trang 8
.
D �\ �2
.
Câu 2: Tập xác định của hàm số y 2 cot x sin 3 x là
�
�
D �\ � k �
D �\ k
�2
A.
. B.
.
TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP
C. D �.
D.
D �\ k 2
.
Câu 3: Tập xác định của hàm số y cos x là
A.
D 0; 2
.B.
D 0; �
Câu 4: Tập xác định của hàm số
.
y
C. D �.
D.
D �\ 0
cos x
2sin x 1 là
�
�
D �\ � k 2 �
�6
A.
.
� �
D �\ �
k �
2 .
�
B.
�
�
D �\ � k �
�6
C.
.
5
�
�
D �\ � k 2 ;
k 2 �
6
�6
D.
.
y
Câu 5: Tập xác định của hàm số
WORD=> ZALO_0946 513 000
cos x
2cos x 3 là
�
�
D �\ �
� k 2 �
�3
A.
.
� �
D �\ �
k �
2 .
�
B.
�
�
D �\ �
� k 2 �
�6
C.
.
5
�
�
D �\ � k 2 ;
k 2 �
6
�6
D.
.
Câu 6: Tập xác định của hàm số
y
.
cot x
sin x 1 là
�
�
D �\ � k 2 �
�2
A.
.
� �
D �\ �k �
�2 .
B.
�
�
D �\ � k 2 ; k �
�2
C.
.
�
�
D �\ � k �
2 .
�2
D.
2017
2 x là
Câu 7: Tập xác định của hàm số y 2016 tan
�
�
D �\ � k �
�2
A.
.
C. D �.
� �
D �\ �k �
�2 .
B.
�
�
D �\ � k �
2 .
�4
D.
Câu 8: Tập xác định của hàm số y 3 tan x 2 cot x x là
�
�
D �\ � k �
�2
A.
.
� �
D �\ �
k �
2 .
�
B.
C. D �.
Trang 9
�
�
D �\ � k �
2 .
�4
D.
Câu 9: Tập xác định của hàm số
�
�
D �\ � k �
�4
A.
.
y
s inx
tan x 1 là
TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP
� �
D �\ �
k �
4 .
�
B.
�
�
�
�
D �\ � k ; k � D �\ � k 2 �
2
�4
�4
C.
. D.
.
Câu 10: Tập xác định của hàm số
�
�
D �\ � k �
�2
A.
.
y
2017 tan 2 x
sin 2 cos 2 x là
� �
D �\ �k �
�2 .
B.
WORD=> ZALO_0946 513 000
�
�
D �\ � k �
2 .
�4
D.
C. D �.
Câu 11: Tập xác định của hàm số
y
�
�
D �\ � k 2 �
�2
.
� �
D �\ �
k �
�2 .
B.
�
�
D �\ � k �
2 .
�4
D.
�
�
D �\ � k �
�2
C.
.
Câu 12: Tập xác định của hàm số
�
�
D �\ �
k �
�4
A.
.
tan x
sin x 1 là
y
sin x
sin x cos x là
� �
D �\ �k �
�4 .
B.
�
�
�
�
D �\ � k ; k � D �\ � k 2 �
2
�4
�4
C.
. D.
.
Câu 13: Tập xác định của hàm số y sin 2 x 1 là
A.
D �\ k
.
B. D �.
�
�
�
�
D �\ � k ; k � D �\ � k 2 �
2
�4
�2
C.
. D.
.
Câu 14: Tập xác định của hàm số y 1 cos 2017 x là
A.
D �\ k
.
B. D �.
�
�
�
�
D �\ � k ; k � D �\ � k 2 �
2
�4
�2
C.
. D.
.
Trang 10
y
Câu 15: Tập xác định của hàm số
A.
D �\ k
1
1 sin 2 x là
TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP
B. D �.
.
�
�
�
�
D �\ � k ; k � D �\ � k �
2
�4
�4
C.
. D.
.
y
Câu 16: Tập xác định của hàm số
A.
D �\ k
1
2 cos 6 x là
B. D �.
.
�
�
�
�
D �\ � k ; k � D �\ � k �
2
�4
�4
C.
. D.
.
WORD=> ZALO_0946 513 000
y
Câu 17: Tập xác định của hàm số
A.
D �\ k
�
�
�
�
D �\ � k �
D �\ � k �
�2
�4
B. D �. C.
. D.
.
.
Câu 18: Tập xác định của hàm số
A.
D �\ k
.
tan x
15 14cos13 x là
B.
y
2 sin x
1 cos x là
D �\ k 2
.
�
�
� �
D �\ � k � D �\ �k �
�2
�2 .
C.
. D.
Câu 19: Để tìm tập xác định của hàm số y tan x cos x , một học sinh giải theo các bước sau
Bước 1. Điều kiện để hàm số có nghĩa là
sincosxx ��00
.
�
�x � k
k ; m ��
� 2
x
�
m
�
Bước 2. � �
.
�
�
D �\ � k , m � k ; m ��
�2
Bước 3. Vậy tập xác định của hàm số đã cho là
.
Bài giải của bạn đó đã đúng chưa? Nếu sai, thì sai bắt đầu từ bước nào?
A. Bài giải đúng.
B. Sai từ bước 1.
C. Sai từ bước 2.
D. Sai từ bước 3.
Câu 20: Hàm số nào sau đây có tập xác định là �?
A. y sin x . B. y tan 2 x . C. y cot 2 x . D. y x s inx .
Dạng 2: Tính chẵn – lẻ của hàm số lượng giác
Phương pháp giải
Trang 11
1. Hàm số
nếu
y f x
x �D � x �D
f x f x
2. Hàm số
y f x
f x �xD �f x �x D
Ví dụ: Xét tính chẵn - lẻ của hàm số
TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP
với tập xác định D gọi là hàm số chẵn
y sin 2 x .
Hướng dẫn giải
.
Hàm số y sin 2 x có tập xác định D �.
với tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu
Đặt
f x y sin 2 x
.
Chú ý:
Ta có
+ Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.
+ Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ
O 0;0
f x �xD �sinx �2Dx f x
Suy ra hàm số y sin 2 x là hàm số lẻ.
làm tâm đối xứng.
WORD=> ZALO_0946 513 000
Đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ
tâm đối xứng.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Xét tính chẵn - lẻ của hàm số
y f x tan x cot x.
Hướng dẫn giải
�
�x � k
cos x �0
� 2
s inx �0 � �
�x �l
Hàm số có nghĩa khi
( với k , l ��).
�
�
D �\ � k , l | k , l ���
�2
Tập xác định
là tập đối xứng.
Do đó x �D thì x �D .
Ta có
Vậy
f x tan x cot x tan x cot x tan x cot x f x .
f x
là hàm số lẻ. Đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
2
Ví dụ 2. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số y sin x 4 .
Hướng dẫn giải
Hàm số có nghĩa khi
Tập xác định
x 2 4 �0 � x � �; 2] �[2; � .
D �; 2] �[2; �
là tập đối xứng.
Do đó x �D thì x �D
Ta có
Vậy
f x sin
f x
x
2
.
4 sin x 2 4 f x .
là hàm số chẵn. Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng.
Trang 12
O 0;0
làm
2018
2 x cos 2019 x .
Ví dụ 3. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số y sin
TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP
Hướng dẫn giải
Tập xác định D � là tập đối xứng.
Do đó x �D thì x �D .
Ta có
Vậy
f x sin 2018 2 x cos 2019 x sin 2018 2 x cos 2019 x f x .
f x
là hàm số chẵn. Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng.
� 2017
y f x sin �
5x
2
�
Ví dụ 4. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số
�
.
�
�
WORD=> ZALO_0946 513 000
Hướng dẫn giải
Tập xác định D �là tập đối xứng.
Do đó x �D thì x �D.
� 2017
f x sin �
5x
2
�
Ta có
Lại có
Vậy
�
�
�
� �
5 x 1008 � sin �
5 x � cos5 x.
� sin �
2
2�
�
�
�
�
f x cos 5 x cos 5 x f x .
f x
là hàm số chẵn. Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng.
Ví dụ 5. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số
y f x sin 3 4 x 9 cot 11x 2018 .
Hướng dẫn giải
Ta có
y f x sin 3 4 x 9 cot 11x 2018 sin 3 4 x cot11x
Hàm số có nghĩa khi
sin11x �۹۹�
0 11x
k
x
k
,k
11
.
�
.
�k
�
D �\ � , k ���
�11
Tập xác định
là tập đối xứng.
Do đó x �D thì x �D .
Lại có
f x sin 3 4 x cot 11x sin 3 4 x cot11x
sin 3 4 x cot11x f x
Vậy
f x
.
là hàm số lẻ. Đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ
O 0; 0
làm tâm đối xứng.
Bài tập tự luyện dạng 2
Trang 13
Câu 1: Hàm số y sin x.cos x là
A. hàm số khơng lẻ.
TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MƠN-LỚP
B. hàm số chẵn.
C. hàm số không chẵn.
D. hàm số lẻ.
Câu 2: Hàm số y sin x tan 2 x là
A. hàm số lẻ.
B. hàm số chẵn.
C. hàm số vừa chẵn, vừa lẻ.
D. hàm số không chẵn, không lẻ.
Câu 3: Hàm số y sin x cos x là
A. hàm số lẻ.
B. hàm số chẵn.
C. hàm số vừa chẵn, vừa lẻ.
D. hàm số không chẵn, không lẻ.
WORD=> ZALO_0946 513 000
Câu 4: Hàm số y 2 x sin 3 x là
A. hàm số vừa chẵn, vừa lẻ.
B. hàm số không chẵn, không lẻ.
C. hàm số chẵn.
D. hàm số lẻ.
2
Câu 5: Hàm số y 1 2 x cos 3 x là
A. hàm số lẻ.
B. hàm số chẵn.
C. hàm số không chẵn, không lẻ.D. hàm số vừa chẵn, vừa lẻ.
Câu 6: Hàm số nào là hàm số lẻ trong các hàm số sau?
A. y sin x .
B.
2
C. y sin x .
Câu 7: Hàm số
D.
y x cos 2 x
A. hàm số vừa chẵn, vừa lẻ.
y
cot x
cos x .
y
tan x
sin x .
là
B. hàm số không chẵn, không lẻ.
C. hàm số chẵn.
D. hàm số lẻ.
Câu 8: Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
A. Hàm số y sin x.cos 3 x là hàm số lẻ.
B. Hàm số y cos x 2 sin x là hàm số chẵn.
C. Hàm số
y 3 cot 2 x cos x
là hàm số lẻ.
D. Cả 3 mệnh đề trên đều sai.
Câu 9: Hàm số
y
2 sin x 4 tan x
5 cos x
là
A. hàm số vừa chẵn, vừa lẻ.
B. hàm số chẵn.
Trang 14
C. hàm số lẻ.
D. hàm số không chẵn, không lẻ.
TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP
Câu 10: Xét hai mệnh đề
Hàm số y tan x cos x là hàm số lẻ.
Hàm số y tan x sin x là hàm số lẻ.
Mệnh đề nào sai?
A. Chỉ (I) sai.
B. Chỉ (II) sai.
C. Cả 2 sai.
D. Khơng có mệnh đề sai.
2
Câu 11: Hàm số y sin x cos x tan x là
A. hàm số vừa chẵn, vừa lẻ.
B. hàm số chẵn.
C. hàm số không chẵn, không lẻ.
D. hàm số lẻ.
WORD=> ZALO_0946 513 000
2
Câu 12. Hàm số y x tan 2 x cot x là
A. hàm số không chẵn – lẻ.
B. hàm số chẵn.
C. hàm số không lẻ.
D. hàm số lẻ.
�5
�
y 2 sin x cos � 2 x �
�2
�là
Câu 13. Hàm số
A. hàm số vừa chẵn, vừa lẻ.
B. hàm số không chẵn, không lẻ.
C. hàm số chẵn.
Câu 14. Cho hàm số
A.
C.
f x
f x
D. hàm số lẻ.
f x sin 2 x
là hàm số chẵn,
là hàm số chẵn,
Câu 15. Hàm số
y
g x
và
g x tan 2 x
g x
là hàm số lẻ.
. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
là hàm số chẵn.
B.
f x
là hàm số lẻ,
D.
f x
và
g x
g x
đều là hàm số lẻ.
x sin 2 x
cos3 2 x là
A. hàm số lẻ.
C. hàm số vừa chẵn, vừa lẻ.
B. hàm số chẵn.
D. hàm số không chẵn, không lẻ.
Câu 16. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?
2
A. y 1 sin x .
B.
2
C. y x tan 2 x cot x .
D.
y cot x .sin 2 x
A. hàm số lẻ.
C. hàm số vừa chẵn, vừa lẻ.
.
y 1 cot x tan x
Câu 17. Hàm số y tan x 2 cos 3 x là
B. hàm số chẵn.
D. hàm số không chẵn, không lẻ.
Trang 15
là hàm số chẵn.
.
�3
�
y 1 cos x sin � 3x �
�2
�là
Câu 18. Hàm số
A. hàm số vừa chẵn, vừa lẻ.
B. hàm số chẵn.
C. hàm số không chẵn, không lẻ.
Câu 19. Cho hai hàm số
f x
TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP
D. hàm số lẻ.
sin 2 x cos 3 x
cos 2 x
g x
2
1 sin 3 x và
2 tan 2 x .
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
C.
f x
f x
lẻ và
chẵn và
g x
g x
chẵn.
lẻ.
D.
B.
f x
f x
và
và
g x
g x
lẻ.
chẵn.
WORD=> ZALO_0946 513 000
Câu 20. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?
� �
y x 4 cos �x �
� 3 �.
A.
� �
y x 2017 cos �x �
� 2 �.
B.
2018
x .D. y tan 2017 x sin 2018 x .
C. y 2015 cos x sin
Dạng 3. Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác
Phương pháp giải
Sử dụng một số bất đẳng thức sau
Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm
1. Bất đẳng thức lượng giác
� �
; �
�
số y 3cos x 2 trên đoạn � 2 2 �.
1 �sin x; cos x �1, x ��.
A B �A sin x B �A B, x ��.
A B �A cos x B �A B, x ��.
2. Bất đẳng thức về điều kiện có nghiệm hàm số bậc
nhất.
A2 B 2 �A sin x B cos x � A2 B 2 , x ��.
3. Bất đẳng thức Bunhiacopxki.
ax by � a 2 b 2 . x 2 y 2
.
Hướng dẫn giải
� �
; �
�
Xét hàm số y 3cos x 2 trên đoạn � 2 2 �.
� �
x ��
; �
2 2 �thì 0 �cos x �1 .
�
Khi
2 5 �2
Suy ra 2 �3cos x �
y
5.
x�
2 ; max y 5 khi x 0 .
Vậy min y 2 khi
Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi ay bx .
4. Sử dụng phương pháp đồ thị lượng giác.
Ví dụ mẫu
6
6
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y sin x cos x .
Hướng dẫn giải
Trang 16
3
y sin 6 x cos 6 x 1 sin 2 2 x
4
Ta có
.
TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MƠN-LỚP
3
3
3
.0 � sin 2 2 x �
4
4
Do 0 �sin 2 x �1 nên 4
2
3 2
3
1 �1�sin
۳�2 x 1
4
4
Vậy
min y
1
y
1
4.
1
k
khi sin 2 2 x 1 � cos 2 x 0 � x
, k ��
4
4 2
.
max y 1 khi sin 2 2 x 0 � sin 2 x 0 � x
k
, k ��
2
.
WORD=> ZALO_0946 513 000
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
� �
;
y tan x tan x 2020 trên đoạn �
�4 4�
�.
2
Hướng dẫn giải
2
1 � 8079
�
y tan x tan x 2020 �
tan x �
2� 4 .
�
Ta có
2
Chú ý: Hàm số tan x
ln đồng biến trên các
khoảng xác định của nó.
� �
; �
�
2 2�
�
tan
x
Hàm số
đồng biến và xác định trên khoảng
� � � �
; ���
; �
�
Mà � 4 4 � � 2 2 �nên hàm số tan x đồng biến và xác định trên
� �
;
�
� 4 4�
�.
� �
tan �
��tan x �tan � 1 �tan x �1
4
� 4�
Do đó
1
1
1
�1��tan
�x��1�
2
2
2
2
8079 �
1 � 8079
ۣ
�+�
ۣ
+�tan x
�
4
2� 4
�
Vậy
min y
3
2
tan x
9
4
8079
4
1
2
1
2
8079
4
2
1� 9
�
0 �
tan x
�
2� 4
�
y
2022
.
8079
1
1
khi tan x � x arctan
4
2
2;
max y 2022 khi tan x 1 � x
k , k ��
4
Bài tập tự luyện dạng 3
� �
y 7 2cos �x �
� 4 �lần lượt là
Câu 1. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số
A. -2 và 7.
B. -2 và 2.
C. 5 và 9.
D. 4 và 7.
Trang 17
Câu 2. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y 4 sin x 3 1 lần lượt là
TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP
A.
2 và 2.
B. 2 và 4.
C. 4 2 và 8.
D. 4 2 1 và 7.
2
Câu 3. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y sin x 4sin x 5 là
A. -20. B. -8.
C. 0.
D. 9.
Câu 4. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y 2sin x 3 là
A. max y 5, min y 1 .
C. max y 5, min y 2 .
B. max y 5, min y 2 5 .
D. max y 5, min y 3 .
Câu 5. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
y
4
1 2sin 2 x là
WORD=> ZALO_0946 513 000
4
min y , max y 4
3
A.
.
4
min y , max y 3
3
B.
.
4
min y , max y 2
3
C.
.
1
min y , max y 4
2
D.
.
2
2
Câu 6. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y 2sin x cos 2 x là
A.
max y 4, min y
3
4.
C. max y 4, min y 2 .
B. max y 3, min y 2 .
D.
max y 3, min y
3
4.
Câu 7. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y 3sin x 4 cos x 1 là
A. max y 6, min y 2 .
B. max y 4, min y 4 .
C. max y 6, min y 4 .
D. max y 6, min y 1 .
Câu 8. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y 4sin 6 x 3cos 6 x là
A. min y 5, max y 5 .
B. min y 4, max y 4 .
C. min y 3, max y 5 .
D. min y 6, max y 6 .
� �
; �
�
y
sin
2
x
6 3 �lần lượt là
�
Câu 9. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên
1
3
A. 2 và 2 .
3
3
2 .
B. 2 và
3
1
1
1
C. 2 và 2 . D. 2 và 2 .
� �
; �
�
y
3
tan
x
3 4 �lần lượt là
�
Câu 10. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên
Trang 18
A.
3
3 và 3 .
B.
TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP
3
3 và 3 . C.
3 và -3.
D.
3 và -1.
� 2 �
0; �
�
Câu 11. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y 4 3cos x trên � 3 �lần lượt là
A. 1 và -1.
B. 11 và 5.
C.
11
D. 2 và 1.
3 và -3.
� �
y f x sin �
2x �
4 �trên
�
Câu 12. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
A. 1 và - 2 .
2
B. 1 và 2 .
2
C. 2 và -1.
� �
;
�
�4 4�
�lần lượt là
2
2
2 .
D. 2 và
WORD=> ZALO_0946 513 000
2
Câu 13. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y sin x 2 sin x là
A. min y 0, max y 3 .
B. min y 0, max y 4 .
C. min y 0, max y 6 .
D. min y 0, max y 2 .
Câu 14. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
2 19
2 19
3
3
A.
và
.
C.
3 và -3.
B.
y
cos x 2sin x
2 sin x
lần lượt là
3
3 và 3 .
3 19
3 19
3
3
D.
và
.
3sin x 4 cos x
Câu 15. Giá trị của m để bất phương trình
2
6 sin x 8cos x �2m 1
nghiệm đúng với mọi
x �� là
A. m 0.
C. m 0 .
B. m �0 .
Câu 16. Kết luận đúng về hàm số
D. m �1 .
y tan 2 x cot 2 x 3 tan x cot x 1
A. min y 5 đạt được khi
x
là
k , k ��
4
.
B. Không tồn tại giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
C. min y 2 và max y 5 .
D. Tồn tại giá trị lớn nhất nhưng không tồn tại giá trị nhỏ nhất.
4
4
Câu 17. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y cos x sin x trên �lần lượt là
A. 2 và 0.
1
B. 1 và 2 .
C.
2 và 0.
D.
2 và 1.
Trang 19
3sin 2 x cos 2 x
�m 1
2
Câu 18 . Giá trị của m để bất phương trình sin 2 x 4 cos x 1
là
TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP
3 5
3 5 9
m�
m�
4 . B.
4 .
A.
3 5 9
m�
2 .
C.
Câu 19. Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số
A. 0 và 3.
B.
2 và 4.
C.
y
3 5 9
m�
4 .
D.
cos 2 x sin x.cos x
1 sin 2 x
lần lượt là
2
2 6
2 6
3 và 6. D. 4 và 4 .
2
2
2
y 1 cos 2 x 1 cos 2 y 1 cos 2 z
Câu 20. Cho cos x cos y cos z 1 . Giá trị lớn nhất của
là
WORD=> ZALO_0946 513 000
A. 3 3 .
B. 2 3 .
C. 4 3 .
D.
3.
Dạng 4. Tính tuần hoàn và chu kỳ hàm lượng giác
Phương pháp giải
Một số vấn đề cần chú ý
1. Tính tuần hồn của hàm số
Định nghĩa: Hàm số
y f x
Ví dụ: Tìm chu kì của hàm số
xác định trên tập D
được gọi là hàm số tuần hồn nếu có số T �0 sao cho với
mọi x �0 ta có
x T �D và
f x T f x
�2 x �
y sin � �
�3 4 �.
Hướng dẫn giải
Tập xác định D �.
.
Số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì hàm
số đó được gọi là hàm số tuần hồn với chu kỳ T.
T
Chu kì của hàm số
2
�y m sin ax b
T
�y m cos ax b
a
2. Các hàm số �
có chu kỳ
;
biên độ
m
3. Hàm số
;cực đại
m
;cực tiểu -
m
,
f x a sin ux b cos vx c
(với u , v ��) là hàm số tuần hồn với chu kì
T
2
u, v
4. Hàm số
((u,v) là ƯCLN (u,v)).
f x a.tan ux b cos vx c
(với u , v ��) hàm số tuần hồn với chu kì
Trang 20
2
3
2
3
.
2
u, v
T
TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MƠN-LỚP
((u,v) là ƯCLN (u,v)).
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Tìm chu kì cơ sở của hàm số y 2sin 2 x 3cos 3 x .
Hướng dẫn giải
Tập xác định D �.
T
Chu kì hàm số
2
2
2,3
.
Ví dụ 2. Xét tính tuần hồn và tìm chu kì của hàm số
f x cos x cos
3x
.
WORD=> ZALO_0946 513 000
Hướng dẫn giải
Giả sử hàm số đã cho tuần hoàn. Suy ra tồn tại số thực dương T thỏa mãn
�
f x T f x � cos x T cos �
�3 x T � cos x cos
Chọn x 0 ta được
�
cos T cos
3x
.
cos T 1
�
3T 2 � �
cos 3T 1
�
m
T 2n
m
� 3
3T 2m
n (vơ lí do m, n ��nên n là số hữu tỉ).
Vậy hàm số đã cho khơng tuần hồn.
Bài tập tự luyện dạng 4
�x �
y sin � �
�3 6 �là
Câu 1. Chu kì của hàm số
1
2
A. 2 . B. 3 . C. 3 . D. 6 .
Câu 2. Đồ thị trong hình vẽ dưới đây là của hàm số nào?
A. y cos 3 x . B. y 3cos 3 x .C. y 3cos 6 x .
D. y 3cos 3x .
Trang 21
�x �
y 2sin � �
�2 3 �là hàm số tuần hồn với chu kì
Câu 3. Hàm số
TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP
A. T 6 .
B. T 4 .
C. T 6 .
D. T 2 .
Câu 4. Khẳng định nào sau đây sai về hàm số y 2 sin x ?
A. Đồ thị hàm số không đi qua gốc tọa độ.
B. Đồ thị hàm số nằm ở phía trên trục hồnh.
C. Giá trị cực đại của y là 2.
D. Giá trị cực tiểu của y là 1.
Câu 5. Nếu chu kì tuần hồn của hàm số
2.
A. a �
4.
B. a �
y sin
x
a là 4 thì
WORD=> ZALO_0946 513 000
C. a 2 .
1.
D. a �
2
Câu 6. Hàm số y tan x tuần hồn với chu kì
2
A. T .
B. T .
C. T .
D. Hàm số khơng có chu kì.
Câu 7. Khẳng định nào sau đây đúng với hàm số
y 2 cos
x
2?
A. Biên độ là 2, chu kì là .
B. Biên độ là -2, chu kì là 180�
.
C. Biên độ là 2, chu kì là 2 .
D. Biên độ là 2, chu kì là 4 .
Câu 8. Đồ thị trong hình vẽ dưới đây là của hàm số nào?
A. y sin 2 x . B. y sin 3 x . C. y cos 2 x . D. y cos 3 x .
Câu 9. Chu kì của hàm số sau y sin 3 x 2 cos 2 x là
A.
T0 2 .
B.
T0
2.
C.
T0 .
D.
T0
4.
x
0 �x �
f x sin
2 thì hàm số
3 có giá trị cực đại là
Câu 10. Với
A. 0.
B. 1.
1
1
C. 3 . D. 2 .
Trang 22
�
�
y 3cos � mx �
�4
�tuần hồn có chu kì T 3 khi
Câu 11. Hàm số
TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP
3
m�
2.
A.
1.
B. m �
2
m�
3.
C.
2.
D. m �
x � , 2
Câu 12. Xét đồ thị hàm số y sin x với
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Đồ thị hàm số có một cực đại tại x .
B. Đồ thị hàm số có một cực tiểu tại x 2 .
C. Đồ thị hàm số có một cực tiểu tại
D. Hàm số đồng biến trên
x
3
2 .
, 2 .
WORD=> ZALO_0946 513 000
Câu 13. Đồ thị trong hình vẽ dưới đây là của hàm số nào?
A. y sin 2 x . B. y cos 2 x . C.
y cos
x
2 . D. y cos 3 x .
Câu 14. Chu kì của hàm số y sin 2 x sin x là
A. T 2 .
B.
T0
2.
T .
C. 0
D.
4.
T0
Câu 15. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau
� �
� ; �
y
cot
x
A. Hàm số
đồng biến trên khoảng �2 �
.
� �
� ; �
B. Hàm số y sin x nghịch biến trên khoảng �2 �
.
� �
� �
; �
; �
�
�
y
tan
x
y
cot
x
2
2
2 2�
�
�
�
C. Hàm số
đồng biến trên
và
nghịch biến trên khoảng
.
��
0; �
�
D. Hàm số y sin x và y cos x cùng đồng biến trên khoảng � 2 �
.
Câu 16. Chu kì của hàm số y tan x tan 3x là
A. T 2 .
B. T .
C.
T
4.
D.
T
2.
Trang 23
�x
�
y 2sin � 2017 �
�2
�?
Câu 17. Khẳng định nào sau đây đúng về hàm số
TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP
A. Chu kì 2 , biên độ 2.
B. Chu kì 4 , biên độ 2.
C. Chu kì 2 , biên độ 1.
D. Chu kì 4 , biên độ 1.
Câu 18. Chu kì của hàm số y sin 3x 2017 cos 2 x là
A. T .
B.
T
2.
C. T 2 .
Câu 19. Hình vẽ sau là đồ thị của hàm số
D.
T
y sin ax b
P a b là
4.
. Biết a �0 và b nhỏ nhất, giá trị của biểu thức
WORD=> ZALO_0946 513 000
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Câu 20. Chu kì cơ sở (nếu có) của hàm số y sin x là
A. hàm số khơng có chu kì cơ sở.
T .
C. 0
B.
D.
T0
T0
2.
4.
Trang 24
ĐÁP ÁN
TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MƠN-LỚP
Dạng 1: Tìm tập xác định hàm số lượng giác
1–D
2–B
3–B
4–D
5–C
6–C
7–D
8–B
9–C
10 – D
11 – C
12 – A
13 – B
14 – B
15 – D
16 – B
17 – C
18 – B
19 – A
20 – D
Hướng dẫn giải chi tiết
Câu 1.
Hàm số
y sin
1
2x
۹�x 0
x
có nghĩa
D
�\ 0
Câu 2.
.
WORD=> ZALO_0946 513 000
۹�x�k
Hàm số y 2 cot x sin 3 x có nghĩa
�\ k k
D
�
.
Câu 3:
۳�x�
0
Hàm số y cos x có nghĩa
D
0;
.
Câu 4.
Hàm số
y
cos x
2 sin x 1 có nghĩa
�2sin
�۹��
x 1 0
�
�x �6 k 2
k
� 5
�x � k 2
� 6
1
2
sin x
�
.
5
�
�
� D �\ � k 2 ;
k 2 � k ��
6
�6
.
Câu 5.
y
Hàm số
�2�۹��
cos x
3
cos x
2 cos x 3 có nghĩa
0
cos x
3
2
�
�
� D �\ �
� k 2 � k ��
�6
.
Câu 6.
Hàm số
y
cot x
x 1 �0 � sin x �1
� sin
x
�
k
x �k
sin x 1 có nghĩa
�
�
�
�
� �x �2 k 2 k �� � D �\ � k 2 ; k � k ��
�2
�x �k
.
Câu 7:
Trang 25
�
�x �6 k 2
k
�
x
�
k
2
�
6
�
�
.
