DE THI 1 18

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Phßng Gi¸o dôc KiÕn x¬ng. §Ò kh¶o s¸t häc sinh giái n¨m häc 2007 – 2008. M«n : To¸n 8. (thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1 (4®). Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö 1) x2 – 4x + 3. 2) x8 - 28. Bµi 2 (5®). Gi¶i ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh sau: 1). x 3 x  1 2   x  4 x  2 6x  8  x 2. 2)  x  2 . . 2.  x  4   x  1 0 3.  . 3) x 2  3x  4  2x 2  5x  3. 2.   3x. 2.  2x  1. . 2. Bµi 3 (4®) 1) Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác.Chứng minh: a3 + b3 + 3abc > c3 1 1 1 abc    a b c vµ abc = 1 2)Cho 3 sè a,b,c kh¸c 0 tho¶ m·n:. Chøng minh r»ng trong 3 sè a,b,c cã Ýt nhÊt mét sè b»ng 1. Bµi 4 (4®) Cho tam gi¸c ABC c©n (AB = AC). Gäi O lµ trung ®iÓm cña Bc, trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm D vµ trªn c¹nh AC lÊy ®iÓm E sao cho OB2 = BD.CE 1) Chứng minh tam giác OBD và tam giác ECO đồng dạng . 2) Chứng minh khoảng cách OH từ O đến đờng thẳng DE có độ dài không đổi khi D,E di động trên AB, AC Bµi 5(3®) Cho tam giác ABC vuông tại A. G là trọng tâm, BM là đờng phân giác của tam gi¸c ABC. Cho GM vu«ng gãc víi AC, D lµ trung ®iÓm cña BC. Chøng minh BM vu«ng gãc víi AD.. §¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm Bµi 1 1) 2®iÓm = (x- 1)(x – 3) 2) 2®iÓm x8 – 28 = (x4)2 – (24)2 = .......=(x4 + 16)(x2 + 4)(x -2 )(x + 2) Bµi 2.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 1) 2,5® 1). x 3 x  1 2 x 3 x  1 2      2 x  4 x  2 6x  8  x x  4 x  2 (x  2)(x  4). (1). (0,5®).  .Ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh (0,25®) MTC (x-2)(x-4); TX§ =  (x+3) (x-2) + (x -1)(x – 4) = 2 (0,5®) .................. (0,5®)  x = 0; x = 2 (lo¹i) (0,25®) Vậy phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 0 (0,25®) 2) 1® Ta thÊy x = -2 lµ 1 nghiÖm cña bpt (0,25®) 2 Với x 2 thì (x -2) > 0 khi đó ta có : (x + 4)(x – 1)  0 (0,25®)  x + 4  0 vµ x -1  0 hoÆc x + 4  0 vµ x - 1  0 .................................................................  x  1 hoÆc x  - 4 (0,25®) VËy nghiÖm cña bpt lµ x = - 2 hoÆc x  1 hoÆc x  - 4 (0,25®) 3 1,5 ® x / x 2, x 4. x.      Ta thÊy (0,25®) §Æt x2 + 3x – 4 = a; 2x2 – 5x + 3 = b. Ta cã a3 + b3 = (a + b) 3  a3 + b3 = a3 + b3 + 3a2b + 3ab2  ab( a+ b) = 0  a = 0 hoÆc b = 0 hoÆc a = -b (0,25®) +. Víi a = 0 ta cã x2 + 3x – 4 = 0 => x = 1; x = - 4 (0,25®) +.Víi b = 0 ta cã 2x2 – 5x + 3 = 0 => x = 1; x = 3/2 (0,25®) 2 2 2 +. Víi a = - b  x + 3x – 4 = -2x + 5x – 3  3x – 2x – 1 = 0  x = 1; x = -1/3 (0,25®) 2.  3x  4  2x 2  5x  3  3x 2  2x  1.  1 3  S  4; ;1;  3 2  Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là. (0,25®) Bµi 3 ý Néi dung 1 a3 + b3 + 3abc = (a+b) (a2 – ab + b2) + 3abc >c(a2- ab +b2)+3abc = c (a + b)2 >c . c2 = c3 2 Tõ abc = 1 => abc - 1 = 0 (1) Theo gi¶ thiÕt : a + b + c = 1/a + 1/b + 1/c vµ abc = 1 => a + b + c – (ab + bc + ca) = 0 (2). Céng theo 2 vÕ cña (1) vµ (2). Ta cã abc – (ab + bc + ca) + (a + b + c) – 1 = 0  (a-1)(b-1)(c- 1) = 0  a = 1 hoÆc b = 1 hoÆc c = 1 Bµi 4. §iÓm 1 0,25 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5. A. 0,25® D H E. K B. O. C.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> ý 1. 2. Néi dung. §iÓm 0,75. OB BD  Tõ gi¶ thiÕt cã : OB2 = BD.CE => OB.OC = BD.CE => EC OC XÐt VCBD vµ VECO cã Bµ Cµ (v× tam gi¸c ABC c©n t¹i B) OB BD  EC OC => VCBD ~ VECO (c.g.c) · · · · · · DOC DOE  COE;DOC OBD  BDO. 0,75 0,5. Ta cã. 0,5. · · · · Mµ BDO COE(cmt)  DOE OBD. · · OBD XÐt tam gi¸c ODE vµ Tam gi¸c BDO cã DOE (cmt). 0,5. OD OE  BD OB (cmt). => V ODE ~ V BDO (cgc) · · · ODE => BDO nghÜa lµ DO lµ ph©n gi¸c cña BDE => OH = OK ( Víi OK  AB) Mà OK không đổi nên OH không đổi khi D,E di động trên AB,AC. 0,5 0,25. Bµi 5 (3®iÓm) H×nh vÏ : 0,25 ® OD OE 2   Tam gi¸c ADH cã GM //DH; BD OB 3 (0,5®). A M.  3AM = 2AH = AC = AM + MC  MC = 2AM (1®) ¸p dông t/c tia ph©ng gi¸c víi tam gi¸c ABC:. BC MC BC  2  AB  BD AB MA 2 (D lµ trung ®iÓm BC). H. I G B. D. C. (0,75®) Vậy tam giác ABD cân tại B nên BI vừa là phân giác vừa là đờng cao. Do đó BM vu«ng gãc víi AD (0,5®).

<span class='text_page_counter'>(4)</span>