Tải bản đầy đủ (.pdf) (10 trang)

Phuong phap lien hop giai he phuong trinh

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (232.79 KB, 10 trang )

(1)Khóa học TỔNG ÔN NÂNG CAO – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]. Facebook: LyHung95. PHƯƠNG PHÁP LIÊN HỢP GIẢI HỆ PT – PHẦN 1 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH].  x − 4 y + 3 y = 2 x + y Ví dụ 1: [ĐVH]. Giải hệ phương trình  2  y − 1 + x + 1 + y + y = 10 Lời giải:    y ≥ 1; x ≥ −1 8 y − 2x 2 ĐK:  . Khi đó: PT (1) ⇔ ( x − 4 y ) + = 0 ⇔ ( x − 4 y ) 1 − =0  3 y + 2 x + y  3 y + 2x + y 2 x + y ≥ 0   Do y ≥ 1 ⇒. 1 3 y + 2x + y. ≤. 1 1 = nên PT (1) ⇔ x = 4 y thế vào PT(2) ta có: 3+ 0 3. y − 1 + 4 y + 1 + y 2 + y = 10 ⇔. y −1 −1 + 4 y + 1 − 3 + y2 + y − 6 = 0.   1 4 ⇔ ( y − 2)  + + y + 3  = 0 ⇔ y = 2 ⇒ x = 8 là nghiệm của PT  y −1 +1  4 y +1 + 3   Vậy hệ có nghiệm là ( x; y ) = ( 8; 2 )  x + x2 +1 = y + y2 −1  Ví dụ 2: [ĐVH]. Giải hệ phương trình   y 2 + 6 x = ( 2 x + 1) y 2 + 2 x + 2 Lời giải: 2 2 ĐK: y ≥ 1; y + 2 x + 2 ≥ 0 Khi đó: PT (1) ⇔ x 2 + 1 − y + x − y 2 − 1 = 0 ⇔ ⇔ ( x − y + 1) 2. 2. (. x + y + x2 + 1 + y 2 + 1 x2 +1 + y. )(. y2 +1 + x. ). x2 + 1 − y 2 x2 + 1 + y. +. x2 − y2 + 1 x + y2 +1. =0. = 0 ⇔ x2 + 1 = y 2. Thế vào PT(2) ta có: x 2 + 6 x + 1 = ( 2 x + 1) x 2 + 2 x + 3. x2 + 6x + 1 1   = x 2 + 2 x + 3,  x = − ko phai nghiem  2x +1 2    x2 + 6x + 1 1 1  ⇔ − 2 = x 2 + 2 x + 3 − 2 ⇔ ( x 2 + 2 x − 1)  − =0 2 2x + 1  x + 2x + 3 + 2 2x +1  ⇔.  x = −1 ± 2  x2 + 2 x − 1 = 0  ⇔ ⇔ 3 + 15 ⇒ y  x 2 + 2 x + 3 = 2 x − 1  x = 3  (1 − y ) x − y + x = 2 + ( x − y − 1) y Ví dụ 3: [ĐVH]. [ĐH – khối B –2014] Giải hệ phương trình  2 2 y − 3x + 6 y + 1 = 2 x − 2 y − 4 x − 5 y − 3 Lời giải: ĐK: y ≥ 0; x ≥ y; x ≥ 2 y; 4 x ≥ 5 y + 3 Để ý cả 2 phương trình, cả 2 PT của hệ đều chứa 2 căn nhưng hãy đặt câu hỏi là PT nào dễ biến đổi hơn? Đương nhiên là PT(1) rồi, tất cả biểu thức ngoài căn đều có thể biểu diễn theo x − y ; y , các bạn hoàn toàn có thể đặt a = x − y ; b =. y và chú ý là: x = a 2 + b 2. Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015!.

(2) Khóa học TỔNG ÔN NÂNG CAO – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]. Facebook: LyHung95. Tuy nhiên bài toán sẽ giải quyết nhanh gọn và nhanh nếu sử dụng pp liên hợp cho PT(1) với phương pháp SHIFT SLOVE thần chưởng. Cho x = 100 cái nhỉ ? SHLFT SLOVE được y = 1 Thử cho x = 1000 cái nữa nhỉ thì … y = 1 . Vậy ta dự đoán có nhân tử y − 1 Khi đó: PT (1) ⇔ (1 − y ) x − y − (1 − y ) = ( x − y − 1) y − ( x − y − 1).  y =1 1 1  y − 1 ⇔ (1 − y )( x − y − 1)  + =0⇔   x − y +1 1+ y   x = y +1   +) Với y = 1 dễ dàng tìm được ( x; y ) = ( 3;1) ⇔ (1 − y ). (. ). x − y − 1 = ( x − y − 1). (. ). +) Với x = y + 1 thế vào PT(2) ta có: 2 y 2 + 3 y − 2 = 1 − y ⇔ 2 y 2 + y = 2 1 − y + 1 − y Do y ≥ 0 nên đên đây chúng ta có thể xét hàm f ( t ) = 2t 2 + t hoặc liên hợp tiếp.   1 + 5 −1 + 5   Đáp số: ( x; y ) = ( 3;1) ;  ;  2     2  ( 2 x + y )2 − 8x + 3 + 2 x + 2 y − 3 = 3 y  Ví dụ 4: [ĐVH]. Giải hệ phương trình  .  2 x + y − 2 + 5 x − 4 + 2 − y + 6 x 2 − x − 8 = 0 Lời giải. 4 2 Điều kiện 2 x + y ≥ 2; 0 ≤ y ≤ 2; x ≥ ; ( 2 x + y ) − 8 x + 3 ≥ 0 . 5 Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với. ( 2x + y ) − 4 ( 2x + y ) + 3 + 2 ( 2x + y ) − 8x + 3 + 2 y 2. ⇔. ( 2x + y ). 2x + y − 3 =0⇔ 2x + 2 y − 3 + y. 2 x + y = 3  2x + y −1 1 ⇔ + =0 2  ( 2x + y ) − 8x + 3 + 2 y 2x + 2 y −1 + y  Vì 2 x + y ≥ 2 ⇒. 2x + y −1. ( 2x + y ). 2. 2. − 8x + 3 + 2 y. +. − 8x + 3 − 2 y + 2 x + 2 y − 3 − y = 0. ( 2 x + y − 1)( 2 x + y − 3) + 2 ( 2x + y ) − 8x + 3 + 2 y. 2x + y − 3 =0 2x + 2 y −1 + y. (1). 1 > 0 , dẫn đến (1) vô nghiệm. 2 x + 2 y −1 + y. Với 2 x + y = 3 thì phương trình thứ hai trở thành 1 + 5x − 4 + 2 − (3 − 2x ) + 6 x2 − x − 8 = 0 = 0 ⇔ 5x − 4 + 2x −1 + 6x2 − x − 7 = 0 ⇔ 5x − 4 − 1 + 2 x − 1 − 1 + 6 x2 − x − 5 = 0 ⇔. 5x − 5 2x − 2 + + ( x − 1)( 6 x + 5 ) = 0 5x − 4 + 1 2x −1 + 1. 5 2   ⇔ ( x − 1)  + + 6 x + 5  = 0 (1) 2x −1 + 1  5x − 4 + 1  5 2 4 Nhận định + + 6 x + 5 > 0, ∀x ≥ nên (1) ⇔ x − 1 = 0 ⇔ x = 1 . 5 5x − 4 + 1 2x −1 +1 Kết luận hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = y = 1 .  ( 2 x − y )4 − 5 x + 2 y + 3 + ( 2 x − y − 1) 2 = 3 x − 2 y  Ví dụ 5: [ĐVH]. Giải hệ phương trình  . 2 2 2 y − 1 = 2 − x + 4 − y − 2 x + 2 x − 5 x + 3 Lời giải. 1 4 Điều kiện y ≥ ;3 x − 2 y ≥ 0; 4 − y − 2 x ≥ 0; x ≤ 2; ( 2 x − y ) − 5 x + 2 y + 3 ≥ 0 . 2 Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015!.

(3) Khóa học TỔNG ÔN NÂNG CAO – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]. Facebook: LyHung95. ( 2 x − y ) − 5 x + 2 y + 3 − 3x − 2 y + ( 2 x − y − 1) = 0 4 2x − y ) − 4 ( 2x − y ) + 3 ( 2 ⇔ + ( 2 x − y − 1) = 0 4 ( 2 x − y ) − 5 x + 2 y + 3 + 3x − 2 y 2 ( t − 1) t 2 + 2t + 3 4. Đặt t = 2 x − y; t 2 + 2t + 3 > 0, ∀t ∈ ℝ . Ta thu được  2 ⇔ ( 2 x − y − 1)    Rõ ràng. 2. ( 2x − y ). 4. − 5 x + 2 y + 3 + 3x − 2 y. + ( 2 x − y − 1) = 0 2.  + 1 = 0 4 ( 2 x − y ) − 5 x + 2 y + 3 + 3 x − 2 y  t 2 + 2t + 3 +1 > 0 ⇒ 2x − y −1 = 0 ⇔ 2x = y + 1 . 4 ( 2 x − y ) − 5 x + 2 y + 3 + 3x − 2 y t 2 + 2t + 3. Phương trình thứ hai của hệ trở thành 2 4 x − 3 = 2 − x + 5 − 4 x + 2 x 2 − 5 x + 3 2 ( 4x − 4) 1− x 4 − 4x ⇔ 2 4x − 3 − 2 = 2 − x − 1 + 5 − 4x − 1 + 2 x2 − 5x + 3 ⇔ = + + ( x − 1)( 2 x − 3) 4x − 3 + 1 2 − x +1 5 − 4x + 1 8 1 4   ⇔ ( x − 1)  + + + 3 − 2x  = 0 2 − x +1 5 − 4x + 1  4x − 3 + 1 . (1). 8 1 4 3 5 + + + 3 − 2 x > 0, ∀x ∈  ;  nên (1) ⇔ x − 1 = 0 ⇔ x = 1 . 4x − 3 + 1 2 − x +1 5 − 4x +1 4 4 Kết luận hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = y = 1 . Lại có. (. ).  x + 2 x + y + x = y + 2 2 +1 y  Ví dụ 6: [ĐVH]. Giải hệ phương trình  ( x; y ∈ ℝ ) .  4 4 x − 3 + 3 x + 2 y − 2 = x 2 + 1. Lời giải. 3 Điều kiện x ≥ ; y ≥ 0 . Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với 4 2( x − y) x− y x − y + 2 x + y − 2y + x − y = 0 ⇔ + + x− y =0 x+ y x + y + 2y. (. ).   1 2 ⇔ ( x − y) + + 1 = 0  x+ y  x + y + 2y   1 2 Ta có + +1 > 0 ⇒ x − y = 0 ⇔ x = y . x+ y x + y + 2y Phương trình thứ hai của hệ trở thành 4 4 x − 3 + 3 3 x − 2 = x 2 + 1 . Áp dụng bất đẳng thức liên hệ trung bình cộng – trung bình nhân ta có 4 x − 3 + 1 + 1 + 1 3x − 2 + 1 + 1 4 4 x − 3 + 3 3x − 2 ≤ + = 2 x ≤ x2 + 1. 4 3 Dấu đẳng thức xảy ra khi 4 x − 3 = 3 x − 2 = 1 ⇔ x = 1 ⇒ x = y = 1 ..  3x + 2 y + 2 2 x + 3 y = 3 x + 4 y ,  Ví dụ 7: [ĐVH]. Giải hệ phương trình  x3 + y 2 + 5 x + y + 4 3 2 x y + 2 + y x + 2 = . ) ( )  ( 2 3  Lời giải. Điều kiện các căn thức xác định.. ( x; y ∈ ℝ ) .. Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015!.

(4) Khóa học TỔNG ÔN NÂNG CAO – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]. Facebook: LyHung95. Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với 3x + 2 y − 2 x + 3 y + 3 2 x + 3 y − 3 x + 4 y = 0 ⇔. x− y 3x − 3 y + =0 3x + 2 y + 2 x + 3 y 2x + 3y + x + 4 y.   1 3 ⇔ ( x − y) + =0  3x + 2 y + 2 x + 3 y 2 x + 3 y + x + 4 y   1 1 Lại có + >0⇒ x− y =0⇔ x = y . 3x + 2 y + 2 x + 3 y 2x + 3 y + x + 4 y Khi đó phương trình thứ hai của hệ trở thành. x ( x3 + 2 ) + x ( x 2 + 2 ) =. x3 + x2 + 6 x + 4 . 2 3. Áp dụng bất đẳng thức liên hệ trung bình cộng – trung bình nhân ta có 3x + x3 + 2 3x + x 2 + 2 x3 + x 2 + 6 x + 4 3x ( x3 + 2 ) + 3x ( x 2 + 2 ) ≤ + = 2 2 2 3 2 x + x + 6x + 4 ⇒ x ( x3 + 2 ) + x ( x 2 + 2 ) ≤ 2 3 2  x + 2 = 3 x Do đó phương trình ẩn x có nghiệm khi các dấu đẳng thức xảy ra ⇔  3 ⇔ x = 1 ⇒ x = y = 1.  x + 2 = 3 x Kết luận hệ đã cho có nghiệm duy nhất.  x3 − 1 = 9 − x + 2 y 3 y − 1, Ví dụ 8: [ĐVH]. Giải hệ phương trình  3 2  x − 5 x + 8 x + 2 ( y + 3) 2 y − 1 = 12. Lời giải. 3  x ≥ 1;9 − x ≥ 0 1 ≤ x ≤ 9 Điều kiện  ⇔ y ≥1  y − 1 ≥ 0; 2 y − 1 ≥ 0 Phương trình thứ nhất của hệ tương đương Vì 2 y. 3. x3 − 1 − 9 − x = 2 y 3 y − 1 ⇔. ( x; y ∈ ℝ ) .. x 3 + x − 10. x −1 + 1 − x y − 1 ≥ 0, ∀y ≥ 1 ⇒ x + x − 10 ≥ 0 ⇔ ( x − 2 ) ( x + 2 x + 5 ) ≥ 0 ⇔ x − 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 . 3. 3. = 2 y3 y − 1 .. 2. Phương trình thứ hai của hệ tương đương với ( x3 − 5 x 2 + 8 x ) + 2 ( y + 3) 2 y − 1 = 12 ⇔ f ( x ) + g ( y ) = 12 . Xét hàm số f ( x ) = x3 − 5 x 2 + 8 x; x ∈ [ 2;9] ta có f ′ ( x ) = 3x 2 − 10 x + 8 = 3 ( x − 2 )( 3x − 4 ) ≥ 0, ∀x ∈ [ 2;9] .. Hàm số này liên tục và đồng biến trên miền đang xét nên Min f ( x ) = f ( 2 ) = 4 . x∈[ 2;9]. Xét hàm số g ( y ) = 2 ( y + 3) 2 y − 1; y ≥ 1 là hàm liên tục, đồng biến nên Min g ( y ) = g (1) = 2.4 = 8 . y ≥1. Do đó phương trình thứ hai có nghiệm khi các dấu đẳng thức xảy ra, tức là x = 2; y = 1 . Cặp giá trị này thỏa mãn hệ nên là nghiệm duy nhất của hệ.  5 − x = x + 3 + 5 y 2 − y , Ví dụ 9: [ĐVH]. Giải hệ phương trình  3 17 x + 6 y + ( y + 1) 3 y − 2 + ( x + x + 4 ) x + 8 = 53. Lời giải. 2 5 − x ≥ 0; x + 3 ≥ 0; x + 8 ≥ 0  ≤ y≤2 Điều kiện  ⇔ 3 2 − y ≥ 0;3 y − 2 ≥ 0 −3 ≤ x ≤ 5 Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với. ( x; y ∈ ℝ ) .. Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015!.

(5) Khóa học TỔNG ÔN NÂNG CAO – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]. Facebook: LyHung95. 2 − 2x = 5y 2 − y . 5− x + x+3 2  2  Vì 5 y 2 − y ≥ 0, ∀y ∈  ; 2  ⇒ 2 − 2 x ≥ 0 ⇔ x ≤ 1 . Như vậy x ∈ [ −3;1] ; y ∈  ; 2  . 3  3  Phương trình thứ hai của hệ tương đương với 6 y + ( y + 1) 3 y − 2  + 17 x + ( x 3 + x + 4 ) x + 8  = 53 ⇔ f ( y ) + g ( x ) = 53 .     5 − x − x + 3 = 5y 2 − y ⇔. 2  Xét hàm số f ( y ) = 6 y + ( y + 1) 3 y − 2; y ∈  ; 2  và hàm số g ( x ) = 17 x + ( x3 + x + 4 ) x + 8; x ∈ [ −3;1] . 3  Dễ thấy các hàm đơn lẻ 6 y; y + 1; 3 y − 2 và 17 x; x3 + x + 4; x + 8 đều là các hàm số đồng biến, liên tục trên từng miền tương ứng với hai biến x, y. Các hàm ban đầu là tổ hợp tổng – tích các hàm đồng biến nên đều đồng biến. Dẫn đến Max f ( y ) = f ( 2 ) = 18; Max g ( x ) = g (1) = 35 . x∈[ −3;1]. 2  y∈ ;3 3 . Khi đó f ( x ) + g ( y ) ≤ Max f ( y )+ Max g ( x ) = 18 + 35 = 53 . x∈[ −3;1]. 2  y∈ ;3 3 . Phương trình thứ hai có nghiệm khi các dấu cực trị xảy ra đồng thời, tức là x = 1; y = 2 (Thỏa mãn hệ)..  6 − x + 2 = y 3 + y + x + 2, Ví dụ 10: [ĐVH]. Giải hệ phương trình  2 ( x; y ∈ ℝ ) . 3 2 3 2 y + 1 y − 1 − 4 xy + 4 y = x − 8 x + 16 x − 12. ( )  Lời giải.  x + 2 ≥ 0;6 − x ≥ 0 −2 ≤ x ≤ 6 ⇔ Điều kiện  3 y ≥1  y −1 ≥ 0 Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với 4 − 2x 6 − x − x + 2 = y3 + y − 2 ⇔ = y3 + y − 2 . 6− x + x+2 3 2 Xét hàm số f ( y ) = y + y − 2; y ≥ 1 ta có f ′ ( y ) = 3 y + 1 > 0, ∀y ∈ ℝ nên hàm liên tục, đồng biến. 4 − 2x ≥ 0 ⇔ 4 − 2 x ≥ 0 ⇔ x ≤ 2 ⇒ x ∈ [ −2; 2] . 6− x + x+2 y ≥1 Phương trình thứ hai của hệ tương đương. Dẫn đến Min f ( y ) = f (1) = 0 ⇒. (y. 2. + 1) y 3 − 1 + x 2 − 4 xy + 4 y 2 = x3 − 7 x 2 + 16 x − 12. ⇔ ( y 2 + 1) y 3 − 1 + ( x − 2 y ) = x 3 − 7 x 2 + 16 x − 12 2. Xét hàm số g ( x ) = x3 − 7 x 2 + 16 x − 12; x ∈ [ −2; 2] .. (1). x − 2 < 0 ∀x ∈ [ −2; 2 ] . Ta có g ′ ( x ) = 3x 2 − 14 x + 16 = ( x − 2 )( 3x − 8 ) > 0, ∀x ∈ [ −2; 2] vì  3 x − 8 < 0. Hàm số liên tục và đồng biến trên miền [ −2; 2] ⇒ Max g ( x ) = g ( 2 ) = 0 . x∈[ −2;2]. Trong khi đó ( y 2 + 1) y 3 − 1 + ( x − 2 y ) ≥ 0, ∀y ≥ 1; ∀x ∈ ℝ . 2.  y3 − 1 = 0 x = 2  Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi các dấu cực trị xảy ra ⇔  x − 2 y = 0 ⇔  y =1 x = 2  Kết luận hệ có nghiệm duy nhất kể trên.. Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015!.

(6) Khóa học TỔNG ÔN NÂNG CAO – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]. Facebook: LyHung95. PHƯƠNG PHÁP LIÊN HỢP GIẢI HỆ PT – PHẦN 2 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT chỉ có tại website MOON.VN 2 x 2 + 5 x − 2 y = 4 y 2 + 9 x + 6 y + x + 2 (1)  Ví dụ 1: [ĐVH]. Giải hệ phương trình   x + 2 + x + 2 y = 4 y 2 − x 2 + 14 x − 20 ( 2) Lời giải 2 2 Điều kiện: x + 5 x − 2 y ≥ 0, 4 y + 9 x + 6 y ≥ 0, x + 2 ≥ 0, x + 2 y ≥ 0, 4 y 2 − x 2 + 14 x − 20 ≥ 0 Phương trình (1) của hệ phương trình tương đương. (. ) (. ). x2 + 5x − 2 y − 4 y 2 + 9 x + 6 y + x2 − 4 y2 − 4x − 8 y. ⇔. x2 + 5x − 2 y + 4 y 2 + 9 x + 6 y. ( x + 2 y )( x − 2 y − 4 ). ⇔. x2 + 5x − 2 y + 4 y 2 + 9 x + 6 y. +. x2 + 5x − 2 y − x − 2 = 0 x2 + 5x − 2 y − x2 − 4 x − 4 x2 + 5x − 2 y + x + 2 x − 2y − 4. +. x2 + 5x − 2 y + x + 2. =0. =0.   1 x + 2y =0 ⇔ ( x − 2 y − 4)  + 2  x2 + 5x − 2 y + 4 y2 + 9 x + 6 y  x + 5 x − 2 y + x + 2   ⇔ x − 2y − 4 = 0 ⇔ 2y = x − 4 x + 2y 1 Vì x + 2 y ≥ 0, x + 2 ≥ 0 nên + >0 x2 + 5x − 2 y + 4 y2 + 9x + 6 y x2 + 5x − 2 y + x + 2 Với 2 y = x − 4 thay vào phương trình (2) ta có. ( x − 4). x + 2 + 2x − 4 = ⇔ 3x − 2 + 2 ⇔. (. 2. − x 2 + 14 x − 20 ⇔. x + 2 + 2x − 4 = 6x − 4. ( x + 2 )( 2 x − 4 ) = 6 x − 4 ⇔ ( x + 2 ) − 2 ( x + 2 )( 2 x − 4 ) + ( 2 x − 4 ) = 0. x + 2 − 2x − 4. ). 2. = 0 ⇔ x + 2 = 2 x − 4 ⇔ x = 6 ⇒ y = 16. Vậy hệ phương trình có nghiệm là ( x; y ) = ( 6;16 ).  x 2 + y 2 + 6 x 2 − 8 xy + 6 y 2 = x + y + 2 xy Ví dụ 2: [ĐVH]. Giải hệ phương trình  ( x + y + 1) x 2 + x + y + 3 = xy + 6 x + 1. ( x, y ∈ ℝ).. Lời giải 6 x − 8 xy + 6 y ≥ 0 ĐK:  2 (*).  x + x + y + 3 ≥ 0 2. 2. Khi đó (1) ⇔ ( x − y ) + 2. ⇒ ( x − y). 2. (6x +. 2. (. ). 6 x 2 − 8 xy + 6 y 2 − x − y = 0. − 8 xy + 6 y 2 ) − ( x + y ). 6 x 2 − 8 xy + 6 y 2 + x + y. 2. = 0 ⇔ ( x − y) + 2. 5( x − y). 2. x + y + 6 x 2 − 8 xy + 6 y 2. =0. Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015!.

(7) Khóa học TỔNG ÔN NÂNG CAO – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831].  5 2 ⇔ ( x − y ) 1 +  x + y + 6 x 2 − 8 xy + 6 y 2 .  =0  . (3). Ta có (1) ⇔ x + y = ( x − y ) + 6 x 2 − 8 xy + 6 y 2 ≥ 0 ⇒ 1 +. 5. 2. 2. ⇔ ( 2 x + 1) ⇔. (. ). x + 2 x + 3 − 2 = x + 2 x − 1 ⇔ ( 2 x + 1) .. ( 2 x + 1) ( x 2 + 2 x − 1) 2 + x2 + 2 x + 3. 2. x + y + 6 x − 8 xy + 6 y 2 2. ( 2 x + 1). Do đó ( 3) ⇔ ( x − y ) = 0 ⇔ y = x. Thế vào (2) ta được 2. Facebook: LyHung95. > 0.. x2 + 2 x + 3 = x2 + 6 x + 1. x2 + 2 x + 3 − 4 x + 2x + 3 + 2 2. = x2 + 2 x − 1.   2x + 1 − ( x 2 + 2 x − 1) = 0 ⇔ ( x 2 + 2 x − 1)  − 1 = 0 2  2 + x + 2x + 3 .  x = −1 ± 2  x2 + 2 x − 1 = 0 ⇔ ⇔  x 2 + 2 x + 3 = 2 x − 1  2 x + 1 = 2 + x 2 + 2 x + 3 • •. TH1. x = −1 ± 2 ⇒ y = −1 ± 2. Đã thỏa mãn (*). TH2.. 1  2 x − 1 ≥ 0 x ≥ x + 2x + 3 = 2x −1 ⇔  2 2 2 ⇔  2  x + 2 x + 3 = ( 2 x − 1) 3 x − 6 x − 2 = 0  2. 1   x ≥ 2 3 + 15 3 + 15 ⇔ ⇔x= ⇒y= . Đã thỏa mãn (*). 3 3  x = 3 ± 15  3.   3 + 15 3 + 15   Đ/s: ( x; y ) =  −1 ± 2; −1 ± 2 ,  ;   . 3 3    . (. ). y −8   x + y + x + 8 = 2x Ví dụ 3: [ĐVH]. Giải hệ phương trình   x + y + x + 2 x 2 + 8 x = 12  Lời giải: x > 0 ĐK:  . Khi đó ta có: PT (1) ⇔ x + y + x + 1 = y ≥1. (. x+ y + x+8. )(. x + y − x+8. ). 2x. ⇔ 2 x = x + y − x + 8 thế vào PT(2) ta có: 2 x + x + 8 + x + 2 x 2 + 8 x = 12 Đặt t = x + x + 8 ( t > 0 ) ta có: t 2 = 2 x + 8 + 2 x 2 + 8 x Khi đó ta có phương trình t 2 + t − 20 = 0 ⇒ t = 4 ⇔ x + x + 8 = 4 ⇔ 2 x + 8 + 2 x 2 + 8 x = 16 x ≤ 4 ⇔ x2 + 8x = 4 − x ⇔  2 ⇔ x = 1 ⇒ y = 24 2  x + 8 x = x − 8 x + 16 Vậy HPT đã cho có 1 nghiệm duy nhất là ( x; y ) = (1; 24 ) .. Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015!.

(8) Khóa học TỔNG ÔN NÂNG CAO – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831].   x + x −1 + x ( x − y ) = Ví dụ 4: [ĐVH]. Giải hệ phương trình  2 2 2  x + 3 y ( x + 2 x − 1) = 3 Lời giải: ĐK: x ≥ 1; y ≥ 2 . Khi đó PT (1) ⇔ x ( x − y + 1) +. (. Facebook: LyHung95. y−2. ). x − 1 − y − 2 = 0 ⇔ x ( x − y + 1) +. x − y +1 =0 x −1 + y − 2.   1 ⇔ ( x − y + 1)  x +  = 0 ⇔ x + 1 = y thế vào PT(2) ta có:  x − + y − 1 2  . PT ( 2 ) ⇒ ( y − 1) + 3 y 2 ( y 2 − 2 ) = 3 ⇔ y 2 − 2 y + 3 y 2 ( y 2 − 2 ) = 2 (*) 2. Do y ≥ 2 nên (*) ⇔ y − 2 + 3 y −. 2 2 = . Đặt t = y y. 3. y−. 2 ta có: t 3 + t − 2 = 0 ⇔ t = 1 y. 2 = 1 ⇔ y2 − y − 2 = 0 ⇔ y = 2 ⇒ x = 1 y Vậy PT đã cho có nghiệm duy nhất là: (1; 2 ) .. Khi đó: y −.  4 ( 2 y 2 + x + 1)  + y = 4x + 5 2 4 x y 1 − + Ví dụ 5: [ĐVH]. Giải hệ phương trình   ( 3 x − 4 y ) 4 y − 3 + y x + 3 y − 3 − 2 + 2 x = 0 Lời giải. 4 y − 3 ≥ 0  Điều kiện:  x + 3 y − 3 ≥ 0 4 x 2 − y + 1 > 0 . (. (2) ⇔ 2 ( x − y ) + y ⇔ 2( x − y) +. (. ). ). x + 3y − 3 − 4 y − 3 + 3( x − y ) 4 y − 3 = 0 y ( x − y). x + 3y − 3 + 4 y − 3. + 3( x − y ) 4 y − 3 = 0.   y ⇔ ( x − y) 2 + + 3 4y − 3 = 0 ⇔ x = y x + 3y − 3 + 4 y − 3   2 4 ( 2 x + x + 1) Thay vào (1) được: = 3x + 5 4 x2 − x + 1. Đặt. 4 x 2 − x + 1 = t ( t > 0 ) ⇒ 4 x 2 = t 2 + x − 1 . Phương trình trên tương đương với. 8 x 2 + 4 x + 4 = ( 3x + 5) 4 x 2 − x + 1 ⇔ 2 ( t 2 + x − 1) + 4 x + 4 = ( 3x + 5) t. ⇔ 2t 2 − ( 3 x + 5) t + 6 x + 2 = 0 ⇔ 2t ( t − 2 ) − 3x ( t − 2 ) − ( t − 2 ) = 0 ⇔ ( t − 2 )( 2t − 3x − 1) = 0. 3  x=− x − 1 4 x + 3 = 0   ( )( ) 4 4 x 2 − x − 3 = 0  t = 2  ⇔ ⇔ ⇔  3x + 1 ≥ 0 ⇔ x = 1  2t = 3x + 1  2 4 x 2 − x + 1 = 3 x + 1   2  3   7 x − 10 x + 3 = 0 x = 7  3 Mà y ≥ ⇒ x = y = 1 4 Vậy hệ có nghiệm duy nhất x = y = 1 . Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015!.

(9) Khóa học TỔNG ÔN NÂNG CAO – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]. Facebook: LyHung95.  x 2 − y 2 + 2 x + 1 + y x + y + ( x − 2 y + 1) 2 y − 1 = 0,  Ví dụ 6: [ĐVH]. Giải hệ phương trình  y − 1 6 + y−x= . 2  2 y − 1 + 3 x 3 ( ) +  Lời giải. x + y ≥ 0   Điều kiện  1  y ≥ 2 Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với x2 + 2 x + 1 − y2 + y. (. ). x + y − 2 y − 1 + ( x − y + 1) 2 y − 1 = 0. ⇔ ( x + y + 1)( x − y + 1) +. y ( x − y + 1) x + y + 2 y −1. + ( x − y + 1) 2 y − 1 = 0.   y ⇔ ( x − y + 1)  x + y + 1 + + 2 y −1  = 0 ⇔ y = x +1   x + y + 2 y −1   6 6 x x Phương trình thứ hai của hệ trở thành +1 = 2 ⇔ −1 = 2 −2 x +3 x +3 x2 + 3 x2 + 3 x −2 x 2 x 2 x2 ⇔ −1 = 2 ⇔ 2 + −1 = 0 x +3 x +3 x2 + 3 x2 + 3.  1 = t ta thu được 2t 2 + t − 1 = 0 ⇔ ( 2t − 1)( t + 1) = 0 ⇔ t ∈ −1;   2 x2 + 3  x ≥ 0 x ≥ 0 1 x • = ⇔ 2 ⇔ ⇔ x = 1.  2 x2 + 3 2 4 x = x + 3  x ∈ {−1;1} x ≤ 0 x • = −1 ⇔ − x = x 2 + 3 ⇔  2 ⇔ x ∈∅ . 2 x2 + 3 x = x + 3 Kết luận phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1; y = 2 .. Đặt. x.  3x − 3 y + 2 + 4 = ( x − y )2 + 2 x − y (1) Ví dụ 7: [ĐVH]. Giải hệ phương trình  (2)  y − 1 + 3 x + 4 = 3 Lời giải: 3x − 3 y + 2 ≥ 0  Điều kiện:  x − y ≥ 0  y −1 ≥  Phương trình (1) của hệ phương trình tương đương x− y−2 2 2 x − y − 3x − 3 y + 2 + ( x − y ) − 4 = 0 ⇔ + ( x − y − 2 )( x − y + 2 ) = 0 2 x − y + 3x − 3 y + 2   1 ⇔ ( x − y − 2)  + x − y + 2 = 0 ⇔ x − y − 2 = 0 ⇔ y = x − 2  2 x − y + 3x − 3 y + 2    1 Vì x − y ≥ 0 nên + x− y+2>0 2 x − y + 3x − 3 y + 2 Với y = x − 2 thay vào phương trình (2) ta được. x−3 + 3 x+4 = 3. Đặt a = x − 3, b = 3 x + 4. Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015!.

(10) Khóa học TỔNG ÔN NÂNG CAO – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]. Facebook: LyHung95. a = 3 − b a + b = 3 a = 3 − b b = 2  x − 3 = 1 ⇒ 3 ⇔ ⇔ 3 ⇔ ⇒ ⇒ x=4⇒ y=2  3 2 2 2 a = 1 b − ( 3 − b ) = 7 b − a = 7 b − b + 6b − 16 = 0  3 x + 4 = 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( 4; 2 ). Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015!.

(11)

×