de thi HSG

<span class='text_page_counter'>(1)</span>UBND HUYỆN LẠC SƠN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN CẤP THCS, NĂM HỌC 2012 - 2013 MÔN: TOÁN. (Thời gian làm bài 150 phút). x 3   x 2 . Bài 1 (5,0 điểm): Cho biểu thức. A . x 2 x 2     : 1 x  3 x  5 x  6  . x   x  1 . Với x 0; x 4; x 9 a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị của A khi x 4  2 3 . 1 c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.. Bài 2 (4,0 điểm) Cho các hàm số sau: y=− x+5 ;. 1 y= x ; 4. y=4 x. a) Vẽ đồ thị của các hàm số đã cho trên cùng một hệ trục toạ độ Oxy? b) Tính diện tích của tam giác được tạo bởi ba đường thẳng này? Bài 3 (2,0 điểm ) 4 4 3 3 a) Chứng minh rằng với mọi x,y ta có : x  y xy  x y 2011. 2012. 2013. b) Chứng minh : 4  4  4 chia hết cho 84. Bài 4 (2,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ BH vuông góc với đường chéo AC.Gọi M, E lần lượt là trung điểm của AH và CD.Tính góc BME. Bài 5 (6,0điểm): Cho đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là AB kẻ hai tia Ax và By 0  vuông góc với AB. Trên Ax và By lấy tương ứng hai điểm M và N sao cho MON 90 ( Với O là trung điểm của AB). Chứng minh rằng. a) NM = AM + BN. b) NM là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB. AB 2 c) AM. BN = 4. Bài 6 (1,0điểm) Cho x,y là các số dương thoả mãn: x+y = 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của. A x 2  y 2 . 33 xy. Họ,tên thí sinh.................................. SBD.......... Trường...................................... Người coi thi số1.....................................Người coi thi số2......................................... UBND HUYỆN LẠC SƠN. HƯỚNG DẪN CHẤM HSG CẤP HUYỆN.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO. NĂM HỌC 2012 - 2013 BỘ MÔN : TOÁN. -Hướng dẫn chỉ trình bày một trong các cách giải. Mọi cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa theo từng câu, từng bài. - Đáp số còn trình bày tóm tắt biểu điểm có chỗ còn chưa chi tiết từng bước lập luận,biến đổi.Tổ giám khảo cần thống nhất trước khi chấm - Điểm toàm bài không làm tròn. Bài 1. Nội dung 5,0đ. * a) Với điều kiện   ta có:. . x 3   x 2 . x 2  x 3. A . . . .    :  x 1  x  3   x  1 . x 2. . x 2. . . x 9 x4 x 2  1  :  x 2 x 3  x 1 . . . . (1,0điểm). (0,5điểm). x 3. . x 2. .  1  :  x  3  x 1 . . (0,5điểm). 1 1 x 1 :  x  2 x 1 x 2. . x 4  2 3 . b) ta có. (0,5điểm). . 3 1. 2. x. thoả mãn điều kiện. Khi đó:. . c) ta có. A. . 3 1. 2.  3 1. . (0,5điểm). 3  1 1 3 1   3  1 2 3  3 1  3 (0,5điểm). Do vậy, giá trị của biểu thức A là: x 1 1 x 2   1  A x 2 x 1. 3 x  1 . (1,0điểm). 3 1 Để A có GTNN thì x  1 có GTLN, hay x  1 1 , dấu "=" xảy ra khi x = 0.. x  1 có GTNN.Ta có:. 3 1  3  2 0 1 , xảy ra khi x = 0. (0,5điểm). 1 1 Giá trị nhỏ nhất của A là. 2. x   x  1 . 4 4 3 3 a) Chứng minh với mọi x,y ta có : x  y  xy  x y 4. 4. 3. 3. (1)  x  y xy  x y  x(x3- y3) – y(x3- y3)  0  (x-y)2(x2 + xy + y2)  0 (0,5điểm) 2  y  3y 2  x    0   2 4   2    (x-y) . (2). (1). 2,0đ.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> (2) luôn đúng  (1) đúng Dấu “ =” xảy ra khi x = y. (0,5điểm). 2011 2012 2013 b) Chứng minh : 4  4  4 chia hết cho 84.. Ta có. 42011  42012  42013 42011  1  4  42  42011.21 4 2010.84. chứng tỏ 4. 2011. 4. 2012. 4. 2013. chia hết cho 84. (0,5điểm) (0,5điểm). a) lập luận và vẽ đúng đồ thị mỗi hàm số cho 1,0 đ ( 3,0 điểm) 3. 1 y x 4 b)Gọi giao điểm của đường thẳng y= - x + 5 và đường thẳng là E ta có: Hoành độ của điểm E phải thỏa mãn phương trình 1 x 4 -x + 5 = Suy ra x = 4; y = 1 và E(4;1) Tương tự: D là giao điểm của 2 đường thẳng y = 4x và y= -x + 5 và có tọa độ là : D(1;4) (0,5điểm). SDOE = SOAB - SODA - SOEB ) 1 1 1 .  .D  . 2 2 = 2 1 1  .  .DN  .  = 2 = 2 (5.5 – 5.1 – 5.1) = 7,5 (0,5điểm). 4,0đ.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 3 Vẽ hình ghi GT & KL đỳng (0,5điểm) Gọi N là trung điểm của BH Lập luận chứng minh được N là trực tâm của tam giác BMC.  CN  BM (0,5điểm) Lập luận chứng minh tứ giác MNCE là hình b.hành  EM / / CN (0,5điểm). 2,0đ. T. B. C N H. E. M D. A. 0  Mà CN  BM Suy ra ME  BM hay BME 90 (0,5điểm). 4. Vẽ hình ghi GT & KL đúng (0,5điểm) x a) Gọi giao điểm của tia MA và NO là E chứng minh được: BN = AE, OE = ON M (1,0điểm) Lập luận chứng tỏ EMN cân tại M Suy ra MN = ME = AM + BN A (1,0điểm) b)Kẻ OK vuông góc NM Chứng minh được OK = OA (1,0điểm) E Suy ra MN là tiếp tuyến của ( O; AB/2) (0,5điểm) c)Xét tam giác vuông MON có OK là đường cao. y K. 5,0đ. N. O. B. 2. Có hệ thức OK MK .KN (0,5điểm) Mà MK = AM, KN = BN ( T/c tiếp tuyến) Suy ra AM. BN = a ) Ta có 5. OK 2 . AB 2 4 (0,5điểm). 0 ( x  y ) 2  x 2  2 xy  y 2 ( x  y) 2 42  x  y 2 xy  2( x  y ) ( x  y )  x  y   8(*) 2 2 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. Cũng từ x 2  y 2 2 xy  ( x  y ) 2 4 xy  xy . ( x  y ) 2 42 33 33  4   (**) 4 4 xy 4. Từ ( *) Và (**) suy ra A =. x2  y 2 . (0,5điểm). 33 33 65 8   xy 4 4. 2,0đ.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> dấu " =" xảy ra  x  y 2 . 65  x  y 2 Vậy Min A = 4. (0,5điểm).

<span class='text_page_counter'>(6)</span>