TIEP TUYEN

<span class='text_page_counter'>(1)</span>ĐẠO HÀM A. Tóm tắt kiến thức 1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm  Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0  (a; b): f ( x )  f ( x0 ) f '( x0 )  lim x  x0 x  x0. y = x 0  x lim. (x = x –. x0, y = f(x0 + x) – f(x0))  Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó. 2. Ý nghĩa của đạo hàm  Ý nghĩa hình học: M x ; f ( x0 )  + f (x0) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại  0 . M x ;y + Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại  0 0  là: y – y 0 = f (x0).(x – x0) 3. Qui tắc tính đạo hàm  (C) = 0. (x) = 1 (xn) = n.xn–1. .  n N   n 1   .  1 x  2 x.  u  uv  vu      u v   uv  vu ( u  v ) ( uv )  v v2  (v  0)  1  v    (ku)  ku  v v2  Đạo hàm của hàm số hợp: Nếu u = g(x) có đạo hàm tại x là ux và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại y  yu.ux u là yu thì hàm số hợp y = f(g(x)) có đạo hàm tại x là: x 4. Đạo hàm của hàm số lượng giác sin u( x ) sin x lim 1 lim u( x ) 0 lim 1 x  x0 u( x ) x  x0 x  0 x  ; (với )  (sinx) = cosx  tan x    1 cos2 x 5. Vi phân  dy df ( x )  f ( x ). x. (cosx) = – sinx.  cot x   . 1 sin2 x . f ( x0   x )  f ( x0 )  f ( x0 ). x. 6. Đạo hàm cấp cao  f ''( x )  f '( x )  f '''( x )  f ''( x )  f ( n ) ( x )  f ( n 1) ( x ) ; ; (n  N, n  4) Ý nghĩa cơ học: Gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t0 là a(t0) = f(t0).  .

<span class='text_page_counter'>(2)</span> VẤN ĐỀ 2: Tính đạo hàm bằng công thức Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) bằng công thức ta sử dụng các qui tắc tính đạo hàm. Chú ý qui tắc tính đạo hàm của hàm số hợp.  u  uv  vu      u v   uv  vu ( u  v ) ( uv )  v v2  (v  0)  1  v    2    v v  (ku)  ku  n N   x   1  u  u '  n  1   (u n ) ' n.u n 1.u '  2 x 2 u  (xn) = n.xn–1  ;  Đạo hàm của hàm số lượng giác  (sinx) = cosx  (sin u ) ' u 'cos u (cosx) = – sinx  (cos u ) '  u '.sin u  tan x    1  (tan u ) '  1 .u '  cot x    1  (cot u )'  1 .u ' cos 2u cos2 x sin2 x sin2 u   Baøi 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau: 3 2 1 y   x  x x. y 2 x 4  x 3  2 x  5 3 3 x2 a) b) c) y  ( x 3  2)(1  x 2 ) 2 2 2 2 d) y  ( x  1)( x  4)( x  9) e) y ( x  3 x )(2  x ) 3 y 2x 1 g). y.  1  y   x  1   1  x  f) h). 2x 1 1  3x. i) 2. 1 x  x y 1  x  x2 x 2  3x  3 y x 1 k) y Baøi 2:. 2x. 2x2  4 x 1 y x 3 l). m). 2. x 2  2x  3 Tính đạo hàm của các hàm số sau: y  ( x 2  x  1)4. a) y  (1  2 x 2 )5. 3 2 2012 c) y ( x  2 x  1). y ( x 2  2 x)5. d) y  3  2 x 2 . b). e) y. 4. f). 1 ( x 2  2 x  5)2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> y g) Baøi 3:. ( x  1)2 ( x  1)3. 3.  2x 1  y    x 1  h) Tính đạo hàm của các hàm số sau:. 3. y  2 x 2  5x  2. a) y  x3  x  2. b) c) y  x  x. y  ( x  2) x 2  3. d) y  ( x  2)3. g). 3  y  2  2  x   i). y. y. e).   f) y  1  1  2 x. 3. x3 x 1. h). 4x 1 x2  2. Baøi 4:. a). i). y. 4  x2 x. Tính đạo hàm của các hàm số sau:  sin x  y    1  cos x . 2. b) 3. y  x.cos x. c) y  sin (2 x  1). d) y  cot 2 x. e). y  sin 2  x 2. g) y sin  cos2 x tan 2 x . f) y  sin x  2 x y  (2  sin2 2 x )3. h). 2 3 i) y  2 sin 4 x  3 cos 5 x.  x 1  2 1 y  cos2   y  tan 2 x  tan3 2 x  tan5 2 x  x  1   3 5 k) l) Bài 5: Chứng minh mỗi hàm số sau thỏa mãn với đẳng thức đã chỉ ra.  y  2 x  x 2  y  x sin x  3  xy ''  2( y '  s inx)  xy  0  a) b)  y y '' 1 0  y  x tan x  2 2 2  x y '' 2( x  y )(1  y ) 0. 3 m) y tan x. x 3   y  x  1  x 2 y  x4   2( y ') 2 ( y  1) y ''  4 y ''(1  x 2 )  4 xy ' y 0 d)  e*)  Bài 6: Chứng minh các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc vào x 6 6 2 2 a) y sin x  cos x  3sin x cos x      2   2  y cos 2   x   cos 2   x   cos 2   x   cos 2   x   2sin 2 x 3  3   3   3  b) VẤN ĐỀ : Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x) y  y0  f '( x0 )( x  x0 ) 1. Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x0, y0)  (C ) là: (*) 2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc k:. c).

<span class='text_page_counter'>(4)</span> f ( x0 ) k + Gọi x0 là hoành độ của tiếp điểm. Ta có: (ý nghĩa hình học của đạo hàm) y  f ( x0 ). + Giải phương trình trên tìm x0, rồi tìm 0 + Viết phương trình tiếp tuyến theo công thức (*) 1 (d )  ()  kd a (d )  ( )  kd  a 3. Nhắc lại: Cho (): y = ax + b. Khi đó: ; 2 Baøi 1:Cho hàm số (C): y  f ( x ) x  2 x  3. Viết phương trình tiếp tuyến với (C): a) Tại điểm thuộc (C) có hoành độ x0 = 1. b) Song song với đường thẳng 4x – 2y + 5 = 0. c) Vuông góc với đường thẳng x + 4y = 0. d) Vuông góc với đường phân giác thứ nhất của góc hợp bởi các trục tọa độ.. x 2  x 2 x  1 (C). Baøi 2: Cho hàm số a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(2; 4). b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm với trục Oy. c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k = 1. 3x  1 y  f ( x)  1  x (C). Baøi 3: Cho hàm số a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(2; –7). b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành. c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung. y f (x ) . 1 y  x  2012 2 d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tt song song với đường thẳng d: . e) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tt vuông góc với đường thẳng : 2x + 2y – 5 = 0. 3 2 Baøi 4: Cho hàm số (C): y x  3x . a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm I(1, –2). b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C ) biết tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. 2 Baøi 5: Cho hàm số (C): y  1  x  x . Tìm phương trình tiếp tuyến với (C): 1 . a) Tại điểm có hoành độ x0 = 2 b) Song song với đường thẳng x + 2y = 0. x 2 y 2x  3 Baøi 6: Cho hàm số (1). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O. 2 x−1 Baøi 7: Cho hàm số y = . x −1 Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A và B thoả mãn OA = 4OB. 2x  1 y x 1 . Baøi 8: Cho hàm số. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến tiếp tuyến bằng 2 . 2x 1 y x 1 . Baøi 9: Cho hàm số Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng ttuyến cách đều hai điểm A(2; 4), B(4; 2)..

<span class='text_page_counter'>(5)</span> x +2 . x +1 Gọi I là giao điểm của 2 đường tiệm cận, Δ là một tiếp tuyến bất kỳ của đồ thị (C). d là khoảng cách từ I đến Δ . Tìm giá trị lớn nhất của d. 2x  3 y x  2 có đồ thị (C). Baøi 11:Cho hàm số Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại A, B sao cho AB ngắn nhất. x 2 y x  1 (C) Baøi 12:Cho hàm số : Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị (C) đều lập với hai đường tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi. 2x y x  2 (C). Baøi 13:Cho hàm số Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng khoảng cách từ điểm I ( 2;2) của đồ thị (C) Baøi 10:Cho hàm số y =. đến tiếp tuyến là lớn nhất. x 3 y x 1. Baøi 14:Cho hàm số M (x ; y ) Cho điểm o o o thuộc đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) tại M 0 cắt các tiệm cận của (C) tại các điểm A và B. Chứng minh Mo là trung điểm của đoạn thẳng AB. 2x  1 y 1 x . Baøi 15:Cho hàm số Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận, A là điểm trên (C) có hoành độ là a. Tiếp tuyến tại A của (C) cắt hai đường tiệm cận tại P và Q. Chứng tỏ rằng A là trung điểm của PQ và tính diện tích tam giác IPQ. 2x  3 y x 2 . Baøi 16:Cho hàm số Cho M là điểm bất kì trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B. Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận. Tìm toạ độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất. 2 x 1 y x  1 có đồ thị (C). Baøi 17:Cho hàm số Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B với chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất. 2x  3 y x  2 (C). Baøi 18:Cho hàm số Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến đó cắt tiệm cận đứng và tiệm cận 4 · ngang lần lượt tại A, B sao cho côsin góc ABI bằng 17 , với I là giao 2 tiệm cận. 3 2 Baøi 19:Cho hàm số y  x  3 x  1 có đồ thị (C). Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau và độ. dài đoạn AB = 4 2 ..

<span class='text_page_counter'>(6)</span>