SU DUNG DIEM DAC DE GIAI BAI TOAN KHOANG CACH

<span class='text_page_counter'>(1)</span>SKKN_khoảng cách. Ths. Trần Duy Điệp. SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI:. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRONG GIẢI BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH Tác giả: ths. Trần Duy Điệp Trường THPT Trần Phú_ Đức Thọ -Hà Tĩnh NĂM HỌC 2014-2015. I. ĐẶT VẤN ĐỀ Bài toán tính khoảng cách là một bài toán rất quan trọng trong chương trình toán học phổ thông, đặc biệt là mấy năm gần đây thường xuyên xuất hiện trong các đề thi đại học và cao đẳng. Đây là một bài toán tương đối khó đối với tất cả các học sinh, vì nó sử dụng kiển thức tổng hợp của bài toán giải tam giác và các tính chất của hình học không gian. Để giải bài toán này chúng ta thường sử dụng các phương pháp như: Phương pháp tính trực tiếp, phương pháp sử dụng công thức thể tích, phương pháp tọa độ,... tuy nhiên mỗi người sử dụng các phương pháp đó dưới mỗi góc độ và cách nhìn khác nhau. Trong các phương pháp nêu trên thì phương pháp tính trực tiếp là phương pháp cơ bản, sử dụng được cho cả học sinh lớp 11 và học sinh ôn thi đại học, cao đẳng. Và để tính trực tiếp khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng chúng ta thường phải xác định được hình chiếu của điểm đó lên mặt phẳng rồi tính đoạn thẳng nối từ điểm đó đến hình chiếu của nó. Tuy nhiên việc xác định và tính này không phải lúc nào cũng đơn giản, nên khi gặp bài toán khó học sinh rất khó định hướng cho việc tìm lời giải. Để giải quyết cho những vấn khó khăn đề trên, dựa trên kinh nghiệm dạy học và ôn thi nhiều năm của minh, tác giả đã đưa ra một cách định hướng tương đối hiệu quả và dễ hiễu, dễ sử dụng cho học sinh đó là. “PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRONG GIẢI BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH”. Năm học 2014-2015. 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> SKKN_khoảng cách Ths. Trần Duy Điệp và đây cũng là nội dung của đề tài. Nội dung của bài viết này là giúp học sinh phát hiện, xác định điểm nào là điểm đặc biệt của bài toán và kỉ năng quy khoảng cách cần tìm về tính khoảng cách đối với điểm đặc biệt.. II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ A. CƠ SỞ CỦA PHƯƠNG PHÁP Để đơn giản cho việc hiểu và vận dụng phương pháp, trước tiên bài viết xin đưa ra khái niệm điểm đặc biệt đồng thời nêu ra một số điểm đặc biệt thường gặp và đưa vào một số tính chất cơ bản nhằm sử dụng để quy khoảng cách cần tìm về tính khoảng cách đối với điểm đặc biệt. 1. Điểm đặc biệt trong phương pháp a. Khái niệm điểm đặc biệt: Điểm đặc biệt của mặt phẳng (P) (gọi tắt là điểm đặc biệt) là điểm mà dễ dàng tính được khoảng cách từ nó đến mặt phẳng (P) bằng cách xác định hình chiếu vuông góc của nó lên mặt phẳng (P) để tính. b. Một số điểm đặc biệt thường gặp: - Điểm nằm trên mặt phẳng vuông góc. Nếu (Q) và (P) vuông góc với nhau thì mọi điểm A thuộc (Q) mà không nằm trên (P) đều là điểm đặc biệt của (P).. Q A. H P. Cách xác định khoảng cách từ điểm A đến mặt (P): Gọi H là hình chiếu của A lên giao tuyến của (Q) và (P) ta có d ( A, (Q))  AH . - Điểm hình chiếu (hình chiếu của một điểm thuộc mặt phẳng (P) lên một mặt phẳng nào đó không song song với (P)). Nếu (P) cắt (Q) và H là hình chiếu P của M ( M  (P ) ) lên (Q) thì H là điểm đặc biệt của (P). M Năm học 2014-2015. K. 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> SKKN_khoảng cách. Ths. Trần Duy Điệp. Cách xác định khoảng cách từ H đến (P): Gọi I là hình chiếu củ H lên giao tuyến của (P) và (Q) và K là hình chiếu của H lên MI. Ta có HK  ( P)  d ( H , ( P))  HK (lưu ý: đây là điểm thường gặp trong các bài toán và đề thi) *Trường hợp thường gặp trong các bài toán cụ thể.. S. Cho hình chóp S.ABC. Gọi H là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC). Khi đó H là điểm đặc biệt của măt phẳng (SBC).. K. Cách xác định khoảng cách từ H đến măt phẳng (SBC): Gọi I là hình chiếu củ H lên BC và K là hình chiếu của H lên SI. Ta có HK  ( SBC )  d ( H , ( SBC ))  HK. A. C. H I B. 2. Một số tính chất cần lưu ý Tính chất 1. Nếu A, B, O thẳng hàng, O thuộc mặt phẳng (Q) và AO  kBO thì ta có d ( A, (Q))  k .d ( B, (Q)) . A. A B A'. A'. B'. O. O B'. Q. Q. B. Tính chất 2. Nếu AB//(Q) thì d ( A, (Q))  d ( B, (Q)). A. B. B'. A' Q. Tính chất 3.. M.   ( P ) Nếu  thì d (, ' )  d ( M , ( P)) ' //( P) với M là một điểm tùy ý thuộc ' . P. Năm học 2014-2015. 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> SKKN_khoảng cách. Ths. Trần Duy Điệp. Tính chất 4.   ( P ) Nếu '  ( P' ) thì d (, ' )  d ( M , ( P)) ( P' ) //( P) . M P'. với M là một điểm tùy ý thuộc (P ' ) . P. B. VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP 1. Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Để tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P). Chúng ta thực hiện các bước suy luận như sau: - Tìm điểm đặc biệt của mặt phẳng (P). - Tìm cách quy việc tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) về tính khoảng cách từ điểm đặc biệt đến mặt phẳng (P). (nhờ tính chất 1, 2). Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và cạnh bên SB tạo với đáy một góc bằng 600. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) theo a. Phân tích: Trong trường hợp này điểm A chính là điểm đặc biệt của mặt phẳng (SBC). Nên ta thực hiện việc xác định hình chiếu của điểm A lên mặt phẳng (SBC) như trình bày trong phần A và tính. Cụ thể ta có lời giải sau: Lời giải Gọi I là trung điểm BC, K là hình chiếu của A lên SI, ta có BC  SI , BC  SA nên BC  (SAI ) ,  BC  AK , do đó AK  (SBC ) suy ra d ( A, ( SBC ))  AK . Mặt khác do SA vuông góc với đáy nên SAB  600  SA  AB.tan 600  a 3 và AI . a 3 2. Suy ra d ( A, ( SBC ))  AK . Năm học 2014-2015. SA. AI SA 2  AI 2. a 15 .  5. S. K. C. A I B. 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> SKKN_khoảng cách. Ths. Trần Duy Điệp. Ví dụ 2: ( Đề thi đại học 2014, khối A). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SD . 3a , hình 2. chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm cạnh AB. Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).. Phân tích: Trường hợp này điểm A không là điểm đặc biệt của mặt phẳng (SBD) nên sẽ gặp khó khăn cho việc tìm hình chiếu của điểm A lên (SBD). Nếu gọi H hình chiếu của S lên (ABCD), thì điểm H mới chính là điểm đặc biệt của mặt phẳng (SBD). Nên ta cố gắng tìm cách quy việc tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) về tính khoảng cách từ điểm đặc biệt H đến mặt phẳng (SBD) (nhờ tính chất 1, 2). Cụ thể ta có lời giải sau: Lời giải: Gọi H là trung điểm của AB, khi đó điểm H là hình chiếu của S lên (ABCD). Do H là trung điểm AB nên d ( A, ( SBD ))  2d ( H , ( SBD )). Gọi I là hình chiếu của điểm H lên BD, K là hình chiếu của H lên SI, ta có BD  SI , BD  SH nên BD  ( SHI )  BD  HK , HK  (SBD ) . do đó suy ra d ( H , ( SBD ))  HK . Mặt khác, do SH  HD  SH  SD 2  HD 2. .  SD  HA  AD 2. 2. 2. a. S. K B. I. C. H A. D. a 2 . 4 a  . 3. và HI  HB.sin HBD  Suy ra. HK . SH .HI SH 2  HI 2. Vậy d ( A, ( SBD ))  2d ( H , ( SBD ))  2 HK . 2a . 3. Các ví dụ 3, 4, 5 tiếp theo sẽ làm tăng dần tính phức tạp của việc quy khoảng cách của điểm cần tìm về điểm đặc biệt, nhằm rèn luyện kỉ năng nay. Ví dụ 3: ( Đề thi đại học 2011, khối D).. Năm học 2014-2015. 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> SKKN_khoảng cách Ths. Trần Duy Điệp Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA=3a, BC=4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB= 2a 3 và SBC  300 . Tính theo a khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC). Phân tích: Trường hợp này điểm B cũng không là điểm đặc biệt của mặt phẳng (SAC), nên đầu tiên ta cần làm là tìm một điểm đặc biệt của mặt phẳng (SAC).(việc tìm hình chiếu của một điểm nào đó thuộc mặt phăng (SAC) lên một mặt phẳng khác ta thường chọn hình chiếu của S lên mặt phẳng đáy). Giả sử điểm H hình chiếu của S lên đáy thì H là một điểm đặc biệt của mặt phẳng (SAC). Nên bước tiếp theo là ta cố gắng tìm cách quy việc tính khoảng cách từ B về tính khoảng cách từ điểm đặc biệt H (nhờ tính chất 1, 2). Cụ thể ta có lời giải sau: Lời giải: Gọi H là hình chiếu của S lên BC, do ( SBC )  ( ABC )  SH  ( ABC ) . Ta có BH  BS . cos 30 0  3a và HC=a  BC  4HC nên d ( B, ( SAC ))  4d ( H , ( SAC )). Gọi I là hình chiếu của H lên AC, K là hình chiếu của điểm H lên SI, khi đó BD  SI , BD  SH nên BD  (SHI ) ,  BD  HK do đó HK  (SAC ) suy ra d ( H , ( SAC ))  HK . Mặt khác sử dụng tính chất đồng dạng của hai tam giác HIC và ABC ta có. S. K B. H. C I. A. HI HC AB.HC AB.( BC  BH ) 3a , HS  SB. sin 30 0  a 3   HI    2 2 AB AC AC 5 AB  BC. Suy ra HK . SH .HI SH  HI 2. 2. . 6a 7 3a 7 . . Vậy d ( B, ( SAC ))  4d ( H , ( SAC ))  4 HK  7 14. Ví dụ 4: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A, AB = a, BC=2a. Hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) là trọng tâm của tam giác ABC, góc giữa đường thẳng C’C và mặt đáy bẳng 600. Tính theo a khoảng cách từ điểm B’ đến mặt phẳng (AA’C’C). Lời giải: Gọi H là trọng tâm của tam giác ABC khi đó A' H  ( ABC ) . Ta có. C'. B'. A'. Năm học 2014-2015. 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> SKKN_khoảng cách. Ths. Trần Duy Điệp. d ( B' , ( AA' C ' C ))  d ( B, ( AA' C ' C )) =  3d ( H , ( AA' C ' C )).. Gọi I là hình chiếu của H lên AC, K là hình chiếu của H lên A’I, khi đó AC  ( A' HI ) , nên AC  HI , AC  A' H  AC  HK , do đó HK  ( AA' C ' C ) , suy ra d ( H , ( AA' C ' C ))  HK . 1 3. a 3. Mặt khác HI//AB  HI  AB  . 2 3. 2 1 3 2. Gọi M là trung điểm BC, ta có HA  AM  . BC . 2a 3. Do CC’//AA’ và A' H  ( ABC )  A ' AH  600  A' H  AH . tan 60 0  . 2a 39 . 39. Vậy, d ( B' , ( AA' C ' C ))  3HK . 2a 39 . 13. Suy ra HK . SH .HI SH 2  HI 2. 2a 3 . 3. Nhận xét: Ở ví dụ này chúng ta đã thực hiện liên tiếp các bước quy từ việc tính khoảng cách từ điểm B’ về điểm B, rồi tiếp là về điểm đặc biệt H. Ví dụ 5: ( Đề thi đại học 2007, khối D). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, ABC  BAD  900 , BA  BC  a , AD  2a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA  a 2 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB. Tính theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD). Lời giải: SH SH .SB SA 2 2    . 2 2 2 SB 3 SB SA  AB 2 2  SH  SB  d H , ( SCD)   d B, ( SCD)  3 3. Ta có. S. Gọi E là giao của hai đường thẳng AB và CD, ta có B là trung điểm AE,. H K. 1 suy ra d B, ( SCD)   d  A, ( SCD)  .. M A. 2. D. 1  d H , ( SCD)   d  A, ( SCD)  3. Gọi M là trung điểm AD. Ta có MA=MD=MC  AC  CD . Gọi K là hình chiếu của A lên SC,. B. C. E. Năm học 2014-2015. 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> SKKN_khoảng cách ta có CD  AC , CD  SA. Ths. Trần Duy Điệp.  CD  (SAC )  CD  AK do đó AK  ((SCD) , suy ra d ( A, ( SBC ))  AK . 1 2. Mặt khác do AC  AB 2  BC 2  a 2  AK  SC  Vậy d ( B, ( SCD)) . 1 SA 2  AC 2  a . 2. HK a  . 3 3. Nhận xét: Ở ví dụ này chúng ta cũng đã thực hiện liên tiếp các bước quy từ việc tính khoảng cách từ điểm H về điểm B, rồi tiếp đến là về điểm đặc biệt A, nhưng ở mức độ khó hơn. Ví dụ 6: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân tại A, BC=2a cạnh bên AA’= 2a , biết A’ cách đều các đỉnh A, B , C. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AA’ và AC. Tính theo a khoảng cách từ C’ đến mặt phẳng (MNB). Phân tích: Nếu gọi H là trung điểm BC khi đó H là hình chiếu của A’ lên mặt phẳng (ABC). Tuy nhiên đây chưa phải là điểm đặc biệt của mặt phẳng (MNB) vì A' ( MNB) . Hình chiếu của M lên mặt phẳng (ABC) mới là điểm đặc biệt của mặt phẳng (MNB). Ở đây đề cập đến điểm M vì cách xác định hình chiếu của M lên mặt phẳng (ABC) có thể dựa vào điểm A’ đã biết hình chiếu. Lời giải: Gọi H là trung điểm của BC, ta có HA=HB=HC  A' H  ( ABC ) . Từ M kẻ ME (E  AH) song song với A’H. A' C'.  ME  (ABC). Gọi F là giao của AC’ và MN ta có C’F=3AF. M.  d (C ' , ( MNB))  3d ( A, ( MNB)) .. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có 1 3 1 EG  AG  AE  AG  AH  AG  AG  AG 2 4 4  AG  4EG  d ( A, ( MNB))  4d ( E , ( MNB))  d (C ' , ( MNB))  12d ( E , ( MNB)) .. B'. F K A. N C. I E. G H. Gọi I là hình chiếu của E lên BN, K là B hình chiếu của E lên MI, khi đó BN  EI , BN  ME  BN  ( MEI )  BN  EK , do đó EK  (MNB) Năm học 2014-2015. 8.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> SKKN_khoảng cách Ths. Trần Duy Điệp suy ra d ( E , ( MNB))  EK . Mặt khác sử dụng tính chất đồng dạng của hai tam giác EIG và BHG ta có 1  BH . AG  EI EG BH .EG 4   a , ME  1 A' H  1 AA' 2  AH 2  a .   EI   2 2 2 2 BH BG BG BH  HG 2 2 10. Suy ra EK . ME.EI ME 2  EI 2. . a 11 . 22. Vậy d (C ' , ( MNB))  12 EK . 6a 11 . 11. Ví dụ 7 tiếp theo sẽ minh họa cho điểm đặc biệt nằm trên mặt phẳng vuông góc. Ví dụ 7: ( Đề thi đại học 2011, khối B). Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chử nhật, AB = a, AD = a 3. Hình chiếu vuông góc của điểm A’ lên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Tính theo a khoảng cách từ điểm B’ đến mặt phẳng (A’BD). Phân tích: Do mặt phẳng  ABCD  ( A' BD) nên mọi điểm nằm trong mặt phẳng đáy đều là điểm đặc biệt của mặt phẳng (A’BD). Nên ta sẽ cố gắng quy việc tính khoảng cách từ điểm B’ đến mặt phẳng (A’BD) về một điểm nào đó trong mặt phẳng (ABCD) . Lời giải: Do B' C // A' D  B' C //( A' BD ) .. D'. A'.  d ( B' , ( A' BD ))  d (C , ( A' BD )). Gọi O là giao điểm của AC và BD  A' O  ( ABCD ) . Gọi E là hình chiếu vuông góc của C  CE  ( A' BD ) , suy ra lên BD d (C , ( A' BD ))  CE . CD.CB. CD 2  CB 2 a 3 Vậy d ( B' , ( ABD ))  CE  . 2. . C'. B'. A E. a 3 . 2. D. O B. C. 2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau  và ' . Chúng ta sẽ thực hiện các bước suy luận như sau: Năm học 2014-2015. 9.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> SKKN_khoảng cách Ths. Trần Duy Điệp - Tìm cách quy việc tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau về việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (nhờ tính chất 3, 4). - Bước tiếp theo là tiếp tục công việc của bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng như phần 1 trình bày trên. Ví dụ 8. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A, AB=a, AC=2a cạnh bên AA’=a. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B và B’C’.. Phân tích: Đây là bài toán khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng này cũng không vuông góc với nhau nên ta cần quy về bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng nhờ tính chất 3 hoặc 4. Dễ nhận thấy mp(A’BC)//C’B’ Do đó d (C ' B' , A' B)  d (C ' B' , ( A' BC )) . Mặt khác A là điểm đặc biệt của mp(A’BC) nên ta cần chọn một điểm trên C’B’ sao cho có thể quy việc tính khoảng cách từ điểm đó đến mp(A’BC) về tính khoảng cách từ điểm A đến mp(A’BC) một cách dễ dàng. Cụ thể ta có lời giải sau: Lời giải: Do B’C’//BC  BC //( A' BC ).  d B' C' , A' B  d B' C' , ( A' BC )  d B' , ( A' BC )  d  A, ( A' BC ). C'. Gọi I là hình chiếu của A lên BC, K là hình chiếu của A lên A’I, khi đó BC  AI , BC  A' A  BC  ( A' AI ) ,  BC  AK do đó AK  ( A' BC ) suy ra d ( A, ( A' BC ))  AK . Mặt khác, ta có AI . AB. AC. AB 2  AC 2 AI . AA' 2a Suy ra AK  .  3 AI 2  AA' 2 2a Vậy d ( B' C ' , A' B)  AK  . 3. . 2a. B'. A' K I B. C. 5 A. Ví dụ 9. (Đề thi đại học 2012, khối A). Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA=2HB. Góc Năm học 2014-2015. 10.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> SKKN_khoảng cách Ths. Trần Duy Điệp giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC. Phân tích: Trường hợp này ta cũng chọn một mặt phẳng (P) chứa SA và song song với BC để quy bài toán về tính khoảng cách từ mộ điểm đường thẳng BC đến (P) vì mặt phẳng (P) nay sẽ có điểm đặc biệt H. Theo giả thiết HA=2HB nên ta có thể chọn B thuộc đường thẳng BC để đễ dàng quy về điểm H. Từ đó ta có lời giải sau: Lời giải: Gọi  là đường thẳng qua A và song song với BC, ta có BC//(AS,  ).  d BC , AS   d BC , ( AS, )  d B, ( AS, ) 3 Theo giả thiết HA=2HB  BA  HA 2 3  d B,  AS ,    d H ,  AS ,   2 Gọi I là hình chiếu của H lên  , K là hình chiếu của H lên SI, khi đó   HI ,   SH nên   ( SHI )    HK , do đó HK  ( SA, ) suy ra d ( H , ( SA, ))  HK .. S. K C. A I H B. a 7 3 a 21 do SH  ( ABC)  SCH  600  SH  HC . tan 60 0  3 a 3 HI .HS a 42 HI  HA.sin( HAI )  HA.sin 600  . Suy ra HK  .  3 12 HI 2  HS ' 2. Mặt khác, HC  AC 2  AH 2  2 AC. AH . cos 60 0 . 3 2. Vậy d ( BC , SA)  AK . a 42 . 8. Ví dụ 10: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy ABCD là hình chử nhật, AB=2a, BC=a. Các cạnh bên của hình chóp bằng a 2 . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, CD và AD. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và SP. Lời giải: Gọi H là giao của AC và BD, do SA  SB  SC  SD nên H là hình chiếu của S lên (ABCD).. S. P M. K. Năm học 2014-2015. 11 A. I. D.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> SKKN_khoảng cách Gọi E là trung điểm của AB, Ta có. Ths. Trần Duy Điệp. NE // AD, EM // AS  ( MNE ) //( SAD). d  MN , AP   d  (MNE),(SAD)   d  H ,(SAD) . Gọi I là trung điểm cảu DA, K là hình chiếu của H lên SI, khi đó AD  HI , AD  SH  AD  ( SHI )  AD  HK , do đó HK  (SAD) suy ra d ( H , ( SAD))  HK . Mặt khác, SH  SA 2  AH 2  SA 2  HI . AB  a. 2. Suy ra HK . Vậy d ( MN , AP)  HK .  AB 2  BD 2  a 3 AC 2   ,  SA 2   4 4 2  . HI .HS HI  HS ' 2. 2. . a 21 . 7. a 21 . 7. Nhận xét: Ví dụ này giúp cho học sinh rèn luyện kỉ năng sử dụng tính chất 4 để quy bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau về bài toán tính khoảng từ một điểm đến một mặt phẳng. Ví dụ 11: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy ABCD là hình chử nhật, AB=a, AD = a 2 . Gọi M, N là trung điểm AB, SD. Hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của DM và AC, Biết góc giữa đường thẳng SA với đáy bằng 600. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AN. Lời giải: Gọi E là trung điểm của SC, ta có. S.  NE // AM (vì cùng song song và bằng   AN  ME 1 CD ), do đó AMEN là hình bình hành 2 suy ra AN // ME  AN //( SMC ). N K.  d  AN , SC   d  AN ,  SMC    d  A,  SMC  . A. Gọi H là giao điểm của AC và DM, ta có AC . 3 3 HC  d  A,  SMC    d  H ,  SMC   2 2. E D. M. H I. B C Gọi I là hình chiếu của H lên MC và K là hình chiếu của H lên SI, khi đó MC  HI , MC  SH nên MC  ( SHI )  MC  HK , do đó HK  (SMC ) suy ra d ( H , ( SMC ))  HK .. Năm học 2014-2015. 12.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> SKKN_khoảng cách 1 3 HI .HS 2a 178 .  2 2 89 HI  HS '. Ths. Trần Duy Điệp 1 2 S DMC 2a 2  3 MC 9 3 3a 178 d ( AN , SC )  HK  . 2 89 1 3. Mặt khác, SH  AH . tan 30 0  AC. tan 30 0  a ; HI  d ( D, MC )  . Suy ra HK . Vậy. Nhận xét: Ở trong lời giải này ta cố tình chọn mặt phẳng (SMC) vì mặt phẳng (SMC) chứa điểm S đã biết hình chiếu và sẽ lấy điểm hình chiếu này làm điểm đặc biệt. Bài tập đề xuất: 1) Cho hình chóp S.ABC, có đáy là tam giác vuông tại A, ABC  300 , SBC là tam giác đều cạnh a và mặt phẳng SBC vuông góc với đáy. Tính theo a khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB). 2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên (SAB) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD). 3) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ABC  600 . Cạnh bên SA vuông góc với đáy, cạnh bên SC tạo với mặt đáy một góc bằng 60 0 . Gọi G là trọng tâm tam giác SAB. Tính theo a khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (SCD). 4) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ABC  600 . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và góc tạo bởi đường thẳng SC với mặt đáy một góc 60 0 . Gọi I là trung điểm BC, H là hình chiếu vuông góc của A lên SI. Tính theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) . 5) Cho hình chóp S.ABC, có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB=AC=2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm AB, mặt phẳng qua SM song song với BC cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN. 6) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chử nhật với AB=2a. Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết đường thẳng AC vuông góc với đường thẳng SD. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC.. Năm học 2014-2015. 13.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> SKKN_khoảng cách. Ths. Trần Duy Điệp. III. KẾT LUẬN Bài viết đã đưa ra khái niệm điểm đặc biệt nhằm khắc sâu định hướng cho phương pháp đồng thời đưa vào một số tính chất cơ bản nhằm sử dụng để rèn luyện kỉ năng quy khoảng cách cần tìm về tính khoảng của điểm đặc biêt. Đồng thời đưa ra được một hệ thống ví dụ với sự sắp xếp thứ tự từ các kỉ năng đơn giản đến phức tạp và tương đối đầy đủ cùng với sự phân tích, nhận xét của từng trường hợp giúp cho học sinh dễ hiễu và dễ vận dụng. Đề tài đã được tác giả áp dụng dạy cho nhiều đối tượng học sinh trong quá trình dạy bồi dưỡng cho khối 11, ôn thi đại học, cao đẳng và thấy kết quả rất khả quan, học sinh rất hứng thú, tiếp thu nhanh và vận dung có hiệu quả. Đồng thời với cách định hướng của phương pháp giúp cho bản thân tôi dễ giàng hơn khi tiếp xúc cũng như định hướng cho học sinh giải các bài toán về khoảng cách. Bài viết cúng đã được sự đồng tình và ủng hộ rất cao của các giáo viên trong tổ chuyên môn khi triển khai trình bày ở tổ. Do phương pháp này sử dụng các kỉ năng và kiến thức cơ bản và đã được học từ trước nên có thể áp dụng cho cả học sinh lớp 11 và ôn thi THPT Quốc gia cũng như tất cả các đối tương học sinh từ trung bình đến học sinh giỏi. Đồng thời dự trên định hướng của phương pháp mà giáo viên có thể sáng tạo ra các bài toán khoảng cách từ dễ đến khó tùy vào mức độ phức tạp của các bước quy khoảng cách cần tìm về tính khoảng cách điểm đặc biệt.. Năm học 2014-2015. 14.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> SKKN_khoảng cách Ths. Trần Duy Điệp Mặc dù đã cố gắng, nhưng chắc chắn bài viết này sẽ không tránh khỏi những thiếu sót nhất định. Tác giả rất mong nhận được sự quan tâm, góp ý, bổ sung từ các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp, để đề tài được hoàn thiện hơn, nhằm nâng cao năng lực dạy toán cho học sinh. Xin chân thành cảm ơn!. IV. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bộ sách giáo khoa và bài tập. Hình học 11 (Ban cơ bản 2007. Nhà xuất bản Giáo dục. [2] Bộ sách giáo khoa và bài tập. Hình học 11 (Ban nâng cao) 2007. Nhà xuất bản Giáo dục. [3] Các đề tuyển sinh Đại học, Cao đẳng từ năm 2005 đến 2014.. Năm học 2014-2015. 15.

<span class='text_page_counter'>(16)</span>