Chuyen de xd bai toan tu HDT quen thuoc

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Xây dựng bài toán từ một số hằng đẳng thức quen thuộc Hạ Vũ Anh – THPT Chuyên Vĩnh Phúc Đối với học sinh phổ thông, kỹ năng làm toán thường thể hiện ở khả năng lựa chọn một phương pháp giải thích hợp cho mỗi bài toán cụ thể. Việc lựa chọn được một cách giải hợp lý , ngắn gọn và rõ ràng, trong sáng, không chỉ dựa vào việc nắm vững kiến thức đã học, mà cần phải hiểu sâu sắc mối liên hệ chặt chẽ giữa các phân môn khác nhau của toán học trong chương trình học, biết áp dụng nó vào việc tìm tòi lời giải cho mỗi bài toán đặt ra. Trong việc học toán và làm toán, việc áp dụng phương pháp cũng như công cụ của lĩnh vực này, của phân môn này, để giải quyết vấn đề cho lĩnh vực khác hay phân môn khác đôi khi khá hiệu quả. Hơn nữa, việc làm này giúp cho người học hiểu rõ được vai trò và ý nghĩa của mỗi phân môn một cách sâu sắc và cụ thể. Trong bài viết này, chúng tôi xin được bàn đến một vấn đề xưa như trái đất: Hằng đẳng thức, và việc vận dụng chúng vào giải toán như thế nào? Trước hết, xin bắt đầu từ một số bài toán cơ bản Bài toán 1. Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện abc 1 . Xét các số thực x, y , z xác 1 1 1 x a  , y b  và z c  a b c định như sau 2 2 2 Chứng minh rằng x  y  z  xyz 4. (1) (2). Lời giải. Ta có 1  1 1  1  1  1  xyz  a    b    c    a 2  2    b 2  2    c 2  2   2 a  b c  a   b   c    x 2  2    y 2  2    z 2  2   2. Suy ra điều phải chứng minh. Vấn đề đặt ra, với bất kỳ ba số thực x, y , z thỏa mãn (2), có hay không các số thực a, b, c : abc 1 thỏa mãn (1)? x  y 1  z thỏa mãn (2), nhưng không có Câu trả lời ở đây là không, chẳng hạn a, b, c nào thỏa mãn (1). Và vì vậy, cần thêm điều kiện đối với x, y , z x, y, z   : max  x , y , z   2 Bài toán 1’. Cho thỏa mãn (2). Chứng minh rằng tồn tại các số thực a, b, c : abc 1 thỏa mãn (1). Lời giải. 1 x u  * x 2 u . Viết lại Không mất tính tổng quát, coi . Khi đó, tồn tại u   sao cho 2 2 2 (2) về dạng z  xy z  x  y  4 0 . Coi đây là phương trình bậc hai của biến z. Vì.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> phương trình luôn có nghiệm nên 1 y v  * v   sao cho v.   x 2  4   y 2  4  0. suy ra. y 2. . Do đó, tồn tại. u v 1 z  z   uv v u hoặc uv Và khi đó, phương trình có nghiệm hoặc 1 v u v  a; b; c   u; ;  z   v u  , nếu v u , thì chọn Vậy, nếu 1  a; b; c   u; v;  uv  . Bài toán được giải quyết. . z. 1  uv uv. thì chọn. Bài toán 2. Cho x, y , z  0 thỏa mãn xyz  x  y  z  2 . Chứng minh rằng tồn tại các số bc ca a b x ,y  ,z  a b c thực dương a, b, c sao cho 1 1 1   1 xyz  x  y  z  2 1  x 1  y 1  z Lời giải. Viết lại điều kiện về dạng 1 1 1 a ,b  ,c  1 x 1 y 1  z , ta thấy a, b, c  0 và a  b  c 1 . Đặt 1 a b  c x  a a Hơn nữa, từ cách xác định a suy ra c a a b y ,z  b c (ĐPCM) Tương tự, cũng có. Bài toán 2’. Cho x, y, z  0 thỏa mãn xy  yz  zx  2 xyz 1 . Chứng minh rằng tồn tại a b c x ,y ,z  bc ca a b các số thực dương a, b, c sao cho 2 2 2 Bài toán 3. Cho x, y, z  0 : x  y  z  2 xyz 1. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác nhọn. (3) ABC sao cho x cos A, y cos B, z cos C. x , y , z 1. . Từ đó, để ý rằng hàm số y cos x là hàm số chẵn, suy ra tồn tại các góc nhọn A, B, C sao cho x cos A, y cos B, z cos C . Khi đó (3) trở thành 1  cos 2 B 1  cos 2C cos2 A    2cos A cos B cos C 1 2 2  cos2 A   cos( B  C )  cos( B  C )  cos A  cos( B  C )cos( B  C ) 0 Lời giải. Từ giả thiết suy ra.   cos A  cos( B  C )   cos A  cos( B  C )  0.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Từ đó, do A, B, c nhọn, nên thu được cos A  cos( B  C ) và do đó A  B  C  . Bài toán được giải quyết. Từ bài toán này, ta thu được kết quả “Các số thực x, y , z  0 thỏa mãn (3) khi và chỉ khi tồn tại tam giác nhọn ABC sao cho x cos A, y cos B, z cos C ” Và sau đây chúng ta sẽ xem xét đến ứng dụng của kết quả các bài toán này như thế nào? Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xy  yz  zx  xyz 4 . Chứng minh Bài toán 4. rằng x  y  z  xy  yz  zx Lời giải. Để ý rằng 2. 2. 2.  xy   yz   zx  xy yz zx xy  yz  zx  xyz 4     1      2 2 2 2 2 2 2      . xy 2cos A, yz 2 cos B, zx 2cos C . suy ra tồn tại tam giác nhọn ABC sao cho  2cos B cos C 2 cos C cos A 2cos A cos B  ( x; y; z )  ; ;  cos A cos B cos C   Giải hệ, thu được Và bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 2cos B cos C 2 cos C cos A 2cos A cos B 2  cos2 A  cos 2 B  cos2 C     cos A cos B cos C Từ đó, do bất đẳng thức điều phải chứng minh.. 2  mn cos A  np cos B  pm cos C  m 2  n 2  p 2 m, n, p. suy ra. Bài toán 5. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  1 4abc . Chứng minh 1 1 1 1 1 1   3    ab bc ca rằng a b c Lời giải. 1 1 1  x,  y , z b c Đặt a , ta được x y y z z x x y z       2    1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2m 2n 2p x ,y ,z  n p p m mn Khi đó, tồn tại các số dương m, n, p sao cho xy  yz  zx  xyz 4 .  m n p  x  y  z 2     3 n  p p  m m  n   Suy ra (Do bất đẳng thức Nesbit) Mặt khác, điều kiện của bài toán có thể được viết lại dưới dạng 2. 2. 2.  xy   yz   zx   xy   yz   zx           2  1 2 2 2 2 2 2          .

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Theo kết quả của bài toán 3, thì tồn tại tam giác nhọn xy 2cos A, yz 2cos B, zx 2cos C . Khi đó. ABC. sao cho. xy  yz  zx 2  cos A  cos B  cos C  3.  x; y; z  thỏa mãn Bài toán 6. Cho a, b, c  0 . Tìm tất cả các bộ ba số thực dương x  y  z a  b  c   2 2 2 a x  b y  c z  abc 4 xyz Lời giải. Giả sử hệ có nghiệm. Phương trình thứ hai của hệ được viết lại thành 2. 2.  a   b 2  c  a b c   1     2   2 yz 2 zx 2 xy 2 yz 2 zx 2 xy       Do đó, tồn tại tam giác ABC nhọn sao cho. a 2cos A yz , b 2cos B zx ,. c 2 cos C xy và Khi đó, phương trình thứ nhất trở thành.  x. 2. 2. . z cos B  y cos C. Coi đây là phương trình bậc hai ẩn   4. . y sin C . z sin B. . 2. . (*). x  y  z  2cos A yz 0 x . Phương trình này có biệt thức. 0. . Nhưng do phương trình luôn có nghiệm, nên  0 . y x z   Từ đó, đạt được sin A sin B sin C . Từ đó và (*), thu được bc ca a b x ,y  ,z  2 2 2 Trên đây, chúng tôi đã trình bày một số hằng đẳng thức đặc biệt và vài ứng dụng của nó. Tuy nhiên, do khuôn khổ của bài báo, chắc hẳn chúng ta vẫn chưa thể thấy hết cái hay của nó được. Sau đây là một số câu hỏi và bài tập tương tự, để các thầy, cô đồng nghiệp và các em học sinh tham khảo. Câu hỏi 1. Tam giác nhọn tìm được ở bài toán 3 có duy nhất không? Chứng minh. 2 2 2 Câu hỏi 2. Từ hằng đẳng thức cos A  cos B  cos C  2cos A cos B cos C 1 ABC chúng ta xây dựng được bài toán 3, vậy với các hằng đẳng thức khác trong tam giác thì sao?.  x 2  y 2  z 2 4  xyz  xy  yz  zx 2( x  y  z ) Bài tập 1. Tìm tất cả các bộ ba số dương x, y , z thỏa mãn   Bài tập 2. Ký hiệu  là tập hợp các số thực dương. Tìm tất cả các bộ  x 2  y 2  z 2  xyz 4  x; y; z      thỏa mãn  x  y  z 3.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Bài tập 3. Cho x, y , z  0 thỏa mãn xy  yz  zx  xyz 4 . Chứng minh rằng 2.  1 1 1  3     x  2   y  2   z  2  y z  x a 2  b 2  c 2  4 abc a , b , c  0 Bài tập 4. Cho thỏa mãn . Chứng minh rằng.  a  2   b  2    b  2   c  2    c  2   a  2  0 Bài tập 5. Cho x, y , z  0 thỏa mãn xy  yz  zx  2 xyz 1 . Chứng minh rằng 1 1 1   4  x  y  z  x y x Bài tập 6. Chứng minh rằng, với mọi tam giác nhọn ABC đều có 1 cos2 A cos2 B  cos2 B cos2 C  cos2 C cos2 A   cos2 A  cos2 B  cos2 C  4.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>