Tiêu luận Dao động của ô tô

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ TP HỒ CHÍ MINH
VIỆN KỸ THUẬT
--------\\//--------

BÀI TIỂU LUẬN
MƠN HỌC: ĐỘNG LỰC HỌC Ô TÔ
CHUYÊN ĐỀ: DAO ĐỘNG CỦA Ô TÔ

Giáo viên hướng dẫn : ThS. Nguyễn Văn Bản
Sinh viên thực hiện

MSSV

LƯU NHẬT QUANG

1811250570

HỒ HOÀNG REM

1811250596

LÊ MINH SANG

1811250599

TRẦN QUANG SƠN

1811250937

ĐINH XUÂN TÂN

1811250641

TP. Hồ Chí Minh, tháng 8 năm 2021

1


LỜI CẢM ƠN

--Em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sự tri ân sâu sắc đối với các thầy cô của trường
Đại học Công nghệ HUTECH, và em cũng xin chân thành cám ơn thầy Nguyễn Văn
Bản đã đưa ra chuyên đề để nhóm em có thể nghiên cứu và học hỏi được nhiều điều.
Trong quá trình học tập, cũng như là trong quá trình làm bài tiểu luận này, khó tránh
khỏi sai sót, rất mong cơ bỏ qua. Đồng thời do trình độ lý luận cũng như kinh nghiệm
thực tiễn cịn hạn chế nên bài tiểu luận khơng thể tránh khỏi những thiếu sót, em rất
mong nhận được ý kiến đóng góp cơ để em học thêm được nhiều kinh nghiệm và sẽ
hoàn thành tốt hơn bài tiểu luận sấp tới cũng như sau này.

2


MỤC LỤC
GIỚI THIỆU VỀ DAO ĐỘNG ................................................................................ 4
7.1. PHẦN TỬ DAO ĐỘNG ..................................................................................... 4
7.2. PHƯƠNG PHÁP NEWTON ............................................................................. 8
7.3. TẦN SỐ DAO ĐỘNG ...................................................................................... 10
7.3.1. KÍCH THÍCH CƯỠNG BỨC. ..................................................................... 14
7.3.2. KÍCH THÍCH CƠ SỞ. .................................................................................. 17
7.3.3. KÍCH THÍCH LỆCH TÂM. ........................................................................ 18

7.4. THỜI GIAN TIẾP ỨNG CỦA HỆ DAO ĐỘNG .......................................... 20
7.5. PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE .................................................................... 23
7.6. MƠ HÌNH 1⁄4 XE VÀ MƠ HÌNH 1⁄2 XE ....................................................... 27

3


CHUYÊN ĐỀ: DAO ĐỘNG CỦA Ô TÔ
Giới thiệu về dao động
Dao động là một hiện tượng có thể tránh được trong động lực học của xe. Chúng ta xem xét các
nguyên tắc dao động, phương pháp phân tích và ứng dụng của chúng, cùng với đáp ứng tần số và
thời gian của các hệ thống. Đặc biệt chú ý đến phân tích đáp ứng tần số, bởi vì hầu hết các phương
pháp tối ưu hóa cho hệ thống treo của xe và các bộ phận dao động trên xe đều dựa trên đáp ứng
tần số
-Khái quát được các phần tử dao động, phân biệt khối lượng được treo, khối lượng khơng được
treo
Phân tích được các lực tác dụng và viết các phương trình của hệ dao động.
-Xác định tần số dao động của hệ dao động.
-Xác định được các kích thích lên hệ dao động và viết phương trình dao động cho mỗi kích thích.
-Phân tích được các lực trên mụ hỡnh dao ng ẳ v ẵ xe.
7.1. PHN T DAO ĐỘNG
- Dao động cơ học là kết quả của sự biến đổi liên tục động năng K thành thế năng V và ngược lại.
Khi thế năng ở mức tối đa, động năng bằng 0 và khi động năng ở mức tối đa ,thế năng bằng 0.

Hình 7.1.Khối lượng, lị xo, giảm chấn

4


Khối lượng chính phần tử đã dao động và lưu trữ thế năng và lị xo chính là phần tử dao động đã

lưu trữ động năng . Nếu tổng giá trị của năng lượng cơ học E = K + V giảm trong q trình dao
động thì lúc đó sẽ xuất hiện một bộ phận giảm chấn để tiêu tán bớt một phần năng lượng
Lượng động năng được lưu trữ trong một khối lượng m tỷ lệ với bình phương vận tốc của nó,ν
1

K = 𝑚𝑣 2

(7.1)

2

Lực cần thiết để di chuyển một khối lượng tỷ lệ thuận với gia tốc của nó
𝑓𝑚 = 𝑚𝑎

(7.2)

Một lị xo được đặc trưng bởi độ cứng 𝑘
fk =-kz=-k( x- y)

(7.3)

Nếu 𝑘 không đổi thì giá trị của năng lượng thế năng được lưu trữ trong lò xo bằng:
𝑉 = − ∫ 𝑓𝑘𝑑𝑧 = − ∫ −𝑘𝑧𝑑𝑧

(7.4)

Thế năng của lò xo là một hàm thay đổi , nếu độ cứng của lị xo khơng phải là một hàm thay đổi,
ta gọi đó là lị xo tuyến tính. Do đó thế năng của nó là:
1

𝑉 = 𝑘𝑧 2

( 7.5)

2

Giá trị của phần tử giảm chấn được đo bằng lượng năng lượng mất đi trong một chu kỳ:
𝑓𝑒 = −𝑐𝑧̇ = −𝑐(𝑥̇ − 𝑦̇ )

(7.6)

Một dao động x được đặt trưng bởi chu kỳ T với thời gian để hoàn thành 1 chu kỳ dao động bắt
đầu và kết thúc tại ν =0,a < 0 . tần số f là số lần dao động trong 1 chu kỳ T:
f=

1

(7.7)

𝑇

Mối quan hệ giữa tần số góc và tần số dài: ω = 2πƒ

5

(7.8)


Hình 7.2 Hệ 3 lị xo mắc nối tiếp
Chuyển vị của hệ lị xo mắc nối tiếp được tính như sau:

x = ∑ xi
x = x1 + x2 + x3

(7.9)

Chúng ta có thể thay thế hệ lị xo nối tiếp chỉ bằng một lị xo tương đương, có độ cứng 𝑘𝑒𝑞, tạo ra
cùng một độ dịch chuyển 𝑥 dưới cùng một lực 𝑓𝑘.
𝑓𝑘 = −𝑘1 𝑥1 = −𝑘2 𝑥2 = −𝑘3 𝑥3 = −𝑘𝑒𝑞 𝑥𝑥 (7.10)
Giả sử rằng vận tốc 𝑥̇ khơng ảnh hưởng đến lực của lị xo tuyến tính.
Bộ giảm chấn nối tiếp có cùng lực tác dụng 𝑓𝑐 và vận tốc kết quả 𝑥̇ bằng tổng vận tốc riêng,

𝑥̇

= ∑ 𝑥̇𝑖. Chúng ta có thể thay thế một bộ giảm chấn nối tiếp chỉ bằng một giảm chấn tương đương
𝑐𝑒𝑞 tạo ra cùng vận tốc 𝑥̇ dưới cùng một lực ƒc
𝑥̇ = 𝑥̇ 1 + 𝑥̇ 2 + 𝑥̇ 3
𝑓𝑐 = −𝑐2 𝑥̇ = −𝑐3 𝑥̇ = −𝑐𝑒𝑞 𝑥̇
1
𝐶𝑒𝑞

=

1
𝑐1

+

1
𝑐2

6

+

1
𝑐3

(7.11)


Hình 7.3.Hệ 3 lị xo mắc song song

Lị xo song song có cùng độ dịch chuyển 𝑥, với một lực tổng hợp 𝑓𝑘, bằng tổng các lực riêng ∑
𝑥𝑖. Hình 7.3 minh họa ba lò xo được mắc song song.
Vị trí cân bằng của lị xo là vị trí khơng tác động lực kéo như trong hình 7.3(a). Áp dụng chuyển
vị 𝑥 cho tất cả các lị xo trong hình 7.3(b) tạo ra sơ đồ lực như trong hình 7.3(c). Mỗi lò xo tạo ra
một lực −𝑘𝑥 ngược với hướng dịch chuyển. Kết quả là lực của lò xo là:
𝑓𝑘 = −𝑘1 𝑥1 − 𝑘2 𝑥2 − 𝑘3 𝑥3 = −𝑘𝑒𝑞 𝑥𝑥

(7.12)

Suy ra ta có cơng thức khác khi ta thay thế 1 lị xo khác có độ cứng keq:
𝑓𝑘 = −𝑘𝑒𝑞𝑥

(7.13)

Do đó, độ cứng tương đương của lị xo song song là tổng độ cứng của các lò xo thành phần.
𝑘𝑒𝑞 = 𝑘1 + 𝑘2 + 𝑘3

(7.14)

Hệ giảm chấn song song có cùng tốc độ 𝑥̇ và một lực 𝑓𝑐 bằng tổng các lực thành phần. Chúng ta
có thể thay thế hệ giảm chấn song song chỉ bằng một giảm chấn tương đương 𝑐𝑒𝑞 tạo ra cùng một
lực 𝑓𝑐 dưới cùng một vận tốc. Xem xét hệ giảm chấn song song như được hiển thị trong hình 7.4.
Cân bằng lực và hệ số giảm chấn tương đương của là:
7


𝑓𝑐 = −𝑐1 𝑥̇ − 𝑐2 𝑥̇ − 𝑐3 𝑥̇ = −𝑐𝑒𝑞 𝑥̇
𝑐𝑒𝑞 = 𝑐1 + 𝑐2 + 𝑐3

(7.15)

Hình 7.4. Mơ hình giảm chấn mắc song song
7.2. PHƯƠNG PHÁP NEWTON
Một hệ dao động được mô tả gồm phần tử được treo mi , bộ phận đàn hồi ki và bộ phận giảm chấn
ci . Một mơ hình như vậy được gọi là một mơ hình dao động 1 bật tự do, được thể hiện trong hình
7.5 với phương trình chuyển động sau:

8


Hình 7.5. Hệ dao động
ma = −cv − kx + f(x, v, t)

(7.15)

Để áp dụng phương pháp Newton, và tìm các phương trình chuyển động, chúng ta giả sử tất cả
các khối lượng mi nằm ngoài trạng thái cân bằng tại các vị trí 𝑥𝑖 với vận tốc vi
Vị trí cân bằng của hệ dao động là vị trí có mà thế năng của hệ thống V là cực trị.

𝜕𝑉
𝜕𝑥

=0

(7.16)

Chúng ta thường đặt V = 0 ở vị trí cân bằng. Độ cứng không đổi. Trạng thái cân bằng ổn định
nếu:
𝜕2 𝑉
𝜕𝑥 2

>0

(7.17)

Và không ổn định nếu:
𝜕2 𝑉
𝜕𝑥 2

<0

(7.18)

Sự sắp xếp và số lượng các yếu tố được sử dụng có thể được sử dụng để phân loại các hệ thống
dao động. Số lượng khối lượng nhân với DOF của mỗi khối lượng, tạo ra tổng DOF của hệ thống
dao động n. Tập hợp phương trình cuối cùng sẽ là n phương trình vi phân bậc hai được giải cho
9

n tọa độ tổng quát. Khi mỗi khối có một DOF, thì hệ thống DOF bằng với số lượng khối. DOF
cũng có thể được định nghĩa là số lượng tọa độ độc lập tối thiểu xác định cấu trúc của một hệ
thống.
Một mơ hình một, hai và ba DOF để phân tích các dao động dọc của một chiếc xe được thể hiện
trong Hình 7.5(a)-(c). Hệ thống trong hình 7.5(a) được gọi là mơ hình ¼ xe, mà 𝑚𝑠 đại diện cho
một phần tư khối lượng của thân xe và 𝑚𝑢 đại diện cho một bánh xe. Các thông số 𝑘𝑢 và 𝑐𝑢 là mơ
hình cho độ cứng và giảm chấn của lốp. Tương tự, và là mơ hình cho hệ thống treo chính của
xe. Hình 7.4(c) được gọi là mơ hình xe ơ tơ 1/8 khơng hiển thị bánh xe của xe và hình 7.5(b) là
1/4 chiếc xe bao gồm ghế tài xế với khối lượng và ghế lái có độ cứng và giảm chấn 𝑐𝑑 .
Phương trình Newton:
𝐺𝐹 =

𝐺𝑑
𝑑𝑡

𝐺𝑝 =

𝐺𝑑
𝑑𝑡

(𝑚𝐺𝑉 )

(7.19)

Từ phương trình Newton để tìm ra các phương trình chuyển động của hệ dao động.
Hình 7.5 (c) và mơ tả mơ hình đơn giản nhất cho các dao động dọc của một chiếc xe. Mơ hình
này đơi khi được gọi là mơ hình 1/8. Khối lượng 𝑚𝑠 là khối lượng một phần tư thân xe, được gắn
trên hệ thống treo làm bằng lị xo có độ cứng 𝑘𝑠 và bộ giảm chấn có hệ số giảm chấn 𝑐𝑠.
Áp dụng phương pháp Newton, phương trình chuyển động sẽ là:
𝑚𝑠 𝑥̈ = −𝐾𝑠 (𝑥𝑠 − 𝑦) − 𝐶𝑠 (𝑥̇ 𝑠 − 𝑦̇ )

𝑚𝑠 𝑥̈ + 𝐶𝑠 𝑥̇ 𝑠 + 𝑘𝑠 𝑥𝑠 = 𝑘𝑠 𝑦 + 𝐶𝑠 − 𝑦̇

(7.20)

Phương trình chuyển động của một hệ dao động là sự cân bằng giữa bốn lực khác nhau. Một lực
tỷ lệ với chuyển vị −𝑘𝑥, một lực tỷ lệ với vận tốc −𝑐𝑣, một lực tỷ lệ với gia tốc 𝑚𝑎 và một lực bên
ngồi tác dụng 𝑓(𝑥, 𝑣, 𝑡), có thể là một hàm của chuyển vị, vận tốc, và thời gian. Dựa trên phương
pháp Newton, lực tỷ lệ thuận với gia tốc, 𝑚𝑎,
luôn bằng tổng của tất cả các lực khác.
𝑚𝑎 = −𝑐𝑣 − 𝑘𝑥 + 𝑓 (𝑥, 𝑣, 𝑡)

(7.21)

7.3. TẦN SỐ DAO ĐỘNG
- Con người ngay từ nhỏ đã quen với nhịp điệu của bước đi. Ở mỗi người do thói quen và
vóc dáng thì việc thực hiện bước đi có khác nhau: có người có bước đi dài nhưng chậm, có
người có bước đi vừa phải, khoan thai. Vì vậy trong một đơn vị thời gian số bước chân của
10


mỗi người có sự khác nhau, trung bình cứ một phút con người thực hiện được 6085 bước
đi. Người ta quan niệm rằng khi thực hiện một bước đi là con người thực hiện một dao
động, như vậy có thể nói rằng con người có thói quen với tần số dao động 60 85 lần/phút.
Ơ tơ có chuyển động êm dịu là khi xe chạy trên mọi địa hình thì dao động phát sinh có tần
số nằm trong khoảng 60 85 lần/phút. Trong thực tế khi tiến hành thiết kế hệ thống treo
người ta thường lấy giá trị tần số dao động thích hợp là 60

85 lần/phút đối với xe du lịch

và 85 120 dao động/phút đối với xe tải.

- Để xác định được quy luật dao động của ôtô, ta xét sơ đồ dao động ở hình 7.6 với các giả
thiết đơn giản như sau:
- Chưa để ý tới lực kích động do độ mấp mơ của mặt đường gây ra khi xe chuyển động.
- Không xét tới khối lượng khơng được treo.
- Chưa tính tới lực cản của bộ phận cản.
- Với những giả thiết đơn giản trên, dao động của ô tô được xem như là dao động của thanh
AB đặt trên hai gối tựa đàn hồi tương ứng với tâm cầu trước và cầu sau. Hệ số độ cứng
của hệ thống treo và lốp được thu gọn và ký hiệu là 𝐶1 và 𝐶2.
-Khối lượng được treo M được tập trung tại trọng tâm T cách cầu trước và cầu sau các
khoảng cách tương ứng là 𝑎 và 𝑏. Khi có lực kích thích, đoạn AB chuyển động tới vị trí
mới là 𝐴1𝐵1, gồm hai chuyển động thành phần:
- Chuyển động tịnh tiến từ AB đến A’B’ với một đoạn dịch chuyển Z dưới tác động của lực
qn tính Mz .
- Chuyển động quay một góc 𝜑 quanh trục Y đi qua trọng tâm T làm thanh AB chuyển từ
A’B’ đến 𝐴1𝐵1

11


Hình 7.6. Sơ đồ dao động đơn giản của xe theo phương thẳng đứng (khơng có lực
cản)
- Tần số dao động riêng của các phần khối lượng được treo phân ra cầu trước, cầu sau
được tính theo biểu thức:
𝜔12

𝐶1 𝐿2
=
𝑀(𝜌2 + 𝑎2 )

𝜔22

𝐶2 𝐿2
=
𝑀(𝜌2 + 𝑎2 )

Trong đó:
𝜔1- Tần số dao động đặc trưng cho dao động của khối lượng được treo tại điểm A khi
điểm B cố định.
𝜔2 - Tần số dao động đặc trưng cho dao động của khối lượng được treo tại điểm B khi
điểm A cố định.
Bán kính quán tính y được tính theo biểu thức: 2 =𝑎𝑏ɛ
Ở đây: ɛ - Hệ số phân bố khối lượng
Ở các ôtô hiện nay ɛ= 0,8 1,2. Hệ số ɛ ảnh hưởng lớn đến dao động của ôtô. Khi ɛ= 1
thì dao động ở các cầu xe độc lập với nhau.
Đáp ứng tần số là giải pháp trạng thái ổn định của phương trình chuyển động, khi hệ
dao động được kích thích điều hịa. Đáp ứng trạng thái ổn định đề cập đến một dao động
12


biên độ không đổi, sau khi hiệu ứng của các điều kiện ban đầu mất đi. Một kích thích điều
hịa là bất kỳ sự kết hợp của các phương trình hình sin áp dụng trên một hệ dao động. Nếu
hệ dao động là tuyến tính, thì kích thích điều hịa sẽ tạo ra đáp ứng sóng điều hịa với biên
độ phụ thuộc tần số. Trong phân tích đáp ứng tần số, chúng ta đang tìm biên độ dao động
ở trạng thái ổn định như là một hàm của tần số kích thích.
Một lượng lớn hệ dao động trong động lực học xe có thể được mơ hình hóa bằng hệ
thống một DOF. Hãy xem xét một hệ dao động giảm xóc lị xo khối lượng một DOF.
Có bốn loại kích thích điều hịa cho hệ thống một DOF như hình 7.7.
1− kích thích cơ sở (7.7a)
2− kích thích lệch tâm (7.7b)
3− kích thích cơ sở lệch tâm (7.7c)

4− kích thích cưỡng bức (7.7d)
Kích thích cơ sở là mơ hình thực tế nhất cho rung động dọc của xe. Kích thích lệch tâm
là một mơ hình cho mọi loại động cơ quay trên hệ thống treo, chẳng hạn như động cơ trên
giá treo động cơ. Kích thích cơ sở lệch tâm là một mơ hình dao động của bất kỳ thiết bị
nào được gắn trên động cơ hoặc xe. Kích thích cưỡng bức, hầu như khơng có ứng dụng
thực tế, tuy nhiên, nó là mơ hình đơn giản nhất cho các đao động cưỡng bức.

13


Hình 7.7. Bốn loại của các hệ thống kích thích điều hịa một DOF
7.3.1. Kích thích cưỡng bức.
Hình 7.8 minh họa một khối lượng 𝑚 dao động một DOF được hỗ trợ bởi lò xo 𝑘 và bộ
giảm chấn 𝑐. Chuyển động tuyệt đối của 𝑚 đối với vị trí cân bằng của nó được đo bằng tọa
độ 𝑥. Một lực kích thích hình sin: 𝑓 = 𝐹𝑠(𝜔𝑡) tác dụng lên 𝑚 và làm cho hệ thống dao động.

14


Hình 7.8 Mơ hình một DOF với kích thích điều hịa
Phương trình chuyển động của hệ là:
𝑚𝑥̈ + 𝑐𝑥̇ + 𝑘𝑥 = 𝐹𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡) Tạo ra

(7.31)

đáp ứng tần số bằng một trong hai phương trình sau:
𝑥 = 𝐴1𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 + 𝐵1𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 = 𝑋 sin (𝜔𝑡 − 𝜑𝑥)

(7.32)

Đáp ứng trạng thái ổn định có biên độ X:
𝑋
𝐹/𝐾

=

1

(7.33)

√(1−𝑟 2 )2 +(2ξr)2

Trong đó tỷ số tần số 𝑟, tần số góc 𝜔𝑛 và tỷ lệ giảm chấn 𝜉.
𝜑𝑥 = 𝑡𝑎𝑛 −
𝑟=
ξ=

2ξr
1−𝑟 2 1

𝜔

(7.35)

𝜔𝑛
𝐶

2√𝑘𝑚

𝜔𝑛 = √

(7.34)

(7.36)

𝑘

(7.37)

𝑚

15


Pha 𝜑𝑥 biểu thị độ trễ góc của đáp ứng 𝑥 đối với kích thích 𝑓. Do tầm quan trọng của
hàm X = X(𝜔), nên người ta thường gọi hàm này là đáp ứng tần số của hệ thống. Hơn nữa,
có thể sử dụng đáp ứng tần số cho mọi đặc tính của hệ thống là hàm của tần số kích thích,
chẳng hạn như đáp ứng tần số vận tốc 𝑋̇ = 𝑋̇𝜔 và đáp ứng tần số lực truyền 𝑓𝑇 = (𝜔).
Đáp ứng tần số vận tốc và gia tốc Khi
tính tốn đáp ứng tần số vị trí:
𝑥 = 𝐴1𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 + 𝐵1𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 = 𝑋 sin (𝜔𝑡 − 𝜑𝑥)

(7.38)

chúng ta có thể tính tốn các đáp ứng tần số vận tốc và gia tốc bằng đạo hàm.
𝑥̇ = 𝐴1𝜔𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 − 𝐵1𝜔𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡

(7.39)

= 𝑋𝜔 cos(𝜔𝑡 − 𝜑𝑥)

= 𝑋̇𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 − 𝜑𝑥)
𝑥̈ = −𝐴1 𝜔2 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 − 𝐵1 𝜔2 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡

(7.40)

=−𝑋𝜔2 sin(𝜔𝑡 − 𝜑𝑥 )
= 𝑋̈sin(𝜔𝑡 − 𝜑𝑥 )

Biên độ của đáp ứng tần số vận tốc và gia tốc được thể hiện bởi 𝑋̇ 𝑣à 𝑋̈
𝑥̇ =
𝑋̈ =

𝜔

(7.41)

√(𝑘−𝑚𝑣 2 )2 +𝑐 2 𝜔2
𝜔2
√(𝑘−𝑚𝜈 2 )2 +𝐶 2 𝜔2

𝐹

(7.42)

Chúng ta có thể viết lại như sau:

(7.43)

(7.44)

16


7.3.2. Kích thích cơ sở.
Hình 7.9 minh họa một hệ thống dao động một DOF với kích thích cơ sở với khối lượng
𝑚 được đỡ bởi lò xo 𝑘 và bộ giảm chấn 𝑐. Hệ thống kích thích cơ sở là một mơ hình điển
hình cho hệ thống treo xe hoặc bất kỳ thiết bị nào được gắn trên đế dao động. Chuyển động
tuyệt đối của 𝑚 đối với vị trí cân bằng của nó được đo bằng tọa độ 𝑥. Một chuyển động
kích thích hình sin: 𝑦 = 𝑌𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 tác dụng và làm cho hệ dao động.

Hình 7.9. Hệ thống dao động một DOF với kích thích cơ sở
Phương trình chuyển động của hệ có thể được biểu thị bằng một trong các phương trình
sau cho chuyển vị tuyệt đối 𝑥
𝑚𝑥̈ + 𝑐𝑥̇ + 𝑘𝑥 = 𝑐𝑌𝜔𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 + 𝑘𝑌𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡

(7.45)
(7.46)

Hoặc một trong các phương trình sau cho chuyển vị tương đối z:
𝑚𝑧̈ + 𝑐𝑧̇ + 𝑘𝑧 = 𝑚𝜔2𝑌𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡

(7.47)
(7.48)

𝑍=𝑥−𝑦
Các phương trình của chuyển động tạo ra các đáp ứng tần số tuyệt đối và tương đối sau
đây.
𝑥 = 𝐴2𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 + 𝐵2𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 = 𝑋 sin (𝜔𝑡 − 𝜑𝑥)

17

(7.49)


𝑧 = 𝐴3𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 + 𝐵3𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 = 𝑍 sin (𝜔𝑡 − 𝜑𝑧)

(7.50)

Đáp ứng tần số của 𝑥 có biên độ X và đáp ứng tần số của 𝑧 có biên độ Z

(7.51)

(7.52)
Với:
(7.53)

(7.54)
Pha 𝜑𝑥 biểu thị độ trễ góc của đáp ứng 𝑥 đối với kích thích 𝑦. Các đáp ứng tần số cho
X, Z và 𝜑𝑥 là hàm của 𝑟.
7.3.3. Kích thích lệch tâm.
Hình 7.10 minh họa một hệ thống dao động kích thích lệch tâm một DOF với khối lượng
𝑚 được hỗ trợ bởi hệ thống treo làm bằng lò xo 𝑘 và bộ giảm chấn 𝑐. Có một khối lượng
không cân bằng 𝑚𝑒 ở khoảng cách e đang quay với vận tốc góc 𝜔. Một hệ thống dao động
kích thích lệch tâm là một mơ hình tốt để phân tích dao động của động cơ của xe, hoặc bất
kỳ động cơ quay nào được gắn trên đế cố định với hệ thống treo linh hoạt.

18


Hình 7.10. Một hệ thống một DOF kích thích lệch tâm

Chuyển động tuyệt đối của 𝑚 đối với vị trí cân bằng của nó được đo bằng tọa độ 𝑥.
Một lực kích thích điều hịa:
𝑓𝑥 = 𝑚𝑒𝑒𝜔2𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡

(7.55)

tác dụng trên 𝑚 và làm cho hệ thống dao động. Khoảng cách 𝑒 được gọi là độ lệch tâm và
𝑚𝑒 được gọi là khối lượng lệch tâm.
Phương trình chuyển động của hệ thống có thể được biểu thị bằng:

𝑚𝑥̈ + 𝑐𝑥̇ + 𝑘𝑥 = 𝑚𝑒𝑒𝜔2𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡

(7.56)

Hoặc:
(7.57)
(7.58)

Các dịch chuyển tuyệt đối của hệ thống là:
𝑥 = 𝐴4𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 + 𝐵4𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 = 𝑋 sin (𝜔𝑡 − 𝜑𝑒)

(7.59)

Với biên độ X và pha 𝜑𝑒:

(7.60)
19


2𝜉𝑟

(7.61)

Pha 𝜑𝑒 biểu thị độ trễ góc của đáp ứng 𝑥 đối với kích thích 𝑚𝑒𝑒𝜔2𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡.
7.4. THỜI GIAN TIẾP ỨNG CỦA HỆ DAO ĐỘNG
Các hệ dao động tuyến tính có một phương trình chuyển động chung là tập hợp các phương
trình vi phân:
[m]𝑋̈+ [c]𝑋̇ + [k]X = F

(7.62)

với các điều kiện ban đầu sau đây:
X(0) = X0

(7.63)

Ẋ(0) = Ẋ 0
Thời gian tiếp ứng của hệ thống là lời giải 𝑥 = (t), t> 0 cho một tập hợp các phương trình
vi phân thơng thường được ghép nối.
Hãy xem xét một hệ dao động một DOF:
𝑚𝑥̈ + 𝑐𝑥̇ + 𝑘𝑥 = 𝑓(𝑥, 𝑥̇, 𝑡)

(7.64)

Với điều kiện ban đầu:
𝑥(0) = 𝑥0

(7.65)

𝑥̇(0) = 𝑥̇0

Các hệ số 𝑚, 𝑐, 𝑘 được giả sử là hằng số, mặc dù, chúng có thể là các hàm của thời gian
trong các vấn đề tổng quát hơn. Lời giải cho vấn đề như vậy, 𝑥 = 𝑥 (t), t> 0, là duy nhất.
Bậc của một phương trình là bậc đạo hàm cao nhất của phương trình đó. Trong các dao
động cơ học của các mơ hình gộp, sẽ làm việc với một bộ các phương trình vi phân bậc hai.
Nếu 𝑥1(t), 𝑥2(t), · · ·, 𝑥n(t), là các nghiệm của phương trình bậc 𝑛, thì lời
giải chung của nó là:
𝑥(𝑡) = 𝑎1𝑥1(𝑡) + 𝑎2𝑥2(𝑡) + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛(𝑡)
Khi 𝑓 = 0, phương trình được gọi là đồng nhất.

20

(7.66)


m𝑥̈ + 𝑐𝑥̇ + 𝑘𝑥 = 0

(7.67)

Mặt khác nếu nó khơng đồng nhất:
𝑥(𝑡) = 𝑥ℎ(𝑡) + 𝑥𝑝(𝑡)

(7.68)

Trong đó, 𝑥ℎ(𝑡) là phương trình thuần nhất và 𝑥𝑝(𝑡) là phương trình khơng đồng nhất.
Trong dao động cơ học, phương trình đồng nhất được gọi là dao động tự do và giải pháp
của nó được gọi là phản ứng dao động tự do. Phương trình khơng đồng nhất được gọi là
dao động cưỡng bức và giải pháp của nó được gọi là phản ứng dao động cưỡng bức.
Hàm số mũ:
𝑥 = 𝑒𝜆𝑡

(7.69)

thỏa mãn mọi phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất. Do đó, đáp ứng đồng nhất của
phương trình bậc hai 7.67:
x= 𝑒 𝜆𝑡
Trong đó các hằng số 𝑎1và 𝑎2 phụ thuộc vào các điều kiện ban đầu. Các tham số λ1 và λ2
được gọi là tham số đặc trưng hoặc giá trị riêng của hệ thống. Các giá trị riêng là giải pháp
của phương trình đại số, được gọi là phương trình đặc trưng.
Một phương trình khơng đồng nhất chung của phương trình cưỡng bức rất khó tìm,
tuy nhiên, chúng ta biết rằng hàm cưỡng bức 𝑓= 𝑓(𝑡) là sự kết hợp của các hàm sau:
1− Một hằng số, chẳng hạn như 𝑓 = 𝑎
2− Một đa thức theo t, chẳng hạn như:
𝑓=𝑎0 + 𝑎1 𝑡 + 𝑎2 𝑡 2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑡 𝑛
3− Một hàm số mũ, chẳng hạn như 𝑓 = 𝑒𝑎𝑡
4− Một hàm điều hòa, chẳng hạn như:
𝑓=𝐹1 sin(𝑎𝑡) + 𝐹2 cos(𝑎𝑡)
Tần số tự nhiên của hệ thống giảm xóc lị xo khối có thể được tìm thấy bằng cách đo
độ võng tĩnh của hệ thống. Hãy xem xét một hệ thống một DOF được hiển thị trong hình
7.11(a).
21


Hình 7.11. Hệ dao động 1 bật tư do
Giả sử rằng lị xo khơng có lực căng hoặc lực nén. Khi hệ thống nằm trên mặt đất như
trong hình 7.11(b), lò xo bị nén bởi độ lệch tĩnh 𝛿𝑠 = 𝑚𝑔/𝑘 bởi trọng lực. Chúng ta có thể
xác định tần số tự nhiên của hệ thống bằng cách đo 𝛿𝑠:
𝑔

𝜔𝑛 = √
𝛿

𝛿𝑠 =

𝑚𝑔
𝑘

(7.73)

𝑠

=

22

𝑔
2
𝜔𝑛

(7.74)


7.5. PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE
𝑑

(

𝜕𝐾

𝑑𝑡 𝜕𝑞̇ 𝑟

)−

𝜕𝐾
𝜕𝑞𝑟

= 𝐹𝑟 , r = 1,2 … n

(7.75)

= 𝑄𝑟 , r = 1,2 … n

(7.76)

Hoặc

𝑑

(

𝜕L

𝑑𝑡 𝜕𝑞̇ 𝑟

)−

𝜕L
𝜕𝑞𝑟

Đối với các dao động nhỏ và tuyến tính, chúng ta có thể sử dụng một phương trình đơn
giản hơn:
𝑑

(

𝜕𝐾

𝑑𝑡 𝜕𝑞̇ 𝑟

)−

𝜕𝐾
𝜕𝑞𝑟

+

𝜕𝐷

+

𝜕𝑞̇ 𝑟

𝜕𝑉
𝜕𝑞𝑟

= 𝑓𝑟 , r = 1,2 … n

(7.77)

Với K là động năng, V là thế năng và D là hàm tiêu tán năng lượng của hệ thống.
1
1

𝐾 = 𝑋̇ 𝑇 [𝑚]𝑋̇ = ∑𝑛𝑖=1 ∑𝑛𝑗=1 𝑥̇ 𝑖 𝑚𝑖𝑗 𝑥̇ 𝑖𝑗

(7.78)

1
1
𝑉 = 𝑋̇ 𝑇 [𝑘 ]𝑋 = ∑𝑛𝑖=1 ∑𝑛𝑗=1 𝑥𝑖 𝑘𝑖𝑗 𝑥𝑖𝑗

(7.79)

1
1
𝐷 = 𝑋̇ 𝑇 [𝑐]𝑋̇ = ∑𝑛𝑖=1 ∑𝑛𝑗=1 𝑥̇ 𝑖 𝑐𝑖𝑗 𝑥̇ 𝑖𝑗

(7.80)

2

2

2

f

r

2

2

2

là lực tác dụng lên khối lượng 𝑚𝑟
23


Hình 7.12. Mơ hình hệ thống treo 1 bật tự do
Động năng, thế năng và tiêu hao năng lượng của của sơ đồ hình 7.12 khi nó dao động:
1

𝐾 = 𝑚𝑥̇ 2
2

1

𝑉 = 𝑘𝑥 2
2

(7.81)
(7.82)

Và phương trình tiêu tán năng lượng của giảm chấn: (7.83)
1
𝐷 = 𝑐𝑥̇ 2
2

Hình 7.13. Mơ hình dao động 3 bặc tự do nối tiếp
Hình 7.13 minh họa một hệ thống dao động tuyến tính ba DOF không giảm chấn.
Động năng và thế năng của hệ thống là:
24

𝐾=
V=

1
2
1
2

1

1

2

2

𝑚1 𝑥̇ 12 + 𝑚2 𝑥̇ 22 + 𝑚3 𝑥̇ 32

(7.84)

1

1

1

2

2

2

𝑘1 𝑥12 + 𝑘2 (𝑥1 − 𝑥2 )2 + 𝑘3 (𝑥2 − 𝑥3 )2 + 𝑘4 𝑥32

(7.85)

Vì khơng có giảm xóc trong hệ thống, có thể tìm thấy phương
trình Lagrange ℒ
L= k-v

(7.86)

Và sử dụng phương trình 7.76 với 𝑄𝑟 = 0
𝜕𝐿
𝜕𝑥1
𝜕𝐿
𝜕𝑥2
𝜕𝐿
𝜕𝑥3
𝜕𝐿
𝜕𝑥̇ 1
𝜕𝐿
𝜕𝑥̇ 2
𝜕𝐿
𝜕𝑥̇ 3

= −𝑘1 𝑥1 − 𝑘2 (𝑥1 − 𝑥2 )

(7.87)

= 𝑘2 (𝑥1 − 𝑥2 ) − 𝑘3 (𝑥2 − 𝑥3 )

(7.88)

= 𝑘3 (𝑥2 − 𝑥3 ) − 𝑘4 𝑥4

(7.89)

= 𝑚1 𝑥1̇

(7.90)

= 𝑚2 𝑥̇ 2

(7.91)

= 𝑚3 𝑥̇ 3

(7.92)

25