Cách tính delta và delta phẩy phương trình bậc 2

30/4/2021

CMS

Cách tính delta và delta phẩy phương trình bậc 2
1. Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn
Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng:
ax2 + bx + c = 0
Trong đó a ≠ 0, a, b là hệ số, c là hằng số.

2. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn
Ta sử dụng một trong hai cơng thức nghiệm sau để giải phương trình bậc hai một ẩn:
+ Tính: ∆ = b2 – 4ac
Nếu ∆ > 0 thì phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt:

Nếu ∆ = 0 thì phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm kép:

Nếu ∆ < 0 thì phương trìnhax2 + bx + c = 0 vơ nghiệm:

+ Tính : ∆’ = b’2 - ac trong đó

( được gọi là cơng thức nghiệm thu gọn)

Nếu ∆' > 0 thì phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt:

Nếu ∆' = 0 thì phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm kép:

Nếu ∆' < 0 thì phương trình ax2 + bx + c = 0 vơ nghiệm.

3. Tại sao phải tìm ∆?
Ta xét phương trình bậc 2:

/>
1/6


30/4/2021

CMS

ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

⇔ a(x2 +

⇔ a[x2 +2.

x) + c = 0 (rút hệ số a làm nhân tử chung)

.x +

-

]+ c = 0 (thêm bớt các hệ số để xuất hiện hằng đẳng

thức)

(biến đổi hằng đẳng thức)

(chuyển vế)

(quy đồng mẫu thức)

(1) (nhân chéo do a ≠ 0)
Vế phải của phương trình (1) chính là

mà chúng ta vẫn hay tính khi giải phương trình bậc

hai. Vì 4a2 > 0 với mọi a ≠ 0 và

nên vế trái ln dương. Do đó chúng ta

mới phải biện luận nghiệm của b2 – 4ac.
Biện luận nghiệm của biểu thức
+ Với b2 – 4ac < 0, vì vế trái của phương trình (1) lớn hơn bằng 0, vế phải của phương trình
(1) nhỏ hơn 0 nên phương trình (1) vô nghiệm.
+ Với b2 – 4ac = 0, phương trình trên trở thành:

Phương trình đã cho có nghiệm kép

.

+ Với b2 – 4ac > 0, phương trình trên trở thành:

/>
2/6


30/4/2021

CMS

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

và
Trên đây là tồn bộ cách chứng minh cơng thức nghiệm của phương trình bậc hai. Nhận
thấy rằng b2 – 4ac là mấu chốt của việc xét điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai.
Nên các nhà tốn học đã đặt ∆ = b2 – 4ac nhằm giúp việc xét điều kiện có nghiệm trở nên
dễ dàng hơn, đồng thời giảm thiểu việc sai sót khi tính tốn nghiệm của phương trình.

4. Các dạng bài tập sử dụng cơng thức nghiệm, cơng thức nghiệm thu
gọn
Bài 1: Giải các phương trình dưới đây:
a, x2 - 5x + 4 = 0

b, 6x2 + x + 5 = 0

c, 16x2 - 40x + 25 = 0

d, x2 - 10x + 21 = 0

e, x2 - 2x - 8 = 0

f, 4x2 - 5x + 1 = 0

g, x2 + 3x + 16 = 0

h, 2x2 + 2x + 1 = 0

Nhận xét: đây là dạng tốn điển hình trong chuỗi bài tập liên quan đến phương trình bậc hai,
sử dụng cơng thức nghiệm và cơng thức nghiệm thu gọn để giải các phương trình bậc hai.
Lời giải:
a, x2 - 5x + 4 = 0

(Học sinh tính được ∆ và nhận thấy ∆ > 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt)
Ta có: ∆ = b2 – 4ac = (-5)2 - 4.1.4 = 25 - 16 = 9 > 0
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt:

và

/>
3/6


30/4/2021

CMS

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1; 4}
b, 6x2 + x + 5 = 0
(Học sinh tính được ∆ và nhận thấy ∆ < 0 nên phương trình đã cho vơ nghiệm)
Ta có: ∆ = b2 – 4ac = 12 - 4.6.5 = 1 - 120 = - 119 < 0
Phương trình đã cho vơ nghiệm.
Vậy phương trình vơ nghiệm.
c, 16x2 - 40x + 25 = 0
(Học sinh tính được ∆ hoặc tính cơng thức nghiệm thu gọn ∆' và nhận thấy ∆' = 0 nên
phương trình đã cho có nghiệm kép)
Ta có: ∆' = b'2 – ac = (-20)2 - 16.25 = 400 - 400 = 0

Phương trình đã cho có nghiệm kép:

Vậy tập nghiệm của phương trình là:
d, x2 - 10x + 21 = 0
(Học sinh tính được ∆ hoặc tính cơng thức nghiệm thu gọn ∆' và nhận thấy ∆' > 0 nên

phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt)
Ta có: ∆' = b'2 – ac = (-5)2 - 1.21 = 25 - 21 = 4 > 0
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt:

và
Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-7; -3}
e, x2 - 2x - 8 = 0
(Học sinh tính được ∆ hoặc tính cơng thức nghiệm thu gọn ∆' và nhận thấy ∆' > 0 nên
phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt)
Ta có: ∆' = b'2 – ac = (-1)2 - 1.(-8) = 1 + 8 = 9 > 0
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt:
/>
4/6


30/4/2021

CMS

và
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {-2; 4}
f, 4x2 - 5x + 1 = 0
(Học sinh tính được ∆ và nhận thấy ∆ > 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt)
Ta có: ∆ = b2 – 4ac = (-5)2 - 4.4.1 = 25 - 16 = 9 > 0

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

và

Vậy tập nghiệm của phương trình là

g, x2 + 3x + 16 = 0
(Học sinh tính được ∆ và nhận thấy ∆ < 0 nên phương trình đã cho vơ nghiệm)
Ta có: ∆ = b2 – 4ac = 32 - 4.1.16 = 9 - 64 = -55 < 0
Phương trình đã cho vơ nghiệm
Vậy phương trình vơ nghiệm.
h,
(Học sinh tính được ∆ hoặc tính cơng thức nghiệm thu gọn ∆' và nhận thấy ∆' < 0 nên
phương trình đã cho có vơ nghiệm)
Ta có:
Phương trình đã cho vơ nghiệm.
Vậy phương trình vơ nghiệm.
Bài 2: Cho phương trình

(1)

a, Tìm m để phương trình có nghiệm x = 1
b, Tìm m để phương trình có nghiệm kép
c, Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
Nhận xét: đây là một dạng tốn giúp các bạn học sinh ơn tập được kiến thức về cách tính
cơng thức nghiệm của phương trình bậc hai cũng như ghi nhớ được các trường hợp nghiệm
/>
5/6


30/4/2021

CMS

của phương trình bậc hai.
Lời giải:

a, x = 1 là nghiệm của phương trình (1). Suy ra thay x = 1 vào phương trình (1) có:
(2)
Xét phương trình (2)
Có
Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt

và

Vậy với m = 5 hoặc m = -1 thì x = 1 là nghiệm của phương trình (1)
b, Xét phương trình (1) có:

Để phương trình (1) có nghiệm kép khi và chỉ khi
(2)
Sử dụng cơng thức nghiệm để giải phương trình (2) có
Vậy với

thì phương trình (1) có nghiệm kép

c, Xét phương trình (1) có:

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

Vậy với

/>
thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

6/6