Toán 9 Chương 3 Góc với đường tròn

CHƯƠNG III. GĨC VỚI ĐƯỜNG TRỊN
BÀI 1: GĨC Ở TÂM, GĨC NỘI TIẾP.
1, GĨC Ở TÂM.
– Góc có đỉnh trùng với tâm của đường trịn gọi là góc ở tâm. Hai cạnh của góc cắt đường trịn
tại hai điểm chia đường trịn thành hai cung:
– Cung nằm bên trong góc gọi là cung nhỏ, cung nẳm bên ngồi góc gọi là cung lớn.
VD:
Ở Hình 1:
·AOB
Góc
là góc ở tâm.
)

AmB

Cung nhỏ là cung

.

)

Cung lớn là cung
Hoặc ta có cách nói khác:
Góc

·AOB

AnB

.
)

chắn cung

AmB

.

Chú ý:
+ Góc bẹt chắn nửa đường trịn.
2, SỐ ĐO GĨC Ở TÂM.

1800

– Số đo của nửa đường tròn bằng
.
– Số đo góc ở tâm bằng số đo cung bị chắn.
VD:
Ở Hình 2:
Góc

·AOB = 680

)

=> sđ

AmB = 680

.

)

Từ đó: sđ

AnB = 3600 − 680

Chú ý:
+ Hai cung bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.

1


2


3, GĨC NỘI TIẾP.
– Góc nội tiếp là góc có đỉnh nẳm trên đường tròn và hai cạnh là hai dây cung của đường trịn đó
– Cung nằm bên trong góc gọi là cung bị chắn.
VD:
Ở Hình 3:
·ABC
Góc
là góc nội tiếp.
Góc

·ABC

)

chắn cung

AmC

.

4, SỐ ĐO GĨC NỘI TIẾP.
– Trong một đường trịn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.
VD:
Ở Hình 4:
)

sđ

AmC = 980

nên

·ABC = 490

Chú ý:
Trong một đường trịn:
+ Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.
+ Các góc nội tiếp cùng chắn 1 cung thì bằng nhau.
+ Góc nội tiếp có số đo bằng nửa góc ở tâm cùng chắn một cung.
+ Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn là góc vng.

3


5, CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP:

µA = D
µ
– Tứ giác ABCD nội tiếp thì
µA = D
µ
Tứ giác ABCD có

1

1

1

1

)

( cùng chắn cung

BC

) và ngược lại:

thì tứ giác ABCD nội tiếp.

( O)

Bˆ = Dˆ = 900

– Tứ giác ABCD nội tiếp

đường kính AC thì
( góc nội tiếp chắn nửa đường
trịn) và ngược lại:
Bˆ = Dˆ = 900
Tứ giác ABCD có
thì tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn đường kính AC.

– Tứ giác ABCD nội tiếp thì tổng hai góc
Tứ giác ABCD có tổn hai góc bằng

1800

Aˆ + Cˆ = 1800

và ngược lại:

thì tứ giác ABCD nội tiếp.

4


6, BÀI TẬP VẬN DỤNG.

( O)

Bài 1: Cho nửa đường trịn
đường kính AB. Lấy điểm C thuộc nửa đường trịn.
AC ⊥ CB
Chứng minh
.

Bài 2: Cho nửa

( O)

đường kính AB. Gọi C, D thuộc nửa đường tròn ( C thuộc cung AD). AD cắt BC tại
EH ⊥ AB
H, AC cắt BD tại E. Chứng minh
.

5


( O)
( BA < BC )
∆ABC
Bài 3: Cho
nội tiếp đường trịn
đường kính AC biết
. Trên đoạn OC lấy điểm I
CH ⊥ BD, ( H ∈ BD )
( I ≠ C)
( O)
bất kì
. Đường thẳng BI cắt
tại điểm thứ hai là D. Kẻ
, DK vng góc
AC , ( K ∈ AC )
với
.

a, Chứng minh rằng tứ giác DHKC là tứ giác nội tiếp.
·ABD = 400
∆ACD
b, Cho độ dài đoạn thẳng AC là 4cm và
. Tính diện tích
.
c, Đường thẳng đi qua K và song song với BC cắt đường thẳng BD tại E. Chứng minh rằng khi I
OC , ( I ≠ C )
thay đổi trên đoạn thẳng
thì điểm E ln thuộc một đường tròn cố định.

Bài 4: Cho đường tròn

( O)

đường kính AB. Dây CD vng góc với AB tại H. M là một điểm trên đoạn

( O)
thẳng CD. Tia AM cắt
tại N.
a, Chứng minh tứ giác MNBH nội tiếp.
MC.MD = MA.MN
b, Chứng minh
.
c, Chứng minh

AM . AN = AC 2

.

6


( A; AH )
∆ABC
Bài 5: Cho
vuông tại A, Đường cao AH, vẽ đường tròn
. Từ đỉnh B kẻ tiếp tuyến BI với
( A)
cắt đường thẳng AC tại D. ( I là tiếp điểm, I và H không trùng nhau).
a, Chứng minh AHBI là tứ giác nội tiếp.
AB = 4cm, AC = 3cm
b, Cho
. Tính AI.
c, Gọi HK là đường kính của

( A)

. Chứng minh rằng:

BC = BI + DK

.

( O; R )
∆ABC
Bài 6: Cho
nhọn nội tiếp
. Các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H.
a, Chứng minh các tứ giác BFHD, BFEC nội tiếp.

BD.BC = BH .BE
b, Chứng minh
.
∆BMH
c, Kẻ AD cắt cung BC tại M. Chứng minh
cân.

7


( O)
Bài 7: Cho nửa
đường kính AB. Gọi C, D thuộc nửa đường tròn ( C thuộc cung AD). AD cắt BC tại
H, AC cắt BD tại E.
EH ⊥ AB
a, Chứng minh CHDE nội tiếp và
.
·
·
DAB
= DEH
b, Chứng minh
.
c, Vẽ tiếp tuyến với

∆ABC

( O)

tại D cắt EH tại I. Chứng minh I là trung điểm của EH.

( O)

Bài 8: Cho
nhọn nội tiếp đường trịn
có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H.
a, Chứng minh bốn điểm B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn.
DE ⊥ OA
b, Chứng minh
.
c, Cho M, N lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng BC, AH. Cho K, L lần lượt là giao điểm
của hai đường thẳng OM và CE, MN và BD. Chứng minh KL // AC.

8


( O; R )
AB < AC
Bài 9: Cho đường tròn
dây BC cố định. Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho
và
∆ABC
nhọn. Các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi K là giao điểm của EF với BC.
a, Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp.
KB.KC = KE.KF
b, Chứng minh
.
c, Gọi M là giao điểm của AK với

( O)

, M khác A. Chứng minh

MH ⊥ AK

.

( O)
AB = 2 R
Bài 10: Cho
đường kính
, điểm C thuộc đường trịn đó ( C khác A, B). Lấy điểm D thuộc
dây BC ( D khác B và C). Tia AD cắt cung nhỏ BC tại điểm E, Tia AC cắt BE tại F.
a, Chứng minh FCDE nội tiếp.
DA.DE = DB.DC
b, Chứng minh
.
·
·
CFD
= OCB
c, Chứng minh
.
d, Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE. Chứng minh IC là tiếp tuyến của

9

( O)

.

( O)
AB = 2 R
Bài 11: Cho nửa đường tròn
đường kính
. C là một điểm bất kì trên nửa đường tròn sao
·
AC < CB
COD
= 900
cho C khác A và
. Điểm D thuộc cung nhỏ BC sao cho
. Gọi E là giao điểm của
AD và BC, F là giao điểm của AC và BD.
a, Chứng minh CEDF là tứ giác nội tiếp.
FC.FA = FD.FB
b, Chứng minh
.
c, Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh IC là tiếp tuyến của

∆ABC

( AB < AC )

( O)

( O)

.

Bài 12: Cho
nhọn có
. Vẽ đường trịn
đường kính BC cắt hai cạnh AB và AC
lần lượt tại F và E. Gọi H là giao điểm của BE và CF, AH cắt BC tại D. Gọi I là trung điểm của AH.
AD ⊥ BC
a, Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn tâm I và
.
b, Chứng minh tứ giác OEIF nội tiếp và 5 điểm O, D, F, I, E cùng thuộc 1 đường tròn.
BC = 6cm, Aˆ = 600
c, Cho biết
, Tính OI.

10


( O)
Bài 13: Cho nửa đường trịn
, đường kính AD. Trên nửa đường tròn lấy hai điểm B và C sao cho
AB < AC
EF ⊥ AD
cung
, AC cắt BD tại E. Kẻ
tại F.
a, Chứng minh ABEF nội tiếp.
DE.DB = DF .DA
b, Chứng minh
.
∆FBC

c, Chứng minh E là tâm đường tròn nội tiếp
.
d, Gọi I là giao điểm của BD với CF. Chứng minh

BI 2 = BF .BC − IF .IC

.

AB = 2 R
AM = R
Bài 14: Trên đường tròn tâm O đường kính
lấy điểm M sao cho
và N là một điểm
bất kì trên cung nhỏ BM ( N khác M và B). Gọi I là giao điểm của AN và BM, H là hình chiếu của I trên
AB.
a, Chứng minh tứ giác IHBN là tứ giác nội tiếp.
·
MHN
b, Chứng minh HI là tia phân giác của góc
.
∆MHN
c, Chứng minh đường trịn ngoại tiếp
ln đi qua 2 điểm cố định.
d, Xác định vị trí của điểm N để chu vi tứ giác AMNB lớn nhất.

11


Bài 15: Cho đường trịn

( O)
( O)

có dây cung CD cố định. Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ CD. Đường

kính MN của đường trịn
cắt dây CD tại I. Lấy điểm E bất kỳ trên cung lớn CD ( E khác C, D, N).
ME cắt CD tại K. Các đường thẳng NE và CD cắt nhau tại P.
a, Chứng minh tứ giác IKEN nội tiếp.
EI .MN = NK .ME
b, Chứng minh
.
·
EIQ
c, NK cắt MP tại Q. Chứng minh IK là phân giác
.
d, Từ C vẽ đường thẳng vng góc với EN cắt đường thẳng DE tại H. Chứng minh khi E di động
trên cung lớn CD ( E khác C, D, N) Thì H ln chạy trên một đường cố định.

( O)

M ≠ A, B
Bài 16: Cho nửa
đường kính AB. Lấy điểm M bất kì thuộc nửa đường trịn với
và C là
điểm chính giữa cung AM. Gọi D là giao điểm của AC và BM, H là giao điểm của AM và BC.
a, Chứng minh CHMD nội tiếp.
DA.DC = DB.DM
b, Chứng minh
.

c, Gọi Q là giao điểm của HD và AB. Chứng minh khi M di chuyển trên nửa đường trịn thì
∆CMQ
đường trịn ngoại tiếp
ln đi qua một điểm cố định.

12


( O; R )
∆ABC
Bài 17: Cho
nhọn nội tiếp đường tròn
. Các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H.
a, Chứng minh các tứ giác BFHD, BFEC là các tứ giác nội tiếp.
BD.BC = BH .BE
b, Chứng minh
.
∆BMH
c, Kẻ AD cắt cung BC tại M. Chứng minh
cân.
Bài 18: Trên nửa đường trịn, đường kính AB, Lấy hai điểm I và Q sao cho I thuộc cung AQ. Gọi C là
giao điểm hai tia AI và BQ, H là giao điểm hai dây AQ và BI.
a, Chứng minh tứ giác CIHQ nội tiếp.
CI . AI = HI .BI
b, Chứng minh
.
M = AI . AC + BQ.BC
AB = 2.R
c, Biết
. Tính giá trị biểu thức

theo R.

13


( O)
( AB > AC )
Bài 19: Cho nửa đường trịn
đường kính BC và điểm A trên nửa đường trịn với
. Gọi D
là một điểm nằm giữa O và B, Qua D kẻ đường thẳng vng góc với BC cắt AB ở E, cắt đường thẳng
AC ở F.
a, Chứng minh ACDE, ADBF là các tứ giác nội tiếp.
MA = ME
b, Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại A cắt EF ở M. Chứng minh
.
∆AEF
c, Chứng minh AO là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp
.
d, DF cắt nửa đường tròn
minh C, I, P thẳng hàng.

Bài 20: Cho đường tròn

( O)

tại điểm P. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp

( O; R )

∆AEP

. Chứng

và dây cung BC cố định. A là điểm di động trên cung BC sao cho
Aˆ , Bˆ
∆ABC
là tam giác nhọn. Hai đường phân giác trong của góc
cắt nhau tại I và thứ tự cắt đường trịn
tại D và E. Đường thẳng DE cắt BC, AC tại M, N.
a, Chứng minh tứ giác AENI nội tiếp. Hãy chỉ ra một tứ giác nội tiếp tương tự.
b, Chứng minh tứ giác CMIN là hình thoi.
∆BDI
c, Chứng minh
cân. Tìm vị trí của A để AI có độ dài lớn nhất.

14


( O)
∆ABC
AB < AC
Bài 21: Cho
có
nội tiếp đường trịn
đường kính BC. Điểm D thuộc bán kính OC.
Đường thẳng vng góc với OC tại D cắt AC và AB lần lượt tại E và F.
a, Chứng minh ABDE là tứ giác nội tiếp.
·
·

CAD
= CFD
b, Chứng minh
.
( O)

c, Gọi M là trung điểm của EF. Chứng minh AM là tiếp tuyến của
.
)
AB = 6cm, ·ACB = 300
AB
d, Cho
. Tính diện tích hình giới hạn bởi dây AB và cung nhỏ

( O)
( O)
Bài 22: Cho đường trịn
và dây AB khơng đi qua tâm. Dây PQ của
vng góc với AB tại H
( HA > HB )
. Gọi M là hình chiếu vng góc của Q trên PB. QM cắt AB tại K.
BQ > HM
a, Chứng minh BHQM nội tiếp và
.
∆QAK
b, Chứng minh
cân.
c, Tia MH cắt AP tại N, Từ N kẻ đường thẳng song song với AK, đường thẳng đó cắt QB tại I.
Chứng minh ba điểm P, I, K thẳng hàng.

15


( O)
MN ⊥ AO
AB = 2 R
Bài 23: Cho đường trịn
đường kính
, C là trung điểm của OA, Vẽ dây
tại C.
K là điểm di động trên cung nhỏ MB và H là giao của AK và MN.
a, Chứng minh BCHK nội tiếp.
∆MBN
b, Chứng minh
đều.
KM + KN + KB
c, Tìm vị trí của K trên cung nhỏ MB sao cho
đạt GTLN và tính giá trị lớn nhất
đó theo R.
( O)

Bài 24: Cho
, dây cung AB. Từ điểm M bất kì trên cung lớn AB ( M khác A và B), kẻ dây cung
MN ⊥ AB
∆MAN
tại H. Gọi MQ là đường cao
.
a, Chứng minh A, M, H, Q cùng nằm trên một đường tròn.
NQ.NA = NH .NM
b, Chứng minh

.
·
BMQ
c, Chứng minh MN là phân giác của
.
MQ. AN + MP.BN
MP ⊥ BN
d, Hạ
, Xác định vị trí của M trên cung AB để
có GTLN.

16


Bài 25: Cho đường trịn

( O)

đường kính AB. Trên đường thẳng AB lấy điểm C sao cho B nằm giữa A
( O)
( O)
và C. Kẻ tiếp tuyến CK với đường tròn
với K là tiếp điểm. Tiếp tuyến tại A của đường tròn
cắt
( O)
CK tại H. Gọi I là giao điểm của OH và AK. J là giao điểm của BH và
( J không trùng với B).
AJ .HB = AH .AB
a, Chứng minh
.

b, Chứng minh 4 điểm B, O, I, J cùng nằm trên 1 đường tròn.
AH HP
−
HP CP
c, Đường thẳng vng góc với AB tại O cắt CH tại P. Tính
.

( O)
Bài 26: Cho nửa đường trịn
đường kính BC. A là một điểm bất kì trên nửa đường trịn. BA kéo dài
cắt tiếp tuyến Cy ở F. Gọi D là điểm chính giữa cung AC. DB kéo dài cắt tiếp tuyến Cy tại E.
·ABC
a, Chứng minh BD là phân giác
và OD // AB.
b, Chứng minh ADEF nội tiếp.
CI = CE
IA.IC = ID.IB
c, Gọi I là giao điểm của BD và AC. Chứng minh
và
.
·AFD = ·AED
d, Chứng minh
.

17


∆ABC
Bài 27: Cho
cân tại A, I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường trịn bàng tiếp góc A, O là

trung điểm của IK.
a, Chứng minh 4 điểm B, I, C, K cùng thuộc một đường tròn tâm O.
b, Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn
c, Tính bán kính của đường trịn

Bài 28: Cho

( O)

( O)

, biết

( O)

.

AB = AC = 20cm, BC = 24cm

.

đường kính AC. Trên đoạn AC lấy điểm B và vẽ đường trịn tâm

( O′ )

đường kính BC.
( O′ )
DE ⊥ AB
Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Từ M vẽ dây cung
, DC cắt đường tròn

tại I.
a, Tứ giác ADBE là hình gì?
b, Chứng minh DMBI nội tiếp.
MI = MD
c, Chứng minh B, I, E thẳng hàng và
.
MC.DB = MI .DC
d, Chứng minh
.
( O′ )
e, Chứng minh MI là tiếp tuyến
.

18


( O)
. Dựng đường trịn
( O)
( O)
đường kính MC, đường tròn này cắt BC tại E. đường thẳng BM cắt
tại D và AD cắt
tại S.
a, Chứng minh ADCB nội tiếp.
·AED
b, Chứng minh ME là tia phân giác
.
·ASM = ·ACD
c, Chứng minh
.

d, Chứng minh BA, EM, CD đồng quy.
Bài 29: Cho

Bài 30: Cho
( AD < DB )

∆ABC

∆ABC

vuông tại A. Trên AC lấy điểm M sao cho

AM < MC

AB = 4cm, AC = 3cm

vng tại A có
. Lấy điểm D thuộc cạnh AB sao cho
O
( )
( O)
. Đường trịn
đường kính BD cắt CB tại E, Kéo dài CD cắt
tại F.
a, Chứng minh rằng ACED là tứ giác nội tiếp.
BF = 3cm
∆BFC
b, Biết
. Tính BC và diện tích
.

c, Kéo dài AF cắt đường tròn

( O)

tài điểm G. Chứng minh rằng BA là tia phân giác của

19

·
CBG

.


Bài 31: Cho
CD tại E.

( O)

đường kính AB và dây

CD ⊥ AB

a, Chứng minh AM là tia phân giác
b, Chứng minh EFBM nội tiếp.

·
CMD

tại F. Trên cung BC lấy điểm M. Nối A với M cắt

.

AC 2 = AE. AM

c, Chứng minh
.
d, Gọi giao điểm của CB với AM là N, MD với AB là I. Chứng minh NI // CD.
∆CIM
e, Chứng minh N là tâm đường tròn nội tiếp
.

∆ABC

AB < AC

Bài 32: Cho
nhọn và
nội tiếp đường tròn
cắt nhau tại H.
a, Chứng minh tứ giác AEFC nội tiếp.
b, Kẻ đường kính AK của đường trịn
c, Kẻ FM // BK

( M ∈ AK )

( O)

. Chứng minh

( O)

. Chứng minh

CM ⊥ AK

20

.

. Các đường cao AF và CE của

∆ABK ∆AFC

.

∆ABC


Bài 33: Cho đường trịn

( O; R )

đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn. Trên Ax lấy điểm K
( O)
AK ≥ R
sao cho
. Qua K kẻ tiếp tuyến KM tới đường trịn
. Đường thẳng d vng góc với AB tại O,
d cắt MB tại E.

a, Chứng minh KAOM là tứ giác nội tiếp.

OI .OK = OA2

b, OK cắt AM tại I. Chứng minh
.
∆KMA
c, Gọi H là trực tâm
. Tìm quỹ tích điểm H khi K di động trên tia Ax.

∆ABC

( O)

AB < AC

Bài 34: Cho
nhọn có
nội tiếp
, đường cao AH. D là điểm nằm giữ hai điểm A và
H. Đường trịn đường kính AD cắt AB và AC lần lượt tại M và N khác A.
MN < AD
a, Chứng minh
và tứ giác BHDM nội tiếp.
∆AMN ∆ACB
b, Chứng minh
.

( O)

c, Đường trịn đường kính AD cắt
Chứng minh ba điểm K, M, N thẳng hàng.

tại điểm thứ hai E. Tia AE cắt đường thẳng BC tại K.

21


( O; R )

OH ⊥ d
khơng có điểm chung. Kẻ
tại H. Lấy điểm M
( O)
bất kì thuộc d. Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn
. Nối AB cắt OH, OM lần lượt ở K
và I.
a, Chứng minh 5 điểm M, H, A, O, B cùng thuộc 1 đường tròn.
OK .OH = OI .OM
b, Chứng minh
.
c, Chứng minh khi M di chuyển trên d thì đường thẳng AB đi qua một điểm cố định.
Bài 35: Cho đường thẳng d và đường trịn

OK =
d, Chứng minh

R2
OH

, Từ đó suy ra điểm K cố định.
∆OΙΚ
e, Tìm vị trí của M để diện tích
đạt giá trị lớn nhất.

Bài 36: Cho

∆ABC

( O; R )

nhọn nội tiếp đường tròn
với cạnh AB cố định khác đường kính. Các đường
∆ABC
cao AE, BF của
cắt nhau tại H và cắt đường tròn lần lượt tại I và K. CH cắt AB tại D.
a, Chứng minh tứ giác CEHF nội tiếp được trong 1 đường tròn.
·
·
CDF
= CBF
b, Chứng minh
.
c, Chứng minh EF // IK.
d, Chứng minh rằng khi C chuyển động trên cung lớn AB thì đường trịn ngoại tiếp
đi qua một điểm cố định.

22

∆DEF

ln


( O)
∆ABC
AB > AC
Bài 37: Cho
nhọn có
nội tiếp đường trịn
. Các đường cao BD và CE cắt nhau tại
H. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC.
a, Chứng minh các tứ giác BCDE và AMON nội tiếp.
AE. AM = AD. AN
b, Chứng minh
.
c, Gọi K là giao điểm của ED và MN, F là giao điểm của AO và MN, I là giao điểm của ED và
∆KAI
AH. Chứng minh F là trực tâm của
.
Bài 38: Cho nửa đường trịn

( O; R )

đường kính AB, Kẻ tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn, Ax và
( O)
By nằm cùng một nửa mặt phẳng bờ AB. Tiếp tuyến tại I với nửa đường tròn
( I khác A và B) cắt
Ax, By lần lượt tại M và N.
AM + BN = MN

a, Chứng minh tứ giác AMIO nội tiếp và
.
·
AM .BN = R 2
MON
= 900
b, Chứng minh
và
.
c, Gọi H là giao điểm của AN và BM, Tia IH cắt AB tại K. Chứng minh H là trung điểm của IK.
d, Cho

AB = 5cm

, diện tích tứ giác ABNM là

23

20cm 2

. Tính diện tích

∆AIB

.


( O; R )
( CA < CB )
Bài 39: Cho nửa đường trịn

đường kính AB. Trên nửa đường trịn đó lấy điểm C
. Hạ
CH ⊥ AB
tại H. Đường tròn đường kính CH cắt AC và BC lần lượt tại M và N.
a, Chứng minh HMCN là hình chữ nhật.
·
·
CMN
= CBA
b, Chứng minh
và tứ giác AMNB nội tiếp.
c, Tia MN cắt tia BA tại K. Lấy điểm Q đối xứng với H qua K. Chứng minh QC là tiếp tuyến của
( O; R )
.
AC = R
d, Tìm bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMNB trong trường hợp
.

( O; R )

Bài 40: Cho nửa đường trịn
đường kính AB. Từ O kẻ đường thẳng vng góc với AB và cắt
( O)
CH ⊥ AM
đường tròn
tại C. trên cung CB lấy 1 điểm M bất kì. Kẻ
tại H. Gọi N là giao điểm của
OH và MB.
a, Chứng minh tứ giác CHOA nội tiếp.
·

·
CAO
= ONB
= 450
b, Chứng minh
.

( O)

c, OH cắt CB tại điểm I và MI cắt
tại điểm thứ hai D, Chứng minh CM // BD.
d, Xác định vị trí của M để ba điểm D, H, B thẳng hàng. Khi đó tính độ dài cung MB theo R.

24


( O; R )
CD ⊥ AB
Bài 41: Cho
đường kính AB cố định, Điểm H nằm giữa A và O. kẻ dây
tại H. Lấy
điểm F thuộc cung nhỏ AC, BF cắt CD tại E, AF cắt tia DC tại I.
a, Chứng minh tứ giác AHEF nội tiếp.
·
·
BE.BF = BH .BA
BFH
= EAB
b, Chứng minh
, từ đó suy ra

.
∆IEF
∆HBE ∆HIA
c, Đường trịn ngoại tiếp
cắt AE tại điểm thứ hai M. Chứng minh
và điểm M
( O)
thuộc
.
∆OHD
d, Tìm vị trí của H trên OA để
có chu vi lớn nhất.
( O)
nhọn nội tiếp đường tròn
. Trên cạnh BC lấy hai điểm D và E
·
·
( O)
DAB
= EAC
sao cho D nằm giữa B và E và
. Các tia AD và AE tương ứng cắt lại đường tròn
tại I
và J.
·
( O)
BAC
a, Chứng minh phân giác góc
đi qua điểm chính giữa của cung nhỏ IJ của đường tròn
.

b, Chứng minh tứ giác BCJI là hình thang cân.
Bài 42: Cho

∆ABC

có

( AB < AC )

25