Tài liệu Ôn tập hypebol nâng cao ppt

GV: Nguyễn Tất Thu
Tr
ường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai
HYPEBOL

1.
ðịnh nghĩa : Tập hợp các ñiểm M của mặt phẳng sao cho
1 2
| | 2 MF MF a− =
(2a không
ñổi và
0c a> >
) là một Hypebol.
*
1 2
, F F
: cố ñịnh là 2 tiêu ñiểm và
1 2
2F F c=
là tiêu cự.
* MF
1
, MF
2
: là các bán kính qua tiêu.
2. Ph
ương trình chính tắc của hypebol:
2 2
2 2
1
x y

a b
− =
với
2 2 2
= b c a−
.
3) Tính ch
ất và hình dạng của hypebol (H):
* Tr
ục ñối xứng Ox (trục thực) Oy (trục ảo). Tâm ñối xứng O.
* ðỉnh:
( )
1 2
( ;0), ;0A a A a−
. ðộ dài trục thực: 2a và ñộ dài trục ảo: 2b.
* Tiêu ñiểm
( )
1 2
( ; 0), ; 0F c F c−
.
* Hai ti
ệm cận:
b
y x
a
= ±

* Hình ch
ữ nhật cơ sở PQRS có kích thước 2a, 2b với
2 2 2

b c a= −
.

* Tâm sai:
2 2
c a b
e
a a
+
= =

* Hai ñường chuẩn:
2
a a
x
e c
= ± = ±

*
ðộ dài các bán kính qua tiêu của
( )
( )
0 0
;M x y H∈
:
+)
1 0
MF ex a= +
và
2 0

MF ex a= −
khi
0
0x >
.
+)
1 0
MF ex a= − −
và
2 0
MF ex a= − +
khi
0
0x <
.
+)
2 2
0 0
2 2
1
x y
a b
− =
và
0
| |x a≥

4) Ti
ếp tuyến của hypebol (H):
2 2

2 2
1
x y
a b
− =

*T
ại
( )
( )
0 0 0
; M x y H∈
có phương trình:
0 0
2 2
1
x x y y
a b
− =
*
ði qua
1 1
( ; )M x y là
1 1
: ( ) ( ) 0A x x B y y∆ − + − = với ñiều kiện:
∆ ti
ếp xúc (H) ⇔
2 2 2 2 2
A a B b C− = với
( )

2 2
1 1
0, 0A B C Ax By+ ≠ = − + ≠ .





GV: Nguyễn Tất Thu
Tr
ường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai
CÁC VÍ D
Ụ
Ví d
ụ 1: Cho (H):
2 2
1
16 9
x y
− =
.
1) Tìm tiêu
ñiểm, ñộ dài các trục, tâm sai (H).
2) Vi
ết phương trình tiếp tuyến của (H) tại ñiểm
0
16
( ; 7)
3
M

.
3) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) ñi qua
(12;9)M
.

Gi
ải:
1)
{
2
2
16 4
3
9
a a
b
b

= =
⇒

=
=

,
2 2 2
25 5c a b c= + = ⇒ =
.
T
ừ ñó suy ra:

* Tr
ục thực :
1 2
2 8A A a= =

* Tr
ục ảo:
1 2
2 6B B b= =

* Hai tiêu
ñiểm :
( ) ( )
1 2
5;0 , 5;0F F−

* Tâm sai:
5
4
c
e
a
= =
.
2) Phương trình tiếp tuyến của (H) tại
0
16
( ; 7) ( )
3
M H∈

:
0 0
1 3 7 9 0
16 9
xx yy
x y
− = ⇔ − − =
.
3) Phương trình tiếp tuyến có dạng:
( 12) ( 9) 0 12 9 0A x B y Ax By A B− + − = ⇔ + − − =

ðk tiếp xúc:
2 2 2 2 2
3
4
16 9 (12 9 ) 64 108 45 0
15
16
A B
A B A B A AB B
A B

= −

− = + ⇔ + + = ⇔


= −



.
* V
ới
3
4
A B= −
, chọn
4 3 Pttt: 3 4 0B A x y= − ⇒ = ⇒ − =

* V
ới
15
16
A B= −
, chọn
16 15 Pttt: 15 16 36 0B A x y= − ⇒ = ⇒ − − =
.
Ví dụ 2: Biết Hypebol (H) có ñộ dài trục thực bằng 8 và tâm sai
5
4
e =

1) Xác
ñịnh phương trình của (H)
2) Tìm
( )
M H∈
sao cho
1 2
MF MF⊥

.


GV: Nguyễn Tất Thu
Tr
ường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai
Gi
ải:
1) Ta có:
{
2 8
4
5
3
4
a
a
b
e
=


=
⇒

=
=



( )
:H⇒
2 2
1
16 9
x y
− =
.
2) Gọi
( ) ( )
;M x y H∈
thỏa
1 2
MF MF⊥

2 2
2 2
4 34
1
5
16 9
9
25
5
x y
x
y
x y



= ±


− =
⇒ ⇔
 
 
= ±
+ =


4 34 9
;
5 5
M
 
⇒
± ±
 
 
.
Ví dụ 3:

Cho hypebol (H) :
2 2
2 2
1.
x y
a b
− =

Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một
ñiểm tùy ý trên (H) ñến hai ñường tiệm cận không ñổi .
Gi
ải:
Ph
ương trình các tiệm cận:
1
2
: 0
: 0
d bx ay
b
y x
d bx ay
a
− =

= ± ⇔

+ =

.
Xét
2 2
2 2 2 2 2 2
0 0
0 0 0 0
2 2
( ; ) ( ) 1
x y

M x y H b x a y a b
a b
∈ ⇒ − = ⇔ − =
.
Ta có:
0 0 0 0
1 2
2 2 2 2
| | | |
( , ) ; ( , )
bx ay bx ay
d M d d M d
a b a b
− +
= =
+ +

2 2
2 2 2 2
0 0 0 0
1 2 0 0
2 2 2 2
2 2 2 2
| | | |
1
( , ). ( , ) . | |
bx ay bx ay
a b
d M d d M d b x a y
a b a b

a b a b
− +
⇒ = = − =
+ +
+ +
.
Ví d
ụ 4: Cho Hypebol (H) :
2 2
2 2
1.
x y
a b
− =
∆
là một tiếp tuyến của (H) cắt các tiếp tuyến tại
hai
ñỉnh thuộc trục thực A và A’ ở T và T’
a) Cmr:
ðường tròn ñường kính
’TT
ñi qua hai tiêu ñiểm F
1
và F
2
.
b) Cmr:
2
. ’ ’AT AT b=

Gi
ải:
Gi
ả sử
0 0
2 2
: 1
xx yy
a b
∆ − = với
2 2 2 2 2 2
0 0
b x a y a b− = , tiếp tuyến tại A và A’:
x a=
và
x a= −

2 2 2
0 0 0
1
0 0 0
( ) ( ) ( )
( ; ); '( ; ) ( ; )
b x a b x a b x a
T a T a FT a c
ay ay ay
− + −
⇒ − − ⇒ = +


và
2
0
1
0
( )
' ( ; )
b x a
FT a c
ay
+
= − − −


GV: Nguyễn Tất Thu
Tr
ường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai
4 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
0 0 0
1 2 1 1
2 2 2 2
0 0
( )
. 0 '
b x a a y b x a b
FT F T c a b FT FT
a y a y
− − +
⇒ = − − = = ⇒ ⊥

 

T
ương tự ta cũng có:
2 2
'F T F T⊥ ⇒
ñpcm.
b) Ta có:
4 2 2 2 2 2 2
2 2
0 0
2 2 2 2
0 0
( ) | |
. ’ ’ | |
b x a b x b a
AT A T b b
a y a y
− −
= = =
.
Chú ý: Ta có th
ể giải bài toán trên bằng phương pháp
hình h
ọc tổng hợp.


Bài tập:
1/ Xác
ñịnh tiêu ñiểm;tâm sai,tiêu cự của hypepol :

2 2
4 4x y− =
2/ L
ập phương trình chính tắc của hypebol (H) biết :
a) M
ột tiêu ñiểm là (2;0) và tâm sai bằng 3/2.
b) Tm sai bằng
2
,(H) ñi qua ñiểm A(-5;3).
c) (H) ñi qua hai ñiểm P(6;-1) và Q(-8;2
2
) .
3/ Tìm cc
ñiểm trên hypebol (H)
2 2
4 4x y− = thỏa mãn :
a) Nhìn hai tiêu
ñiểm dưới góc vuông .
b) Nhìn hai tiêu
ñiểm dưới góc 120
0
.
c) Có t
ọa ñộ nguyên .
4/ Cho Hypebol (H):
2 2
2 2
1.
x y
a b

− =
Gọi F
1
,F
2
là các tiêu ñiểm và A
1
,A
2
là các ñỉnh của (H) .
M là m
ột ñiểm tùy ý trên (H) có hình chiếu trên Ox là N . Chứng minh rằng:

2 2 2
1 2
) .a OM MF MF a b− = −
.
( )
( )
2
2 2
1 2
) 4b MF MF OM b+ = +
c)
2
2
1 2
2
.
b

NM NA NA
a
=


x

y

l

I

A'

F

1

F

2

T'