XÍCH MARKOV VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN QUÁ TRÌNH SINH – TỬ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

THÁI GIA PHÚ

XÍCH MARKOV VÀ CÁC VẤN ĐỀ
LIÊN QUAN ĐẾN Q TRÌNH SINH – TỬ

ĐỀ CƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ

2021


TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

THÁI GIA PHÚ

XÍCH MARKOV VÀ CÁC VẤN ĐỀ
LIÊN QUAN ĐẾN Q TRÌNH SINH – TỬ

Chuyên ngành: Lý Thuyết Xác Suất và Thống Kê Toán học
Mã ngành : 8460106
Người hướng dẫn: TS.

Mua file code LaTeX liên hệ email:
Mã số file: M1

2021

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN
oOo

Năm học 2020-2022

ĐỀ CƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ

XÍCH MARKOV VÀ CÁC VẤN ĐỀ
LIÊN QUAN ĐẾN Q TRÌNH SINH – TỬ

Chuyên ngành: Lý Thuyết Xác Suất và Thống Kê Toán học
Mã ngành : 8460106

1. Chủ tịch hội đồng: PGS.TS. Nguyễn Hữu Khánh

2. Thư ký: PGS.TS. Võ Văn Tài

2021


MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài . . . . . . .
2. Mục đích nghiên cứu . . . .
3. Đối tượng và phạm vi nghiên
3.1 Đối tượng nghiên cứu
3.2 Phạm vi nghiên cứu .

4. Phương pháp nghiên cứu . .
5. Cấu trúc luận văn . . . . . .

. . .
. . .
cứu
. . .
. . .
. . .
. . .

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

NỘI DUNG CỦA LUẬN VĂN

1
1
1
2
2
2
2
3
3

1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ ĐẠI SỐ VÀ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
1.1 Khơng gian xác suất và khơng gian xác suất có lọc . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Phân tích trực giao và phân tích chính tắc của q trình ngẫu nhiên . . . .
1.3 Ma trận tương quan và ma trận hiệp phương sai . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Phân tích phổ và một số phân tích đặc thù cho một ma trận ngẫu nhiên . .

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.

.

.
.
.
.

4
4
4
4
4

2 CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ XÍCH MARKOV
2.1 Xích Markov với thời gian rời rạc . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Xích Markov với thời gian liên tục . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Xích Markov thuần nhất và khơng thuần nhất về thời gian
2.4 Phân phối giới hạn và phân phối dừng . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.

.
.
.
.

.

.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.

.
.
.

.
.
.
.

5
5
5
5
5

3 Q TRÌNH SINH-TỬ XÉT QUA MƠ HÌNH XÍCH MARKOV
3.1 Quá trình thuần sinh và phần tử sinh cực vi của nó . . . . . . . . . .
3.2 Quá trình thuần tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Quá trình sinh - tử hỗn hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Một số bài toán và ví dụ có liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

6
6
6
6
6

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.

.

.
.
.
.

PHẦN KẾT LUẬN

7

THỜI GIAN LÀM LUẬN VĂN

8

TÀI LIỆU THAM KHẢO

9

i


PHẦN MỞ ĐẦU
Mua file code LaTeX liên hệ email:
Mã số file: M1

1. Lí do chọn đề tài
Trong tốn học, một xích Markov hay chuỗi Markov là một q trình ngẫu
nhiên mô tả một dãy các biến cố khả dĩ trong đó xác suất của mỗi biến cố chỉ
phụ thuộc vào trạng thái của biến cố trước đó. Một dãy vơ hạn đếm được, trong

đó xích thay đổi trạng thái theo từng khoảng thời gian rời rạc, cho ta một xích
Markov thời gian rời rạc. Một q trình diễn ra trong thời gian liên tục được
gọi là quá trình Markov thời gian liên tục. Chúng được đặt tên theo nhà toán
học người Nga Andrey Andreyevich Markov.
A. A. Markov đã đặt cơ sở cho một trong những sơ đồ tổng quát của các
q trình tự nhiên mà có thể nghiên cứu bằng các phương pháp của toán học.
Về sau sơ đồ này được gọi là xích Markov và đã đưa đến sự phát triển của một
chương mới của Lý thuyết xác suất đó là Lý thuyết các q trình ngẫu nhiên,
mà nó đóng vai trị quan trọng trong khoa học hiện đại.
Xích Markov được ứng dụng rộng rãi làm mơ hình thống kê của nhiều q
trình thực tế như là Mơ hình lý thuyết xếp hàng(Kinh tế, Kỹ thuật, . . . ), Quá
trình sinh – tử(Dân số học, Di truyền học, Y – Sinh học, . . . ).
Xuất phát từ những lý do trên, chúng tôi quyết định chọn hướng nghiên
cứu xích thay đổi trạng thái theo từng khoảng thời gian rời rạc để làm đề tài
cho luận văn thạc sĩ của mình, với chủ đề về “Xích Markov và các vấn đề liên
quan đến quá trình sinh – tử”.

2. Mục đích nghiên cứu
Tập trung nghiên cứu hai vấn đề chính. Thứ nhất, Xích Markov với thời
gian rời rạc, liên tục và các vấn đề liên quan đến quá trình sinh tử. Thứ hai, tìm
1


hiểu sâu về việc thu nhập, xử lý dữ liệu bằng các phần mềm chuyên dùng trong
phân tích dữ liệu..

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
3.1 Đối tượng nghiên cứu

- Quá trình ngẫu nhiên; Quá trình thuần sinh; Quá trình thuần tử; Quá

trình sinh tử hỗn hợp.
- Ứng dụng lý thuyết vào trong một số vấn đề cụ thể.
3.2 Phạm vi nghiên cứu

- Mơ hình Xích Markov.
- Dữ liệu ứng dụng là dữ liệu thứ cấp.

4. Phương pháp nghiên cứu
Trước tiên, sử dụng các cơng cụ của giải tích kinh điển kết hợp với các cơng
cụ của giải tích ngẫu nhiên để nghiên cứu về các đối tương liên quan đến đề tài
cụ thể là:
- Quá trình Wiener và các q trình ngẫu nhiên có liên quan.
- Vi và tích phân ngẫu nhiên(Vi-tích phân Itơ), cơng thức Itơ, các phép
tốn cho q trình ngẫu nhiên với thời gian rời rạc và hữu hạn trạng thái.
- Nghiên cứu về quá trình thuần sinh và thuần tử trong mơ hình các q
trình sinh học, tổng qt hơn đó là mơ hình về q trình phục hồi trong giải
tích ngẫu nhiên.
Thứ hai, về phương pháp luận trong nghiên cứu, giải quyết các vấn đề là
kết hợp giữa phương pháp quy nạp và phương pháp diễn dịch.
- Nghiên cứu từ những ví dụ, bài tốn cụ thể để rồi tổng hợp thành các
tính chất chung(nếu có) của đối tượng nghiên cứu(Quy nạp).
- Cách tiếp cận khác song song với phương pháp trên là diễn dịch, tức là
từ những mầm mống sơ khởi có tính quy luật ta chứng minh cho những trường
hợp đơn giản để khẳng định và thấy rõ hơn đặc tính mà ta có thể rút ra từ
những nét khái quát ban đầu.
Ngồi ra, phương pháp nghiên cứu ln dự trên các kiến thức mà các thầy,
2


cô đã truyền tải trong các môn học của chương trình cao học cùng với sự phân

tích, tìm tịi thêm qua các tài liệu tham khảo từ các trạng mạng và từ các sách
chuyên khảo nước ngoài liên quan đến các vấn đề của đề tài.

5. Cấu trúc luận văn
Luận văn ngoài phần mở đầu, phần nội dung và phần kết luận, trong đó
phần nội dung gồm 3 chương:
Chương 1. Một số khái niệm về đại số và quá trình ngẫu nhiên
Chương 2. Các vấn đề cơ bản về Xích Markov
Chương 3. Q trình sinh-tử xét qua mơ hình Xích Markov

1. Mua file code LaTeX liên hệ email:
2. Mã số file: M1

3


Chương 1

MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ ĐẠI SỐ
VÀ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
Trong chương này trình bày có chọn lọc các kiến thức về không gian xác
suất và không gian xác suất có lọc, phân tích trực giao và phân tích chính tắc
của q trình ngẫu nhiên, ma trận tương quan và ma trận hiệp phương sai, phân
tích phổ và phân tích suy biến cho một ma trận để chuẩn bị cho hai chương sau.
Các kiến thức được trích từ những nguồn tài liệu có tính khoa học và tính sư
phạm cao.
Dự kiến phân chia thành các mục với trình tự phát triển của mạch kiến
thức hợp lý như sau:

1.1

Không gian xác suất và khơng gian xác suất có lọc

1.2

Phân tích trực giao và phân tích chính tắc của q trình
ngẫu nhiên

1.3

Ma trận tương quan và ma trận hiệp phương sai

1.4

Phân tích phổ và một số phân tích đặc thù cho một ma
trận ngẫu nhiên

4


Chương 2

CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ XÍCH
MARKOV
Trong chương này trình bày có chọn lọc các kiến thức về Xích Markov
với thời gian rời rạc, sau đó mở rộng sang trường hợp là quá trình Markov xét
kèm theo những đặc tính và các liên hệ giữa các khái niệm đó. Bên cạnh đó là ý
nghĩa thực tế của các khái niệm vế xích Markov được xét qua các ví dụ cụ thể
bằng các cơng cụ của các phép tốn ngẫu nhiên(các phép tốn Itơ,...).
Dự kiến phân chia thành các mục với trình tự phát triển của mạch kiến

thức hợp lý như sau:

2.1

Xích Markov với thời gian rời rạc

2.2

Xích Markov với thời gian liên tục

2.3

Xích Markov thuần nhất và khơng thuần nhất về thời gian

2.4

Phân phối giới hạn và phân phối dừng

5


Chương 3

Q TRÌNH SINH-TỬ XÉT QUA
MƠ HÌNH XÍCH MARKOV
Trong chương này trình bày các vấn đề cơ bản kèm theo kết quả(nếu có)
của mình theo hướng của đề tài và chỉ ra được mối liên hệ giữa mơ hình và một
số ví dụ thực tế trong nơng nghiệp hoặc trong y-sinh.
Phần cuối luận văn sẽ trình bày một mơ hình rút từ thực tế có sử lý số
liệu bằng các phần mềm chuyên dùng như R, SPSS hoặc EViews.

Dự kiến phân chia thành các mục với trình tự phát triển của mạch kiến
thức hợp lý như sau:

3.1

Quá trình thuần sinh và phần tử sinh cực vi của nó

3.2

Q trình thuần tử

3.3

Q trình sinh - tử hỗn hợp

3.4

Một số bài tốn và ví dụ có liên quan

6


PHẦN KẾT LUẬN
- Tổng kết các vấn đề đã thực hiện trong luận văn.
- Đưa ra những định hướng hướng nghiên cứu tiếp trong thời gian tới từ
những nghiên cứu đã thực hiện.

7

THỜI GIAN LÀM LUẬN VĂN
1. Thu thập tài liệu: 5/2021-8/2021
2. Viết và báo cáo đề cương: 8/2021-10/2021
3. Viết chương 1: 10/2020-12/2020
4. Viết chương 2: 01/2022-03/2022
5. Hoàn chỉnh luận văn: 05/2022-06/2022
6. Chuẩn bị và thực hiện báo cáo luận văn: 7/2022-8/2022

8


TÀI LIỆU THAM KHẢO
A. Tài liệu tiếng Việt
[1] Dương Tôn Đảm (2006). Quá trình ngẫu nhiên: Phần mở đầu. Đại học
quốc gia thành phố Hồ Chí Minh.
[2] Dương Tơn Đảm (2007). Q trình ngẫu nhiên. Phần I - Tích phân và
phương trình vi phân ngẫu nhiên. Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh.
[3] Dương Tơn Đảm (2010). Q trình ngẫu nhiên. Phần II - Các phép tốn
Malliavin. Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh.
[4] Dương Tơn Đảm; Dương Tôn Thái Dương; Đặng Kiên Cường (2018). Một
số phương pháp Tốn thống kê trong phân tích dữ liệu và Qúa trình khuếch tán
ngẫu nhiên. Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh.
[5] Nguyễn Duy Tiến (2001). Các mơ hình xác suất và ứng dụng. Tập 1 - Xích
Markov và ứng dụng. Đại học Quốc gia Hà Nội.
[6] Nguyễn Duy Tiến (2001). Các mơ hình xác suất và ứng dụng. Tập 2 - Quá
trình dừng và ứng dụng. Đại học Quốc gia Hà Nội.
[7] Nguyễn Duy Tiến (2005). Các mơ hình xác suất và ứng dụng. Đại học
Quốc gia Hà nội.
[8] Nguyễn Viết Phú; Nguyễn Duy Tiến (2004). Cơ sở lý thuyết xác xuất. Đại
học quốc gia Hà Nội.

B. Tài liệu tiếng Anh
[9] Anders Tolver. (2016). An Introduction to Markov Chains. Lecture Notes
for Stochastic Processes.
[10] Frank Beichelt. (2016). Applied Probabiliry and Stochastic Processes.
CRC Press Taylor and Francis Group.
[11] Kemeny, T. G; Snell, J. Laurie. (1960). Finite Markov chains. D. Van
Nostrand.
[12] Mario Lefebvre. (2007). Applied Stochatic Processes. Springer.
9


[13] Richard Serfozo. (2009). Basics of Applied Stochastic Processes. Springer.
[14] Yuri Suhov; Mark Kelber. (2008). Probability and statistics by example.
Markov chains: a primer in random processes and their applications. Cambridge
University Press.

10


Cần Thơ, ngày 01 tháng 10 năm 2021
Xác nhận của người hướng dẫn

Học viên thực hiện

TS.

Thái Gia Phú

11