DE HSG Toan 8 TT

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH THỦY ĐỀ THI HỌC SINH NĂNG KHIẾU NĂM HỌC 2010 – 2011 MÔN TOÁN LỚP 8 Đề thi có : 01 trang. Đề chính thức (Thời gian làm bài: 150 phút không kể thời gian giao đề). C©u 1 ( 6 ®iÓm): Cho biÓu thøc : A=. ( x −21 − 42−xx + 2+1 x ) ⋅( 2x −1) 2. (víi x 0, 2). a) Rót gän A. b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A t¹i x tho¶ m·n: 2x2 + x = 0 c) Tìm x để A= 1 2. d) Tìm x nguyên để A nguyên dơng. C©u 2 ( 4 ®iÓm): a)Chứng minh đẳng thức : (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) b) Cho a,b,c lµ ba sè tho¶ m·n ®iÒu kiÖn a+b+c=1 vµ a3+b3+c3=1. Chøng minh r»ng: a2011+b2011+c2011=1. C©u 3 ( 4 ®iÓm): a) Chứng minh m, n, p, q ta đều có m ❑2 + n ❑2 + p ❑2 + q ❑2 +1 m(n+p+q+1) b) T×m c¸c sè nguyªn d¬ng x, y tho¶ m·n 3xy  x  15y  44 0 . C©u 4 ( 6 ®iÓm): Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E.   a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC và EAD ECB 2. b) Cho BMC 120 và S AED 36cm . Tính SEBC? c) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD + CM.CA có giá trị không đổi. . 0. H  BC.  . Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH, d) Kẻ DH  BC  DH. Chứng minh CQ  PD . HÕt Hä vµ tªn häc sinh:......................................................., sè b¸o danh:................... C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH THỦY.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH NĂNG KHIẾU NĂM HỌC 2010 – 2011 MÔN TOÁN LỚP 8. C©u 1 ( 6 ®iÓm): Cho biÓu thøc : A=. ( x −21 − 42−xx + 2+1 x ) ⋅( 2x −1) 2. víi x 0, 2. a) Rót gän A. b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A t¹i x tho¶ m·n: 2x2 + x = 0 c) Tìm x để A= 1 2. d) Tìm x nguyên để A nguyên dơng. §¸p ¸n a). 1 2x 1 2 A= − + ⋅ −1 2 x −2 4 − x 2+x x. (. )( ). 4 = ... = x  2. b) 2x2 + x = 0  x(2x + 1) = 0  x= 0(Kh«ng tháa m·n §K) 1 hoÆc x = 2 4 8  1 1 2 3 Víi x = 2 th× A = 2 4 1 1 c) §Ó A = 2 hay x  2 = 2. Thang ®iÓm 2® 1® 0,5®. 1®  x +2 = -8  x = -10. d) Để A nguyên dơng thì x+2 là ớc âm của 4, khi đó: x + 2 = -1  x= -3 khi đó A = 4 x + 2 = -2  x = -4 khi đó A = 2 x + 2 = -4  x = -6 khi đó A = 1 C©u 2 ( 4 ®iÓm): a)Chứng minh đẳng thức : (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) b) Cho a,b,c lµ ba sè tho¶ m·n ®iÒu kiÖn a+b+c=1 vµ a3+b3+c3=1. Chøng minh r»ng: a2011+b2011+c2011=1. §¸p ¸n a) Ta cã: (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = [(a + b + c)3 - a3] - (b3 + c3) = (b + c)[(a + b + c)2 + (a + b + c)a + a2] - (b + c)(b2 - bc + c2) = (b + c)(3a2 + 3ab + 3bc + 3ca) = 3(b + c)[a(a + b) + c(a + b)] = 3(a + b)(b + c)(c + a) VËy (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) b) Do a3+b3+c3=1 vµ a+b+c=1 ta cã. a3+b3+c3 = (a+b+c)3 ⇔ 3(a+b)(b+c)(c+a)=0 ( theo phÇn a) ⇔ a=-b hoÆc b=-c hoÆc c=-a. NÕu a=-b ta cã a2011+ b2011+ c2011 = a2011 - a2011+ c2011 = c2011= 1 T¬ng tù ta còng cã kÕt luËn nh trªn. 0,5® 0,5® 0,5®. Thang ®iÓm 0,5® 0,5® 0,5® 0,5® 0,5® 0,5® 0,5®.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> VËy a2011 + b2011 + c2011 = 1 C©u 3 ( 4 ®iÓm): a) Chứng minh m, n, p, q ta đều có m ❑2 + n ❑2 + p ❑2 + q ❑2 +1 m(n+p+q+1) b) T×m c¸c sè nguyªn d¬ng x, y tho¶ m·n 3xy  x  15y  44 0 . §¸p ¸n a) m ❑2 + n ❑2 + p ❑2 + q ❑2 +1 m(n+p+q+1). m2 m2 m2 m2 − mn +n2 + − mp+ p2 + − mq+q2 + − m+1 ≥ 0 4 4 4 4 2 2 2 2 m m m m ⇔ − n + − p + − q + −1 ≥ 0 (luôn đúng) 2 2 2 2 ⇔. (. (. )(. )(. )(. )(. )(. m −n=0 2 m − p=0 2 m −q=0 2 m −1=0 2. )(. ). m 2 m p= 2 m q= 2 m=2. { {. DÊu b»ng x¶y ra khi. ). ⇔. n=. 0,5®. Thang ®iÓm 1® 0,5®. 0,5® ⇔. {n=m=2 p=q=1. b) 3xy  x  15y  44 0   x  5   3y  1 49 x, y nguyªn d¬ng do vËy x + 5, 3y + 1 nguyªn d¬ng vµ lín h¬n 1. Tho¶ m·n yªu cÇu bµi to¸n khi x + 5, 3y + 1 lµ íc lín h¬n 1 cña 49 nªn cã:. 0,5® 0,25® 0,5® 0,5®.  x  5 7  x 2   3y  1 7  y 2. 0,25®. VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nguyªn lµ x = y = 2. C©u 4 ( 6 ®iÓm): Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E.   a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC và EAD ECB 2. b) Cho BMC 120 và S AED 36cm . Tính SEBC? c) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD + CM.CA có giá trị không đổi. . 0. H  BC . d) Kẻ DH  BC  Chứng minh CQ  PD .. . Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH, DH.. §¸p ¸n. Thang ®iÓm.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> E. D A M Q. B. P. I. H. C. a)* Chøng minh EA.EB = ED.EC - Chứng minh  EBD đồng dạng với  ECA (gg) EB ED   EA.EB ED.EC EC EA - Từ đó suy ra   EAD ECB. 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ®. * Chøng minh. - Chứng minh  EAD đồng dạng với. .  ECB (cgc). . - Suy ra EAD ECB   b) Tõ BMC = 120o  AMB = 60o  ABM = 30o - XÐt. 0,5 ®.   EDB vu«ng t¹i D cã B = 30o 1 ED 1   ED = 2 EB  EB 2. 0,5 ® 0,5 ®. 2. S EAD  ED    S EB   từ đó ECB - Lý luËn cho.  SECB = 144 cm2. c)- Chứng minh  BMI đồng dạng với  BCD (gg) - Chøng minh CM.CA = CI.BC - Chứng minh BM.BD + CM.CA = BC2 có giá trị không đổi Cách 2: Có thể biến đổi BM.BD + CM.CA = AB2 + AC2 = BC2. 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ®. d)- Chứng minh  BHD đồng dạng với  DHC (gg) BH BD 2 BP BD BP BD       DH DC 2 DQ DC DQ DC - Chứng minh  DPB đồng dạng với  CQD (cgc). 0,5 ® 0,5 ®. 0,5 ®.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>     BDP DCQ   CQ  PD o   ma`BDP  PDC 90  Ghi chó: - Nếu học sinh giải theo cách khác đáp án mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa. - Trong quá trình chấm bài giám khảo vận dụng linh hoạt đáp án, nghiên cứu kỹ bµi lµm cña häc sinh. CÇn thèng nhÊt chia ®iÓm nhá tíi 0,25 ®iÓm..

<span class='text_page_counter'>(6)</span>