De thi HSG huyen V2 20152016

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHÒNG GD & ĐT DIỄN CHÂU ĐỀ THI VÒNG II, CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 NĂM HỌC 2015-2016 Môn Toán – ( Thời gian làm bài 150 phút) -----------------------------------------------Bài 1 (4 điểm). Tính giá trị các biểu thức: A  3 2 3  4 2 . 6 44  16 6 3. B x. 4. 3 .6 7  4 3  x. 2. 9 4 5. 2 5  x. Bài 2 (4 điểm).. a, Chứng minh rằng:. . 3. 3. 32 2  3 2 2. b, Cho a, b, c > 1. Chứng minh rằng:. . 8.  36. a b c   12. b1 c1 a1. Bài 3 (4 điểm). Giải các phương trình: 1 1 x  x   x  2 2 4 a,. b,. ( x  1)( x  2) . x 3 . x  2  ( x  1)( x  3). =0. Bài 4 (6 điểm). 1, Cho đường tròn tâm O đường kính AB và dây cung CD không là đường kính. Gọi M là giao điểm các tiếp tuyến của đường tròn tại C và D; N là giao điểm các đường thẳng AC và BD. Đường thẳng qua N vuông góc với NO cắt AD, BC lần lượt tại E, F. Chứng minh: a. MN vuông góc với AB. b. NE = NF. 2, Cho ∆ABC vuông ở A. Biết: BC = 4  4 3 và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 2. Tính số đo góc B và góc C của tam giác ABC. Bài 5 (2 điểm). Với số thực a, ta gọi phần nguyên của a là số nguyên lớn nhất không vượt quá a và kí hiệu là.  a .. Cho dãy số: x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ,…,x n ,…(n  N) được sác định bởi công thức:  n  1  n  xn       2   2  với mọi giá trị của n. Hỏi trong 2015 số {x 0 , x1, x2,…, x 2014 } có bao. nhiêu số khác 0 ?.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> -----------------Hết------------HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN VÒNG II – NĂM HỌC 2015-2016 Bài 1. Câu. Hướng dẫn giải. Điểm 0,5. 2 3 6 A= 2 3  4 2 . (2 3  4 2) 3. =. 0,5. 2 3  4 2 .3 2 3  4 2. 0,5. 3 = (2 3  4 2)(2 3  4 2). 0,5. 3 3 = 12  32 = - 20. 2. 3. 6 (2  3) 2  x. 4. (2 . 5) 2 . 2  5  x. 3. 2. 3. x. B= x. = = 2. 0,5. 3. 3 2  3  x. 5  2. 2  5  x. = x. 0,5. 0,5. 1 x 1 x. x  (1 . 0,5. x) = 1. a Đặt: a = x + y , với x =. 3. 32 2, y =. 3. 3 2 2. 0,5 .. Dễ thấy: x3 + y3 = 6 và x.y = 1 0,5.  a 3  x 3  y 3   3xy ( x  y ) 6  3a  a 3 3(1  1  a)  3.3 3 1.1.a (Vì: x > 1, y > 0 nên: a > 1). Do đó:. Vậy :. . 0,5. a 9  (32 )3 .a  a8  36. 3. 3. 3 2 2  3 2 2. . 8. 0,5. 6. 3. b Áp dụng bất đẳng thức Côsi với 3 số dương:. a b c   3 3 c1 a1 có: b  1 Mạt khác, từ: a - 4 a + 4  0  tương tự:. 33 . b b  1  4 và. a b c b  1 , c  1 , a  1 ta. 0,5. a b c . . . b1 c1 a1. a a  1  4,. 0,5. c c  1 4. a b c . . 3 3 4.4.4 12. b1 c1 a1. 0,5.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Vậy: 3. a Đặt: . b. a b c   12. b1 c1 a1. 0,5. 1 1 1 2 4 = t, (t  0)  x + 2 = t + 4. 0,5. x. 1 1 x  x 2 4 =. 0,5. 1 1 (t  )2 2 = t + 2 , (vì t  0). Vậy phương trình đã cho trở thành:. 0,5. 1 1 1 2 2 t + t + 4 = 2  (t + 2 ) = 2  t + 2 = 2 , (vì t  0) 1 1 x 4 = t = 2 - 2 , giải ra ta được: x = 2 - 2  Ta có: VT =( x  1  1) ( x  2  x  3 ). 0,5. PT trở thành:( x  1  1) ( x  2  x  3 ) = 0, vì:. 0,5. . 0,5. x  2  x  3 0. 0,5. x 1 1 = 0  x = 2. Vậy nghiệm phương trình là: x = 2. 0,5. 4. P. M. F. Q. C. D A. N B O. H E. 1.a. Gọi P là giao điểm của AD và BC  N là trực tâm  PAB  PN . 0,5. AB. Gọi giao điểm tiếp tuyến của (O) tại D với PN là M’.. 0,5.      PDM ' = ABD ' = DPM ' Do: PDM   PM’D cân tại M’  PM’ = DM’  M’ là trung điểm PN. Tương tự tiếp tuyến tại C của (O) cắt PN tại trung điểm M” của PN. 0,5 0,5.  M’, M” trùng M  Đpcm.. 1.b. Trên tia đối của tia NB lấy điểm Q sao cho NQ = NB.    . QA // NO  QA  NE A là trực tâm của  QNE  NA  QE ( tại H) FB // EQ mà N là trung điểm của BQ N cũng là trung điểm của EF  NE = NF (Đpcm).. 0,5 0,5 0,5 0,5.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 2. + Nếu: AB  AC. Gọi I, H, K lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp ∆ABC với các cạnh AB, AC, BC. Ta có: AB + AC = AI + AH + BI + CH = AI + AH + BK + KC = 8 + 4 3 (1)  (AB + AC)2 = AB2 + AC2 + 2AB.AC = BC2 + 2AB.AC. 0,5 0,5. (8  4 3 ) 2  BC2 24  16 3 2 = (8 + 4 3 )2  AB.AC = (2) Từ (1) và (2), kết hợp với AB < AC. 0,5.  AB = 2 + 2 3 ; AC = 6 + 2 3. sin C  . AB 2  2 3 1    300 ; B  600 BC 4  4 3 2  C .. 0,5. 0  0  + Tương tự, nếu: AB AC Thì: B 30 ;C 60 .. 5. Vì: a - 1 < . n √ 2 - 1) =. 0,5. 1, vậy: x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ,…,x 2014 chỉ nhận giá trị. 0,5. a  a, nên:. 1 +1 < 2 √2 ⇒ 0 x ❑n. n+1 2. n 2. [ √ ] - [√ ] <. n+1 √2 - (. 0 hoặc 1. Cho nên số các số khác 0 là: 2014. x k 0. k. =. 1 √2. 0 √2. 0,5 2 √2. 1 √2. [ ]-[ ]+[ ]-[ ].  2015   2014      +...+  2  -  2  =.  2015   2     2015  2015 ⇒    2  =1424 Mà: 1424< 2 <1425. Vậy có tất cả 1424 số khác 0.. Lưu ý: - Hướng dẫn chấm gồm 03 trang;. 0,5.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> - Thí sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa; - Bài 4, học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai không chấm..

<span class='text_page_counter'>(6)</span>