chỉ sổ chính quy CASTELNUOVO MUMFORD và tính level của một số lớp ideal đơn thức TT

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
——————–o0o———————

PHAN THỊ THỦY

CHỈ SỐ CHÍNH QUY CASTELNUOVO-MUMFORD
VÀ TÍNH LEVEL CỦA MỘT SỐ LỚP IDEAL ĐƠN THỨC

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 9 46 01 04

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2021


Luận án được hoàn thành tại:
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Công Minh
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

Phản biện 1: GS.TSKH. Nguyễn Quốc Thắng
Viện Toán học
Phản biện 2: PGS.TS. Nguyễn Thị Dung
Trường Đại học Nông Lâm - Đại học Thái Nguyên
Phản biện 3: TS. Lưu Bá Thắng
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

Luận án được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Trường họp tại

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội vào hồi ..... giờ ..... ngày ...... tháng ...... năm
20.....

Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Quốc gia Việt Nam
- Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội


Mở đầu
1

Lý do chọn đề tài

Cho R = K[x1 , . . . , xn ] là một vành đa thức trên trường K và I là
một ideal thuần nhất thực sự của vành R. Theo định lí syzygy của
Hilbert, R/I có giải tự do phân bậc tối tiểu độ dài hữu hạn dạng:
βp (R/I)

F : 0 −→

β1 (R/I)

R(−dp,j ) −→ · · · −→
j=1

R(−d1,j ) −→ R
j=1

−→ R/I −→ 0,

trong đó p là chiều xạ ảnh của R-module R/I . Số β1 (R/I) là số phần
tử sinh tối tiểu của ideal I và các số Betti βi (R/I) là số phần tử sinh
tối tiểu của module syzygy thứ i của R/I. Các số di,1 , . . . , di,βi (R/I) là
bậc của các phần tử thuần nhất trong một hệ sinh tối tiểu (gọi tắt là
bậc sinh) của module syzygy thứ i. Về mặt tổng quát, giải tự do phân
bậc tối tiểu F của R/I vẫn chưa được biết. Trong luận án này, chúng
tôi nghiên cứu một số thông tin về giải tự do phân bậc tối tiểu F theo
cấu trúc tổ hợp của ideal đơn thức I , cụ thể là tính level và chỉ số chính
quy Castelnuovo-Mumford.
Hướng nghiên cứu thứ nhất trong luận án này liên quan đến tính
level của vành thương của vành đa thức cho một ideal đơn thức. Khái
1


2

niệm của tính level được R. Stanley giới thiệu vào năm 1977 để nghiên
cứu đặc điểm các h-vectơ của các vành Cohen-Macaulay. Vành R/I
là một vành level nếu và chỉ nếu nó là một vành Cohen-Macaulay và
module tự do cuối cùng trong giải tự do phân bậc tối tiểu của R-module
R/I được sinh cùng bậc. Vì vậy khi R/I là một vành level, số Betti

cuối cùng của R/I là hệ số của bậc cao nhất của đa thức tử số của
chuỗi Hilbert của nó. Mục tiêu của luận án này là tìm những điều kiện
cần hoặc/và những điều kiện đủ để R/I là một vành level theo tính
chất tổ hợp của I .
Hướng nghiên cứu thứ hai trong luận án liên quan đến chỉ số chính
quy Castelnuovo-Mumford của một số lớp ideal đơn thức. Khái niệm
chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford được bắt nguồn từ những cơng
trình về đường cong xạ ảnh của G. Castelnuovo và được D. Mumford

phát biểu định nghĩa cho các đa tạp xạ ảnh.
Với mỗi số nguyên i ≥ 0, đặt:


max{j | Hmi (R/I)j = 0}
ai (R/I) =


−∞

nếu Hmi (R/I) = 0
nếu Hmi (R/I) = 0,

trong đó Hmi (R/I) là module đối đồng điều địa phương thứ i của R/I
với giá là ideal thuần nhất cực đại m = (x1 , . . . , xn ). Chỉ số chính quy
Castelnuovo-Mumford của R/I được định nghĩa là số
reg(R/I) = max{ai (R/I) + i | 0 ≤ i ≤ dim(R/I)}.

Mối liên hệ giữa khái niệm này và bậc sinh của các module syzygy


3

của R/I được thiết lập bởi D. Eisenbud và S. Goto. Cụ thể, chỉ số
chính quy Castelnuovo-Mumford của R/I được tính bởi cơng thức
reg(R/I) = max{di,j − i | i = 1, . . . , p và j = 1, . . . , βi (R/I)}.

Như vậy chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford vừa là một chặn trên
của bậc khơng triệt tiêu của các module đối đồng điều địa phương với
giá là ideal thuần nhất cực đại, vừa được sử dụng để chặn trên các bậc

sinh của các module syzygy trong giải tự do phân bậc tối tiểu của R/I .
Luận án này quan tâm tới vấn đề tính chỉ số chính quy CastelnuovoMumford của các lớp ideal đơn thức đặc biệt theo cấu trúc tổ hợp
tương ứng của chúng.
Tóm lại, luận án của chúng tôi, với tiêu đề: “Chỉ số chính quy
Castelnuovo-Mumford và tính level của một số lớp ideal đơn thức”,
hịa vào dịng chảy nghiên cứu các tính chất đại số của một ideal đơn
thức theo dữ liệu tổ hợp ban đầu. Đây là một hướng nghiên cứu đã và
đang phát triển mạnh mẽ trong Đại số giao hốn tổ hợp.
2

Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của luận án là tính chỉ số chính quy CastelnuovoMumford và đặc trưng tính level của một số lớp ideal đơn thức theo
cấu trúc dữ liệu tổ hợp của ideal.
3

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu cụ thể của luận án gồm: các ai − bất biến, chỉ
số chính quy Castelnuovo-Mumford, các số Betti, các số Betti phân


4

bậc và tính level của một số lớp ideal đơn thức đặc biệt trong vành đa
thức R = K[x1 , . . . , xn ] với K là một trường.
Lớp ideal đầu tiên mà luận án nghiên cứu là các lũy thừa thường và
các lũy thừa hình thức của ideal Stanley-Reisner: Cho ∆ là một phức
đơn hình trên [n] = {1, . . . , n}. Ideal Stanley-Reisner I∆ của ∆ (trên
K) là ideal của R được sinh bởi các đơn thức không chứa mũ xi1 . . . xip

sao cho {i1 , . . . , ip } ∈
/ ∆. Từ định nghĩa, ta biết rằng I∆ có phân tích
nguyên sơ I∆ =

(xi | i ∈ F ), trong đó F(∆) là tập tất cả các
F ∈F(∆)

mặt cực đại của ∆. Khi đó với t ≥ 1, lũy thừa hình thức thứ t của I∆
(t)
được xác định bởi I∆
=

(xi | i ∈ F )t .
F ∈F(∆)

Lớp ideal thứ hai mà luận án nghiên cứu là các ideal trong lớp
(xk | k = i, j)wi,j ,

Cn (α, β), tức là các ideal của vành R có dạng
1≤i
trong đó wi,j nhận một trong hai giá trị nguyên dương α hoặc β với
mọi 1 ≤ i < j ≤ n và α > β > 0.
(t)
Phạm vi nghiên cứu của luận án là đặc trưng tính level của R/I∆
và
t theo ∆ với một số nguyên t ≥ 3 nào đó; nghiên cứu tính level và
R/I∆

chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của một ideal trong lớp Cn (α, β)

theo cấu trúc tổ hợp của đồ thị {{i, j} | wi,j = α, 1 ≤ i < j ≤ n}.
4

Phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi sử dụng công thức Takayama mô tả cấu trúc phân bậc
của các module đối đồng điều địa phương và phức đơn hình Koszul
dưới cho việc tính tốn các số Betti đa phân bậc.


5

5

Những đóng góp mới của luận án

Luận án đóng góp những kết quả mới về chỉ số chính quy CastelnuovoMumford, tính level và số Betti của các ideal đơn thức như sau:
❼ Đặc trưng được tính level của lũy thừa thường và lũy thừa hình

thức thứ t của ideal Stanley-Reisner của một phức đơn hình với
t ≥ 3. Với t = 2, luận án đưa ra câu trả lời trong trường hợp phức

đơn hình là một phức matroid chiều 1.
❼ Đặc trưng được hồn tồn tính level cho một ideal I bất kì thuộc

lớp Cn (α, β). Hơn nữa, luận án cũng tính số Betti cuối cùng của
R/I khi nó là level.
❼ Đưa ra các công thức cho a1 (R/I), a2 (R/I) và chỉ số chính quy

Castelnuovo-Mumford của R/I với mỗi ideal I thuộc Cn (α, β).

6

Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án

Các kết quả đạt được trong luận án sẽ góp phần làm phong phú
thêm các thông tin về giải tự do phân bậc tối tiểu, số Betti, tính level
và chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của các ideal đơn thức.
7

Cấu trúc của luận án

Ngoài phần mở đầu, phần kết luận, danh sách hình vẽ, bảng các kí
hiệu, bảng thuật ngữ, luận án gồm 4 chương.
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Trình bày một số kiến thức đã
biết liên quan đến các đối tượng được nghiên cứu trong luận án.


6

Chương 2. Tính level của các lũy thừa của ideal StanleyReisner. Chương này được trình bày trong ba mục. Mục 2.1 dành để
trình bày một vài nhóm đồng điều rút gọn khơng triệt tiêu. Mục 2.2
đặc trưng tính level cho lũy thừa thường và lũy thừa hình thức thứ
t của ideal Stanley-Reisner của một phức đơn hình với một số t ≥ 3

nào đó (Định lí 2.4). Trong Mục 2.3, chúng tơi nghiên cứu tính level
của lũy thừa hình thức thứ 2 của ideal Stanley-Reisner của một phức
matroid chiều 1 (Định lí 2.12).
Chương 3. Tính level của ideal đơn thức trong lớp Cn (α, β).
Chương này gồm ba mục. Trong mục đầu tiên, chúng tôi chỉ ra một số
bậc không triệt tiêu của số Betti phân bậc thứ n − 2 của R/I với một

ideal I ∈ Cn (α, β) . Mục thứ hai đặc trưng tính level của R/I trong
trường hợp (α, β) = (2, 1) (Định lí 3.12). Cuối cùng, chúng tơi nghiên
cứu tính level của R/I trong trường hợp (α, β) = (2, 1) (Định lí 3.18),
và tính số Betti cuối cùng của R/I khi nó là level (Định lí 3.19).
Chương 4. Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của
ideal đơn thức trong lớp Cn (α, β). Chương này chia thành 3 mục.
Mục 4.1 xác định giá trị của a1 (R/I) (các Định lí 4.3. 4.4, 4.5, 4.6, 4.7)
với mỗi I ∈ Cn (α, β). Trong Mục 4.2, chúng tơi thiết lập các cơng thức
cho a2 (R/I) (Định lí 4.11) và chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford
reg(R/I) (Định lí 4.12). Mục 4.3 đưa ra một điều kiện để ideal trong

lớp Cn (α, β) có giải tự do tuyến tính.


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi sẽ nhắc lại một số vấn đề cơ bản liên
quan đến các đối tượng được đề cập trong luận án.
1.1

Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford

1.2

Vành level

1.3

Phức đơn hình

1.4

Nhóm đồng điều rút gọn

1.5

Cơng thức Takayama

1.6

Phức đơn hình Koszul dưới

1.7

Matroid

1.8

Ideal Stanley-Reisner

Trong tồn bộ luận án, ta luôn xét R = K[x1 , . . . , xn ] là một vành
đa thức trên trường K và m = (x1 , . . . , xn ) là ideal thuần nhất cực đại
của R.

7


Chương 2

Tính level của các lũy thừa của
ideal Stanley-Reisner
Cho ∆ là một phức đơn hình trên tập đỉnh [n] và I∆ là ideal StanleyReisner của nó. Các điều kiện cần và các điều kiện đủ của tính CohenMacaulay của I∆ theo ∆ được cho bởi G. Reisner. Do đó tính level
trong trường hợp này được biết thông qua công thức Hochster.
t và R/I (t)
Trong chương này, chúng tôi đặc trưng tính level của R/I∆
∆

với một số nguyên t ≥ 3 nào đó. Với t = 2, chúng tơi đưa ra một điều
(2)
kiện cho tính level của R/I∆
khi ∆ là một phức matroid chiều 1.

2.1

Một vài nhóm đồng điều rút gọn khơng triệt tiêu

Trong mục này, chúng tơi trình bày một số nhóm đồng điều rút gọn
khơng triệt tiêu. Các kết quả này có ý nghĩa quan trọng trong đánh
giá một số bậc không triệt tiêu của các số Betti cuối cùng của các lũy
thừa hình thức của một ideal Stanley-Reisner.

8


9

2.2

Trường hợp số mũ t ≥ 3

Cho ∆ là một phức đơn hình chiều (d − 1) ≥ 0 trên tập đỉnh [n].
(t)
Trong phần này, chúng tôi sẽ đặc trưng tính level của R/I∆
với một

số t ≥ 3 nào đó.
Ta biết rằng nếu I∆ là ideal Stanley-Reisner của một phức matroid
∆ thì các circuit của ∆ tương ứng với các phần tử sinh tối tiểu của
(t)

I∆ . Từ tính level của một lũy thừa hình thức R/I∆ với t ≥ 2, ta luôn

nhận được điều kiện rằng I∆ được sinh cùng bậc như sau.
Định lí 2.3. Cho ∆ là một phức matroid chiều d − 1 ≥ 0 và I∆ là
(t)
ideal Stanley-Reisner của ∆. Nếu R/I∆
là một vành level với một

t ≥ 2 nào đó thì mọi circuit của ∆ có cùng số phần tử.

Kết quả chính của đầu tiên của chương này là đặc trưng tính level
(t)
t với số mũ t ≥ 3.
của R/I∆
và R/I∆

Định lí 2.4. Cho ∆ là một phức đơn hình chiều d − 1 ≥ 0 và I∆ là
ideal Stanley-Reisner của ∆. Khi đó các khẳng định sau là tương
đương.

t là một vành level với mọi t ≥ 1.
(1) R/I∆
t là một vành level với một t ≥ 3 nào đó.
(2) R/I∆
(t)

(3) R/I∆ là một vành level với mọi t ≥ 1.
(t)

(4) R/I∆ là một vành level với một t ≥ 3 nào đó.
(5) ∆ là một phức matroid mà các circuit của nó có cùng số phần

tử và đôi một rời nhau.


10

Chúng tôi cũng lưu ý rằng tồn tại các phức đơn hình ∆ mà lũy thừa
hình thức thứ hai của nó là level nhưng lũy thừa thường thứ hai khơng
phải là level (xem ví dụ trong phần tiếp theo).
2.3

Trường hợp số mũ t = 2

Mục đích chính của phần này là đặc trưng tính level của lũy thừa
hình thức thứ hai của I∆ khi ∆ là một phức matroid chiều 1. Khi đó
các mặt cực đại của ∆ được xem như là các cạnh của một đồ thị đơn
trên tập đỉnh [n]. Do đó ∆ có thể được coi là một đồ thị matroid. Kết
quả chính trong phần này được phát biểu trong định lí dưới đây.
Định lí 2.12. Cho ∆ là một đồ thị matroid trên tập đỉnh [n] với

(2)

n ≥ 2. Khi đó R/I∆ là một vành level nếu và chỉ nếu ∆ là một đồ

thị đầy đủ hoặc một đồ thị hai phần đầy đủ.
Ví dụ sau đây chỉ ra một phức đơn hình khơng phải là một phức
matroid nhưng lũy thừa hình thức thứ hai của ideal Stanley-Reisner
của nó vẫn là level.
Ví dụ 2.13 (ii). Cho n = 10 và ∆ là một phức đơn hình với
F(∆) = {{1, 2}, {2, 3}, {3, 4}, {4, 5}, {1, 5}, {1, 6}, {2, 7}, {3, 8}, {4, 9},
{5, 10}, {6, 8}, {6, 9}, {7, 9}, {7, 10}, {8, 10}}.

Ta có thể xem ∆ như là đồ thị Petersen


11

(2)
Sử dụng Macaulay2, R/I∆
có giải tự do phân bậc tối tiểu

0 → R(−11)90 −→ R(−10)684 −→ R(−9)2240 −→ R(−8)4095
−→ R(−6)5 ⊕ R(−7)4500 −→ R(−5)60 ⊕ R(−6)2945
−→ R(−4)75 ⊕ R(−5)1068 −→ R(−3)30 ⊕ R(−4)165 −→ R
(2)

−→ R/I∆ → 0.
(2)
Từ đó suy ra R/I∆
là một vành level. Hơn nữa, sử dụng Macaulay2,

2 là
ta cũng nhận được giải tự do phân bậc tối tiểu của R/I∆

0 → R(−13)20 −→ R(−12)210 −→ R(−11)1080 −→ R(−10)3444
−→ R(−9)7280 −→ R(−8)10395 −→ R(−7)9960 −→ R(−6)6180
2
−→ R(−5)2268 −→ R(−4)380 −→ R −→ R/I∆
→ 0.
2 không là một vành Cohen-Macaulay. Vì vậy R/I 2 khơng
Do đó R/I∆
∆

là một vành level.
Qua ví dụ trên, ta cũng thấy được rằng tính level của lũy thừa thường
và lũy thừa hình thức thứ hai của ideal Stanley-Reisner là khác nhau.


Chương 3

Tính level của ideal đơn thức trong
lớp Cn(α, β)
Cho I là một ideal của vành đa thức R có dạng:
w

Pi,ji,j ,

I=
1≤i
trong đó Pi,j là các ideal của R được sinh bởi tập {x1 , . . . , xn } \ {xi , xj }

và wi,j là các số tự nhiên với mọi 1 ≤ i < j ≤ n. Kí hiệu Cn (α, β) là
tập các ideal I có dạng trên với wi,j ∈ {α, β}, trong đó α > β > 0. Đặt
G = {{i, j} | wi,j = α, 1 ≤ i < j ≤ n}.

Ta có thể coi G là một đồ thị đơn khơng có đỉnh cơ lập với tập đỉnh
V (G) ⊆ [n] và tập cạnh E(G) = {{i, j} | {i, j} ∈ G}. Trong chương

này, chúng tơi đặc trưng tính level của R/I theo cấu trúc của đồ thị G
với I ∈ Cn (α, β).
Rõ ràng rằng nếu n = 2, 3 thì R/I ln là level (kể cả khi wi,j ∈ N
với mọi 1 ≤ i < j ≤ n). Hơn nữa, nếu G = ∅ hoặc G là một đồ thị đầy
đủ với V (G) = [n] thì I là một lũy thừa hình thức của ideal StanleyReisner của một phức đơn hình chiều 1 đầy đủ trên tập đỉnh [n]. Khi
12


13

đó tính level của R/I đã được giải quyết. Trong chương này, ta giả
thiết rằng các điều kiện sau được thỏa mãn.
(1) n ≥ 4;
(2) G = ∅;
(3) Nếu G là một đồ thị đầy đủ thì V (G) = [n].
3.1

Một số bậc không triệt tiêu của số Betti phân bậc thứ
(n − 2)

Trong phần này, chúng tôi đưa ra các bổ đề cho biết một số bậc
không triệt tiêu của số Betti cuối cùng của R/I . Đây là những kết quả
được sử dụng để chứng minh các định lí chính của chương này.

3.2

Trường hợp (α, β) = (2, 1)

Trong phần này, chúng tơi nghiên cứu tính level của R/I với một
ideal I ∈ Cn (2, 1). Chúng tôi nhận được kết quả chính như sau.
Định lí 3.12. Cho n ≥ 4 và I ∈ Cn (2, 1). Khi đó R/I là một vành
level nếu và chỉ nếu một trong hai điều kiện sau được thỏa mãn:
(1) n ≥ 4 và G là một đồ thị hai phần đầy đủ với V (G) = [n];
(2) n = 4 và G là một cặp cạnh rời nhau.
3.3

Trường hợp (α, β) = (2, 1)

Mục đích của phần này là đặc trưng tính level của R/I trong trường
hợp (α, β) = (2, 1) và tính số Betti cuối cùng của R/I khi nó là một
vành level.


14

Kết quả chính đầu tiên của phần này là đưa ra một đặc trưng cho
tính level của một ideal I ∈ Cn (α, β) khi (α, β) = (2, 1).
Định lí 3.18. Cho n ≥ 4 và I ∈ Cn (α, β) với (α, β) = (2, 1). Khi đó
R/I là một vành level nếu và chỉ nếu n = 4, β = 1 và G là một đồ

thị hai phần đầy đủ K2,2 .
Ta biết rằng nếu R/I là một vành level thì số Betti cuối cùng của
R/I chính là hệ số cao nhất của đa thức tử số của chuỗi Hilbert của

nó. Định lí dưới đây cho ta biết hệ số này.
Định lí 3.19. Cho n ≥ 4 và I ∈ Cn (α, β). Giả sử rằng R/I là một
vành level. Khi đó

 






r 
n − r 


(n − r)   + r 

 nếu n ≥ 4, α = 2 và




2
2








G = Kr,n−r với 1 ≤ r ≤ n − 1;
βn−2 (R/I) =




4














α + 2

nếu n = 4, α = 2 và G là một
cặp cạnh rời nhau;
nếu n = 4, α ≥ 3 và G = K2,2 ,

 
m

trong đó quy ước   = 0 nếu m < k.
k

Theo Định lí 3.19, tính phi-Gorenstein của một ideal I ∈ Cn (α, β)
được cho bởi hệ quả sau.
Hệ quả 3.20. Cho n ≥ 4 và I ∈ Cn (α, β). Khi đó R/I khơng phải
là một vành Gorenstein.


Chương 4

Chỉ số chính quy
Castelnuovo-Mumford của ideal
đơn thức trong lớp Cn(α, β)
Trong suốt chương này, cho I là một ideal đơn thức thuộc Cn (α, β).
Chúng tôi sẽ đưa ra cơng thức tính chỉ số chính quy CastelnuovoMumford của R/I . Ta biết rằng dim(R/I) = 2 nên
reg(R/I) = max{ai (R/I) + i | i = 0, 1, 2}.

Tuy nhiên, do m = (x1 , . . . , xn ) ∈ Ass(R/I) nên a0 (R/I) = −∞. Chúng
tôi chỉ cần tính các giá trị của a1 (R/I) và a2 (R/I). Hơn nữa, nếu n = 2
hoặc n = 3 thì I là một ideal chính, và nếu G = ∅ thì I là một lũy
thừa hình thức của ideal Stanley-Reisner của một phức đơn hình chiều
1 đầy đủ. Do đó reg(R/I) hồn tồn đã biết trong các trường hợp này.
Vì vậy ta ln giả thiết n ≥ 4 và G = ∅.
4.1

Giá trị của a1 (R/I)

Mục đích của phần này là đưa ra các công thức cho a1 (R/I). Chúng

tôi luôn giả thiết R/I không phải là một vành Cohen-Macaulay (tức
15


16

là a1 (R/I) = −∞ ).
Kết quả chính đầu tiên trong mục này là xác định giá trị của a1 (R/I)
trong trường hợp n = 4.
Định lí 4.3. Cho n = 4. Khi đó


α + β − 2
nếu G có duy nhất một cạnh;
a1 (R/I) =


2α − 2

nếu G có nhiều hơn một cạnh.

Với n ≥ 5, giá trị của a1 (R/I) không những phụ thuộc vào cấu trúc
của đồ thị G mà còn phụ thuộc vào mối liên hệ giữa α và β . Các kết
quả chính tiếp theo được cho bởi các định lí sau đây.
Định lí 4.4. Cho n ≥ 5. Giả sử α = β + 1. Khi đó


α + β − 2
nếu β là một số lẻ;
a1 (R/I) =


α + β − 1

nếu β là một số chẵn.

Trong trường hợp α ≥ β + 2 và (α, β) = (4, 2), ta cần định nghĩa hai
điều kiện của đồ thị G như sau:
(G1 ) Tồn tại một cặp cạnh rời nhau của G không được chứa trong bất

kì 4-chu trình nào;
(G2 ) Tồn tại {i, j} ∈ G sao cho {i, j} ∪ G là một đồ thị không liên thông.

Chú ý rằng R/I không phải là một vành Cohen-Macaulay nên G
phải thỏa mãn điều kiện (G1 ) hoặc điều kiện (G2 ) bởi N. C. Minh và
Y. Nakamura.


17

Định lí 4.5. Cho n ≥ 5. Giả sử α ≥ β + 3. Khi đó


2α − 2
nếu G thỏa mãn (G1 );
a1 (R/I) =


α + β − 2

nếu G không thỏa mãn (G1 ).

Trong trường hợp α = β + 2 và (α, β) = (4, 2), ta cũng cần định
nghĩa thêm một số điều kiện của G khi nó đã thỏa mãn điều kiện (G1 ).
(G3 ) Mọi cặp cạnh rời nhau {i, j}, {p, q} của G khơng được chứa trong

bất kì 4-chu trình nào thì đồ thị con cảm sinh G[i, j, p, q] có dạng:

Định lí 4.6. Cho n ≥ 5. Giả sử α = β + 2 và (α, β) = (4, 2). Khi đó




α + β nếu α lẻ, G thỏa mãn (G1 ); hoặc α chẵn,







G thỏa mãn (G1 ) nhưng không thỏa mãn (G3 );




a1 (R/I) = α + β − 1 nếu α chẵn, G thỏa mãn cả (G1 ), (G3 );








α + β − 2 nếu α lẻ, G không thỏa mãn (G1 );






α + β − 3 nếu α chẵn, G không thỏa mãn (G1 ).
Trong trường hợp (α, β) = (4, 2), việc tính giá trị của a1 (R/I) là
phức tạp hơn. Ta cần đưa ra thêm vài điều kiện của G như sau:
(G4 ) Nếu G[i, j, p, q] có dạng như trong (G3 ) thì với t ∈ [n] \ {i, j, p, q}

bất kì, đồ thị con cảm sinh G[i, j, p, q, t] có một đồ thị con có dạng


18

(G5 ) {i, j} ∪ {i, t} ∪ {t, j} ∪ G là một đồ thị liên thông với mọi {i, j} ∈ G

và t ∈ [n]\{i, j}.
Chú ý rằng nếu I ∈ Cn (4, 2) thì theo N. C. Minh và Y. Nakamura,
R/I là một vành Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu G thỏa mãn các điều

kiện (G3 ), (G4 ) và (G5 ).
Định lí 4.7. Cho n ≥ 5 và (α, β) = (4, 2). Khi đó




6 nếu G không thỏa mãn (G3 );




a1 (R/I) = 5 nếu G thỏa mãn (G3 ) nhưng không thỏa mãn (G4 );





3 nếu G thỏa mãn (G3 ), (G4 ) nhưng không thỏa mãn (G5 ).

4.2

Giá trị của a2 (R/I)

Trong mục này, chúng tôi xác định giá trị của a2 (R/I) và đưa ra một
cơng thức cho chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford reg(R/I).
Kí hiệu girth(G) là độ dài của chu trình ngắn nhất trong G. Nếu
G khơng có chu trình nào thì ta quy ước girth(G) = ∞. Giá trị của
a2 (R/I) được xác định bởi định lí dưới đây.


19

Định lí 4.11. Cho n ≥ 4 và I ∈ Cn (α, β). Khi đó ta có





3α − 3
nếu girth(G) = 3;






2α + β − 3 nếu girth(G) = 3 và G chứa ít nhất một
a2 (R/I) =












α + 2β − 3

đỉnh có bậc lớn hơn 1;
nếu mọi đỉnh của G đều có bậc 1.

Bây giờ cơng thức tính chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của
R/I được thiết lập như sau.

Định lí 4.12. Cho n ≥ 4 và I ∈ Cn (α, β). Khi đó



3α − 1
nếu girth(G) = 3;








2α + β − 1 nếu girth(G) = 3 và G chứa ít nhất một







đỉnh có bậc lớn hơn 1;





reg(R/I) =

4.3

α + 2β − 1 nếu G gồm t ≥ 2 cạnh đôi một rời nhau







và α ≤ 2β , hoặc G có duy nhất một cạnh;







2α − 1
nếu G gồm t ≥ 2 cạnh đôi một rời nhau








và α > 2β .

Ideal có giải tự do tuyến tính

Mục này trình bày một ứng dụng của Định lí 4.12, cụ thể là chúng
tôi sẽ đưa ra điều kiện cần và điều kiện đủ để I ∈ Cn (α, β) có giải tự
do tuyến tính.


20

Kết luận
Luận án nghiên cứu những vấn đề thời sự về chỉ số chính quy
Castelnuuovo-Mumford và tính level của một số ideal đơn thức và đã
thu được các quả sau:
1. Đặc trưng được tính level của lũy thừa thường và lũy thừa hình

thức thứ t của một ideal Stanley-Reisner với một số nguyên dương
t ≥ 3 (Định lí 2.4). Trường hợp t = 2, luận án đạt được kết quả

trong chiều 1 và phức đơn hình là một matroid (Định lí 2.12).
2. Đặc trưng được tính level của mỗi ideal I trong lớp Cn (α, β) (các

Định lí 3.12, 3.18). Hơn nữa, khi R/I là một vành level, luận án
đã tính được số Betti cuối cùng của nó (Định lí 3.19).
3. Đưa ra được các công thức cho a1 (R/I) (các Định lí 4.3, 4.4, 4.5,

4.6, 4.7), a2 (R/I) (Định lí 4.11) và chỉ số chính quy CastelnuovoMumford reg(R/I) (Định lí 4.12) với mỗi ideal I ∈ Cn (α, β).

21

Danh mục các cơng trình liên quan đến luận án
[1] N. C. Minh, N. Terai, P. T. Thuy (2019), “Level property of
ordinary and symbolic powers of Stanley-Reisner ideals”, Journal
of Algebra 535, pp. 350–364.
[2] N. C. Minh, P. T. Thuy (2020), “A computation of the CastelnuovoMumford regularity of certain two-dimensional unmixed ideals”,
Communications in Algebra 48, pp. 2028–2040.
[3] P. T. Thuy, “On the level property of two-dimensional monomial
ideals”, submitted.
Các kết quả của luận án đã được báo cáo tại:
❼ Hội nghị Toán học tồn quốc (Nha Trang - Khánh Hịa): 8/2018.
❼ Workshop “Giải tự do và các bất biến đối đồng điều địa phương”

(Viện Toán học): 10/2019.
❼ Hội nghị Đại số - Lý thuyết số - Hình học - Tơpơ (Bà Rịa - Vũng

Tàu): 12/2019.
❼ Hội nghị nghiên cứu sinh của Khoa Toán Tin, Trường Đại học Sư

phạm Hà Nội: 12/2018, 12/2019, 12/2020.
❼ Xêmina Đại số và lý thuyết số, Bộ môn Đại số và lý thuyết số,

Khoa Toán Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội: 5/2021.
❼ Xêmina Đại số và lý thuyết số, Viện Toán học: 5/2021.