De thi HSG Toan 9 huyen Hau Loc

<span class='text_page_counter'>(1)</span>§Ò thi chän häc sinh giái cÊp huyÖn M«n To¸n 9 N¨m Häc 2011-2012 Thêi gian lµm bµi: 150 phót. Phßng GD - §T HËu Léc. Bµi 1 (5 ®iÓm): 15 x  11 3 x  2 2 x  3   x  2 x  3 1  x x 3 Cho biÓu thøc a) Rót gän biÓu thøc A . 21 A. b) TÝnh gi¸ trÞ cña A khi x = 2 c) Chøng minh r»ng: A ≤ 3 Bµi 2 (3 ®iÓm):. 32 2. 1 1 1   2 a  1 b  1 c  1 a) Cho ba sè a, b, c d¬ng tháa m·n 1 Chøng minh r»ng : abc < 8 b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: y x 1x y 4 M xy Bµi 3 (3 ®iÓm): x 2  yz y 2  xz  x  1  yz  y  1  xz  a) Chøng minh nÕu víi x y, yz 1, xz 1, x 0, y 0,z 0. 1 1 1 xyz   x y z th× 2. 2. 2. 1 1  1  1 2    8  x    4  x 2  2   4  x 2  2   x    x  4  x x  x  x   b) Gi¶i ph¬ng tr×nh:  Bµi 4 (3 ®iÓm): Đội A và đội B thi đấu cờ với nhau. Mỗi đấu thủ của đội A phải đấu một ván cờ với mỗi đấu thủ của đội B. Biết rằng tổng số ván cờ đã đấu bằng bình phơng số đấu thủ của đội A cộng với hai lần số đấu thủ của đội B. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu đấu thủ biết rằng số đấu thủ của đội A không ít hơn 5 ngời? Bµi 5 (6 ®iÓm): Cho h×nh vu«ng ABCD c¹nh a vµ ®iÓm N trªn c¹nh AB. Gäi E lµ giao ®iÓm cña CN vµ DA. KÎ tia Cx vu«ng gãc víi CE c¾t AB t¹i F, M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng EF. 1. Chøng minh r»ng: a) CE = CF   b) ACE BCM c) Khi ®iÓm N di chuyÓn trªn c¹nh AB ( N kh«ng trïng víi A vµ B) th× M chuyÓn động trên một đờng thẳng cố định. 2. §Æt BN = x a) TÝnh diÖn tÝch tø gi¸c ACFE theo a vµ x. b) Xác định vị trí của điểm N trên cạnh AB sao cho diện tích tứ giác ACFE gấp 3 lần diÖn tÝch h×nh vu«ng ABCD. §¸p ¸n – BiÓu ®iÓm §Ò thi chän häc sinh giái cÊp huyÖn M«n To¸n 9 N¨m Häc 2011-2012.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Bµi 1 (5 ®iÓm) a) §KX§: x ≥ 0 ; x ≠ 1 A. (0,5 ®iÓm). 15 x  11. . x 3. . . . x1. . 3 x  2 2 x 3  x1 x 3. . (0,5 ®iÓm).    . 15 x  11  3 x  2 x 3  2 x 3  x  1 x 3. . . . x1. (0,5 ®iÓm). 15 x  11  3x  9 x  2 x  6  2x  2 x  3 x  3  x  1 x 3. . . .  2  5 x  x  1 2  5 x  x  3 x  1  x  3 x  1 x  3 21 2  1  2  1   2  1  x  32 2 2 1 2 1. . 7 x  5x  2. (0,5 ®iÓm). . (0,5 ®iÓm). 2. 2. b) x =. 21 21 (0,5 ®iÓm). = 2  5 x 2  5 2  5 7  5 2 24  17 2 A    2 x 3 2  13 2 2 A. c) XÐt hiÖu:. (0,75 ®iÓm). 2 2  5 x 2 6  15 x  2 x  6  17 x     3 x 3 3 3 x 3 3 x 3. . . . . . . 3 x 3 Ta cã:  17 x ≤ 0 vµ > 0, x ≥ 0; x ≠ 1  17 x 2 2  0  A  0  A  3 3 3 x 3. . . (0,75 ®iÓm). Bµi 2: (3 ®iÓm) 1 1 1    2  1  (ab  ac  bc)  2abc a  1 b  1 c  1 a) Tõ Do a, b, c d¬ng, ¸p dông B§T C«-si ta cã: ab  ac  bc 3 3 a 2 b 2c 2 2. 2. 2. 2. 2 2.  1  3 a b c  2abc  2abc  3 a b c  1  0 3. §Æt. 3. (0,5 ®iÓm). a 2 b 2c 2 = t > 0  abc =. 3. (0,5 ®iÓm) (0,25 ®iÓm) (*). t 3 t t. (*)  2t t  3t  1  0  ( t  1) 2 (2 t  1)  0 2  2 t  1  0 (do ( t  1) > 0, t > 0) 1 1  t   abc  2 8. b) Víi ®iÒu kiÖn x 1, y 4 ta cã:. (0,75 ®iÓm).

<span class='text_page_counter'>(3)</span> y 4 x 1  y M= x (0,25 ®iÓm) áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm 1 và x - 1, ta có: 1 x  1 x x 1 1 x  1  1 x  1     2 2 x 2 (v× x 1 ) (0,25 ®iÓm) Chøng minh t¬ng tù ta cã: 1 1 4  y  4 y  y  4 1 y  4  4 y  4    y 4 (v× y 4 ) (0,25 ®iÓm) 2 2 2 4 y 4 1 1 3 x 1     x y 2 4 4 M= (0,25 ®iÓm). 3 VËy Max M = 4  x = 2, y = 8 Bµi 3 (3 ®iÓm) a) Víi x y, yz 1, xz 1, x 0, y 0, z 0 . Tõ gt ta cã:. (0,5 ®iÓm). x 2  yz y 2  xz  x  1  yz  y  1  xz .   x 2  yz   y  xyz   y 2  xz   x  xyz   x 2 y  x 3 yz  y 2 z  xy 2 z 2  xy 2  xy3z  x 2 z  x 2 yz 2 0. (0,25 ®iÓm).   x 2 y  xy2    x 3 yz  xy3z    x 2 z  y 2 z    x 2 yz 2  xy 2z 2  0.  xy  x  y   xyz  x 2  y 2   z  x 2  y 2   xyz 2  x  y  0   x  y   xy  xyz  x  y   z  x  y   xyz 2  0.  xy  xyz  x  y   z  x  y   xyz 2 0 (v× x y  x  y 0 )  xy  xz  yz xyz  x  y   xyz 2  . xy  xz  yz xyz  x  y   xyz  xyz xyz. (v×. xyz 0 ). (0,25 ®iÓm). 1 1 1   x  y  z x y z 2. 2. (0,25 ®iÓm) 2. 1 1  1  1 2    8  x    4  x 2  2   4  x 2  2   x    x  4  x x  x  x   b)  (2) Điều kiện xác định: x 0 2. (2). (0,75 ®iÓm). 2. 1 1   1     8 x    4 x 2  2    x2  2   x x    x   . (0,25 ®iÓm). 2. 1  2  x      x  4  x   . (0,25 ®iÓm). 2. 1 1  2 2    8  x    8  x 2  2   x  4    x  4  16 x x     x 0 (lo¹i) hoÆc x  8 (TM§K) Vậy phơng trình đã cho có một nghiệm x  8. (0,75 ®iÓm) (0,25 ®iÓm).

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Bµi 4 (3 ®iÓm)  Gọi số đấu thủ của đội A và đội B lần lợt là x và y (x, y  Z ; x ≥ 5) (0,5 ®iÓm) Tổng số ván cờ đã đấu là xy (ván cờ) Theo đề bài ta có phơng trình: xy = x2 + 2y (0,75 ®iÓm) 2 2 x x  44 4  x  2  x 2 x 2  y(x-2) = x2  y = x  2 (0,75 ®iÓm) §Ó x, y nguyªn d¬ng th× 4 (x  2) mµ x – 2 > 3 (do x > 5) nªn x – 2 = 4  x = 6 4 4 6  2  9 6  2 x  2 Khi đó y (TM§K) Vậy đội A có 6 ngời, đội B có 9 ngời. x  2 . Bµi 5 (6 ®iÓm) Vẽ hình đúng đến phần 1. (0,75 ®iÓm) (0,25 ®iÓm). (0,5 ®iÓm). 1.a) EDC FBC (g.c.g)  CE CF (1 ®iÓm)  b) ECF c©n t¹i C  CM lµ ph©n gi¸c C     ECM 45o  ECB  BCM 45o o o    Mµ ACB 45  ACE  ECB 45    ACE BCM (1 ®iÓm). EF 2 c) AEF vu«ng t¹i A cã AM lµ trung tuyÕn EF  CM  2 CEF vu«ng t¹i C cã CM lµ trung tuyÕn  AM CM  M thuộc đờng trung trực của đoạn thẳng AC hay M thuộc BD cố định. 2.a) Cã BN = x  AN = a – x 1 1 CD AE  CE 2 2 SACFE = SACE + SCEF = 2 XÐt ADC cã AE//BC AE AN BC.AN a(a  x)    AE   BC BN BN x (Hệ quả định lí Ta-lét)  AM . 2. (1 ®iÓm) (0,25 ®iÓm) (0,25 ®iÓm). (0,25 ®iÓm) 4.  90o  CE 2 CD2  DE 2 a 2   a  a(a  x)  a 2  a D   x x2   EDC cã a 2 (a  x) a 2 a 4 a 3 (x  a)   2 2x 2 2x 2x 2  SACFE = a 3 (x  a)  3a 2  6x 2  ax  a 2 0 2 2x b) SACFE = 3.SABCD  (2x  a)(3x  a) 0. (0,25 ®iÓm) (0,5 ®iÓm). (0,25 ®iÓm). a  x  2 Do x > 0; a > 0  3x + a > 0  2x  a 0 N lµ trung ®iÓm cña c¹nh AB (0,5 ®iÓm).

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Vậy để ACFE có diện tích gấp 3 lần diện tích hình vuông ABCD thì điểm N là trung ®iÓm c¹nh AB. (0,25 ®iÓm).

<span class='text_page_counter'>(6)</span>