Cac bai Luyen tap

<span class='text_page_counter'>(1)</span>ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2015-2016. UBND HUYỆN YÊN LẬP. PHÒNG GD&ĐT (Đề chính thức). MÔN THI: TOÁN, LỚP 9 Ngày thi: 26/11/2015 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (3,0 điểm): 3 3 3 a) Cho các số nguyên a1, a2, a3, ... , an. Đặt S = a1  a 2  ...  a n. và P a1  a 2  ...  a n . Chứng minh rằng: S chia hết cho 6 khi và chỉ khi P chia hết cho 6. 6 4 3 2 b) Cho A = n  n  2n  2n (với n  N, n > 1). Chứng minh A không phải là số chính phương.. Câu 2 (4,0 điểm): a) Tính giá trị A = 4  10  2 5  4  10  2 5  5 a 2  bc b 2  ca c 2  ab x 2  yz y 2  zx z 2  xy     y z a b c b) Cho . Chứng minh: x. Câu 3 (4,0 điểm): Giải các phương trình sau: 2. a). 2.  x   x  10      9  x  1   x 1 . 3 2 b) 10 x  1 3 x  6. Câu 4 (7,0 điểm): Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác đều ABC. Một tiếp tuyến của đường tròn cắt các cạnh AB và AC theo thứ tự tại M và N. a) Biết BC = 8cm và MN = 3cm. Tính diện tích tam giác AMN. b) Chứng minh rằng: MN2 = AM2 + AN2 – AM.AN. AM AN  1 c) Chứng minh rằng: MB NC .. Câu 5 (2,0 điểm): Cho x > 0, y > 0, z > 0 thỏa mãn x2015 + y2015 + z2015 = 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = x2 + y2 + z2 Hết Họ và tên học sinh:……………………………….,số báo danh:…………….. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> UBND HUYỆN YÊN LẬP PHÒNG GD&ĐT. HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHON HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN, NĂM HỌC 2015-2016. MÔN : TOÁN, LỚP 9 Ngày thi: 26/11/2015 Câu 1 (3,0 điểm): 3 3 3 a) Cho các số nguyên a1, a2, a3, ... , an. Đặt S = a1  a 2  ...  a n và P a1  a 2  ...  a n . Chứng minh rằng: S chia hết cho 6 khi và chỉ khi P chia hết cho 6. 6 4 3 2 b) Cho A = n  n  2n  2n (với n  N, n > 1). Chứng minh A không phải là số chính phương.. Đáp án. Điểm. a) (1,5 điểm): Với a  Z thì a3 – a = (a – 1)a(a + 1) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3. Mà (2.3)=1 nên a3 – a  6  S  P (a13  a1 )  (a 23  a 2 )  ...  (a 3n  a n )6 Vậy S 6  P 6. 0,5. b) (1,5 điểm): Ta có: A = n6 – 2n5 + 2n4 + 2n5 – 4n4 + 4n3 + n4 – 2n3 + 2n2 = (n4 + 2n3 + n2) (n2 – 2n + 2) = n2(n + 1)2(n2 – 2n + 2) + Với n  N, n > 1 thì n2 – 2n + 2 = (n – 1)2 + 1 > (n – 1)2 và n2 – 2n + 2 = n2 – 2(n – 1) < n2 => (n – 1)2 < n2 – 2n + 2 < n 2 => n2 – 2n + 2 không phải là số chính phương. Vậy A không phải là số chính phương (ĐPCM). 0,5 0,5. 0,5 0,5 0,25 0,25. Câu 2 (4,0 điểm): a) Tính giá trị A = 4  10  2 5  4  10  2 5  5 x 2  yz y 2  zx z 2  xy   a b c b) Cho 2 2 a  bc b  ca c 2  ab   x y z Chứng minh:. Đáp an. Điểm. a) (2 điểm) Đặt a = 4  10  2 5  4  10  2 5 => a2 = 8 + 2 6  2 5 6  2 5. 1,0 0,5.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> => a = 6  2 5  5  1 => A = a - 5  5  1  5 1 b) (2 điểm):. 0,5. x 2  yz y 2  zx z 2  xy   b c Đặt a =k 2 2 x  yz y  zx z 2  xy a b c k k k => ; ;. 0,25 0,25. 2.  x 2  yz  y 2  zx z 2  xy  .   k k a 2  bc  k  x 3  y 3  z 3  3xyz  x x k2 Do đó: = b 2  ca x 3  y 3  z 3  3xyz  y k2 Tương tự ta có: c 2  ab x 3  y 3  z 3  3xyz  z k2. 0,75 0,25 0,25 0,25. => ĐPCM Câu 3 (4,0 điểm): Giải các phương trình sau: 2. a). 2.  x   x  10      9  x  1   x 1 . 3 2 b) 10 x  1 3 x  6. Đáp án a) (2 điểm): ĐK: x 1 Phương trình đã cho tương đương với: 2. 2. x  x2 10  x   2     2 x 1 9  x  1 x 1 .  2 x2  2 x 2 10   0  2  2 x  1 x  1 9   2 2x 10 5 2 t 2 t2  t  0  t  t x  1 ta được phương trình: 9 3 hoặc 3 Đặt 2 5 2x 5 t   x 2  1 0 2 3 ta có: x  1 3 Với (Vô nghiệm) 2 2x2 2 1 t   8 x 2 2  x  2 3 ta có: x  1 3 2 (thỏa mãn điều kiện) Với 1 x  2 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là b) (2 điểm): ĐK: x  1 10 x3  1 3 x 2  6  10.  10.  x  1  x. 2.  x 1  x 2 . x  1 3  x 2  2 .  x  1 3  x  1  x  x  1. Điểm 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5. 2. 2. Đặt a  x  1 ( a 0 ); b  x  x 1 ( b  0 ). Ta có: 10ab = 3a2 + 3b2 <=> 3a2 – ab – 9ab + 3b2 = 0 <=> (a – 3b)(3a – b) = 0 <=> a = 3b hoặc b = 3a. 0,25 0,5.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 2 2 + Nếu a = 3b ta có: x  1 3 x  x  1  9 x  10 x  8 0 (Vô nghiệm) 2 2 + Nếu b = 3a ta có: x  x  1 3 x  1  x  10 x  8 0  x 5  33 (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x 5  33. 0,25 0,25. Câu 4 (7,0 điểm): Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác đều ABC. Một tiếp tuyến của đường tròn cắt các cạnh AB và AC theo thứ tự tại M và N. a) Biết BC = 8cm và MN = 3cm. Tính diện tích tam giác AMN. b) Chứng minh rằng: MN2 = AM2 + AN2 – AM.AN. AM AN  1 c) Chứng minh rằng: MB NC .. Đáp án. Điểm. A H M. N. I. D. E O. B. C. a) (3,0 điểm): 1 1 1 4 3 BC 2  BD 2  82  42  3 3 Vì tam giác ABC đều nên OD = 3 CD = 3. SAMN = SADOE – 2SMON 4 3 16 3 .4  3 SADOE = 2SADO = DO.AD = 3 1 1 4 3 .3 SMON = 2 OI.MN = 2 3 = 2 3 => 2SMON = 4 3 . 16 3 4 3  4 3 3 Vậy SAMN = 3. 1,0 0,25 0,75 0,75 0,5. b) (2,0 điểm): Đặt AB = AC = BC = a, AM = x, AN = y, MN = z.. 0,25. y y y 3 Kẻ NH vuông góc với AB. Ta có: AH = 2 , NH = 2 , HM = x - 2. 0,75.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 2. 2  y 3  y    x   2   2 2 2 2  MN = NH + HM = = x2 + y2 – xy. hay MN2 = AM2 + AN2 – AM.AN. 0,75 0,25. c) (2 điểm) Ta có: x + y + z = 2AD = a. 0,5. AM AN x y x y  1   1   1 MB NC a x a y yz xz. 0,5.  x(x + z) + y(y + z) = (x + z)(y + z)  x2 + xz + y2 + yz = xy + xz +yz + z2. 0,5.  x2 + y2 – xy = z2 (Đã chứng minh ở câu b). 0,25 0,25. Câu 5 (2,0 điểm): Cho x > 0, y > 0, z > 0 thỏa mãn x2015 + y2015 + z2015 = 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = x2 + y2 + z. 2 Đáp án 2015 2015 Áp dụng BĐT Cô si cho x , x và 2013 số 1 ta có 2015. x. +x. 20152015  x 2 . 2015. 0,5. 2015. +1 + 1 +...+1 2x2015 + 2013  2015x2 Tương tự: 2y2015 + 2013  2015y2 2z2015 + 2013  2015z2 . 2 x. 2015. y. 2015. z. 2015.   3.2013. 2015 => x2 + y2 + z2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z =1 Vậy giá trị lớn nhất của M là 3.. Điểm. 2.3  3.2013 3 2015 =. 0,5 0,5 0,5. Ghi chú: - Trong quá trình chấm bài thi của học sinh, giám khảo vận dụng linh hoạt đáp án, nghiên cứu kỹ bài làm của học sinh. Học sinh có thể giải theo cách khác đáp án mà đúng vẫn cho điểm. - Khi chấm tổ chấm có thể chia nhỏ điểm tới 0,25 điểm..

<span class='text_page_counter'>(6)</span>