On luyen thi vao THPT mon toan

<span class='text_page_counter'>(1)</span>ÔN LUYỆN THI VÀO THPT Chủ đề 1: RÚT GỌN BIỂU Phần I: Các kiến thức cần nhớ. Các hằng đẳng thức: 1) (a+b)2 = a2+2a.b+b2.. . a b. . 2. a  2 ab  b. THỨC CHỨA CĂN..  a, b 0 . 2) (a – b)2=a2 – 2a.b+b2. . a. b. . 2. a  2 ab  b.  a, b 0 . 3) a2– b2 = (a – b).(a +b). . a b. . a b . 3. 3. a. 2. b 2. .  a, b 0  3. 4) (a+b) = a +3a b+3ab +b . 5) (a– b)3=a3 – 3a2b+3ab2 – b3. 6) a3+ b3=(a+b).(a2 – ab+b2). . a a  b b  a 3  b3 . a  b a. . ab  b. .  a, b 0 . a. ab  b. .  a, b 0 . 7) a3- b3=(a-b).(a2 + ab+b2) a a  b b  a3 . . b3 . a. b. 8) (a+b+c)2= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca 2 9) ( a  b  c ) a  b  c  2 ab  2 bc  2 ca.  a, b, c 0 . a2  a. 10) Phần II: Phân dạng bài tập: Dạng1: Rút gọn biểu thức không có điều kiện. Bài1. Tính: a) 10. 40 b) 5. 45 12,5 9 e) 169 f) 0,5 Bài2. Rút gọn: A= 4  2 3. 10  2 10 8  a) 5  2 1  5. e). d) 5. 125.  49  81. E= 15  216  33  12 6. d). 2. f) 192. 12  48. 5  27 30  162. 16 1 4 3 6 3 27 75. 3. 4 3  75 3 5. g) 8 3  2 25 12  4. C= 3  5  3  5. 2 8 b) 18 . 2 3 2 3  2 3 2 3 2 27  6. g). 2. 162. B= 13  160  53  4 90. D= 2 5  125  80  605 Bài3. Tính:. c). c). 5 .(3  5) 10  2. k) 2  3 ( 5  2).

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Bài4. Rút gọn: A. 15  12 1  5 2 2 3. C. 15  5 5  2 5  3 1 2 5 4. E (4  15)( 10 . 6) 4  15. 8 32 18 5  14 9 25 49 2  3  6  8  16 D 2  3 2. B 6. F (5  4 2)(3  2 1  2 )(3  2 1  2 ). Dạng2: Rút gọn biểu thức có điều kiện: Bài1. Rút gọn biểu thức: x2  5 x 2  2 2.x  2 x2  2 a) x  5 (Với x  5 ) b) (với x  2 ) c). 9 x 2  2 x (với x<0). 2 d) x  4  16  8 x  x (với x>4). 2. 2. 2 b (b  1) e) 3(a  3) (với a 3 ) f) (với b<0) Bài2. Rút gọn biểu thức: ( x y  y x )( x  y ) x y A= (với x>0 và y>0) x 1 2 x 2 5 x   x  2 4  x (với x 0 và x 4 ) B= x  2. a b a b  a  b (với a 0, b 0 và a b ) C= a  b Bài3. Cho biểu thức: (2 x  y )(2 x  y ) a) Tìm điều kiện để biểu thức xác định. b) Rút gọn biểu thức với điều kiện trên. Bài4. Cho biểu thức: 1   a 1 a 2  1 A   :     a   a  2 a  1   a1 a) Tìm điều kiện để A xác định. b) Rút gọn A. Bài 5. Cho biểu thức:   2 x 1   x3  1 x B    x  :  3   x  1 x  x 1   1  x  a) Tìm điều kiện để B xác định. b) Rút gọn B. Bài 6. Cho biểu thức:  x x  9   3 x 1 1  C     :   9  x 3  x x  3 x x     a) Tìm điều kiện để C xác định. b) Rút gọn C..

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Bài 7: Rút gọn các biểu thức sau: A. x2  4 2. 4 x  4x  4 2. với x 2.  a a b b a b  b a   a  b  B    :   a  b a  b    a b. x2  x  C. 1 4. 2x 1.  ab  b3 D    a  b . với. x . (với a; b 0; a b ). 1 2. ab  a 3  2 a  2 b : a b a  b  với. a; b 0; a b. Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến. Bài 1. Cho biểu thức:. A 2 x  x 2  6 x  9 . Tính giá trị của A khi x=-5. Bài 2. Cho biểu thức: 1 1 B  1 x 1 x . Tính giá trị của biểu thức khi x=4. Bài 3. Cho biểu thức:   1   1 C   1 a  :   1  1 a   1  a2  . 3. Tính giá trị của biểu thức C tại a=1và a= 2  3 . Bài 4. Cho biểu thức: 1   1 1   1 D     :  x  1 x 1 x   1 x 1 x  Tính giá trị của biểu thức tại x= 3  2 2 Bài 5. Cho biểu thức:  x1 1 8 x   3 x  2 E     :  1   9 x  1 3 x  1 1  3 x 3 x  1     Tính giá trị của biểu thức tại x= 3  2 2 2 Bài 6. Cho biểu thức A= 15a  8a 15  16 a) Rút gọn A.. 3 5  5 3. b) Tính giá trị của A khi a= Dạng 4: Tìm giá trị của biến khi biết giá trị của biểu thức. Bài1. Cho biểu thức: A 4 x  Tính giá trị của x, biết A=-15. 4 x 2  12 x  9 ..

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Bài 2. Cho biểu thức:   a a   a a a B     :   b  a a  b a  b a  b  2 ab     a 1  b 4 thì B=1. Tìm a;b. Biết rằng khi Bài3. Cho biểu thức:  (16  x ) x 3  2 x 2  3 x  1 C     : x 4 x 2 x 2  x4 x 4  Tìm x khi biết C=4. Bài 4. Cho biểu thức:  a 1 2a  a   a 1 2a  a  D    1 :  1    2 a  1 2 a  1 2 a  1 2 a  1     a) Tìm a biết D=-1 b) Tìm a biết D=-4. Bài 5. Cho biểu thức: a b a 3  b3  A= a  b a  b  ab a) Tìm điều kiện của a,b để A xác định. b) Rút gọn A. c) Tìm điều kiện của a,b để A=0. Dạng5:Tìm giá trị nguyên của biến để biểu thức nhận giá trị nguyên a    b  U (a) Chú ý: b Bài1. Cho biểu thức:  a 2 2  a  a 1 A    . a  1 1  a  2 a a   . Tìm giá trị của m để A nhận giá trị nguyên. Bài2. Cho biểu thức:. .    a  1 a  b 3 a 3a 1 B     : a  ab  b a a  b b a  b   2a  2 ab  2b a) Rút gọn B với a 0, b 0, a b .. . b) Tìm các giá trị nguyên của a để biểu thức B nhận giá trị nguyên. Bài 3. Cho biểu thức: a  2 1  a 3a  3  9a C   1 a 2  a a  a  2 Tìm giá trị nguyên của a để biểu thức C đạt giá trị nguyên. Bài 4. Cho biểu thức:.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> A. x 2 x  1 x  5 x  12   9 x x 3 x 3. a) Tìm điều kiện để A xác định. b) Rút gọn A. c) Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên. Dạng 6. Tìm giá trị của biến khi biết dấu của biểu thức. Bài1. Cho biểu thức:  x 1   1 2  A     :    x  1 x  x   x  1 x  1  . Tìm x để A <0. Bài2. Cho biểu thức:  x x  3   3 x 1 1  A     :   9  x 3  x x  3 x x     với x 0, x 9 a) Rút gọn A. b) Tìm x sao cho A <-1. Bài 3. Cho biểu thức: 1   a 1 a 2  1 A      :  a  a 2 a  1   a1 a) Tìm điều kiện xác định của A. b) Rút gọn A. c) Tìm a để A <0. Dạng7. Chứng minh bất đẳng thức. Bài1. Cho biểu thức:  a2 a 1  a1 A     : 2 a a  1 a  a  1 1  a   (với a 0, a 1 ) a) Rút gọn A. b) Chứng minh rằng: 0  A 2 . Dạng 8. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. Bài1. Cho biểu thức: 2  x 2 x  2   1 x  A    .   x  1 x  2 x  1   2  a) Rút gọn A. b) Chứng minh rằng nếu 0<x<1 thì A>0. c) Tính giá trị lớn nhất của A. Bài tập tổng hợp: Bài1. Cho biểu thức:  x 2  x 2 x  x 2( x  1)  1     . x  x 1 x x  1  x x 1 A = a) Rút gọn A. b) Tính giá trị của biểu thức A biết x=4..

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 1 c) Tính giá trị của x biết A= 3 d) Chứng minh rằng A >0. e) Tìm giá trị nguyên của x để A đạt giá trị nguyên. 1 f) Tìm giá trị của x để A < 4 Bài2. Cho biểu thức:   1   1  1  x :  1     2 1 x   1  x   với -1<x<1. P= a) Rút gọn biểu thức P. b) Tìm x để P=1. Bài3. Cho biểu thức: x x 1 x  1  . x  1 x  1 A= a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A. 9 b) Tính giá trị của biểu thức A khi x= 4 c) Tìm tất cả các giá trị của x để A<1. Bài4. Rút gọn các biểu thức sau: a) 2 3  3 27  300. 1  1  1   : x  1 x x  1  x x. . . b) Bài5. Cho biểu thức. x2 x 1 x 1   . x  1 x x  1 x  x  1 P= a) Rút gọn P. 1 b) Chứng minh P< 3 với 0  x 1 Bài6. Cho biểu thức:  x  x 1 x  x 1  1  x    : x  x x  x  x x M=  a) Rút gọn M. b) Tìm x nguyên để M nguyên. Bài7. Cho biểu thức: x 1 1   . x  4 x  2 x  2 A= với 0  x 4 a) Rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trị của biểu thức A khi x=25..

<span class='text_page_counter'>(7)</span> . 1 3. c) Tìm giá trị của x để A= Bài8. Cho biểu thức: n  1 n 1  n  1 n  1 với 0 n 1 N= a) Rút gọn biểu thức N. b) Tìm n nguyên để N nguyên.. Chủ đề 2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI Phần I. Lý thuyết 1. Định nghĩa. 2. Định nghĩa nghiệm, tập nghiệm. Điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất, có vô số nghiệm, vô nghiệm. ax+by=c  a'x+b'y=c' (a,b,c,a’,b’,c’ khác 0). ẨN.. a b c   a' b' c' + Hệ có vô số nghiệm nếu: a b c   a' b' c' + Hệ vô nghiệm nếu: a b  + Hệ có nghiệm duy nhất nếu: a' b ' 3. Các phương pháp giải hệ ax+by=c  a'x+b'y=c' a) Phương pháp cộng đại số. b) Phương pháp thế. Chú ý: Có thể đặt ẩn phụ trướ khi áp dụng các phương pháp giải hệ. Phần II. Phân dạng bài tập. Dạng1: Giải hệ phương trình không chứa tham số. Bài1. Giải các hệ phương trình sau. 2 x  y 7 17 x  4 y 2 12 x  5 y 9    a)  4 x  3 y 4 b) 13x  2 y 1 c) 120 x  30 y 34   3  x  7  4  y  5  2 x  y 2   5 x  3 y 5  2   4 x  3 y  8 0  d) e)  f)  3.x  1  2 y 1    3 x  2 2 y 7    1  2 x  3. y 1  2 x  3 3 y  2 6 g)  k)  Bài2. Giải các hệ phương trình.. .  . .   x 2  y 3 1   5 x 2  4 y 3 8.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> 9 2 3  4  x  y 2  2 x  1  y  1  1   3 x  3 y 8    1 1 1   3  2 13   5 x  y  4    a)  2 b)  x y c)  2 x  1 y  1 6 d) Dạng2: Giải hệ phương trình khi biết giá trị của tham số. Bài1. Cho hệ phương trình. 2  3mx  (n  3) 6  2  (m  1) x  2ny 13 a) Giải hệ phương trình với m=2;n=1 b) Giải hệ phương trình với m=1;n=-3 Dạng3: Giải biện luận phương trình có chứa tham số. VD1: Cho hệ phương trình.  mx  y 2   2 x  y 1 Giải và biện luận hệ theo m.. 2 y    1   x. 1 1 y 2 8 y. Giải mx  y 2 (2  m) x 3 (1)    (2) 2 x  y 1 2 x  y 1 + Xét phương trình(1): (2+m)x=3 -Nếu 2  m 0  m  2 thì phương trình(1) có dạng 0.x=3. Do phương trình này vô nghiệm nên hệ vô nghiệm. - Nếu 2  m 0  m  2 thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất 3 6 4 m x y 2 x  1   1 2  m .Thay vào phương trình(2) ta có: 2m 2m 3 4 m x y 2  m và 2m Vậy với m  2 thì hệ có nghiệm duy nhất: Dạng4: Tìm giá trị tham số khi biết dấu các nghiệm của hệ phương trình VD1. Cho hệ phương trình  x  2 y 5  mx  y 3 Tìm m để x<0,y <0 VD2. Cho hệ phương trình 2   x  my m  m  1  2  mx  3 y m  4m Tìm m để x>0, y<0. Dạng5: Tìm giá trị tham số khi biết nghiệm của hệ phương trình. D.5.1: Tìm 1 giá trị tham số khi biết nghiệm của hệ phương trình Phương pháp:  x  x0 ax  by c (1).  a ' x  b ' y c(2) ' Cho hệ phương trình .  y  y0 có nghiệm . Thay x=x0; y=y0 lần lượt vào (1) giải. Thay x=x0; y=y0 lần lượt vào (2) giải. (1) (2).

<span class='text_page_counter'>(9)</span> 3x  2 y 7  2 VD1. Cho hệ phương trình: (5n  1) x  ( n  2) y n  4n  3 Tìm n để hệ có nghiệm (x;y)=(1;-2) Giải: Thay (x;y)=(1;-2) vào(1) ta có: 3.1-2.(-2)=7 thoả mãn. Vậy (x;y)= (1;-2) là nghiệm của pt(1). 2 Thay (x;y)=(1;-2) vào(2) ta có: (5n  1)  2(n  2) n  4n  3  n 0  7n  3 n 2  4n  3  n(n  11) 0    n 11 Vậy n=0 hoặc n=11 thì hệ đã cho có nghiệm (x;y)=(1;-2) 1  2 5m(m  1) x  my (1  2m) (1) 3  (2) 4mx  2 y m 2  3n  6  VD2. Cho hệ phương trình Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất x=1; y=3. Giải. 1 2.5m.(m  1)  m.4m 3 ĐK để hệ có nghiệm duy nhất là. 2 2 2 Thay x=1;y=3 vào(1) ta có: 5m  5m  m 1  4m  4m  m 1  m 1 (I)  m 0 4m  6 m2  3m  6  m(m  1) 0    m 1 (II) Thay x=1;y=3 vào(2) ta có: Từ(I) và (II) ta có với m=1 thì hệ có nghiệm x=1;y=3. D.5.2: Tìm 2 giá trị tham số khi biết nghiệm của hệ phương trình. Phương pháp:  x x0 ax  by c (1).   (2) y  y0 a ' x  b ' y  c '  Cho hệ phương trình có nghiệm  ax0  by0 c  a ' x  b ' y0 c ' Thay x=x0;y=y0 vào cả hệ pt ta có  0 Sau đó giải phương trình chứa ẩn là tham số. 2mx  (n  2) y 9  VD1.Cho hệ phương trình (m  3) x  2ny 5 Tìm m;n để hệ có nghiệm x=3;y=-1 Giải. Thay x=3;y=-1 vào hệ phương trình ta có: 6m  ( n  2)( 1) 9 3m  2n  4    3( m  3)  2 n (  1)  5 12 m  2 n  14   Vậy với m=2;n=5 thì hệ có nghiệm x=3;y=-1..  m 2  n 5. Dạng6: Tìm giá trị tham số khi biết hệ thức liên hệ giữa x và y..

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Phương pháp: (1) ax  by c  a ' x  b ' y c ' (2) Cho hệ pt . (I) có nghiệm thoã mãn px+qy=d (3) + Do (x;y) là nghiệm của hệ (I) và thoã mãn (3) Suy ra (x;y) là nghiệm của (1),(2),(3) +Kết hợp 2 phương trình đơn giản nhất. +Tìm nghiệm thay vào phương trình còn lại.Giải pt chứa ẩn là tham số. (1) 3 x  2 y  8  VD1: Cho hệ phương trình 3mx  (m  5) y (m  1)(m  1) (2) (I) Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) thoã mãn: 4x-2y=-6 Giải. ĐK: 3.(m  5)  6m 0  m 5 .. (3). Do (x;y) là nghiệm của hệ pt(I) và thoã mãn(3) nên (x;y) là nghiệm của (1),(2),(3). 3x  2 y  8  x  2   4 x  2 y  6  y  1 Kết hợp(1) với (3) ta có:  2 2 Thay x=-2,y=-1 vào pt(2) ta được: 6m  (m  5) m  1  m  5m  4 0.  m 1   m 4 (thoả mãn) Vậy với m=1 hoặc m=4 thì hệ (I) có nghiệm thoả mãn 4x-2y=-6.  mx  y 5 (1)  VD2:Cho hệ phương trình 2mx  3 y 6 (2) (I) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn: (2m-1)x+(m+1)y=m (3) Giải. ĐK để hệ có nghiệm duy nhất: m.3 2.m  m 0 Từ (1)  y 5  mx. Thay vào (2) ta có: 2mx  3.(5  mx) 6.  x. 9 m. ( m 0 ). 9 m vào y=5 –mx ta có: y=5 – 9 = -4. Thay 9 x m và y=-4. Vậy với m 0 hệ (I) có nghiệm 9 9 x (2m  1).  ( m  1)(  4) m m ; y=-4 vào pt(3) ta được: m Thay  m 1   9 2  m 9  18   4m  4 m  5m  14m  9 0  (m  1)(m  9) 0 5 (thoả mãn)  m x.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> m. 9 5 thì hệ (I) có nghiệm duy nhất thoã mãn pt(3).. Vậy với m=1 hoặc Dạng 7: Tìm giá trị tham số để phương trình có nghiệm nguyên. Chú ý:. a    m  U (a ) m +) ( a, m ) a b    m  U ( a , b) m m +) và (m  2) x  2 y 5 (1)  (2) VD1:Cho hệ phương trình mx  y 1 Tìm m   để hệ có nghiệm nguyên. Giải. Từ (2) ta có: y = mx – 1. Thay vào(1) ta được: (m+2).x +2.(mx – 1) = 5. 7 2  3mx  2 x 7  x(3m  2) 7  x  m  3m  2 3) ( 7 4m  2  y .m  1  y  3m  2 3m  2 (3) Thay vào y = mx – 1 7 x     3m  2  U (7)  1; 7 3m  2 Để +) 3m  2  7  m  3. Thay m = -3 vào (3), ta có y = 2 (thoã mãn).. 5 3 (loại) +) 1 3m  2 1  m  3 (loại) +) +) 3m  2  1  m  1 Thay m = -1 vào (3) ta có y = 6 (thoã mãn). 3m  2 7  m . Kết luận: m   để hệ có nghiệm nguyên là m = -3 hoặc m = -1. (m  3) x  y 2 (1)  (2) VD2: Cho hệ phương trình mx  2 y 8 Tìm m   để hệ có nghiệm nguyên. Giải. Từ (1) ta có y = 2 – (m – 3).x  y 2  mx  3 x Thay vào (2) ta có: mx +2.(2 – mx +3x) = 8   mx  6 x 4  x(6  m) 4 4  x 6  m ( m 6 ) 24  6m. y 6  m ( m 6 ) (3) Thay vào y 2  mx  3x ta có: 4 x     6  m  U (4)  1; 2; 4 6  m Để.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> +) 6 – m = 1  m 5 thay vào (3) ta có y = -6 (thoã mãn) +) 6 – m = -1  m 7 thay vào (3) ta có y = 18 (thoã mãn) +) 6 – m = 2  m 4 thay vào (3) ta có y = 0 (thoã mãn) +) 6 – m = -2  m 8 thay vào (3) ta có y = 17 (thoã mãn) +) 6 – m = 4  m 2 thay vào(3) ta có y = 3 (thoã mãn) +) 6 – m = -4  m 10 thay vào (3) ta có y = 9 (thoã mãn) m   2; 4;5; 7;8;10 Kết luận: Để hệ có nghiệm nguyên thì Dạng 8: Tìm giá trị tham số để biểu thức liên hệ giữa x, y nhận giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. 2  mx  y m (1)  2 2 x  my m  2m  2 (2) VD1: Cho hệ phương trình  a) CMR hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi m b) Tìm m để biểu thức x2 +3y + 4 nhận giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó. Giải. 2 2 a) Do m 0 với mọi m nên m2 + 2>0 với mọi m. Hay m  2 0 với mọi m. Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi m. b) Rút y từ (1) ta có: y = mx – m2. (3) 2 3 2 Thế vào (2) ta được: 2x + m(mx – m2) = m2 +2m +2  2 x m x  m m  2m  2.  2 x  m2 x m3  m 2  2m  2  x(2  m 2 ) (m  1)(m 2  2)  x m  1 (do m 2  2 0 ) 2 Thay vào (3)  y m(m  1)  m m  y m . Thay x = m+1 và y = m vào 5 25  5  (m  1) 2  3m  4 m 2  5m  5  m 2  2. .m    2 4  4  x2 +3y +4 ta được : 2. 5 5 5   m     2 4 4 Do . 2. 5  5 5 min x 2  3 y  4  m   m   0 2  4 khi 2 .Vậy 2  3mx  y 6m  m  2 (1)  2 (2) 5 x  my m  12m VD2: Cho hệ phương trình  Tìm m để biểu thức A = 2y2 + x2 nhận GTLN. Tìm giá trị đó. Giải. Từ (1) ta có: y = 3mx – 6m2 +m +2. Thay vào (2) ta có: 5x + m(3mx – 6m2 +m +2) = m2 2 3 2 2 +12m  x(5  3m ) 6m 10m 2m(5  3m )  x m  1 ( 5  3m 0 với mọi m) Thay x = 2m vào y = 3mx – 6m2 + m + 2 ta được y = m +2. 2 2 2 Thay x =2m; y = m+2 vào A ta được: A 2(m  2)  (2m)  2( m  4m  4). . . A  2(m 2  4m  4  8)  2(m 2  4m  4)  16  2(m  2) 2 16 16. Do  2(m  2) 2 0 với mọi m. Vậy MaxA = 16 khi m = 2. Dạng 9: Tìm hệ thức liên hệ giữa x; y không phụ thuộc vào tham số. (1) (2).

<span class='text_page_counter'>(13)</span> 2mx  3 y 5  VD1: Cho hệ phương trình  x  3my 4 a) CMR hệ luôn có nghiệm duy nhất. b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. Giải. a) Để hệ có nghiệm duy nhất ta xét hiệu: 2m. 3m – 3.(-1) = 6m2 +3 >0 với mọi m. 2 Vậy 6m  3 0 với mọi m nên hệ luôn có nghiệm duy nhất. 5  3y m 2 2 2 x thay vào (2) ta có: 2 x  8 x  15 y  9 y 0. b) Rút m từ (1) ta được Đây chính là hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. (m  1) x  y m  VD2: Cho hệ phương trình  x  (m  1) y 2 Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m 2  5 x  ay a  12a  2 3ax  y 6a  a  2 VD3: Cho hệ phương trình  Tìm hệ thức liên hệ giữa x; y không phụ thuộc vào a. BÀI TẬP TỔNG HỢP. 2 x  3 y 7  3mx  ( m  3) y m 2  6m  3 Bài1. Cho hệ phương trình:  Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) = (2;1) Bài2. Giải hệ phương trình:  21 1   2   m 1 n   1  2  1 1  n m  1 (m  1) x  2ny 2  Bài 3. Cho hệ phương trình: 3mx  (n  2) y 9 a) Giải hệ phương trình với m =1; n = -3 b) Tìm m ; n để hệ có nghiệm x = 3; y = -1. 3 x  2 y  8  mx  (3m  1) y m 2  1 Bài 4. Cho hệ phương trình:  Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) thoả mãn: 4x – 2y = -6.  x  my 3  Bài5. Cho hệ phương trình: 2 x  3my 5 Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thoã mãn: (m2 – 1)x – 10my = 4m + 5. (m  2) x  y 3  Bài 6. Cho hệ phương trình: mx  3 y 7.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> a) Giải hệ phương trình với m = -1. b) Tìm m để x >0, y>0. mx  my m  Bài7. Cho hệ phương trình: mx  y 2m Tìm m để nghiệm của hệ thoã mãn: x >0, y >0. (m  1) x  2 y 5  Bài8. Cho hệ phương trình: mx  y 1 a) Giải hệ phương trình với m = 2. b) Tìm m   để hệ có nghiệm nguyên. (m  3) x  y 2  Bài 9. Cho hệ phương trình: mx  2 y 5 Tìm m   để hệ có nghiệm nguyên. 2  3mx  y 6m  m  2  5 x  my m 2  12m   Bài10. Cho hệ phương trình: Tìm m để biểu thức: A= 2y2 – x2 nhận GTLN. Tìm giá trị đó. Chủ đề 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC Phần I: Lý thuyết. I. Định nghĩa. II. Phân loại. 1. Phương trình khuyết b và c. 2 2. Phương trình khuyết c: ax  bx 0( a 0). HAI MỘT ẨN.. Phương pháp giải..  x 0 ax  bx 0(a 0)  x(ax  b) 0    x  b a  2 3. Phương trình khuyết b: ax  c 0( a, c 0) Phương pháp giải. c ax 2  c 0(a, c 0)  x 2  a c  0 +) Nếu a thì phương trình vô nghiệm. c c c  0 x1   ; x2   a a +) Nếu a thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt: 2 4. Phương trình bậc hai đầy đủ: ax  bx  c 0( a, b, c 0) Phương pháp giải.  b 2  4ac +)   0 thì phương trình vô nghiệm. 2.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> +)  0 thì phương trình có nghiệm kép:. x1  x2 . b 2a. x1 . b   b  ; x2  2a 2a. +)   0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt: Phần II. Phân dạng bài tập. Dạng 1: Giải phương trình khi biết giá trị của tham số. 2 Bài 1. Giải phương trình: x  5 x  6 0 . 2 Bài 2. Giải phương trình: 3 x  12 x  6 3 0. 2 Bài 3. Giải phương trình: x  2( 3  1) x  2 3 0 Dạng 2: Tìm giá trị tham số khi biết số nghiệm của phương trình. 2 - Đặt điều kiện ax  bx  c 0( a 0). - Tính  ( ') - Để phương trình vô nghiệm thì   0(  '  0) - Để phương trình có nghiệm kép thì  0(  ' 0) - Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì   0( '  0) Tổng quát: Để chứng minh phương trình có 2 nghiệm phân biệt:   0  Cách 2: Chứng minh a 0. Cách 1: Chứng minh a.c <0. 2 2 Bài 1. Cho phương trình: x  (2m  3) x  m  2m  1 0. a) Tìm m để phương trình vô nghiệm. b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt. 2 Bài 2. Cho phương trình: ( m  3) x  2(m  5) x  m  1 0 Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Giải. Điều kiện: m  3 0  m  3 2 Xét  ' (m  5)  (m  3)(m  1) 6m  22 Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì.  '  0  6m  22  0  m  . . 11 3. 11  m  3 3. Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi 2 Bài 3. Cho phương trình: x  2( m  3) x  2m  6 0 Tìm m để phương trình có nghiệm kép. Giải. 2 2 Xét  ' (m  3)  (2m  6) m  4m  3.  m1  1  ' 0  m 2  4m  3 0    m2  3 Để phương trình có nghiệm kép thì. Vậy phương trình có nghiệm kép khi m = -1 hoặc m = -3..

<span class='text_page_counter'>(16)</span> 2 Bài 4. Cho phương trình: (2m  10) x  (3m  15) x  m  1 0 Tìm m để phương trình có nghiệm kép. Giải. (1)  2( m  5) x 2  3(m  5) x  m  1 0 Điều kiện: 2(m  5) 0  m 5. (1). 2 2 Xét  3 (m  5)  4.2.( m  5)( m  1) ( m  5)( m  53) Để phương trình có nghiệm kép thì  0  ( m  5)( m  53) 0  m 53. (vì m 5 ) Vậy phương trìng có nghiệm kép khi m = 53. Dạng 3: Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt. 2 2 Bài 1. Cho phương trình: 7 x  (3m 1) x  m  1 0 CMR phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt. Giải. Ta có: a.c = 5.(-m2 – 1) = - 5(m2 +1) < 0 với mọi m. Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt. 2 Bài 2. Cho phương trình: x  2( m  3) x  2m  4 0 CMR phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m. Giải. 2 2 2 Ta có:  ' (m  3)  (2m  4) m  4m  4  9 (m  2)  9  0 với mọi m. Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m. 2 2 Bài 3. Cho phương trình: ( m  m  3) x  2( m  3) x  5 0 CMR phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m. Giải. 1 11 a m2  m  3 (m  )2  0 2 4 Ta có: Hệ số với mọi m. 1 69  ' (m  3) 2  5( m2  m  3) m2  6m  9  5m 2  5m  15 6m2  m  24 6(m  ) 2   0 2 2. với mọi m. Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m. 2 Dạng 4: Giải và biện luận phương trình bậc hai: ax  bx  c 0. Tổng quát: +) Với a = 0: Phương trình trở thành phương trình bậc nhất: bx+c = 0. x . c b. - Nếu b 0 thì phương trình có nghiệm - Nếu b = 0 và c 0 thì phương trình vô nghiệm. - Nếu b = 0 và c = 0 thì phương trình có vô số nghiệm. +) Với a 0 thì phương trình trở thành phương trình bậc hai có biệt số:  b 2  4ac (hay  ' b '2  ac ) - Nếu   0( '  0) thì phương trình vô nghiệm..

<span class='text_page_counter'>(17)</span> x1  x2 . - Nếu  0( ' 0) thì phương trình có nghiệm kép - Nếu   0( '  0) thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 . b 2a.  b    b '  '  b    b '  '  x2   2a a 2a a và. 2 Bài 1. Giải và biện luận phương trình: (m  2) x  2( m  1) x  m 0 Giải. 2 Bài 2. Giải và biện luận phương trình: ( m  3) x  2mx  m  6 0. Giải. Dạng 5: Tìm giá trị của tham số để hai phương trình có nghiệm chung. Tổng quát: Giả sử x0 là nghiệm chung của hai phương trình. Thay x = x0 vào 2 phương trình ta được hệ với ẩn là các tham số. Giải hệ tìm tham số m. Thử lại với tham số vừa tìm, hai phương trình có nghiệm chung hay không? 2 2 Bài 1. Cho hai phương trình: x  x  m 0 và x  mx  1 0 a) Xác định m để hai phương trình trên có nghiệm chung. b) Xác định m để hai phương trình trên tương đương. BÀI TẬP TỔNG HỢP. Bài 1. Giải các phương trình sau: 2 2 a) 3 x  7 x  2 0 b) (5  2) x  10 x  5  2 0 Bài 2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó. 5 x 2  12 x  m  3 0 2 2 ( m  1) x  mx  5 0 Bài 3. Xác định m để phương trình sau vô nghiệm.. Bài 4. Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. CMR phương trình sau vô nghiệm b 2 x 2  (b 2  c 2  a 2 ) x  c 2 0 Bài 5. Xác định m để phương trình sau có đúng một nghiệm. (m  2) x 2  2( m  1) x  m 0 2 2 Bài 6. Cho phương trình: (5m  1) x  (31m  13) x  6 0 CMR phương trình có 2 nghiệm phân biệt. 2 Bài 7. Cho phương trình: x  2(m  4) x  6m  1 0 CMR phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Bài 8. Xác định m để 2 phương trình sau có nghiệm chung. x 2  mx  2 0 và x 2  2 x  m 0 Chủ đề 4:. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH VÀ LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH. CÁC DẠNG TOÁN: Dạng 1: Toán chuyển động..

<span class='text_page_counter'>(18)</span> - Ba đại lượng S, v, t.. S S S v.t; t  ; v  v t - Quan hệ: - Chú ý: Vxuôi = Vthực + Vnước ; Vngược = Vthực + Vnước. Bài 1. Hai người đi trên hai con đường vuông góc với nhau và xuất phát cùng một lúc từ cùng một điểm, sau 3 giờ họ cách nhau 15km. Tìm vận tốc và quãng đường biết rằng nếu hai người đó cùng xuất phát từ một điểm và đi ngược chiều nhau thì mỗi giờ họ cách nhau 7km. Bài 2. Một người dự định đi từ A đến B trong một khoảng thời gian nhất định. Nếu người đó tăng vận tốc thêm 10km/h thì thời gian đi hết quãng đường AB giảm đi 1giờ Nếu người đó giảm vận tốc đi 10km/h thì thời gian đi hết quãng đường AB tăng 2giờ so với dự định. Hỏi người đó đi với vận tốc và thời gian dự định bao nhiêu? Giải. Gọi vận tốc mà người đó dự định đi là x (km/h) (x >0) Gọi thời gian mà người đó dự định đi là y (h) (y >0) Quãng đường AB là xy Khi tăng vận tốc 10km/h thì vận tốc lúc đó là: x +10 (km/h). Và thời gian giảm đi 1giờ nên thời gian đi hết quãng đường là: y – 1 (h) Khi giảm vận tốc đi 10km/h thì vận tốc lúc đó là : x – 10 (km/h). Và thời gian tăng thêm 2giờ nên thời gian đi hết quãng đường là y + 2 (h) Do quãng đường AB không đổi nên ta có hệ phương trình: ( x  10)( y  1) xy  x  10 y 10  x 30(tm)    ( x  10)( y  2)  xy 2 x  10 y 20  y 4(tm) Vậy vận tốc người đó dự định đi là 30km/h, thời gian dự định đi là 4giờ. Bài3. Hai bến sông A và B cách nhau 240km. Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến địa điểm C nằm chính giữa hai bến A và B, cùng lúc đó một ca nô ngược dòng từ B đến C. Ca nô từ A đến C trước ca nô từ B đến C 1giờ. Tìm vận tốc của dòng nước, biết vận tốc thực của hai ca nô bằng nhau và bằng 27km/h. Dạng 2: Lập số. ab 10a  b . Điều kiện: 0  a 9;0 b 9 , a, b   abc 100a  10b  c . Điều kiện: 0  a 9;0 b, c 9 , a, b, c   Bài 1. Tìm một số tự nhiên có 2 chữ số biết rằng nếu viết chữ số 1 vào giữa hai chữ số ta được số mới có 3 chữ số lớn hơn số đã cho là 280. Nếu đổi chỗ hai chữ số đã cho ta được số mới lớn hơn số đó 18 đơn vị. Giải. Gọi số cần tìm là: ab 10a  b . Điều kiện: 0  a 9;0 b 9 , a, b   . Do khi thêm chữ số 1 vào giữa hai chữ số ta được số mới lớn hơn số đã cho 280 đơn vị nên ta có: a1b  ab 280  100a  10  b  10a  b 280  a 3 (1) Do khi đổi chỗ hai chữ số ta được số mới lớn hơn số đã cho 18 đơn vị nên ta có: ba  ab 18  10b  a  10a  b 18  b  a 2 (2) Từ (1) và (2) ta có a = 3; b = 5. Vậy số cần tìm là 35..

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Bài2. Tìm số tự nhiên có 2 chữ số biết rằng chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục 4 đơn vị. Nếu đem số đó chia cho tổng các chữ số của nó ta được thương là 3 và dư 7. Giải. Gọi số cần tìm là: ab 10a  b . Điều kiện 0  a 9;0 b 9 , a, b   Vì chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục là 4 nên ta có: b – a = 4. (1) Khi đem số đó chia cho tổng các chữ số của nó ta được thươnglà 3 và dư 7 nên ta có: ab 3( a  b)  7  10a  b 3a  3b  7  7 a  2b 7 (2) b  a 4 a 3   Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: 7 a  2b 7 b 7 Vậy số cần tìm là 37. Dạng 3: Toán làm chung làm riêng. +) Qui ước: Cả công việc là 1 đơn vị. +) Tìm trong một đơn vị thời gian đối tượng tham gia bài toán thực hiện được bao nhiêu phần công việc. Phần công việc bằng 1/thời gian. Bài 1. Hai người thợ cùng làm một công việc trong 8giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 6giờ sau đó dừng lại và người thứ hai làm tiếp trong 9 giờ nữa thì sẽ hoàn thành công việc. Hỏi mỗi người làm một mình trong bao lâu thì xong việc? Giải. C1: Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình thì xong việc là: x (giờ) (x >0) Gọi thời gian người thứ hai làm một mình thì xong công việc là y (giờ) (y >0) 1 Trong 1 giờ người thứ nhất làm được: x (công việc) 1 Trong 1 giờ người thứ hai làm được: y (công việc). 1 1 1 1   y 8 (1) Trong 1 giờ cả hai người làm được 8 (công việc) nên ta có: x 6 Trong 6 giờ người thứ nhất làm được: x (công việc) 9 Trong 9 giờ người thứ hai làm được: y (công việc) 6 9  1 x y Theo bài ra ta có phương trình: (2) 1 1 1   x y 8   1 1  6  9 1 b  a  x y y  x Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: Đặt ; ,ta được:.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> 1  a    24   x 24   1  y 12 b   12  Vậy thời gian người thứ nhất làm một mình hoàn thành công việc là 24 giờ. người thứ hai làm một mình hoàn thành công việc là 12 giờ. C2: Gọi số phần công việc người thứ nhất làm trong một giờ là: x (x >0) Và số phần công việc người thứ hai làm trong một giờ là y (y >0) Do hai người làm chung trong 8 giờ thì xong việc nên ta có: 1 x  y   8 x  8 y 1 8 (1) Do người thứ nhất làm trong 6 giờ và người thứ hai làm tiếp trong 9 giờ thì xong công 1  a  b  8    6a  9b 1. việc nên ta có phương trình: 6 x  9 y 1. (2). 1  x  8 x  8 y 1  24   6 x  9 y 1  y  1  12 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: Vậy thời gian người thứ nhất hoàn thành công việc là 24 giờ. người thứ hai hoàn thành công việc là 12 giờ. Bài 2. Trong một bể nước có một vòi chảy ra và một vòi chảy vào. Nếu mở cùng hai vòi thì sau 6 giờ sẽ đầy bể. Hỏi vòi chảy vào chảy trong bao lâu thì đầy bể. Biết rằng thời gian vòi chảy vào chảy đầy bể ít hơn vòi chảy ra hết bể nước đầy là 8 giờ và vận tốc chảy của các vòi không đổi. Dạng 4. Toán diện tích. Bài 1. Một hình chữ nhật nếu ta tăng chiều dài và chiều rộng lên 4m thì diện tích sẽ tăng thêm 88m2. Nếu ta giảm chiều dài đi 2m và tăng chiều rộng thêm 3m thì diện tích sẽ tăng thêm 18m2. Tìm kích thước hình chữ nhật. Giải. Gọi chiều dài ban đầu của hình chữ nhật là x (m) (x >0) Và chiều rộng của hình chữ nhật ban đầu là y (m) (y >0) Diện tích ban đầu của hình chữ nhật là x.y (m2) Do khi tăng chiều dài, chiều rộng thêm 4m thì diện tích tăng 88m2 nên ta có pt: ( x  4)( y  4)  xy 88  x  y 18 (1) Do khi giảm chiều dài 2m và tăng chiều rộng 3m thì diện tích tăng thêm 18m2 nên ta có pt: ( x  2)( y  3)  xy 18  3 x  2 y 24 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:  x  y 18  x 10   3x  2 y 24  y 8 Vậy chiều dài ban đầu của HCN là 10m, chiều rộng ban đầu của HCN là 8m..

<span class='text_page_counter'>(21)</span> Bài 2. Hai tổ sản xuất trong tháng 1 làm được 900 sản phẩm. Sang tháng 2 do sự thay đổi nhân sự nên số sản phẩm của tổ I bằng 90% số sản phẩm ở tháng 1 của tổ I, số sản phẩm của tổ II bằng 120% số sản phẩm ở tháng 1 của tổ II. Vì tổng số sản phẩm trong tháng 2 của cả hai tổ là 960 sản phẩm. Hỏi trong tháng 1 mổi tổ sản xuất được bao nhiêu sản phẩm? Giải. Gọi số sản phẩm của tổ I sản xuất được trong tháng 1 là x (sản phẩm) ( x  0, x   ) số sản phẩm của tổ II sản xuất được trong tháng 1 là y (sản phẩm) ( y  0, y ) Do cả hai tổ sản xuất trong tháng 1 được 900 sản phẩm nên ta có: x  y 900 (1) Trong tháng 2 tổ I sản xuất được: 0,90.x (sản phẩm) Trong tháng 2 tổ II sản xuất được: 1, 20.y (sản phẩm) Do tổng số sản phẩm trong tháng 2 của cả hai tổ là 960 sản phẩm nên ta có: 0,90.x  1, 20. y 960  9 x  12 y 9600 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:  x  y 900  x 400(tm)    9 x  12 9600  y 500(tm) Vậy trong tháng 1 tổ I sản xuất được 400 sản phẩm, tổ II sản xuất được 500 sản phẩm. Dạng 5: Toán mang yếu tố Vật lí. Bài 1. Hai điện trở mắc song song với nhau biết rằng điện trở thứ nhất lớn hơn điện trở thứ hai 6Ω và điện trở tương đương của đoạn mạch là 4Ω. Tính độ lớn của hai điện trở. Giải. Gọi độ lớn của điện trở 1 là R1 = x (Ω, x >6) Độ lớn của điện trở thứ 2 là R2 = x – 6 (Ω) Ta có điện trở tương đương của đoạn mạch Rtđ = 4Ω. 1 1 1 1 1 1        x( x  6) 4( x  6)  4 x. Rtd R1 R2 4 x x 6.  x 2  6 x  4 x  24  4 x 0  x 2  14 x  24 0  ' 7 2  24 25   '  25 5 x1 7  5 12(tm); x2 7  5 2 (loại) Vậy độ lớn của điện trở thứ nhất là 12Ω, độ lớn của điện trở thứ 2 là 6Ω. Dạng 6: Toán năng suất kế hoạch. +) Gồm 3 đại lượng: Tsp; Ns, t. t. Tsp Tsp Ns  Ns , t .. +) Quan hệ: Tsp = Ns.t; Bài 1. Một tổ công nhân theo kế hoạch phải sản xuất 1200sp trong một thời gian nhất định. Nhưng trong thực tế sau khi làm xong 12 giờ với năng suất dự định thì tổ công nhân cải tiến kỹ thuật tăng năng suất lên 5sp trong 1 giờ. Vì vậy họ đã hoàn thành số sản phẩm.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> đó trước thời hạn là 6 giờ. Hỏi mỗi giờ tổ công nhân dự định làm được bao nhiêu sản phẩm? Dạng 7: Toán có quan hệ hình học. Bài1. Cho tam giác vuông ABC, đường cao AH chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với nhau theo tỉ lệ 4:3. Tính độ dài các cạnh của tam giác, biết một cạnh góc vuông của tam giác có độ dài là 14cm. Bài2. Cho biết một tam giác vuông có đường cao ứng với cạnh huyền là 24cm và cạnh huyền là 50cm. Tìm độ dài hai cạnh góc vuông? Dạng 8: Toán phần trăm. Bài1. Trong một kho giấy có 1500 tấn giấy loại I và loại II. Sau đó người ta bổ sung vào kho thêm 255 tấn giấy cả hai loại, trong đó giấy loại I bằng 15% lượng giấy loại I trong kho, giấy loại II bằng 20% lượng giấy loại II trong kho. Hỏi ban đầu lượng giấy loại I và loại II trong kho là bao nhiêu? Dạng 9: Toán quan hệ giữa hai số. Bài1. Tìm hai số tự nhiên biết rằng hai số đó chia cho 3 được cùng một thương và số dư lần lượt là 1 và 2 và tổng bình phương của chúng là 221. Bài 2. Trong chiến dịch Điện Biên Phủ một tiểu đội công binh nhận nhiệm vụ đào 60m giao thông hào. Nhưng đến khi nhận nhiệm vụ 2 chiến sĩ trong tiểu đội đã bị hy sinh. Vì vậy bình quân mỗi chiến sỹ phải đào thêm 1m giao thông hào nữa mới hoàn thành công việc. Hỏi tiểu đội công binh có bao nhiêu người? Bài tập tổng hợp. Bài1. Hai anh Quang và Hùng góp vốn cùng kinh doanh. Anh Quang góp vốn 15triệu đồng, anh Hùng góp 13triệu đồng. Sau một thời gian được lãi 7 triệu đồng. Lãi được chia tỉ lệ với vốn đã góp. Hãy tính tiền lãi mà mỗi anh được hưởng? HD: Gọi số lãi anh Quang là x (triệu đồng, x >0). Gọi số lãi anh Hùng là y (triệu đồng, y >0)  x  y 7  x 3, 75  x y   y 3, 25 15 13 Lập được hệ: Bài 2. Trong phòng học có một số ghế dài. Nếu xếp mỗi ghế 3 học sinh thì 6 học sinh không có chỗ. Nếu xếp mỗi ghế 4 học sinh thì thừa 1 ghế. Hỏi lớp học có bao nhiêu ghế và bao nhiêu học sinh? *. HD:Gọi số ghế là x ( x   ). Gọi số học sinh là y ( y   ) 3x  6  y  x 10   4( x  1)  y  y 36 Lập được hệ:  Bài3. *.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> Để sửa một ngôi nhà cần một số thợ làm việc trong một thời gian quy định. Nếu giảm 3 người thì thời gian kéo dài 6 ngày. Nếu tăng thêm 2 người thì xong sớm 2 ngày. Hỏi theo quy định cần bao nhiêu thợ và làm trong bao nhiêu ngày, biết khả năng lao động của mọi thợ đều như nhau? *. HD:Gọi số thợ cần thiết là x (người, x   ). Gọi thời gian cần thiết là y(ngày, y   ) ( x  3)( y  6) xy  x 8   ( x  2)( y  2)  xy  y 10 Lập được hệ:  Bài4. Trên một cánh đồng cấy 60 ha lúa giống mới và 40 ha lúa giống cũ. Thu hoạch được tất cả 460 tấn thóc. Hỏi năng suất mỗi loại lúa trên một ha là bao nhiêu biết rằng 3ha lúa giống mới thu hoạch được ít hơn 4ha lúa giống cũ 1tấn. HD: Gọi năng suất trên 1ha của giống lúa mới là x (tấn, x >0) Gọi năng suất trên 1ha của lúa giống cũ là y (tấn, y >0) 60 x  40 y 460  x 5   4 y  3 x  1   y 4 Lập được hệ: Bài 5. Hai sân bay Hà Nội và Đà Nẵng cách nhau 600 km. Một máy bay cánh quạt từ Đà Nẵng đi Hà Nội. Sau đó 10 phút một máy bay phản lực từ Hà Nội đi Đà Nẵng với vận tốc lớn hơn vận tốc của máy bay cánh quạt là 300km/h, nó đến Đà Nẵng trước khi máy bay kia đến Hà Nội 10 phút. Tính vận tốc của mỗi máy bay? HD: Gọi vận tốc của máy bay cánh quạt là x (km/h, x >0) Khi đó vận tốc của máy bay phản lực là x + 300 (km/h) 600 1 1 600     x 600 6 6 x  300 Lập được phương trình: x Bài 6. Một xuồng máy xuôi dòng sông 30km và ngược dòng 28km hết một thời gian bằng thời gian mà xuồng đi 59,5 km trên mặt hồ yên lặng. Tính vận tốc của xuồng khi đi trên hồ yên lặng biết rằng vận tốc của nước chảy là 3km/h. HD: Gọi vận tốc của xuồng máy khi đi trong hồ yên lặng là x (km/h, x >3) Khi đó vận tốc của xuồng máy khi xuôi dòng là : x+3 (km/h) Vận tốc của xuồng máy khi ngược dòng là: x – 3 (km/h) 30 28 119    x 17. Lập được phương trình: x  3 x  3 2 x *. Chủ đề 5: HÀM SỐ. Phần I: Lí thuyết. I) Các kiến thức về hàm số. 1) Khái niệm về hàm số(khái niệm chung) Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho ứng với mỗi giá trị của x ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x được gọi là biến số. Ví dụ: y = 2x; y = -3x+5; y = x2; …….. Chú ý:.

<span class='text_page_counter'>(24)</span> Khi đại lượng x thay đổi mà y luôn nhận một giá trị không đổi thì y được gọi là hàm hằng. Ví dụ: Các hàm hằng: y = 2; y = -4; y = 7; ….. 2) Một số hàm số quen thuộc: a) Hàm số cho bởi bảng. b) Hàm số cho bởi công thức. - Hàm hằng là hàm có công thức: y = m (trong đó x là biến, m  ) - Hàm số bậc nhất: Là hàm số có dạng công thức: y = ax + b Trong đó x là biến, a, b  , a 0. , a là hệ số góc, b là tung độ gốc. Chú ý: Nếu b = 0 thì hàm số bậc nhất có dạng y = ax ( a 0 ) - Hàm số bậc hai: Là hàm số có công thức: y = ax2 +bx +c Trong đó x là biến, a, b, c  , a 0. Chú ý: Nếu c = 0 thì hàm số bậc hai có dạng y = ax2 + bx ( a 0 ) Nếu b = 0, c = 0 thì hàm số bậc hai có dạng: y = ax2 ( a 0 ) 3) Khái niệm hàm đồng biến và hàm nghịch biến. Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi x   . a) Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tương ứng của f(x) cũng tăng lên thì hàm số y = f(x) được gọi là hàm số đồng biến. b) Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tương ứng của f(x) giảm đi thì hàm số y = f(x) được gọi là hàm số nghịch biến. 4) Dấu hiệu nhận biết hàm số đồng biến và hàm số nghịch biến. a) Đối với hàm số bậc nhất y = ax+b ( a 0 ) - Nếu a>0 thì hàm số y = ax +b luôn đồng biến trên  . - Nếu a <0 thì hàm số y = ax + b luôn nghịch biến trên  . b) Đối với hàm số bậc hai một ẩn y = ax2 ( a 0 ) có thể nhận biết đồng biến và nghịch biến theo dấu hiệu sau: - Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến khi x >0, nghịch biến khi x <0. - Nếu a <0 thì hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0. 5) Khái niệm về đồ thị hàm số. Đồ thị hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng (x; f(x)) trên mặt phẳng toạ độ. Chú ý: Dạng đồ thị hàm số. a) Hàm hằng: Đồ thị của hàm hằng y = m (trong đó x Đồ thị của hàm hằng x = m (trong đó y là biến, m   ) là một đường thẳng luôn là biến, m  ) là một đường thẳng luôn song song với trục Ox. song song với trục Oy. y y=m m O. x.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> b) Đồ thị hàm số y = ax ( a 0 ) là một đường thẳng (hình ảnh tập hợp các điểm) luôn đi qua gốc toạ độ. (I) x>0,y>0. y. (II) x<0,y>0. (II) x<0,y>0. y=ax(a>0). y=ax(a<0). x. O (III) x<0,y<0. (I) x>0,y>0. y. x. O (III) x<0,y<0. (IV) x>0,y<0. (IV) x>0,y<0. c) Đồ thị hàm số y = ax + b ( a, b 0 ) là một đường thẳng (hình ảnh tập hợp các điểm) cắt trục tung tại (0;b) và cắt trục hoành tại (II) x<0,y>0. (I) x>0,y>0. y. (. b ; 0) a .. (II) x<0,y>0. y. y=ax+b(a>0). O. y=ax+b(a<0). (IV) x>0,y<0. x. O. x. (III) x<0,y<0. (I) x>0,y>0. (III) x<0,y<0. (IV) x>0,y<0. d) Đồ thị hàm số y = ax2 ( a 0 ) là một đường cong Parabol có đỉnh O(0;0) - Đồ thị ở phía trên trục hoành nếu a >0. - Đồ thị ở phía dưới trục hoành nếu a <0. a <0 y a >0 y y = ax2 O. x. x. O y = ax2. II) Vị trí tương đối của hai đường thẳng(đồ thị hàm số bậc nhất). Hai đường thẳng y = ax +b ( a 0 ) và y = a’x +b’ ( a ' 0 ) +) Trùng nhau nếu a = a’, b = b’. +) Song song với nhau nếu a = a’, b b ' . +) Cắt nhau nếu a a ' . +) Vuông góc với nhau nếu a.a’ = -1..

<span class='text_page_counter'>(26)</span> III) Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b( a 0 ). Giả sử đường thẳng y = ax +b ( a 0 ) cắt trục Ox tại điểm A. Góc tạo bởi đường thẳng y = ax +b ( a 0 ) với trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và tia AT (với T là một điểm thuộc đường thẳng y = ax + b có tung độ dương) - Nếu a >0 thì góc α tạo bởi đường thẳng y = ax +b với trục Ox được tính theo công thức như sau: tg a. (cần chứng minh mới được dùng) - Nếu a <0 thì góc α tạo bởi đường thẳng y = ax + b với trục Ox được tính theo công  tg   a thức sau:  180   với y. y=ax+b(a>0) T. y y=ax+b(a<0). .  A. T. O. x. A O. x. Phần II: Các dạng toán. Dạng 1: Nhận biết hàm số. Bài1. Trong các hàm số sau, chỉ ra các hàm số bậc nhất và các hệ số của hàm số, hàm số nào là hàm số bậc hai dạng y = ax2 ( a 0 ). a) y = 3 – 0,6x b) y = 3 (x - 2 ) c) y + 2 = x - 3 1 d) y = 2 .x 2 g) y = x. e) y = - 7,5.x. f) y = 5 – 3x2.. h) y = 0.x +5 k) y = -3x2. Bài 2. Với những giá trị nào của m thì các hàm số sau đây là hàm số bậc nhất. a) y = (m +5).x – 7 (x là biến số ) 2 s  m  3.t  3 (t là biến số ) b) Dạng 2: Tính giá trị của hàm số. 1 Bài1. Cho hàm số y = f(x) = 5x – 3 . Tính f(-3), f( 2 ). 3 2  2 Bài 2. Cho hàm số y = f(x) = 2 x . Hãy tính: f(-2), f(4), f( 3 ), f( 3 ) 2 Bài 3. Cho hàm số y = f(x) = x2 + 3 x – 5.. Tính giá trị của hàm số tại x = 1, x = -3, x = 27 Bài 4. Cho hàm số y = f(x) = ax2 +bx +c (với a,b,c là các hằng số) Cho biết f(3) = 2009. Tính f(-3)? Bài 5. Cho hàm số y = f(x) = ax +b có tính chất f(3)≤ f(1) ≤ f(2) và f(4) = 2. Chứng minh rằng a = 0 và f(0) = 2..

<span class='text_page_counter'>(27)</span> Dạng 3: Hàm số đồng biến, nghịch biến. Bài 1. Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến trên  . 4 3 2 2 y  x y  4 x  y  n  3.x  (n 3) y  2  3 x  3 3 5 c) 3 b) 3 a) d) Bài 2. Trong các hàm số sau hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến trên đoạn  2;5. . . 1 2 x 2 a) y 2 x b) Bài 3. Cho hàm số bậc nhất y = (m+5)x +5. a) Tìm giá trị của m để hàm số y đồng biến. b) Tìm giá trị của m để hàm số y nghịch biến. Bài 4. Cho hàm số 2010 1   1 y  f ( x)   x  2008  2009  2010  2009   2010 Không sử dụng máy tính, so sánh f(8) và f(9). Dạng 4: Vẽ đồ thị của hàm số. Bài1. Vẽ đồ thị của các hàm số sau trên cùng một mặt phẳng toạ độ. y = 2x +3 ; y = - 2x +3 ; y = 3x. Bài 2. Vẽ đồ thị của các hàm số sau trên cùng một mặt phẳng toạ độ. y = x + 2; y = 2x2. Dạng 5: Điểm thuộc đồ thị hàm số. D5.1 Chứng minh điểm thuộc đồ thị. Phương pháp: Điểm thuộc đường thẳng. A  x A ; y A   (d ) : y a.x  b(a 0)  y A a.x A  b. y . 2. . . B  xB ; yB   (d ) : y a.x  b(a 0)  yB a.xB  b. Điểm thuộc Parabol. 2 Cho (P): y a.x ( a 0) A  x0 ; y0   ( P)  y0 a.x02. .;. B  x1; y1   ( P)  y1 a.x12. Bài1. Cho (d): y  2 x  2  1. Tìm xem trong các điểm sau, điểm nào thuộc (d): A(-1;1); B(-2; 2  1 ); C( 2  1 ; 3); D( 2 2 ; 3  2 ) 2 Bài 2. Cho (P) y = -3x . Tìm trong các điểm sau, điểm nào thuộc (P). 1 3  D( 2 ; 4 ). A(-1;-3); B( 2 ; -6); C( 3 ; 9); D5.2. Tìm toạ độ của điểm khi biết điểm đó thuộc đồ thị hàm số. Bài1. Cho (d) y = 2x – 5. a) Tìm tọa độ điểm A biết A thuộc (d) và A có tung độ là -11. b) Tìm toạ độ điểm B biết B thuộc (d) và B có hoành độ là Bài 2. Cho (P). y . 1 2 x . 3. . 1 3.

<span class='text_page_counter'>(28)</span> a) Tìm toạ độ điểm A biết A  ( P) và A có hoành độ là 3. b) Tìm toạ độ điểm B biết B  ( P ) và B có tung độ bằng -2. D5.3. Tìm giá trị của tham số khi biết điểm thuộc đồ thị hàm số. Bài1. Cho (d): y = (m + 2 )x + m + 1. Tìm m để (d) đi qua điểm A ( 2 ; 5  2 ) Bài2. Cho (d): y = (3m + 2)x + m2 + 5m + 4. Tìm m để (d) đi qua điểm B(2;8). Bài3. Cho (P): y = (3m2 – 2m – 6)x2. Tìm m để điểm A (2;8) thuộc (P). y . 1 2 x . 2 Tìm m để điểm B(m; m2 – 5m – 5)  (P).. Bài4. Cho (P): Bài5. Cho (P) y = f(x) = (m2 – 4m + 9).x2. a) So sánh f(-5) và f(-2) b) Tìm m để B(2; 20)  (P). D.5.4: Xác định điểm cố định của hàm số. Phương pháp: Để tìm điểm cố định mà đường thẳng y = ax + b( a 0 ; a, b có chứa tham số) B1: Gọi điểm cố định là A(x0; y0). B2: Thay x = x0 ; y = y0 vào hàm số được y0 = ax0 +b (phương trình có chứa tham số) B3: Đặt điều kiện để phương trình có vô số nghiệm. (Phương trình có mx + n = 0 có vô số nghiệm khi m = 0 và n = 0) Bài1. Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d): y = (m-3)x + 2m – 5 luôn đi qua với mọi m. Bài2. Chứng minh rằng mỗi đường thẳng sau luôn đi qua một điểm cố định với mọi m. a) y = (m-2)x +3 b) y = mx + (m + 2) c) y = (m – 1)x +(2m – 1) Dạng 6: Giao điểm của hai đồ thị. D.6.1: Tìm giao điểm của hai đường thẳng. Tổng quát: Giao điểm của hai đường thẳng: (d1): y = a1.x + b1 và (d2): y = a2x + b2.  y a1.x  b1  y a2 .x  b2 Là nghiệm của hệ phương trình:  Bài1. Tìm giao điểm của (d1): y = 3x +5 và (d2): y = - 6x – 1. Bài2. Tìm giao điểm của (d3): 3x + 2y = 4 và (d4): 5x + 4y = - 10. D.6.2: Tìm toạ độ giao điểm của Parabol với đường thẳng. Tổng quát: Cho (P): y = ax2 ( a 0 ) và (d): y = mx + n. Xét phương trình hoành độ giao điểm ax2 = mx + n. Giải phương trình tìm x. Thay giá trị vừa tìm được vào hàm số y = ax2 hoặc y = mx + n tìm được y. + Giá trị của x tìm được là hoành độ giao điểm. + Giá trị của y tìm được là tung độ giao điểm. Bài1. Tìm toạ độ giao điểm của (P): y = -2x2 và (d): y = 2x – 4. 1 y  x2 3 và (d): y = 4x – 12. Bài2. Tìm toạ độ giao điểm của (P):. Bài3. Tìm toạ độ giao điểm của (P): y = 11x2 và (d): y = 4x – 5. D.6.3. Tìm số giao điểm của đường thẳng và Parabol. Tổng quát:.

<span class='text_page_counter'>(29)</span> Cho (P): y = ax2 ( a 0 ) và (d): y = mx + n. Xét phương trình hoành độ giao điểm ax2 = mx + n. (*) + Phương trình (*) vô nghiệm (   0 )  (d ) và (P) không có điểm chung. + Phương trình (*) có nghiệm kép(  0 )  (d ) tiếp xúc với (P). + Phương trình (*) có hai nghiệm phân biết (   0 hoặc a.c>0)  (d ) cắt (P) tại hai điểm phân biệt. Bài1. 1 y  x2 . 2 Cho (P): và (d): y = (m+5)x – m + 2. Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. Bài2. Cho (P): y = x2. Chứng minh rằng đường thẳng đi qua A(1;7) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. 1 y  x2. 2 Bài3. Cho (P): và (d): y = (m + 2n)x – 2mn (với m, n 0 ). Chứng minh rằng d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. D.6.4: Tìm giá trị của 1 tham số khi biết giao điểm của hai đường thẳng. VD: Cho (d1): y = 2x + 1 ; (d2): y = (2m +3)x + m2 + 4m. Tìm m để (d1) cắt (d2) tại A có hoành độ là 1. D.6.5: Tìm giá trị của 2 tham số khi biết giao điểm của hai đường thẳng. VD: Cho (d1): y = (m + 2n)x + 5m + 3n +1 và (d2): y = (3m + 2n)x + 2m + n + 4. Tìm m để (d1) cắt (d2) tại A(1;5) D.6.6: Tìm giá trị của tham số khi biết số giao điểm của Parabol và đường thẳng. Tổng quát: Cho (d): y = ax + b. và (P): y = a’x2 ( a ' 0 )(a, a’, b có chứa tham số) Xét phương trình hoành độ giao điểm a’x2 = ax + b (*) +) (d) và (P) không có điểm chung  phương trình (*) vô nghiệm(   0 ) +) (d) tiếp xúc với (P)  phương trình (*) có nghiệm kép(  0 ) +) (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt  phương trình(*) có 2 nghiệm phân biệt.(   0 hoặc a.c <0) Bài1. Cho (P): y = x2. và (d): y = 2(m + 3)x – m2 – m – 2. a) Tìm m để (d) và (P) tiếp xúc với nhau. b) Tìm m để (d) và (P) không có điểm chung. c) Tìm m để (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt. 1 y  x2 . 3 Bài2. Cho (P): (d): y = 2(m – 2)x +12m. Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt. Tìm toạ độ giao điểm đó? D.6.7: Tìm giá trị của tahm số khi biết toạ độ giao điểm của Parabol và đường thẳng. Tổng quát: Cho (d): y = ax + b. và (P): a’x2 ( a ' 0 ) (a’,a, b có chứa tham số) Tìm giá trị của tham số để (d) và (P) cắt nhau tại A(xA; yA). Thay toạ độ của A vào hàm số của (d); (P) để tìm giá trị của tham số..

<span class='text_page_counter'>(30)</span> 1 y  x2 . 4 Bài1. Cho (P): và (d): y = (2m + n)x +m – 2n – 1. Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm có hoành độ giao điểm là -2, -1. Bài2. Cho (P): y = (m2 – 5m +3)x2. Tìm m để (d1): y = 5x – 2 cắt (d2): y = - 2x + 5 tại một điểm trên (P). Bài3. Cho (P): y = (m – 2n +3)x2. Tìm m và n để (P) cắt (d1): y = 3x + 2 tại một điểm có hoành độ là 2 và cắt (d2): y = 3x – 1 tại một điểm có hoành độ là 1. Bài4. Cho (P): y = x2. và (d): y = (5m2 – 21m + 16)x + m2 – 6m +11. Tìm m để (P) cắt (d) tại hai điểm đối xứng nhau qua trục tung. Dạng 7: Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm. D.7.1: Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB) trong đó x A  xB và y A  yB . Tổng quát: Lập phương trình đi qua hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB) trong đó x A  xB và y A  yB . Giải: Gọi phương trình đường thẳng (d) cần lập đi qua A và B có dạng y = ax + b ( a 0 ) Do A  (d ) thay x = xA; y = yA vào y = ax + b ta có: yA = a.xA + b (1) Do B  (d ) thay x = xB; y = yB vào y = ax + b ta có: yB = a.xB + b (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:  y A a.x A  b a ( y A  yB ) : ( x A  xB )   y  a . x  b B  B b ( x A . yB  xB . y A ) : ( x A  xB ) VD: Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(2; -1) và B(-2; 11) D.7.2: Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(m; yA) và B(m; yB) trong đó y A  yB . Tổng quát: Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(m; yA) và B(m; yB) trong đó y A  yB Giải. Do A(m; y A )  (d ) : x m ; B (m; yB )  ( d ) : x m Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là (d): x = m VD: Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(-3; 5) và B(-3; 13) D.7.3: Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(xA; n) và B(xB; n) trong đó x A  xB Tổng quát: Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(xA; n) và B(xB; n) trong đó x A  xB Giải. Do A( x A ; n)  (d ) : y n ; B( xB ; n)  (d ) : y n Vậy phương trình đường thẳng cần lập là: y = n. VD1: Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(-20;1) và B(4;1) VD2: Cho (d): y = (m + 2n)x + m – n + 3..

<span class='text_page_counter'>(31)</span> Tìm các giá trị của tham số m, n để đường thẳng (d) đi qua hai điểm A(-2;-8) và B(3;17). Dạng 8: Ba điểm thẳng hàng. D.8.1: Chứng minh ba điểm thẳng hàng. Tổng quát: B1: Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm. B2: Chứng minh điểm còn lại thuộc đường thẳng. 1 VD: Chứng minh ba điểm sau thẳng hàng: A(2;1); B(-1;7); C( 2 ; 4). D.8.2: Tìm giá trị của tham số để ba điểm thẳng hàng. Tổng quát: B1: Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm có toạ độ đơn giản nhất. B2: Thay toạ độ của điểm còn lại vào phương trình đường thẳng vừa lập. Giải phương trình và tìm tham số. VD: Tìm các giá trị của m để ba điểm sau thẳng hàng: A(-2;-4); B(m; m2 + 3m – 8); C(3;11). Dạng 9: Ba đường thẳng đồng quy. D.9.1: Chứng minh ba đường thẳng đồng quy. Tổng quát: B1: Tìm giao điểm của hai đường thẳng. B2: Chứng minh giao điểm đó thuộc đường thẳng còn lại. VD: Cho 3 đường thẳng: (d1): y = -2x – 7; (d2): y = 3x + 3; (d3): y = mx + 2m – 3. Chứng minh ba đường thẳng đồng quy. D.9.2: Tìm giá trị của tham số để ba đường thẳng đồng quy. Tổng quát: B1: Tìm giao điểm của hai đường thẳng đơn giản nhất. B2: Thay toạ độ giao điểm vào phương trình đường thẳng còn lại. Giải phương trình và tìm tham số. VD: Cho ba đường thẳng: (d1): y = (m +5)x + m2 – 6m – 14; (d2): y = 2x – 5; (d3): y = -3x +10. Tìm m để ba đường thẳng đó đồng quy. Dạng 10: Vị trí tương đối của hai đồ thị hàm số bậc nhất. Chú ý: (d1): y = a1.x + b1; (d2): y = a2.x + b2 +) (d1) cắt (d2).  a1 a2. +) (d1) // (d2).  a1 a2 , b1 b2. +) (d1) ≡ (d2).  a1 a2 , b1 b2  a .a  1. 1 2 +) (d1)  (d2) D.10.1: Tìm điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm trên trục tung. Tổng quát: (d1): y = a1.x + b1; (d2): y = a2.x + b2.  a1 a2 (1)  b b (2) Để (d1) cắt (d2) tại một điểm trên trục tung thì  1 2.

<span class='text_page_counter'>(32)</span> Giải (1) và (2). Tìm những giá trị thoả mãn (1). VD: Cho hai đường thẳng (d1): y = (m – 2)x + m2 +5m +6; (d2): y = -2x +6. Tìm m để (d1) cắt (d2) tại một điểm trên trục tung. D.10.2: Tìm điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm trên trục hoành. Tổng quát: (d1): y = a1.x + b1; (d2): y = a2.x + b2.  a1 a2 (1)   b1 b2  a  a (2) 2  1. Để (d1) cắt (d2) tại một điểm trên trục hoành thì Giải (1) và (2). Tìm những giá trị thoả mãn (1) Lưu ý: Chỉ nên áp dụng khi hai phương trình đều chứa tham số. VD: Cho hai đường thẳng: (d1): y = (2m + 6)x + m2 – 4m – 16; (d2): y = 2x – 4. Tìm m để (d1) cắt (d2) tại một điểm trên trục hoành. BÀI TẬP VỀ NHÀ. Bài1. Cho hàm số: y = (m + n)x + 2m – 3n + 5 (d1) a) Tìm m, n để (d1) đi qua hai điểm A(2;6) và B(-1; -6). b) Tìm m,n để (d1) đi qua điểm C(-2;5) và song song với (d2): y = x – 5. c) Tìm m,n để (d1) trùng với (d3): y = -5x + 5. d) Tìm m,n để (d1) cắt (d4): y = mx + 3m + n tại điểm D(1;9). e) Tìm m,n để (d1) cắt (P): y = x2 tại hai điểm có hoành độ là 1 và 3. f) Tìm m,n để (d1) cắt trục tung tại điểm có tung độ là 4 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là -2. 1 Bài2. Cho hàm số (d1): y = 2 x + 3 và (d): y = -3x +3.. a) Vẽ đồ thị của hai hàm số trên cùng một mặt phẳng toạ độ. b) Tính góc tạo bởi (d1) và (d2) với trục Ox. c) Gọi giao điểm của (d1) và (d2) là A, giao điểm của (d1), (d2) với trục hoành lần lượt là B và C. Tính chu vi và diện tích của ABC. Chú ý: Gọi α là góc tạo bởi đường thẳng (d): y = ax + b với trục Ox. +) a >0 thì tgα = a. +) a <0 thì tg(1800 – α) = -a. Bài3. Cho hàm số y = (m – 2)x + m2 + m +3 (d1) a) Tìm m để hàm số đồng biến. b) Tìm m để (d1) và đường thẳng (d2): y = 3x – 13 và (d3): y = -2x – 3 đồng quy. c) Tìm m để (d1) cắt (d4): y = x + 21 tại một điểm trên trục tung. d) Tìm m để (d1) đi qua A(3;4) và song song với (d5): y = -m2x – 1. e) Chứng minh rằng (d1) cắt (P): y = x2 tại hai điểm phân biệt. Gọi x1; x2 là hoành độ giao điểm của (d1) và (P). Tìm m để x12 + x22 = 15. f) Tìm m để (d1) tạo với hai trục toạ độ một tam giác vuông cân. g) Tìm m để (d1) cắt (d6): y = -3x + 1 tại một điểm trên trục tung. Chú ý: 1) Hai đường thẳng cắt nhau trên trục tung thì a a ', b b ' 2) Đường thẳng y = ax + b tạo với hai trục một tam giác vuông cân khi: Đường thẳng y = ax + b tạo với trục Oy tại điểm M(0; b).

<span class='text_page_counter'>(33)</span> b Đường thẳng y = ax + b tạo với trục Ox tại điểm N( a ; 0) b  b  a Để MON vuông cân thì OM = ON . Kết luận: Đường thẳng y = ax + b tạo với hai trục một tam giác vuông cân khi a = 1 và b 0 ( hoặc a = -1 và b 0 ) 1 Bài4. Cho hàm số: y = 2 x2.. (P). a) Vẽ đồ thị hàm số. b) Gọi A và B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lượt là -2 và 4. Lập phương trình đường thẳng AB. c) Chứng minh đường thẳng (d1) đi qua điểm M(-1;3) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt C và D. d) Gọi xC và xD lần lượt là hoành độ của C và D. Tìm phương trình của (d1) để xC2 +xD2 nhận giá trị nhỏ nhất. e) Lập phương trình đường thẳng cắt (P) tại một điểm có hoành độ là 2 và song song đường thẳng y = 3x + 5. Bài5. Cho hàm số y = (m – 2)x + 2 (d) a) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m. b) Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng d bằng1. c) Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng d nhận giá trị lớn nhất. d) Tìm m để đường thẳng d tạo với hai trục một tam giác có diện tích bằng2. Chú ý: Biểu thị độ dài các đoạn thẳng bao giờ cũng lấy giá trị tuyệt đối. Bài6. Cho (P): y = 4x2. và (d): y = (4x + 3)x – m2 + 7m + 4. a) Tìm m để (d) và (P) có điểm chung. b) Gọi x1, x2 là hoành độ giao điểm. Tìm m để x1, x2 là hai số nghịch đảo. Bài7. Cho (P): y = ax2 và (d): y = (4m + 3)x – m2 + 7m +4. a) Tìm a biết (P) đi qua điểm A(-1;1). Vẽ (P) với giá trị của a vừa tìm được. b) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A và có hệ số góc bằng 1. Tìm toạ độ giao điểm B(khác A) của (P) và (d). c) Chứng tỏ AOB vuông tại A. Tính độ dài đoạn AB và diện tích AOB . Chú ý:. AB  ( x1  x2 ) 2  ( y1  y2 ) 2 1) A(x1; y1), B(x2; y2) thì 2) Có hai cách để chứng minh AOB vuông tại A. C1: Dùng định lí Pitago đảo: AB2 + OA2 = OB2. C2: Dùng quan hệ vệ số góc: (d1): y = ax + b ; (d2): y = a’.x +b’. (d1 )  ( d 2 )  a.a '  1.. Chủ đề 6: TƯƠNG GIAO CỦA PARABOL VÀ ĐƯỜNG THẲNG. Phần I: Lý thuyết: Hàm số y = ax2 ( a 0 ) 1. Tính chất: Điều kiện xác định của hàm số với mọi x   ..

<span class='text_page_counter'>(34)</span> Chiều biến thiên: +) Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến khi x >0, nghịch biến khi x <0. +) Nếu a <0 thì hàm số đồng biến khi x <0, nghịch biến khi x >0. 2. Đồ thị. Đồ thị hàm số y = ax2 ( a 0 ) là một đường cong Parabol có: +) Đỉnh O(0; 0) +) Trục đối xứng là trục Oy. Parabol nằm trên Ox nếu a > 0. Parabol nằm bên dưới Ox nếu a <0. 3. Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = - 2x2. Phần II: Phân dạng bài tập. Dạng1: Tính giá trị của hàm số. 3 2 2 .x  VD: Cho hàm số y = f(x) = 2 . Tính f(-2); f(3); f( 5 ); f( 3 ). Dạng2: Điểm thuộc Parabol. D.2.1: Chứng minh điểm thuộc Parabol. Tổng quát: A( x0 ; y0 )  ( P)  y0 a.x02 B( x1; y1 )  ( P)  y1 a.x12 Cho (P): y = ax2 ( a 0 ); ; 2 VD1: Cho (P): y = -3x . Tìm trong các điểm sau, điểm nào thuộc (P) 1 3 ; A(-1; -3); B( 2 ; - 6); C( 3 ; 9); D( 2 4 ).. D.2.2: Tìm toạ độ điểm khi biết điểm thuộc Parabol. . 1 2 .x 3 .. VD1: Cho (P): y = a) Tìm toạ độ điểm A biết A  ( P) và A có hoành độ là 3. b) Tìm toạ độ điểm B biết B  ( P) và B có tung độ là -2. VD2: Lập phương trình đường thẳng cắt (P): y = 3x2 tại hai điểm có hoành độ lần lượt 2 là 1 và 3 .. D.2.3: Tìm giá trị của tham số khi biết điểm thuộc Parabol. Tổng quát: A( x0 ; y0 )  ( P) : y a.x 2 (a 0) Thay x = x0; y = y0 vào hàm số y = ax2 được y0 = a.x02. Giải phương trình chứa ẩn là tham số. VD1: Cho (P): y = (3m2 – 2m – 6).x2. Tìm m để A(2;8)  ( P) . . 1 2 .x 2 2 . Tìm m để B(m; m  5m  5)  ( P).. VD2: Cho (P): y = VD3: Cho (P): y = f(x) = (m2 – 4m +9).x2. a) So sánh f(-5) và f(-2). b) Tìm m để B(2; 20)  ( P). Giải. 2 2 a) Tacó: m2 – 4m +9 = ….= (m – 2)2 +5. Do (m  2) 0  m  4m  9  0m Vậy hàm số y = (m2 – 4m + 9)x2 nghịch biến với mọi x <0..

<span class='text_page_counter'>(35)</span> 2 2 2 b) Ta có: B(2;20)  ( P).  4( m  4 m  9) 20  m  4 m  9 5  m  4 m  4 0  (m  2) 2 0  m 2 .. Dạng 3: Tìm toạ độ giao điểm của Parabol với đường thẳng. Tổng quát: Cho (P): y = ax2 ( a 0 ) và (d): y = mx + n. Xét phương trình hoành độ giao điểm ax2 = mx + n. Giải phương trình tìm x. Thay giá trị vừa tìm được vào hàm số y = ax2 hoặc y = mx + n tìm được y. + Giá trị của x tìm được là hoành độ giao điểm. + Giá trị của y tìm được là tung độ giao điểm. VD1: Tìm toạ độ giao điểm của (P): y = -2x2 và (d): y = 2x – 4. 1 y  .x 2 3 VD2: Tìm toạ độ giao điểm của (P): và (d): y = 4x – 12.. VD3: Tìm toạ độ giao điểm của (P): y = 11x2 và (d): y = 4x – 5. Dạng 4: Tìm số giao điểm của đường thẳng và Parabol. Tổng quát: Cho (P): y = ax2 ( a 0 ) và (d): y = mx + n. Xét phương trình hoành độ giao điểm ax2 = mx + n. (*) + Phương trình(*) vô nghiệm( (  0)  ( d ) và (P) không có điểm chung. + Phương trình (*) có nghiệm kép ( 0)  (d ) tiếp xúc với (P). + Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt (   0 hoặc a.c <0)  (d ) cắt (P) tại hai điểm phân biệt. 1 y  x2 2 và (d): y = (m – 5)x – m + 2. VD1: Cho (P):. Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. VD2: Cho (P): y = x2. Chứng minh rằng đường thẳng đi qua A(1;7) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. 1 y  x2 2 VD3: Cho (P): và (d): y = (m + 2n)x – 2mn (với m, n 0 ).. Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. Dạng 5: Tìm giá trị của tham số khi biết số giao điểm hoặc toạ độ giao điểm của Parabol và đường thẳng. Tổng quát: Cho (P): y = ax2 ( a 0 ) và (d): y = mx + n. Xét phương trình hoành độ giao điểm ax2 = mx + n (*) + (d) và (P) không có điểm chung  phương trình (*) vô nghiệm (  0) + (d) tiếp xúc với (P)  phương trình (*) có nghiệm kép ( 0) + (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt  phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt (   0 hoặc a.c <0) VD1: Cho (P): y = x2 và (d): y = 2(m + 3)x – m2 – m – 2 a) Tìm m để (d) và (P) tiếp xúc nhau. b) Tìm m để (d) và (P) không có điểm chung c) Tìm m để (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt..

<span class='text_page_counter'>(36)</span> 1 y  .x 2 4 VD2: Cho (P): và (d): y = (2m + n)x + m – 2n – 1. Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm có hoành độ giao điểm là – 2, -1. 1 y  .x 2 3 và (d): y = 2(m – 1)x + 12m. VD3: Cho (P): Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt. VD4: Cho (P): y = (m2 – 5m +3)x2. Tìm m để (d1): y = 5x – 2 cắt (d2): y = - 2x +5 tại một điểm trên (P). 1 y  .x 2 6 VD5: Cho (P): Lập phương trình đường thẳng cắt (P) tại một điểm có hoành độ là 6 và song song với đường thẳng (d): y = 3x – 10. VD6: Cho (P): y = (m – 2n +3)x2. Tìm m và n để (P) cắt (d1): y = 3x +2 tại một điểm có hoành độ là 2 và cắt (d2): y = 3x – 1 tại một điểm có hoành độ là 1. VD7: Cho (P): y = x2 và (d): y = (5m2 – 21m +16)x + m2 – 6m +11. Tìm m để (P) cắt (d) tại hai điểm đối xứng nhau qua trục tung. VD8: Cho (P): y = 4x2 và (d): y = (4m +3)x – m2 +7m +4. a) Tìm m để (d) và (P) có điểm chung. b) Gọi x1, x2 là hoành độ giao điểm. Tìm m để x1, x2 là hai số nghịch đảo. VD9: Cho (P): y = ax2 và (d): y = (4m +3)x – m2 + 7m + 4. a) Tìm a biết (P) đi qua điểm A(-1; 1). Vẽ (P) với giá trị của a vừa tìm được. b) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A và có hệ số góc bằng 1. Tìm toạ độ giao điểm B (khác A) của (P) và (d). c) Chứng tỏ AOB vuông tại A. Tính độ dài đoạn AB và diện tích AOB . Chú ý:. AB  ( x1  x2 )2  ( y1  y2 ) 2. 1) A(x1; y1), B(x2; y2) thì 2) Có hai cách để chứng minh AOB vuông tại A. C1: Dùng định lí Pitago đảo: AB2 + OA2 = OB2. C2: Dùng quan hệ về hệ số góc: (d )  (d 2 )  a.a '  1. (d1): y = ax + b; (d2): y = a’x + b’: 1 BÀI TẬP VỀ NHÀ: Bài1. Cho hàm số: y = (m + n)x + 2m – 3n + 5 (d1) a) Tìm m,n để (d1) đi qua 2 điểm A(2; 6) và B(-1; -6). b) Tìm m,n để (d1) đi qua điểm C(-2; 5) và song song với (d2): y = x – 5. c) Tìm m,n để (d1) trùng với (d3): y = - 5x +5. d) Tìm m,n để (d1) cắt (d4): y = mx + 3m + n tại điểm D(1; 9). e) Tìm m,n để (d1) cắt (P): y = x2 tại hai điểm có hoành độ là 1 và 3. f) Tìm m,n để (d1) cắt trục tung tại hai điểm có tung độ là 4 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là -2. 1 Bài2. Cho hàm số (d1): y = 2 .x + 3 và (d): y = -3x +3.. a) Vẽ đồ thị của hai hàm số trên cùng một mặt phẳng toạ độ. b) Tính góc tạo bởi (d1) và (d2) với trục Ox..

<span class='text_page_counter'>(37)</span> c) Gọi giao điểm của (d1) và (d2) là A, giao điểm của (d1), (d2) với trục hoành lần lượt là B và C. Tính chu vi và diện tích của ABC. Chú ý: Gọi α là góc tạo bởi đường thẳng (d): y = ax + b với trục Ox. +) a >0 thì tgα = a.  +) a <0 thì tg( 180   ) = - a. Bài3. Cho hàm số: y = ( m – 2)x + m2 + 3m + 3 (d1) a) Tìm m để hàm số đồng biến. b) Tìm m để (d1) và hai đường thẳng (d2): y = 3x – 13 và (d3): y = -2x – 3 đồng quy. c) Tìm m để (d1) cắt (d4): y = x + 21 tại một điểm trên trục tung. d) Tìm m để (d1) đi qua A(3; 4) và song song với (d5): y = -m2x – 1. e) Chứng minh rằng (d1) cắt (P): y = x2 tại hai điểm phân biệt. Gọi x1, x2 là hoành độ x 2  x 2 15. giao điểm của (d1) và (P). Tìm m để 1 2 f) Tìm m để (d1) tạo với hai trục toạ độ một tam giác vuông cân. g) Tìm m để (d1) cắt (d6): y = -3x + 1 tại một điểm trên trục tung. Chú ý: 1) Hai đường thẳng cắt nhau trên trục tung thì a a ', b b ' 2) Đường thẳng y = ax + b tạo với hai trục một tam giác vuông cân khi: Đường thẳng y = ax + b tạo với trục Oy tại điểm M(0; b) b  Đường thẳng y = ax + b tạo với trục Ox tại điểm N( a ; 0) b  b  a Để MON vuông cân thì OM = ON Kết luận: Đường thẳng y = ax + b tạo với hai trục một tam giác vuông cân khi a = 1 và b 0 ( hoặc a = -1 và b 0 ). 1 y  x2 2 Bài4. Cho hàm số. (P). a) Vẽ đồ thị hàm số. b) Gọi A và B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lượt là: -2 và 4. Lập phương trình đường thẳng AB. c) Chứng minh đường thẳng (d1) đi qua điểm M(-1; 3) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt C và D. 2. 2. d) Gọi xC, xD lần lượt là hoành độ của C và D. Tìm phương trình của (d1) để xC  xD nhận giá trị nhỏ nhất. e) Lập phương trình đường thẳng cắt (P) tại một điểm có hoành độ là 2 và song song với đường thẳng y = 3x + 5. Bài 5. Cho hàm số y = (m – 2)x + 2 (d) a) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m. b) Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng (d) bằng 1. c) Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng (d) nhận giá trị lớn nhất. e) Tìm m để đường thẳng (d) tạo với 2 trục một tam giác có diện tích bằng 2. Chú ý: Biểu thị độ dài các đoạn thẳng bao giờ cũng lấy giá trị tuyệt đối..

<span class='text_page_counter'>(38)</span> Chủ đề 7: HỆ THỨC Phần I: Lý thuyết. 1. Điều kiện áp dụng được hệ thức Vi-ét.. VI-ÉT. a 0   0. 2. Hệ thức Viét. Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có  0 thì phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn: b  x1  x2    a   x .x  c . 1 2  a . 3. Ứng dụng: +) Ứng dụng1: +) Ứng dụng2: (Hệ thức đảo) Nếu hai số u và v thoả mãn: u  v S 2 ( S 4.P )  2 u . v  P  Thì u và v là nghiệm của phương trình: x  Sx  P 0 Phần II: Phân dạng bài tập: Dạng1: Tính giá trị của biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn. Bài1. Cho phương trình: x2 – 6x + 10 = 0 Không giải phương trình hãy tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình. Bài2. Cho phương trình: x2 – 6x + 2 = 0. Không giải phương trình hãy tính: D  x1  x2 . E x1 x1  x2 x2 . C x1  x2 . A x12  x22 . B  x13  x23 . Bài3. Cho phương trình: x2 – 4x – 3 = 0 Không giải phương trình hãy tính: A  x12 ( x1  2 x2 )  x22 ( x2  2 x1 ). x x B 1  2 x2  5 x1  5 Bài4. Cho phương trình: x2 – 2(m – 5)x – 2m – 1 = 0. a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. G. x1  1 x2  1  x2  1 x1  1. b) Tính Tổng quát: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm. b c x1  x2  x1.x2  . a và a Tính Biểu thị được các biểu thức theo x1 + x2 và x1. x2 Thay giá trị của của x1+x2 và x1.x2 vào để tính giá trị của biểu thức..

<span class='text_page_counter'>(39)</span> Dạng2: Tìm giá trị tham số khi biết hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm. D.2.1: Hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm có dạng bậc nhất: mx1+ nx2 = p. Tổng quát: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm. b  x  x  (1) 1 2   a  (2)  x .x  c 1 2 a  Tính  mà m.x1 + n.x2 = p (3) b   x1  x2  a   m.x  n.x2  p Từ (1) và (3) ta có hệ:  1. Giải hệ tìm x1, x2. Thay giá trị x1, x2 vào (2) tìm tham số. Bài1. Cho phương trình: x2 – 2(n – 4)x + n2 – 4n + 35 = 0 a) Tìm n để phương trình có hai nghiệm x1; x2. b) Tìm n để 3x1 – 2x2 = 6n + 16. Bài2. Cho phương trình: x2 – 2(a – 3)x – 4a +3 = 0 a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi a. b) Tìm a để 4x1 – 3x2 = a + 18. D.2.2: Hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phải bậc nhất f(x1; x2) = p. Tổng quát: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm. b c x1  x2  x1.x2  . a và a Tính Biểu diễn f(x1; x2) có chứa x1+x2 và x1.x2. b c x1  x2  x1.x2  . a và a vào f(x1; x2) = p để tìm m. Chọn giá trị thích hợp. Thay 2 Bài1. Cho phương trình: x – 2(m +3)x + m2 +2m + 13 = 0 a) Tìm m để phương trình có nghiệm. x1 x  2 3 b) Tìm m để x2  3 x1  3. Bài2. Cho phương trình: x2 – 2(b – 1)x – 4b – 5 = 0. a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi b. b) Tìm m để |x1| + | x2 | = 6. D.2.3: Tìm giá trị của tham số để phương trình có hai nghiệm đối nhau. Tổng quát: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm. b x1  x2  a Tính Để phương trình có hai nghiệm đối nhau thì x1  x2 0  b 0(a 0) . Tìm giá trị tham số. Chọn giá tri thích hợp. Bài1. Cho phương trình: x2 – (5m2 – 21m + 16)x – m2 +6m – 11 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối nhau..

<span class='text_page_counter'>(40)</span> D.2.4: Tìm giá trị của tham số để phương trình có hai nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau. Tổng quát: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm. c x1.x2  . a Tính. x .x 1  a c Để phương trình có hai nghiệm đối nhau thì 1 2 . Tìm giá trị tham số. Chọn tham số thích hợp. VD: Cho phương trình: 4x2 – (4m +3)x +m2 – 7m – 4 = 0. a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau. Dạng3: Tìm giá trị tham số khi biết nghiệm của phương trình. D.3.1: Tìm giá trị của tham số khi biết một nghiệm của phương trình. Tổng quát: Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0. (a ≠ 0) có 1 nghiệm x = x1. Cách giải: a.x 2  b.x1  c 0 . Giải phương trình có ẩn là tham số. Thay x = x1 vào phương trình: 1 VD: Cho phương trình: x2 – 2(m + 3)x + m2 + 4m + 8 = 0 Tìm m để phương trình có 1 nghiệm là -2. D.3.2: Tìm giá trị của tham số khi biết hai nghiệm của phương trình. Tổng quát. Cho phương trình ax2 +bx +c = 0 (1) (a ≠ 0) có 2nghiệm x1 và x2. C1: Thay x = x1; x = x2 vào phương trình (1) ta có hệ phương trình: 2   a.x1  bx1  c 0  2   a.x2  bx2  c 0 Giải hệ phương trình có ẩn là tham số.. C2: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm. b  x1  x2    a   x .x  c 1 2 a  Theo định lí Viét, ta có:  Thay x1, x2 vào hệ giải ta được giá trị của tham số. VD: Cho phương trình: x2 – (3m + 2n + 4)x + 4n + 10n + 38 = 0. Tìm m và n để phương trình có hai nghiệm là x1 = 10; x2 = 7. Dạng4: Tìm giá trị tham số khi biết dấu các nghiệm của phương trình. D.4.1: Tìm giá trị của tham số khi biết phương trình có hai nghiệm trái dấu. 2 Tổng quát: Phương trình a.x  bx  c 0 có hai nghiệm trái dấu:. a 0  a.c  0 VD: Cho phương trình: x2 – (7m + 3)x – 2m + 4 = 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. D. 4.2: Tìm giá trị của tham số khi biết phương trình có hai nghiệm cùng dấu..

<span class='text_page_counter'>(41)</span> Tổng quát: Phương trình: ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm cùng dấu: a 0   0 a.c  0  VD: Cho phương trình: x2 – 2(m – 3)x + 2m + 5 = 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu. D.4.3: Tìm giá trị của tham số khi biết phương trình có 2 nghiệm dương. Tổng quát: Phương trình ax2 + bx + c = o có 2 nghiệm dương: a 0  0    ab  0 a.c  0 VD: Cho phương trình: x2 – 2(m +3)x + 2m – 5 = 0 Tìm m để phương trình có 2 nghiệm đều dương. D.4.4: Tìm giá trị của tham số khi biết phương trình có 2 nghiệm đều âm. Tổng quát: Phương trình ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm âm: a 0  0    ab  0 a.c  0 VD: Cho phương trình: x2 – 2(m + 4)x +m2 +6m +10 = 0. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm đều âm. Dạng 5: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm. D.5.1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của tam thức bậc hai y = ax2 + bx + c. C1: Biến đổi y = k.A2(x) + m (m là hằng số) k  0  k . A2 ( x ) 0  k . A2 ( x )  m m  y m. Giá trị lớn nhất của y bằng m đạt được khi A(x) = 0. k  0  k . A2 ( x) 0  k . A2 ( x )  m m  y m. Giá trị nhỏ nhất của y bằng m đạt được khi A(x) = 0. 2 2 C2: y a.x  bx  c  a.x  bx  c  y 0. + Tính  hoặc  ’. + Đặt điều kiện  0( ' 0)  Giải bất phương trình chứa ẩn y. b.  b'. y m  Giá trị nhỏ nhất của y bằng m đạt được khi:  0( ' 0)  x  2a  a . y m  Giá trị lớn nhất của y bằng m đạt được khi:.  0( ' 0)  x .  b  b'  . 2a a. VD1: Cho A = x2 – 2x + 5. Tìm giá trị lớn nhất của A. VD2: Cho y = -3x2 + 7x – 5. Tìm giá trị lớn nhất của y. D.5.2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm A(x1; x2)..

<span class='text_page_counter'>(42)</span> Cách giải. Kiểm tra sự có nghiệm của phương trình. b c x1  x2  x1.x2  . a và a Tính Biến đổi A(x1; x2) về dạng có chứa x1+ x2 và x1.x2 Thay x1+x2 và x1.x2 đưa A về tam thức bậc hai ẩn là tham số. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của A. Chọn giá trị thích hợp. VD1: Cho phương trình: x2 – 2(m – 4)x – 2m – 8 = 0 a) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt. b) Cho A = x2.(x2 – 3) + x1.(x1 – 3). Tìm m để A đạt giá trị nhỏ nhất. VD2: Cho phương trình: x2 – 2(m – 3)x – 2m – 12 = 0. a) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt. b) Cho A = x2.(x2 – 3) + x1.(x1 – 3).Tìm m để A đạt giá trị nhỏ nhất. Dạng 6: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số. b c x1  x2  x1.x2  . a và a C1: Tính hệ thức Vi-ét: Khử tham số trong hệ thức Viét. C2: Giải phương trình tìm x1, x2. Tìm hệ thức( khử tham số) VD1: Cho phương trình: x2 – 2(m + 5)x + 4m + 3 = 0. a) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt. b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m. VD2: Cho phương trình: x2 – 2(m +1)x + m2 + 2m = 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m. Dạng 7: Chứng minh biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số. Cách giải: b c x1  x2  x1.x2  . a và a Tính hệ thức Viét: Tính giá trị của biểu thức theo x1+x2 và x1.x2. VD: Cho phương trình: x2 – 2(m – 6)x – 2m – 2 = 0. a) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt. P  x12  x22  26 x1.x2  x12 .x22 . Chứng minh P không phụ thuộc vào m. b) Cho Dạng 8: Lập phương trình khi biết hai nghiệm của phương trình. x .x  P C1: Tính tổng và tích của hai nghiệm: x1  x2 S và 1 2 . 2 Nếu S 4.P thì x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: x2 – S.x + P = 0. C2: x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: (x – x1)(x – x2) = 0. VD1: Lập phương trình khi biết phương trình có 2 nghiệm: x1 3  2 2; x2 3  2 2 3. 3. VD2: Lập phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1  x2 14; x1 .x2  1. Dạng 9: Lập phương trình khi biết mối liên hệ giữa nghiệm của phương trình cần lập với nghiệm của phương trình cho trước..

<span class='text_page_counter'>(43)</span> Cách giải: Kiểm tra ĐK có nghiệm của phương trình. b c x1.x2  . a và a Tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình đã cho. Tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình cần lập x3 và x4 thông qua mối liên hệ với x1 và x2. Lập phương trình. VD1: Cho phương trình: 2x2 – 3x – 6 = 0 (1) Lập phương trình có 2 nghiệm là nghịch đảo nghiệm của phương trình (1) VD2: Cho phương trình: x2 – 12x + 4 = 0 (*) Giả sử phương trình (*) có 2 nghiệm x1, x2. Lập phương trình có 2 nghiệm x3, x4 thoả x  x x ; x x x . mãn: 3 1 1 4 2 2 Dạng 10: Tìm giá trị của tham số để hai nghiệm của phương trình thoả mãn bất đẳng thức đã cho. VD1: Cho phương trình: x2 – 2x + m – 8 = 0 a) Tìm m để phương trình có nghiệm. b) Tìm m để |x1| + | x2| > 2. VD2: Cho phương trình: x2 – (m + 4)x + 3m + 3 = 0 (*) a) Tìm m để phương trình có 1 nghiệm bằng 2. Tìm nghiệm còn lại x1  x2 . 3 3 b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1  x2 0 BÀI TẬP VỀ NHÀ. Bài1. Cho phương trình: x2 – 2(m – 4)x + m2 – 4m + 13 = 0 a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2. b) Tìm m để 3x1 – 2x2 = 6m + 16. Bài 2. Cho phương trình: x2 – 2(m +1)x +m2 + 3m +2 = 0 a) Tìm m để phương trình có nghiệm. 2 2 b) Cho A x1  x2  5 x1.x2 . Tìm m để A = 34.. Bài3. Cho phương trình: x2 – (m – 4)x – m – 3 = 0 a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2nghiệm phân biệt với mọi m. x x B 1  2 . x2  1 x1  1 Tìm m để B = 1. b) Cho Bài4. Cho phương trình: 3x2 – 11mx – 4m2 – 2 = 0 Chứng minh rằng phương trình luôn có 2nghiệm trái dấu. Bài5. Cho phương trình: x2 – (5m – 3)x + 4m – 1 = 0 Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu. Bài6. Cho phương trình: x2 – 2(m+3)x +2m – 6 = 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu. Bài7. Cho phương trình: x2 – 2(1 – m)x + 2m – 6 = 0 a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm với mọi m. b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm đều âm. Bài8. Cho phương trình: x2 – 6x – 2 = 0 (1) Lập phương trình có nghiệm là nghịch đảo nghiệm của phương trình (1) Bài9. Cho A = x2 + 2x + 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của A. Bài10. Cho B = -3x2 + 4x +1. Tìm giá trị lớn nhất của B..

<span class='text_page_counter'>(44)</span> Bài11. Cho phương trình: x2 – 2(m – 4)x + 2m – 20 = 0 (*) a) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m. b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm đối nhau. c) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau. d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. e) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu. g) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương. h) Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm..

<span class='text_page_counter'>(45)</span>