De thi chuyen Toan HVPT 2016

<span class='text_page_counter'>(1)</span>SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ. KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2016-2017. ĐỀ CHÍNH THỨC. Môn thi: Toán (Dành cho thí sinh thi vào lớp Chuyên Toán) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề thi có 01 trang. Câu 1 (2,0 điểm) 2 2 a) Cho các số a, b thỏa mãn 2a  11ab  3b 0, b 2a, b  2a . Tính giá trị biểu thức a  2b 2a  3b T  2 a  b 2a  b . b) Cho các số nguyên dương x, y, z và biểu thức. ( x 2  y 2 ) 3  ( y 2  z 2 ) 3  ( z 2  x 2 )3 P 2 x ( y  z )  y 2 ( z  x)  z 2 ( x  y )  2 xyz . Chứng minh rằng P là số nguyên chia hết cho 6. Câu 2 (2,0 điểm) 3 2 2 a) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 2 x  2 x y  x  2 xy x  10 . b) Cho 19 điểm phân biệt nằm trong một tam giác đều có cạnh bằng 3 , trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng luôn tìm được một tam giác có 3 đỉnh là 3 3 . 19 4 trong điểm đã cho mà có diện tích không lớn hơn Câu 3 (2,0 điểm) a) Giải phương trình 2 x  1  x  3 2 .. 2 x3  x 2 y  2 x 2  xy  6 0  2 b) Giải hệ phương trình  x  3 x  y 1. Câu 4 (3,0 điểm) Cho đường tròn (O; R ) và dây cung BC cố định. Gọi A là điểm di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn. Bên ngoài tam giác ABC dựng các hình vuông ABDE , ACFG và hình bình hành AEKG . a) Chứng minh rằng AK BC và AK  BC . b) DC cắt BF tại M . Chứng minh rằng A, K , M thẳng hàng. c) Chứng minh rằng khi A thay đổi trên cung lớn BC của (O; R ) thì K luôn thuộc một đường tròn cố định. Câu 5 (1,0 điểm) Cho các số dương x, y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 (2 x  y )( x  2 y ) 8 P    4 3( x  y ) (2 x  y )3  1  1 ( x  2 y )3  1  1 . …………..HẾT………….. Hướng dẫn câu 5 Đặt 2x+y=a; 2y+x=b a,b >0 thì.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 2 2 ab 8 + 3 + − √ a +1 −1 √ b +1 −1 4 a+b a+1+ a2 − a+1 a2 +2 a2 Ta có √ a3 +1= √(a+1)(a2 −a+ 1)≤ = ⇒ √ a3+ 1− 1≤ 2 2 2 2 2 b+1+b − b+1 b +2 b2 Tương tự √ b3 +1= √(b+1)(b2 −b+1) ≤ = ⇒ √ b3 +1 −1 ≤ 2 2 2 4 1 1 8 2 2 ≤ + ⇒− ≥− − Mặt khác a+b a b a+b a b Vậy 4 4 ab 2 2 4 4 ab 2 2 4 4 ab 2 2 P≥ 2 + 2 + − − = 2 + 1 + 2 +1 + − − − 2≥ + + − − −2=Q 4 a b a b 4 a b a b 4 a b a b P=. 3. ( )( ). 2 2 ab 3 2 2 ab P ≥Q= + + − 2≥ 3 . . −2=1 a b 4 a b 4. √. Min( P)=1 ⇔ a+1=a2 − a+1 b+1=b 2 − b+1 4 4 = =1 b2 a2 2 2 ab = = a b 4 a=b ⇒ a=b=2⇒ x= y= ¿ { { {{. 2 3.

<span class='text_page_counter'>(3)</span>