Ứng dụng hệ thức Vi-ét để ôn luyện thi vào 10

UBND QUẬN HOÀNG MAI
TRƯỜNG THCS YÊN SỞ
TIN BÀI:

ỨNG DỤNG HỆ THỨC VI-ÉT ĐỂ ÔN LUYỆN THI VÀO 10
A/ ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Mở đầu:
Chúng ta đã biết rằng dạy tốn khơng chỉ đơn thuần là dạy cho học sinh có
những khái niệm, những định lí, những kiến thức…., mà điều quang trọng hơn cả là
người thầy phải dạy cho học sinh có được năng lực trí tuệ, năng lực này sẽ được hình
thành và phát triển trong hoạt động học tập. Việc đổi mới phương pháp dạy học là
vấn đề cấp bách và cần thiết, nhằm hình thành cho học sinh thói quen tư duy tích
cực, độc lập sáng tạo, nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện cho
các em khả năng vận dụng kiến thức vào thực tiển, đòi hỏi mỗi giáo viên đứng lớp
phải có một phương pháp truyền đạt kiến thức phù hợp, có khả năng hệ thống, phân
loại và chọn lựa các dạng bài tập phong phú, đáp ứng được yêu cầu tối thiểu của
ngưịi học, tác động đến tình cảm, đem lại niềm tin và sự hứng thú trong học tập của
học sinh.Trong chương trình tốn 9, lí thuyết phần lớn có tính chất hệ thống, cung
cấp phương pháp, bài tập thì phong phú, rèn luyện được kỹ năng giải tốn cho học
sinh . Trong đó “Ứng dụng hệ thức Vi-ét” là phần kiến thức quan trọng, cơ bản của
chương “Hàm số y = ax 2 (a khác 0) – Phương trình bậc hai một ẩn”. Những bài
tốn có sử dụng hệ thức Vi ét rất phong phú, nhờ đó mà ta có thể giải quyết được các
yêu cầu của bài tốn.
II. Cơ sở lí luận
Để phát triển khả năng tư duy và sáng tạo trong việc học toán và giải tốn thì
việc tìm ra kết quả của một bài tốn, phải được coi như là giai đoạn mở đầu cho một
cơng việc. Trong q trình dạy học tốn nói chung và q trình giải tốn nói riêng,
người dạy cần tạo cho học sinh thói quen là “sau khi tìm được lời giải một bài tốn,
dù lời giải bài tốn đó đơn giản hay phức tạp, thì cũng cần tiếp tục suy nghĩ lật lại vấn
đề, tìm thêm lời giải khác, cố gắng tìm ra phương án giải tối ưu nhất có thể được”.
Hãy ln nghĩ đến việc khai thác bài toán bằng các con đường tương tự hoá, tổng

quát hoá, đặc biệt hoá để tạo ra bài toán mới trên cơ sở bài tốn đã có. Đối với việc
học tốn thì việc rèn luyện kỹ năng giải tốn là hết sức cần thiết, cần phải rèn luyện
thường xuyên kỹ năng giải toán bằng nhiều cách, giải nhiều bài tập thuộc nhiều dạng
khác nhau, nhiều loại toán khác nhau và sau đó tựmình suy nghĩ rồi rút ra bài học
kinh nghiệm. Trước khi giải một bài tốn, nên tìm hiểu xem bài toán thuộc loại nào?


dạng nào? Sau đó tư duy chọn phương pháp giải cho thích hợp, có định hướng cho
phương pháp giải đó và khai thác bài toán tốt hơn
III. Cơ sở thực tiễn
Đối với học sinh trường THCS Yên Sở phần lớn các em học cịn yếu về mơn tốn,
với nhiều lí do khác nhau, điều này hạn chế rất lớn đến việc phát huy tính tích cực và
độc lập nhận thức khi giải toán của học sinh, dẫn đến các em khơng ham học tốn và
khơng tự tin khi giải tốn, lúng túng trong lí luận và trình bày.
Hệ thức Viét là một nội dung quan trọng trong chương trình Đại số 9. Là một
phần khơng thể thiếu trong q trình ôn thi vào 10. Trong các tài liệu tham khảo chỉ
viết chung chung nên học sinh lúng túng khi học phần này. Sau nhiều năm dạy lớp 9,
bằng kinh nghiệm giảng dạy và tìm tịi thêm các tài liệu tơi đã phân chia ứng dụng
của Hệ thức Vi-ét thành nhiều dạng để học sinh dễ nhận dạng và vận dụng linh hoạt
khi gặp dạng toán này
Sau đây là hệ thống bài tập mà tôi đã áp dụng vào luyện tập, ôn tập, ôn thi cho học
sinh lớp 9 và có hiệu quả tốt.
B/ NỘI DUNG
I. Lý thuyết:
+ Nếu x 1, x2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 thì
b
a
c
P = x1.x2 =
a

S = x1 +x2 =

+ Nếu hai số x1 , x2 có tổng x1 + x2 = S và tích x1x2 = P thì hai số đó là các
nghiệm của phương trình X2 - SX + P = 0 (Định lý Vi-ét đảo)
II. Nội dung:
Vận dụng Định lý Vi-ét và Vi-ét đảo ta chia làm các dạng bài tập sau:
Dạng 1: LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1; x2
Ví dụ : Cho x1  3 ; x2  2 lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên
S  x  x  5

1
2
Theo hệ thức Vi-et ta có 
 P  x1 x2  6

Vậy x1; x2 là nghiệm của phương trình có dạng: x 2  Sx  P  0  x 2  5 x  6  0
Bài tập áp dụng: Cho:
1.
x1 = 8
2.
x 1 = 3a
3.
x 1 = 36
4.
x1 = 1  2

và
và

và
và

x 2 = -3
x2 = a
x 2 = -104
x2 = 1  2


Hãy lập phương trình bậc hai lần lượt chứa hai nghiệm trên
2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm
của một phương trình cho trước:
V í dụ: Cho phương trình : x 2  3 x  2  0 có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 . Khơng giải
phương trình trên, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thoả mãn :
y1  x2 

1
1
và y2  x1 
x1
x2

Ta có:
S  y1  y2  x2 
P  y1 y2  ( x2 

1 1
1
1
x x

3 9
 x1   ( x1  x2 )      ( x1  x2 )  1 2  3  
x1
x2
x1 x2
2 2
 x1 x2 

1
1
1
1 9
)( x1  )  x1 x2  1  1 
 2 1 1 
x1
x2
x1 x2
2 2

y 2  Sy  P  0

Vậy phương trình cần lập có dạng:
hay

y2 

9
9
y   0  2 y2  9 y  9  0
2

2

Dạng bài tập này đã khó hơn một chút, đòi hỏi học sinh phải biết suy luận.
Bài tập áp dụng:
1/ Cho phương trình 3 x 2  5 x  6  0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 . Khơng giải phương
trình, Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm y1  x1 
5
6

1
1
và y2  x2 
x2
x1

1
2

(Đáp số: y 2  y   0 hay 6 y 2  5 y  3  0 )
2/ Cho phương trình : x 2  5 x  1  0 có 2 nghiệm x1; x2 . Hãy lập phương trình bậc 2 có
ẩn y thoả mãn y1  x14 và y2  x24 (có nghiệm là luỹ thừa bậc 4 của các nghiệm của
phương trình đã cho).
(Đáp số : y 2  727 y  1  0 )
3/ Cho phương trình bậc hai: x 2  2 x  m 2  0 có các nghiệm x1; x2 . Hãy lập phương
trình bậc hai có các nghiệm y1 ; y2 sao cho :
a) y1  x1  3 và y2  x2  3
b) y1  2 x1  1 và y2  2 x2  1
(Đáp án

a) y 2  4 y  3  m2  0

b) y 2  2 y  (4m2  3)  0 )

Dạng 2:Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai
+ Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a khác 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có
một nghiệm là x1= 1, còn nghiệm kia là x2 =

c
a


+ Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a khác 0) có a - b + c = 0 thì phương trình có
một nghiệm là x1= -1, cịn nghiệm kia là x2 = -

c
a

Ví dụ 1: Khơng giải phương trình hãy nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
a) 3x2 - 5x + 2 = 0
b) -7x2 - x + 6 = 0
Giải:
a) Ta có a + b + c = 3 - 5 + 2 = 0 nên phương trình có hai nghiệm
x1 = 1, x2 =

c
2
=
a
3

b) Ta có a - b + c = -7 +1 + 6 = 0 nên phương trình có hai nghiệm
x1= -1, x 2 = -

c
6
=
a
7

Trong trường hợp phương trình có nghiệm nguyên đơn giản ta có thể nhẩm
nghiệm theo hệ thức Vi-ét, xét ví dụ sau:
Ví dụ 2: Nhẩm nghiệm của phương trình sau
a) x2 - 7x + 10 = 0
b) x2 + 6x +8 = 0
Giải:
a) Nếu phương trình có nghiệm x1, x2 thì theo hệ thức Viét ta có:
x 1+ x2 = 7 và x1x 2 = 10 ta nhẩm được hai nghiệm là x1= 2, x2 = 5
b) Tương tự như câu a) ta có x1 + x2 = -6 và x1x2 = 8 nên
x 1 = -2, x 2 = -4
Dạng 3:Tìm điều kiện của tham số khi biết một nghiệm của phương trình đã cho
Ví dụ1: Cho phương trình 2x 2 - px + 5 = 0.
Biết phương trình có một nghiệm là 2. Tìm p và tìm nghiệm cịn lại
Giải:
Cách 1: Thay x = 2 vào phương trình ta được p =
x1x2 =

13
. Theo hệ thức Viét ta có
2

5
5
mà x1= 2 nên x2 =
2
4

Cách 2: Vì phương trình có nghiệm nên theo hệ thức Viét ta có
5
5
mà x1 = 2 nên x2 = .
2
4
p
p
5
13
Mặt khác x1+ x2 =  = 2 +  p =
2
2
4
2

x1 x2 =

Ví dụ 2: Cho phương trình x2 + mx - 3 = 0.
Biết phương trình có một nghiệm là 3. Tìm m và tìm nghiệm cịn lại
Giải:


Tương tự như ví dụ trên ta tìm được m = -2 và nghiệm cịn lại là x = -1

Ví dụ 3 : Cho phương trình : x2  7 x  q  0 , biết hiệu 2 nghiệm bằng 11. Tìm q và hai
nghiệm của phương trình.
Giải:
Vì vai trị của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử x1  x2  11 và theo Vi-et ta có
 x  x  11  x1  9
x1  x2  7 , ta giải hệ sau:  1 2

 x1  x2  7
 x2  2

Suy ra q  x1 x2  18
Ví dụ 4: Tìm q và hai nghiệm của phương trình : x 2  qx  50  0 , biết phương trình có
2 nghiệm và có một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia.
Giải:
Vì vai trị của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử x1  2 x2 và theo Vi-et ta có
x1 x2  50 . Suy ra
 x2  5
2 x22  50  x22  52  
 x2  5

Với x2  5 thì x1  10
Với x2  5 thì x1  10
Dạng 4: Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai
Cho phương trình: ax 2  bx  c  0 (a  0) . Khi đó:
1.Phương trình có hai nghiệm trái dấu  ac  0
  0
P  0

2.Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu  

  0
3.Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt   P  0
S  0


  0
4.Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt  P  0
S  0


5.Phương trình có hai nghiệm trái dấu mà nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn
ac  0
S  0

nghiệm dương  

Chú ý: Phương trình có hai nghiệm phân biệt    0
Phương trình có hai nghiệm    0
Ví dụ1 : Khơng giải phương trình xét dấu các nghiệm của các phương trình sau:
a) x2 - 2 3 x + 4 = 0
b) x2 + 5x - 1 = 0


c) x2 - 2 3 x + 1 =0
d) x2 + 9x + 6 = 0
Giải:
a) Ta có  '= -1 < 0 nên phương trình vơ nghiệm
b) Ta có P < 0 nên phương trình có hai nghiệm trái dấu
c) Ta có ' = 2; S = 2 3 > 0; P = 1 > 0 nên phương trình có
hai nghiệm dương phân biệt

d) Ta có  =57; S = -9 < 0; P = 6 > 0 nên phương trình có hai nghiệm âm phân
biệt
Ví dụ 2: Tìm điều kiện của m để phương trình sau:
2x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0
a) Có hai nghiệm khác dấu
b) Có hai nghiệm phân biệt đều âm
c) Có hai nghiệm phân biệt đều dương
d) Có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau
Giải
a) Phương trình có hai nghiệm khác dấu khi P < 0 hay m - 1 < 0  m < 1
b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm khi
  0
 2m  3  2  0
 m 1



S

0

1

2
m

0





3
P  0
 m 1  0
 m  2



c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương khi
 2m  32  0
  0


 S  0   1  2m  0  khơng có giá trị nào của m thoả mãn
P  0  m 1  0



d) Phương trình có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu
nhau hay phương trình có hai nghiệm đối nhau .
Phương trình có hai nghiệm đối nhau khi
  0


S  0

1 - 2m = 0 

m=

1
2

Điều cần chú ý ở đây là khi < 0 thì khơng cần xét dấu các nghiệm của phương trình
vì phương trình vơ nghiệm.
Khi P < 0 thì kết luận ngay phương trình có hai nghiệm trái dấu vì > 0
Khi P > 0 ta phải xét đến hai yếu tố còn lại là  và S
Dạng 5:Tính giá trị của biểu thức chứa các nghiệm của phương trình đã cho
.Phương pháp: Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện : ( x1  x2 ) và x1 x2


a/ x12  x22  ( x12  2 x1 x2  x22 )  2 x1 x2  ( x1  x2 )2  2 x1 x2
2

b/ x13  x23   x1  x2   x12  x1 x2  x22    x1  x2   x1  x2   3x1 x2 
2

2

c/ x14  x24  ( x12 )2  ( x22 )2   x12  x22   2 x12 x22  ( x1  x2 )2  2 x1 x2   2 x12 x22
d/ x15  x25 = ( x13  x 2 3 )( x1 2  x 2 2 )  x1 2 .x 2 2 ( x1  x2 )
đ/

1 1 x1  x2
 
x1 x2
x1 x2
2

2

2

e/ x1  x2  ? Ta biết  x1  x2    x1  x2   4 x1 x2  x1  x2    x1  x2   4 x1 x2



g/ x12  x22   x1  x2  x1  x2  =  ( x1  x 2 ) 2  4 x1 x2 .( x1  x2 )



2

h/ x13  x23 =  x1  x2   x12  x1 x2  x22    x1  x2   x1  x2   x1 x2  =…….
i/ x14  x24 =  x12  x22  x12  x22  =……
k/ x16  x26 = ( x12 )3  ( x22 )3   x12  x22  x14  x12 x22  x24  = ……..
l/ x16  x26  ( x1 2 ) 3  ( x 2 2 ) 3  ( x1 2  x 2 2 )( x1 2 ) 2  x1 2 .x2 2  ( x2 2 ) 2   ...
Ví dụ 1: Cho phương trình x2+ mx + 1 = 0 ( m là tham số)
Nếu phương trình có nghiệm x1, x2 . Hãy tính giá trị biểu thức sau theo m:
a) x12 + x22
b) x13 + x23
c) x1  x2
Giải:
Vì phương trình có nghiệm x1, x2 nên theo hệ thức Viét ta có:
x1+ x2 = -m và x1.x2 = 1
a) x12 + x22 = (x1 +x2)2 - 2x1x2 = m2 - 2
b) x13 + x23 = (x1+x 2)3 - 3x1x2(x1+ x2) = -m3+ 3m
c) (x1 - x2)2 = (x1 +x2)2 - 4x1x 2 = m2- 4 nên x1  x2 =

m2  4

Ví dụ 2: Cho phương trình
x2- 4x + 1 = 0 . Khơng giải PT, tính giá trị của biểu thức
A  2 x14  8 x1  9  5 x1

( với x 1 là một nghiệm của phương trình đã cho)
Giải:
Ta phải biến đổi biểu thức dưới căn bậc hai thành dạng (5x1+a)2 để đưa
A về dạng
A= 5 x1  a  5x1
Bằng cách xét dấu nghiệm của phương trình đã cho chứng tỏ 5x1+ a > 0 từ đó tính
được giá trị của A. Sau đây là cách biến đổi cụ thể:
Vì x1 là nghiệm của phương trình đã cho nên :
x 12 = 4x1-1  x 14 = 16x12 - 8x1+ 1


A  32 x12  8 x1  11  5 x1  25 x12  7 x12  8 x1  11  5 x1
 25 x12  7(4 x1  1)  8 x1  11  5 x1


 5 x1  2 

2

 5 x1  5 x1  2  5 x1

 x1  x2  4  0
 x1 x2  1  0

Phương trình đã cho có ' > 0 nên theo hệ thức Viét ta có: 

 x1 > 0  5x1+ 2 > 0  A =2
Ví dụ 3:
Cho phương trình x2 + x - 1 = 0
và x1,x2 là nghiệm của phương trình (x1 < x2) . Khơng giải PT tính giá trị của
biểu thức
B=

x18  8 x12  2 x1  21  x1

Giải:
Từ giả thiết ta có: x12 = 1 - x1 x 14 = x12 -2x1 + 1=(1 - x1) - 2x1 + 1=- 3x1 + 2
 x18 = 9x12 - 12x1+ 4
2

 x18  8 x12  2 x1  21  x1 = x12  10 x1  25  x1   x1  5  x1
Vì P < 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu mà x 1< x2 nên x1< 0
Vậy B = x1  5  x1 = 5 - x1+ x1 = 5
Dạng 6: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn hệ
thức nào đó
Đối với các bài tốn dạng này, ta làm như sau:
- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là
a  0 và  0)
- Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức Vi-et để giải phương trình (có ẩn là
tham số).
- Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm.
Ví dụ 1: Cho phương trình : mx 2  6  m 1 x  9  m  3  0
Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1  x2  x1.x2
Bài giải: Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 l à :
m  0

m  0
m  0
m  0





2
2
2
 '  3 m  21   9(m  3)m  0 '  9 m  2m 1  9m  27  0 '  9 m 1  0 m  1
6(m  1)

 x1  x2 
m
Theo hệ thức Vi-et ta có: 
 x x  9(m  3)
 1 2
m

và từ giả thiết: x1  x2  x1 x2 . Suy ra:

6( m  1) 9(m  3)

 6( m  1)  9( m  3)  6m  6  9m  27  3m  21  m  7
m
m

(thoả mãn điều kiện xác định )
Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức :
x1  x2  x1.x2

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình x2 + 2x + m = 0 (m là tham số) có hai nghiệm x 1, x2
thoả mãn
a) 3x1 + 2x2 = 1
b) x12 -x22 = 6
c) x12 + x22 = 8
Giải: Để phương trình có nghiệm thì '  0  m  1
a) Áp dụng hệ thức Viét ta có hệ:
 x1  x2  2 (1)

3x1  2 x2  1 (2)
 xx m
(3)
 1 2

Giải hệ (1), (2) ta được x1= 5; x2= -7

Thay vào (3) ta được m = -35 (thoả mãn điều kiện)
b) Áp dụng hệ thức Viét ta có hệ:
 x12  x22  6 (1)

 x1  x2  2 (2)
 x x  m (3)
 1 2

Giải hệ (1), (2) ta được x1= 

Thay vào (3) ta được m = -

5
1
; x2 =
2
2

5
(thoả mãn điều kiện)
4

c) x12 + x22 = (x1+ x2)2 - 2x1x2 4 - 2m = 8  m = -2 (thoả mãn)
Ví dụ 3: Tìm m để phương trình x2 - mx + 3 = 0 (m là tham số)
có hai nghiệm thoả mãn 3x1+ x2 = 6
Giải:
Để phương trình có nghiệm thì   0 hay m2 - 12  0
 m  2 3 hoặc m  -2 3
Kết hợp với hệ thức Viét ta có
 x1  x2  m (1)

3x1  x2  6 (2)
 x x  3 (3)
 1 2

giải hệ (1), (2) ta được x1=

6m
3m  6
; x2 =

2
2

Thay vào (3) ta được (6 - m)(3m - 6) = 12 giải ra ta được m = 4 (thoả mãn)
Ví dụ 4: Giả sử x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 + 2mx + 4 = 0.
Xác định m để x14 + x24  32
Giải:
Để phương trình có nghiệm thì '  0 hay m2 - 4  0  m  2
2

Ta có: x14 + x24 = (x12 + x22)2 - 2x12x 22 =  x1  x2  2  2 x1 x2   2( x1 x2 ) 2


 x1  x2  2 m
 x1 x2  4

Theo hệ thức Viét ta có: 

nên x14 + x24  32  (4m2 - 8)2 - 32  32
 m 2  2  2  2  m 2  2  2  m  2
Kết hợp với điều kiện '  0 ta được m = 2 hoặc m = -2
Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số
Để làm các bài toán loại này, ta làm lần lượt theo các bước sau:
- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là
a  0 và  0)
- Áp dụng hệ thức Vi-et viết S = x1 + x2 và P = x1x2 theo tham số
- Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x1 và x2 . Từ đó đưa ra hệ thức liên
hệ giữa các nghiệm x1 và x2.
Ví dụ1 : Cho phương trình x2 - 2(m + 1) x + m2 =0
a) Tìm m để phương trình có nghiệm

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm khơng phụ thuộc vào m
Giải:
a) Ta có ' = (m + 1)2 - m2 = 2m + 1
Phương trình đã cho có nghiệm '  0  m  -

1
2

 x1  x2  2(m  1) (1)

b ) Theo hệ thức Vi-ét ta có 

2
 x1 x2  m

(2)
2

Từ (1) ta có m =

x1  x2
x x

 1 thay vào (2) ta được x1 x2   1 2  1 hay
2
 2


4x1x2 = (x1 + x2 - 2)2 là hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
Cách giải chung của dạng này là theo hệ thức Vi-ét ta có hai biểu thức liên hệ

giữa hai nghiệm của phương trình. Từ một trong hai biểu thức ta rút m theo hai
nghiệm, sau đó thế vào biểu thức cịn lại ta được biểu thức cần tìm.
Tuy nhiên có thể dùng cách biến đổi tương đương để khử m từ hai phương trình, ta
xét tiếp ví dụ sau:
Ví dụ 2: Cho phương trình mx2 - 2(m - 3)x + m+ 1 = 0
(m là tham số )
Biết phương trình ln có hai nghiệm, tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ
thuộc vào m.
Giải :
Do phương trình ln có hai nghiệm nên theo hệ thức Vi-ét ta có:


2(m  3)
6
 2
(1)
m
m
m 1
1
x1 x2 
 1
(2)
m
m
x1  x2 

Ta có (2)  6x1x2 = 6 +

6

m

(3). Cộng vế theo vế của (1) và (3)

ta được x1 + x2 + 6x1x2 = 8.
Vậy biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m là:
x1 + x2 + 6x1x2 = 8
Ví dụ 3 : Gọi x1; x2 là nghiệm của phương trình :  m  1 x 2  2mx  m  4  0 . Chứng
minh rằng biểu thức A  3  x1  x2   2 x1 x2  8 không phụ thuộc giá trị của m.
Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 th ì :
m  1
m  1
m 1  0
m  1

 2



4
'  0
5 m  4  0
 m  (m  1)( m  4)  0
 m  5

Theo hệ thức Vi-et ta c ó :
2m

 x1  x2  m  1


 x .x  m  4
 1 2 m  1

thay vào A ta c ó:

2m
m4
6m  2 m  8  8(m  1)
0
 2.
8 

0
m 1
m 1
m 1
m 1
4
Vậy A = 0 với mọi m  1 và m  . Do đó biểu thức A khơng phụ thuộc vào m
5
A  3  x1  x2   2 x1 x2  8  3.

Nhận xét:
- Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm
- Sau đó dựa vào hệ thức Vi-et rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đó
đồng nhất các vế ta sẽ được một biểu thức chứa nghiệm khơng phụ thuộc vào tham
số.
Dạng 8:Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất, chứng minh bất đẳng thức của biểu thức
nghiệm
Ví dụ 1: Cho phương trình x2 - 2(m - 1)x + m - 5 = 0 với m là tham số

Gọi x1, x 2 là hai nghiệm của phương trình trên. Với giá trị nào của m thì biểu thức A
= x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó.
Giải:
Ta có ' = (m - 1)2 -(m - 5) = m2 - 3m + 6 > 0 nên phương trình ln có nghiệm với
mọi giá trị của m
Theo hệ thức Viét ta có: x1+ x2 = 2(m - 1) và x1x2 = m - 5
 x12+ x22 = (x1+x 2)2 - 2x1x2 = 4(m - 1)2 - 2(m - 5)


2

5
31 31
= 4m2 - 10m +14 =  2m    
2



Dấu bằng xảy ra khi m =

5
.
4

4

Vậy Amin =

4

31
khi
4

m=

5
4

Ví dụ2: Giả sử x1, x2 là nghiệm của phương trình
2012x2 - (2012m - 2013)x - 2012 = 0
Chứng minh
2

A=

x x
3
1 1
2
 x1  x2   2  1 2     24
2
x1 x2 
 2

Giải: Theo hệ thứcViet ta có: x 1 + x2 =

2012m  2013
và x1x2 = -1
2012

nên A = 6(x 1 - x2)2 = 6( (x1 + x2)2 + 4)  24
Dạng 9: Ứng dụng hệ thức Vi-ét đảo vào bài tập
Ví dụ 1: Tìm hai số x và y biết
 x y 3
2
2
x  y  5

a) 

 x y 2
2
2
 x  y  34

b) 

Giải:
a) Đặt S = x + y; P = xy ta có hệ
 S 3
S  3

 2
S  2P  5
P  2

Suy ra x, y là nghiệm của phương trình X2 - 3X + 2 = 0
Giải phương trình ta được x1 = 1; x2 = 2 .
Vậy (x ; y)   2;1 ; 1;2 

b) Đặt S = x - y; P = xy ta có hệ

S 2

S 2

 2
 S  2 P  34
 P  15

Suy ra x + (-y) = 2 và x(-y) = -15 hay x và -y là nghiệm của phương trình
X2 - 2X - 15 = 0 giải ra ta được x1 = 3; x2 = -5
Vậy (x ; y)   3;5  ;  5;3
Thực chất dạng này được ứng dụng vào giải hệ đối xứng hai ẩn.
Ta xét tiếp ví dụ sau
Ví dụ 2: Giải hệ
 x 2  xy  y 2  4
 x  xy  y  2

a) 

b)

 xy( x  1)( y  2)  2
 2
2
 x  x  y  2y 1

Giải:
a) Đặt S = x + y; P = xy ta có hệ

S 2  P  4
 S = 2 , P = 0 hoặc S = -3; P = 5

SP 2

Suy ra

x, y là nghiệm phương trình X2 - 2X = 0 hoặc X2 + 3X + 5 =0


Vậy (x ; y)   0;2  ;  2;0 
b) Đặt x2 + x = S; y2 - 2y = P ta đưa về hệ đối xứng hai ẩn sau:
 SP  2

S  P  1

suy ra S, P là nghiệm phương trình X2 - X - 2 = 0
Giải ra ta được x1= -1; x2 = 2
 x 2  x  1

Từ đó ta có 

2
y  2y  2

 x2  x  2
2
 y  2 y  1

hoặc 

Vậy (x ; y)  1;1 ;  2;1
Hệ thức Vi-ét đảo còn được ứng dụng vào chứng minh bất đẳng thức, vận dụng
vào các bài tốn chứng minh khác. Ta xét các ví dụ sau
Ví dụ 3: Cho ba số a, b, c thoả mãn điều kiện sau:
a > 0, a2 = bc, a + b + c = abc. Chứng minh rằng:
a  3 , b > 0, c > 0 và b2 + c2  2a2
Giải:
Từ a + b + c = abc  b + c = a(bc - 1) = a( a2 - 1) mà bc = a2 nên b, c là nghiệm
của phương trình:
X 2 - (a3 - a) X + a2 = 0
Ta có  =(a3 - a)2 - 4a2  0( vì PT trên có nghiệm là b và c )  (a2 - 1)2  4  a2 
3  a  3 ( vì a > 0)
Khi đó b+ c = a( a2 - 1) > 0 và bc = a2> 0 nên b > 0, c > 0.
( b - c)2  0  b2 +c2  2bc  b2 +c2  2a2
Ví dụ 4: Cho a, b, c là ba số khác nhau từng đôi một và c  0. Chứng minh rằng nếu
hai phương trình x2 + ax + bc = 0 (1) và x2 + bx + ca = 0 (2) có đúng một
nghiệm chung thì nghiệm khác của các phương trình đó thoả mãn phương trình
x 2 + cx + ab = 0
Giải:
Giả sử (1) có nghiệm x 0 , x1 và (2) có nghiệm x0 , x2 ( x1  x2). Ta có:
 x02  ax0  bc  0
 ( a - b)(x 0 - c) = 0  x0 = c ( vì a  b)
 2
 x0  bx0  ca  0

Áp dụng định lý Vi-ét vào phương trình (1) và phương trình (2) ta có:
 x0  x1  a

 x0 x1  bc

và

 x1  b
 x  x  c
 x0  x2  b 
 1 2
  x2  a

 x0 x2  ca
 a  b  c  0  x1 x2  ab


Do đó x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 + cx + ab = 0 (phương trình này ln có
nghiệm vì = c2 - 4ab = (a + b)2- 4ab = (a - b)2> 0).
D/ Kết luận:


Trên đây là nội dung ứng dụng hệ thức Viét vào các dạng bài tập mà tôi đã hệ thống
trong q trình dạy cho học sinh lớp 9, ơn thi vào 10 bằng cách hệ thống thành
nhiều dạng:
Dạng1: Lập phương trình bậc hai
Dạng 2: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai
Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số khi biết một nghiệm của phương trình đã cho
Dạng 4: Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai
Dạng 5: Tính giá trị của biểu thức chứa các nghiệm của phương trình đã cho
Dạng 6: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có hai nghiệm thoả mãn hệ thức
nào đó
Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm khơng phụ thuộc tham số
Dạng 8: Tính giá trị lớn nhất nhỏ nhất, chứng minh bất đẳng thức của biếu thức chứa

nghiệm
Dạng 9: Ứng dụng hệ thức Viét đảo vào bài tập
Qua thời gian tiếp tục nghiên cứu và áp dụng, bản thân tơi xét thấy đề tài này có tác
dụng rất lớn trong q trình giảng dạy mơn tốn lớp 9, tôi đã vận dụng từng phần sau
mỗi tiết học lý thuyết và tiết luyện tập về hệ thức Vi-ét để học sinh được củng cố và
khắc sâu thêm, đồng thời rèn luyện cho các em kỹ năng trình bày khi gặp các dạng
này. Trong thời gian ôn tập, ôn thi các em được hệ thống lại một cách hoàn chỉnh
theo các dạng trên. Vì thế việc áp dụng hệ thức Vi-ét đối với các em khi gặp trong
các kỳ thi hay trong các bài kiểm tra khơng cịn khó khăn nữa và các em biết vận
dụng linh hoạt khi tiếp tục học lên chương trình THPT.
Phần ứng dụng của hệ thức Vi-ét đã có nhiều bạn đọc quan tâm, là một phần có nhiều
ứng dụng hay. Tuy nhiên tơi đã trình bày theo quan điểm của mình, theo kinh nghiệm
giảng dạy lớp 9 nhiều năm và cho thấy có hiệu quả tốt. Rất mong được sự góp ý chân
thành từ các đồng nghiệp để sáng kiến hay hơn, phong phú hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
Hà nội, ngày 15 tháng 3 năm 2019
Người viết

Nguyễn Thị Bích Thọ


Nơi nhận:
- Phịng Văn hóa và Thơng tin;
- Lưu VT.

NGƯỜI VIẾT

Hà Nội, ngày 29 tháng 7 năm 2019
HIỆU TRƯỞNG

.........................

Đỗ Thu Hà