Phát hiện và khai thác các mâu thuẫn, chướng ngại nhằm tăng cường hoạt động tìm tòi tri thức mới trong dạy học hình học ở trường trung học phổ thông

1
Bộ giáo dục và đào tạo
Tr-ờng đại học vinh

Lê văn lộc

Phát hiện và khai thác các mâu thuẫn, ch-ớng ngại
nhằm tăng c-ờng hoạt động tìm tòi tri thức mới trong
dạy học hình học ở tr-ờng thung học phổ thông

Chuyên ngành: lý luận và ph-ơng pháp dạy học bộ môn toán
MÃ sè: 60.14.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: GS – TS. ĐÀO TAM

NghÖ An - 2011


2

MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1.1. Trong công cuộc đổi mới của đất nước, Đảng và Nhà nước ta đã
nhẫn mạnh yếu tố con người, phát triển con người một cách toàn diện để
đáp ứng yêu cầu của sự nghiệp cơng nghiệp hóa - hiện đại hóa đất nước và
thích nghi với xu thế tồn cầu hóa. Phạm Minh Hạc cùng các cộng sự đã
đưa ra rất nhiều đặc điểm của con người Việt Nam trong thời kỳ mới, có
thể tóm tắt như sau: đó là những con người có năng lực trí tuệ, có kí năng
hành dụng, có trình độ chun mơn, nghiệp vụ; có nặng lực hợp tác và cạnh

tranh; có năng lực di chuyển nghề nghiệp; có tính độc lập của lý trí và tình
cảm. Như vậy có thể hiểu con người Việt Nam trong thời kỳ mới là người
có trí thức, có tính độc lập và sáng tạo, có khả năng học tập suốt đời.
1.2. Để đào tạo những con người có những phẩm chất ưu việt như
trên thì phải đổi mới giáo dục. Đảng và Nhà nước ta đã đề ra mục tiêu đổi
mới giáo dục là đổi mới một cách toàn diện và tất cả các mặt theo hướng
tạo những cơ hội thuận lợi nhất cho người học hoạt động một cách tích cực,
độc lập để tự chiếm lĩnh tri thức cho bản thân. Nghị quyết TW2 (khóa VIII)
của Đảng đã khẳng định: cuộc cách mạng của phương pháp giáo dục phải
hướng vào người học, rèn luyện khả năng suy nghĩ, khả năng giải quyết
vấn đề một cách năng động, độc lập, sáng tạo ngay trong quá trình học tập
ở nhà trường phổ thông . Việc xác định mục tiêu đổi mới này, một mặt xuất
phát từ đòi hỏi của điều kiện thực tiến đất nước ta, mặt khác nó hồn tồn
phù hợp với quan điểm của triết học Mác - Lênin và tâm lý học hiện đại về
con người và hoạt động học tập của con người.
1.3. Thực trạng dạy học môn Toán trong những năm gần đây cho
thấy: Giáo viên chỉ quan tâm tới rèn luyện tư duy lơgic, mà ít quan tâm tới
rèn luyện tư duy biện chứng cho học sinh. Đó là một điều hết sức phiến
diện làm cho tư duy học sinh bị trì trệ, phát triển khơng tồn diện. Một
ngun nhân có thể là nhiều giáo viên chưa hiểu tư duy biện chứng một


3
cách đầy đủ, chưa thấy tầm quan trọng của tư duy biện chứng và quan
trọng là thực hiện việc rèn luyện tư duy biện chứng cho học sinh như thế
nào.
1.4. Bên cạnh đó trong q trình học tốn học sinh bộc lộ những yếu
kém về tư duy biện chứng, nhìn các đói tượng tốn học một cách rời rạc,
trong trạng thái tĩnh mà chưa thấy mối liên hệ phụ thuộc, sự vận động biến
đổi, quá trình phát sinh và phát triển, chưa thấy sự thống nhất và mâu thuẫn

giữa các mặt đối lập, nên chưa hiểu rõ bản chất của tốn học. Từ đó dẫn
đến một hệ quả là nhiều học sinh gặp khó khăn trong việc giải các bài tốn,
nhất là các bài tốn địi hỏi phải có sự sáng tạo trong lời giải.
1.5. Mâu thuẫn, chướng ngại là cơ sở khoa học của PPDH theo quan
điểm hoạt động, dạy học giải quyết vẫn đề, cũng như dạy học theo lý thuyết
tình huống. Khi học sinh đứng trước mâu thuẫn và chướng ngại, tư duy của
các em đứng trước thách thức.Tình huống chứa đựng các mâu thuẫn năm
ngồi vùng hiểu biết của học sinh; buộc học sinh phải tư duy để khắc phục
mâu thuẫn, vượt qua chướng ngại để thâm nhập vào đối tượng, vẫn đề, tìm
tịi tri thức mới. Những vấn đề trên vừa mang ý nghĩa tâm lý học và ý nghĩa
triết học.
1.6. Từ trước đến nay người giáo viên chưa chú trọng khai thác một
cách đúng mức mâu thuẫn và chướng ngại trong dạy học Toán để tăng
cường hoạt động tìm tịi tri thức mới. Việc phát hiện các mâu thuẫn,
chướng ngại trong dạy học toán đã được các nhà chuyên môn quan tâm và
nghiên cứu nhằm gợi động cơ cho hoạt động tìm tịi kiến thức. Tuy nhiên
việc vạch ra các cách thức phát hiện các mâu thuẫn, chướng ngại như thế
nào để có hiệu quả đối với giáo viên trong dạy tốn nói chung, dạy học
hình học nói riêng cần được quan tâm nghiên cứu sâu hơn nữa.


4
Từ những lý do trên chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu là: " Phát hiện
và sử dụng các mâu thuẫn, chƣớng ngại nhằm tăng cƣờng hoạt động
tìm tịi tri thức mới trong dạy học hình học ở trƣờng THPT "
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu hoạt động của Giáo viên trong việc phát hiện và khắc
phục các mâu thuẫn, chướng ngại để tạo các tình huống dạy học nhằm tăng
cường các hoạt động tim tòi tri thức mới của học sinh trong dạy học hình
học ở trường THPT.

Vận dụng phương pháp này vào dạy học một số chủ đề trong hình
học ở trường THPT.
Góp phần tăng cường đổi mới phương pháp dạy học Toán ở trường
THPH trong giai đoạn hiện nay.
3. GIẢ THIẾT KHOA HỌC
Có thể đề xuất một số phương thức phát hiện và khắc phục các mâu
thuẫn, chướng ngại nhằm tăng cường hoạt động tìm tịi kiến thức mới góp
phần nâng cao hiệu quả dạy học hình học theo mục tiêu chương trình sách
giáo khoa hiện hành.
4. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
4.1. Nghiên cứu cơ sở lý luận có liên quan đến tổ chức các hoạt
động, phát hiện và khắc phục các mâu thuẫn, chướng ngại.
4.2. Điều tra, đánh giá thực trạng dạy học hình học ở trường THPT
trong giai đoạn hiện nay.
4.3. Nghiên cứu và đề ra các cách thức sử dụng các mâu thuẫn,
chướng ngại để tăng cường hoạt động tìm tịi tri thức mới.
4.4. Thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi của các biện pháp
đề ra.


5
5. ĐỐI TƢỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu việc dạy học tốn theo chương trình sách giáo khoa với
định hướng, xác định những mâu thuẫn, chướng ngại để kích thích tư duy
của học sinh và cách khai thác để phát hiện tri thức mới trong dạy học hình
học ở trường THPT.
6. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
6.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu các tài
liệu liên quan đến đề tài luận văn theo hướng đổi mới phương pháp dạy
học.

6.2. Phương pháp điều tra quan sát: Khảo sát, thông qua phiếu điều
tra, hệ thống câu hỏi, dự giờ, để đánh giá ưu, nhược điểm của giáo viên
trong việc phát hiện và khắc phục các mâu thuẫn, chướng ngại trong dạy
học hình học.
6.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư
phạm để đánh giá tính đúng đắn, tính chấp nhận được của các kết quả nêu
trong luận văn.
7. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo thì luận văn gồm
có ba chương:
chương I: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương II: Sử dụng mâu thuẫn và chướng ngại trong dạy dọc hình
học ở trường THPT .
Chương III: Thực nghiệm sư phạm


6
Chƣơng I:
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1. Quan điểm về hoạt động
1.1.1. Quan điểm về hoạt động trong tâm lý học hiện đại
Hoạt động là một khái niệm cơ bản của tâm lí học hiện đại. Cấu trúc
vĩ mơ của hoạt động được A. N. Lêonchiep mô tả trong [22, tr. 115-140],
dựa trên quan điểm duy vật lịch sử về con người: “Trong tính hiện thực của
nó, bản chất của con người là tổng hoà các mối quan hệ xã hội” (C. Mác).
Hoạt động của con người có những thành tố đặc thù là con người
vươn tới đối tượng, chuyển sự vật, hiện tượng,… thành đối tượng của hoạt
động, nhằm tạo ra sản phẩm – thực hiện mục đích của con người (thoả mãn
nhu cầu này hay hứng thú khác). Q trình chuyển hóa trên vừa chứa đựng,

vừa thực hiện hứng thú, đam mê, động cơ của con người với tinh thần là
chủ thể của hoạt động. Để thực hiện động cơ, chủ thể phải dùng sức căng
cơ bắp, thần kinh, năng lực, kinh nghiệm thực tiễn,… để thoả mãn động cơ,
gọi là hoạt động. Quá trình chiếm lĩnh từng mục đích, gọi là hành động.
Chủ thể chỉ có thể đạt mục đích bằng những điều kiện xác định. Mỗi điều
kiện quy định một cách thức hành động, gọi là thao tác.
Hoạt động ln có tính hướng đích (thoả mãn động cơ) và hành động
là quá trình thực hiện hố mục đích (tạo ra được sản phẩm), cịn thao tác lại
do điều kiện quy định. Do đó, có sự khác nhau giữa mục đích và điều kiện
quy định sự khác nhau giữa hành động và thao tác; nhưng sự khác nhau đó
chỉ là tương đối, bởi để đạt một mục đích ta có thể dùng những phương tiện
khác nhau. Khi đó, hành động chỉ thay đổi về mặt kĩ thuật, tức là cơ cấu
thao tác, chứ không hề thay đổi bản chất (vẫn cùng làm ra một sản phẩm).
Về phương diện tâm lí, hành động sinh ra thao tác, nhưng thao tác không
phải là phần riêng rẽ của hành động; sau khi được sinh thành, thao tác có
khả năng tồn tại độc lập và có thể tham gia vào nhiều hành động khác.


7
Hoạt động có biểu hiện bề ngồi là hành vi, hai phạm trù này hỗ trợ
cho nhau, trong đó, hoạt động bao gồm cả hành vi lần tâm lí, ý thức (tức là
cả công việc của chân tay và của não). Hoạt động của con người tất yếu dẫn
đến chỗ nảy sinh ý thức và ý thức là thành tố thực sự trong sự vận động của
hoạt động. Vì vậy, ý thức, tâm lí người bao giờ cũng mang tính chất tích
cực. Hơn nữa, tính tích cực này là tính tích cực hoạt động đặc thù của con
người, tức là nó mang tính chất say sưa, vì nó ln ln gắn bó với sự thực
hiện mục đích của hoạt động.
Theo A. N. Lêonchiep, thế giới tâm lí con người có thể nghiên cứu ở
ba cấp độ khác nhau:
- Cấp độ hoạt động: Hoạt động bao giờ cũng nhằm vào một đối

tượng, tạo ra sản phẩm để thoả mãn một động cơ nào đó.
- Cấp độ hành động: tương ứng với một mục đích cụ thể.
- Cấp độ thao tác: cử động của các cơng cụ (cơ bắp, trí tuệ) tương
ứng với các điều kiện và các phương tiện.
Trong báo cáo khoa học của A. N. Lêonchiep về “Quá trình học sinh
nắm vững các khái niệm khoa học”, ông đã xuất phát từ quan điểm của
Vưgôtxki là: “nghĩa” của từ trong mỗi con người luôn phát triển và sự phát
triển này khơng tách khỏi hoạt động của từng người. Từ đó vạch ra các con
đường lĩnh hội những khái niệm và những “nghĩa” của từ theo con đường
hoạt động.
Như vậy, “nghĩa” của một tri thức được hình thành từ những tình
huống cụ thể để người học hoạt động, nhờ đó tri thức được kiến tạo vừa
như phương tiện, vừa như kết quả của hoạt động. Trong dạy học nói chung
và dạy học Hình học nói riêng, tri thức khơng được thu nhận một cách bị
động mà phải do chính chủ thể tích cực xây dựng nên trong mối tương tác
với tập thể lớp học. Vì vậy, cùng với việc tạo ra những tình huống hành
động, cần tổ chức những tình huống giao lưu để người học có nhu cầu trao


8
đổi thơng tin trong q trình giải quyết vấn đề và những tình huống kiểm
chứng để xác nhận hay bác bỏ kiến thức.
1.1.2.Quan điểm về hoạt động trong dạy học tốn
Con người chỉ có thể phát triển thơng qua hoạt động của chính mình.
Người học phải tự hoạt động để chiếm lĩnh kiến thức cho chính mình, điều
đó chỉ được thực hiện khi chủ thể có:
- Nhu cầu và hứng thú với hoạt động học tập.
- Phải biết từng thao tác, nội dung của toàn bộ hoạt động hay của
mỗi thao tác.
- Phải biết được hoạt động ngằm đạt được kết quả gì?

Hoạt động của học sinh khác với các hoạt động thông thường là ở
chỗ các hoạt động được đặt dưới sự chỉ đạo, hướng dẫn của thầy theo mục
đích đã định trước.
Theo tác giả Nguyễn Bá Kim, Quan điểm hoạt động trong PPDH
được cấu thành:
1.1.2.1. Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động và
hoạt động thành phần tƣơng thích với nội dung và mục đích dạy học
Tƣ tƣởng này có thể đƣợc cụ thể hố nhƣ sau:
a. Phát hiện những hoạt động tương thích với nội dung
Hoạt động được gọi là tương thích với nội dung nếu nó được tiến
hành trong q trình hình thành hoặc vận dụng nội dung đó. Nói cách khác,
một hoạt động là tương thích với nội dung nếu việc nắm được nội dung
này là điều kiện hay kết quả (đọng lại trong chủ thể) của hoạt động đó.
Các dạng hoạt động sau cần chú ý [10-tr139]:
- Những hoạt động nhận dạng và thể hiện;
- Những hoạt động toán học phức hợp;
- Những hoạt động trí tuệ phổ biến trong mơn tốn;
- Những hoạt động trí tuệ chung;
- Những hoạt động ngôn ngữ.


9
Ví dụ 1: Để dạy cho học sinh lớp 9 nắm vững nội dung định lí "Tứ
giác nội tiếp trong đường tròn" ta cần tổ chức các hoạt động sau:
- Hoạt động trí tuệ: Bất kì tam giác nào cũng nội tiếp được trong một
đường trịn, điều đó cịn đúng khơng nếu đó là tứ giác? Ví dụ hình bình
hành, hình chữ nhật? Cho bốn điểm A, B, C, D nằm trên một đường tròn
tạo nên một tứ giác lồi. Cho biết góc A = 60, hãy dùng kiến thức về góc nội
tiếp tìm độ lớn của góc C. Từ đó nêu lên một giả thuyết và chứng minh.
- Hoạt động nhận dạng, thể hiện: Hãy xét

các tứ giác hình bình hành, hình chữ nhật, hình
vng, hình thang cân, thang thường, xem hình
nào nội tiếp được, khơng được?
- Hoạt động phức hợp: Để chứng minh

Hình 1

một tứ giác ABCD là nội tiếp được trong một
đường trịn có cần phải có điều kiện A + C = 180 0 và B + D = 1800 không?
Tại sao? Với các điều kiện trong hình bên, ta có thể kết luận tứ giác MNPQ
nội tiếp trong một đường trịn được khơng? Cho biết ABCD nội tiếp được
trong một đường tròn, hãy vẽ đường trịn đó!
- Hoạt động ngơn ngữ: Hãy phân biệt: Đường tròn (O) ngoại tiếp tứ
giác ABCD và tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn (O)!
b. Phân tích hoạt động thành những hoạt động thành phần
Trong quá trình hoạt động, nhiều khi một hoạt động này có thể xuất
hiện như một thành phần của một hoạt động khác. Phân tích được một hoạt
động thành những hoạt động thành phần là biết được cách tiến hành hoạt
động tồn bộ, nhờ đó có thể vừa quan tâm rèn luyện cho học sinh hoạt động
toàn bộ vừa chú ý cho họ tập luyện tách riêng những hoạt động thành phần
khó hoặc quan trọng khi cần thiết [8-tr140].
Để chọn được các hoạt động tương thích ta phải phân tích hoạt động
thành những hoạt động thành phần.


10
Ví dụ: Khi cho học sinh chứng minh một định lí, giải một bài tập
(hoạt động phức hợp) mà gặp khó khăn ta phải tách ra thành những hoạt
động nhỏ hơn:
- Từ giả thiết ta có thể suy ra điều gì?

- Muốn có kết luận ta cần có những điều kiện gì?
- Hãy xét một trường hợp đặc biệt, một trường hợp tương tự.
Những hoạt động thành phần này không những giúp học sinh tìm ra
đường lối giải được bài tốn (hoạt động mang tính chất điều kiện) mà cịn
hiểu sâu hơn (mang tính chất kết quả).
Ví dụ 2: Định lý (Cơng thức hình chiếu)
"Với hai vectơ a và b bất kì ta có a.b  a.b' , trong đó b ' là hình
chiếu của vectơ b trên đường thẳng chứa vectơ a "
Để dẫn dắt học sinh phát hiện và chứng minh được định lý trên, giáo
viên có thể tổ chức cho học sinh thực hiện các hoạt động thành phần sau:
Cho hai vectơ a , b chung gốc O; b ' là hình chiếu của b lên đường
thẳng chứa vectơ a .
HĐ1: Xét trường hợp đặc biệt khi a  b , hãy nhận xét tích a.b và

a.b ' ?
Kết quả mong đợi: a.b = a.b ' vì đều bằng không.
Gợi vấn đề : Vậy khi a không vng góc với b thì kết quả trên cịn
đúng nữa khơng?
HĐ2: Hãy nhận xét hai góc (a;b) và (b';b) ?
Kết quả mong đợi:
(a;b) = (b';b) khi (a;b) < 900 .
(a;b) = 1800  (b';b) khi (a;b) > 900 .

HĐ3: Hãy so sánh a.b và a.b ' trong hai trường hợp trên?
Kết quả mong đợi: a.b = a.b ' . Thật vậy:


11
B

B

b
b
A

O

b'

B'

a

B'

Hình 2

b'

O

a

A

Khi (a;b) < 900 : a.b'  a . b' .cos00  a . b
 a . b .cos(b';b) = a . b .cos(a;b) = a.b

Khi (a;b) > 900 : a.b'  a . b' .cos1800   a . b'

  a . b .cos(b';b) = a . b .cos(a;b) = a.b .

Vậy ta có kết quả a.b  a.b' cho mọi trường hợp.
c. Lựa chọn hoạt động dựa vào mục đích
Nói chung, mỗi nội dung thường tiềm tàng nhiều hoạt động. Tuy
nhiên, nếu khuyến khích tất cả các hoạt động như thế thì có thể sa vào tình
trạng làm cho học sinh rối ren. Để khắc phục tình trạng này, cần sàng lọc
những hoạt động đã phát hiện được để tập trung vào một số mục đích nhất
định. Việc tập trung vào những mục đích nào đó căn cứ vào tầm quan trọng
của mục đích này đối với việc thực hiện những mục đích cịn lại [7-tr140].
d. Tập trung vào những hoạt động toán học
Trong khi lựa chọn hoạt động, để đảm bảo sự tương thích của hoạt
động đối với mục đích dạy học, ta cần nắm được chức năng mục đích và
chức năng phương tiện của hoạt động và mối liên hệ giữa hai chức năng
này. Trong mơn tốn, nhiều hoạt động xuất hiện trước hết như phương tiện
để đạt được những yêu cầu toán học [8-tr141]: Kiến tạo tri thức, rèn luyện


12
kỹ năng toán học. Một số trong những hoạt động như thế nổi bật lên do tầm
quan trọng của chúng trong tốn học, trong các mơn học khác cũng như
trong thực tế và việc thực hiện thành thạo những hoạt động này trở thành
một trong những mục đích dạy học. Đối với những hoạt động này ta cần
phối hợp chức năng mục đích và chức năng phương tiện theo cơng thức của
Faust:
"Thực hiện chức năng mục đích của hoạt động trong q trình thực
hiện chức năng phương tiện"
Ví dụ: Để dạy một định lí, giải một bài tốn ta xét các trường hợp cụ
thể, hình vẽ, mơ hình,... rồi quan sát, nhận xét,... (chức năng phương tiện)
nhưng ta cần đặc biệt lưu ý đến chức năng mục đích của tốn học như

chứng minh, phương pháp giải toán, nhận dạng, thể hiện,...
1.1.2.2. Gợi động cơ và hƣớng đích cho các hoạt động
Dạy học là tác động lên đối tượng học sinh nên để việc thực hiện các
hoạt động có kết quả, họ cần phải hoạt động tích cực, tự giác. Do đó cần
chỉ cho học sinh biết/hiểu mục đích phải đến và tạo cho học sinh sự say mê,
hứng thú, tự thấy mình có nhu cầu phải khám phá và giải quyết một mâu
thuẫn nào đó nảy sinh.
Để đạt được mục đích dạy học, điều cần thiết là học sinh phải học
tập tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo. Muốn vậy địi hỏi học sinh phải
có ý thức về những mục đích đặt ra và tạo được động lực bên trong thúc
đẩy bản thân họ hoạt động để đạt các mục đích đó. Điều này được thực
hiện trong dạy học không chỉ đơn giản bằng việc nêu rõ mục đích mà quan
trọng hơn cịn do gợi động cơ và hướng đích.
Gợi động cơ là tạo cho học sinh một nhu cầu, một ham muốn tìm ra
con đường đi tới đích. Từ đó khêu gợi trí tị mị khoa học, sự hứng thú
khám phá cái mới. Đây chính là một biện pháp quan trọng để phát huy tính
tự giác, chủ động trong học tập của học sinh [9].


13
Hướng đích cho các hoạt động là đặt mục đích cuối cùng hay từng
bước cho học sinh thấy để chủ động hướng hoạt động của mình vào đó.
Muốn vậy người giáo viên cần nắm chắc nội dung, các văn bản hướng dẫn
và giải thích chương trình, sách giáo khoa và các tài liệu tham khảo,... để
xác định được mục đích cần đạt mà không sa và các chi tiết "kĩ thuật" trong
khi chứng minh hay giải bài tốn. Từ đó làm cho học sinh ý thức được con
đường mình phải đi tới đích, đi theo những bước cụ thể nào, với "cơng cụ"
gì, tránh được việc làm cầu may được chăng hay chớ, mà phải tìm ra con
đường đi thích hợp.
Ví dụ 3: Chứng minh định lí: "Nếu hai mặt phẳng cùng vng góc

với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng (nếu có) sẽ vng góc với
mặt phẳng ấy". (Hình học 11)
Bước 1:
- Tìm hiểu định lí:
( )  ( )

   ( )
(  )  ( )
( )  (  )  


- Nhắc lại mục đích: Chứng minh   ( ) . Để đạt được mục đích
này ta đi theo hướng nào?
i/ Chứng minh vng góc với 2 đường thẳng giao nhau nào đó nằm
trong mp(  ).
ii/ Tìm 1 đường thẳng m nào đó vng góc với mp(  ) và chứng
minh  // m.
Xác định hướng đi: Căn cứ vào giả thiết ta chọn hướng ii/.
Bước 2: Phân tích giả thiết, tìm sự liên quan theo hướng ii/
()  ()  a  () : a  ()
()  ()  b  () : b  ()


14
Hãy dựa vào các định lí đã học tìm mối liên tương quan giữa ba
đường thẳng a, b và  .
Gợi động cơ và hướng đích cho hoạt động khơng phải là việc làm
ngắn ngủi trước khi thực hiện các hoạt động đó, phải xun suốt q trình
dạy học. Vì vậy, chúng ta phân biệt thành ba hình thức gợi động cơ: Gợi
động cơ và hướng đích mở đầu hoạt động, gợi động cơ và hướng đích trong

q trình tiến hành hoạt động, gợi động cơ sau khi tiến hành hoạt động.
a. Gợi động cơ mở đầu:
Để phát hiện kiến thức, phát hiện quy tắc, định lý, mệnh đề nhằm
phát hiện vấn đề. Có thể gợi động cơ mở đầu xuất phát từ thực tế
hoặc từ nội bộ mơn tốn.
Gợi động cơ xuất phát từ thực tế cần đảm bảo những điều kiện:
- Vấn đề đặt ra cần đảm bảo tính chân thực;
- Việc nêu vấn đề khơng địi hỏi quá nhiều tri thức bổ sung;
- Con đường từ lúc nêu cho tới khi giải quyết vấn đề càng ngắn càng
tốt [8-tr143].
Việc xuất phát từ thực tế khơng những có tác dụng gợi động cơ mà
cịn góp phần hình thành thế giới quan duy vật biện chứng. Nhờ đó học
sinh nhận rõ việc nhận thức và cải tạo thế giới đã đòi hỏi phải đòi hỏi và
giải quyết những vấn đề toán học như thế nào, tức là nhận rõ toán học bắt
nguồn từ những nhu cầu của đời sống thực tế. Vì vậy, cần khai thác triệt để
mọi khả năng để gợi động cơ xuất phát từ thực tế.
Tuy nhiên, tốn học phản ánh thực tế một cách tồn bộ nhiều tầng,
do đó, khơng phải bất cứ nội dung nào, hoạt động nào cũng có thể gợi động
cơ xuất phát từ thực tế. Vì vậy, ta cịn cần tận dụng cả những khả năng gợi
động cơ xuất phát từ nội bộ toán học.
Gợi động cơ từ nội bộ toán học là nêu một vấn đề toán học xuất phát
từ nhu cầu toán học, từ việc xây dựng khoa học toán học, từ những phương


15
thức tư duy và hoạt động toán học. Gợi động cơ theo cách này là cần thiết
vì:
- Việc gợi động cơ từ thực tế không phải bao giờ cũng thực hiện
được;
- Nhờ gợi động cơ từ nội bộ toán học, học sinh hình dung được đúng

sự hình thành và phát triển của tốn học cùng với đặc điểm của nó và có thể
dần dần tiến tới hoạt động tốn học một cách độc lập.
Thông thường, khi bắt đầu một nội dung lớn, chẳng hạn một chương
mới, ta nên cố gắng gợi động cơ xuất phát từ thực tế. Còn đối với từng bài
hay từng phần của bài thì cần tính tới những khả năng gợi động cơ từ nội
bộ toán học.
b. Gợi động cơ trung gian:
là gợi động cơ cho những bước trung gian hoặc cho những hoạt động
tiến hành trong những bước đó để đạt được mục tiêu. Gợi động cơ trung
gian có ý nghĩa to lớn đối với sự phát triển năng lực độc lập giải quyết vấn
đề. Bằng hệ thống các câu hỏi, các chỉ dẫn, các định hướng giúp học sinh
phát hiện hướng huy động kiến thức, hoạt động tích cực để giải quyết vấn
đề [9-tr148].
b. Gợi động cơ kết thúc:
Nhiều khi, ngay từ đầu hoặc trong khi giải quyết vấn đề, ta chưa thể
làm rõ tại sao lại học nội dung này, tại sao lại thực hiện hoạt động kia.
Những câu hỏi này phải đợi mãi về sau mới được giải đáp hoặc giải đáp
trọn vẹn. Như vậy người ta đã gợi động cơ kết thúc, nhấn mạnh hiệu quả
của nội dung hoặc hoạt động đó với việc giải quyết vấn đề đặt ra [7-tr151].
Gợi động cơ kết thúc cũng có tác dụng nâng cao tính tự giác trong
hoạt động học tập như các cách gợi động cơ khác. Mặc dù nó khơng có tác
dụng kích thích đối với nội dung đã qua hoặc hoạt động đã thực hiện,
nhưng nó góp phần gợi động cơ thúc đẩy hoạt động nói chung và nhiều khi
việc gợi động cơ kết thúc ở trường hợp này lại là sự chuẩn bị gợi động cơ


16
mở đầu cho những trường hợp tương tự sau này. Gợi động cơ kết thúc
thường dùng để mở rộng một vấn đề nào đó, phát triển tiềm năng SGK,
tổng quát hố một vấn đề nào đó; giúp học sinh ý thức được vai trò kiến

thức vừa được học trong hệ thống các kiến thức của chương trình và đối
với khoa học khác, đối với thực tiễn.
Sau đây là một số biện pháp thực hiện việc gợi động cơ:
+) Giải quyết mâu thuẫn
Đáp ứng nhu cầu muốn giải quyết một mâu thuẫn, xóa bỏ một hạn
chế nảy sinh từ thực tế hay từ nội bộ tốn học.
Ví dụ: Mở rộng tập số tự nhiên

thành tập số nguyên

để phép

trừ luôn thực hiện được. (từ nội bộ tốn học)
+) Hướng tới sự hồn chỉnh và hệ thống
Ví dụ: Trong tam giác vng tại A ta có a2 = b2 + c2, cịn khi A ≠ 90°
thì lúc đó a2 =?
+) Lật ngược vấn đề
Ví dụ : Nếu tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường trịn thì A + C =
B + D = 180°, cịn ngược lại?
+) Xét trường hợp tương tự
Ví dụ: Trong mặt phẳng ta đã xét hai đường thẳng cùng vng góc
với một đường thẳng, trong khơng gian hãy xét tương tự: hai mặt phẳng
cùng vng góc với một đường thẳng, hai đường thẳng cùng vng góc với
một mặt phẳng, hai mặt phẳng cùng vng góc với một mặt phẳng, hai, ba
đường thẳng cùng vng góc với một đường thẳng.
+) Khái qt hóa
Ví dụ: Ta đã biết tổng các góc trong của một tam giác là 180° cịn tứ
giác lồi, đa giác lồi? Ví dụ: Với 2 điểm A, B cho trước ta biết tập hợp các

17
điểm M sao cho MA = MB ( hay

MA
 1 ) là đường trung trực của đoạn
MB

AB. Còn tập hợp các điểm M sao cho

MA
 k (k > 0, k ≠ 1) là gì?
MB

+) Quy lạ về quen
Ví dụ: Tìm cách giải phương trình asin x + bcos x = c nhờ đưa về
phương trình sin x = a, tan x = a,...
+) Tìm mối liên hệ, phụ thuộc giữa các đại lượng, các yếu tố
Ví dụ: Vị trí giữa hai đường tròn phụ thuộc vào những yếu tố nào?
Trên đây chúng ta đã trình bày nội dung gợi động cơ cho hoạt động,
việc sử dụng tất cả các hình thức gợi động cơ cho một hoạt động là điều
không thể thực hiện được vì mỗi một hoạt động chỉ thích hợp với một số
hình thức gợi động cơ.

1.2. Mâu thuẫn và sự biểu hiện của nó trong dạy học
Tốn.
1.2.1. Quan niệm về mâu thuẫn.
Mâu thuẫn được cho là một khái niệm cơ bản trong triết học phương
Tây. Triết học phương tây cho rằng: mâu thuẫn là động lực của sự phát
triển bởi vì trong mỗi một sự vật đều có ít nhất hai mặt, hai lập trường, hai
thế lực đối kháng, và các thế lực đó sẽ tìm cách triệt tiêu nhau, q trình đó

đẩy mâu thuẫn phát triển đến đỉnh điểm và khi mâu thuẫn phát triển đến
đỉnh điểm thì khách thể sẽ biến đổi cả về lượng và chất sang một hình thái
mới.
Các nhà triết học phương đông cũng đã khái quát khái niệm này
trong thuyết âm dương ngũ hành, triết học phương đông cho rằng: các nhân
tố âm dương trong một đối tượng luôn vận động và biến đổi luân hồi, âm
thịnh thì dương suy, bĩ cực thái lai, triết học phương Đơng chỉ khai thác
khía cạnh thời gian của việc phát sinh và giải quyết mâu thuẫn chứ khơng
nhìn vào khía cạnh biến đổi của chủ thể khi giải quyết mâu thuẫn.


18
Như vậy tất cả các sự vật, hiện tượng đều chứa đựng những mặt trái
ngược nhau, tức những mặt đối lập trong sự tồn tại của nó. Các mặt đối lập
của sự vật vừa thống nhất vừa đấu tranh với nhau tạo thành nguồn gốc,
động lực của sự vận động, phát triển của sự vật. Phép biện chứng duy vật
đã đưa ra và sử dụng các khái niệm: mặt đối lập, mâu thuẫn biện chứng, sự
thống nhất của các mặt đối lập, đấu tranh của các mặt đối lập để diễn đạt
mối quan hệ giữa thống nhất và đấu tranh của các mặt đối lập trong bản
thân sự vật – tạo thành nguồn gốc, động lực của sự vận động và phát triển
của sự vật.
Mối quan hệ giữa sự thống nhất và đấu tranh của các mặt đối lập
+ Sự thống nhất và đấu tranh của các mặt đối lập là hai xu hướng tác động
khác nhau của các mặt đối lập tạo thành mâu thuẫn. Vậy mâu thuẫn biện
chứng bao hàm cả “sự thống nhất” lẫn “đấu tranh” của các mặt đối lập. Sự
thống nhất gắn liền với sự đứng im, với sự ổn định tạm thời của sự vật. Sự
đấu tranh gắn liền với tính tuyệt đối của sự vận động và phát triển.
+ Sự phát triển của sự vật, hiện tượng gắn liền với quá trình hình thành,
phát triển và giải quyết mâu thuẫn. Trong sự tác động qua lại của các mặt
đối lập thì đấu tranh của các mặt đối lập quy định sự thay đổi của các mặt

đang tác động và làm cho mâu thuẫn phát triển. Khi hai mặt đối lập xung
đột gay gắt đã đủ điều kiện, chúng sẽ chuyển hóa lẫn nhau, mâu thuẫn được
giải quyết. Nhờ đó mà thể thống nhất cũ được thay thế bằng thể thống nhất
mới; sự vật cũ mất đi sự vật mới ra đời thay thế.
1.2.2. Mâu thuẫn là động lực phát triển tốn học.
Có thể phân tích quan điểm mâu thuẫn là động lực của sự phát triển
toán học qua các phương diện sau:
1.2.2.1. Mâu thuẫn giữa lí luận và thực tiễn là động lực phát triển
của toán học.
Trong nghiên cứu phát triển nhận thức duy vật biện chứng về lịch
sử, Mac và Ăng-ghen đã chứng minh được khoa học, trong đó có tốn học,


19
không những phát sinh mà luôn phát triển trên cơ sở vật chất nhất định, đó
là thực tiễn đời sống, hoạt động sản xuất, và những vấn đề của các khoa
học khác.
Đi ngược lại lịch sử toán học, ta thấy nhu cầu so sánh các tập hợp
người lao động và công cụ lao động, phân chia sản phẩm săn bắn … nảy
sinh số đếm. Hình học được hình thành và phát triển từ nhu cầu đo đạc
ruộng đất ở sông Nil sau mỗi trận lụt… Nhu cầu nghiên cứu vận động,
trước hết là vận động cơ học, làm nảy sinh phép tính vi phân rồi tích phân.
Tóm lại, tốn học xuất hiện và phát triển không phải do nhu cầu
nào khác, mà là nhằm giải quyết những vấn đề thực tiễn đặt ra và địi hỏi
các cơng cụ từ tốn học.
1.2.2.2. Mâu thuẫn trong nội bộ toán học thúc đẩy việc mở rộng và
hồn thiện tốn học.
Đơn cử là việc ra đời số phức. Ví dụ khi giải phương trình bậc ba (x1)(x2+x+1) = 0 thì ta có ngay nghiệm là 1. Và phương trình bậc hai có hệ
số âm thì vơ nghiệm. Tới đây thì ta chưa thấy mâu thuẫn gì. Nhưng ta hãy
xét phương trình sau:

x3 - x = 0

(*)

Rõ ràng phương trình trên có 3 nghiệm là: -1; 0; 1. Nhưng khi giải bằng
phương pháp Cardino ta thấy:
Đặt x = y + z với điều kiện y.z=1/3 thì (*) trở thành
y3 + z3 = 0
Đặt Y = y3 và Z = z3 thì ta có:
Y+Z=0 và Y.Z= 1/27
Do đó Y, Z là nghiệm phương trình X2+1/27 =0 [30-tr17]
Rõ ràng phương trình cuối này vơ nghiệm nên phương trình (*) là
vơ nghiệm (mâu thuẫn).
Chính mâu thuẫn này là cơ sở nghĩ đến việc chấp nhận căn bậc hai
của số âm và làm nảy sinh số phức.


20
1.2.2.3. Mâu thuẫn nảy sinh trong quá trình giải quyết mâu thuẫn.
Theo lịch sử toán học, do nhu cầu nhằm chia sự vật làm xuất hiện
số hữu tỷ, đến đây thì tưởng chừng mâu thuẫn đã được giải quyết, nhưng
mâu thuẫn mới lại xuất hiện làm nảy sinh số phức [30-tr28]….
Tóm lại, mâu thuẫn ln xuất hiện và là động lực thúc đẩy toán
học. Khi mâu thuẫn được giải quyết khơng có nghĩa là tốn học đã làm hết
cơng việc của mình, mà vấn đề mới ln đặt ra, mâu thuẫn mới ln xuất
hiện, địi hỏi và thúc đẩy tốn học ngày càng phát triển, ngày càng hoàn
thiện và mở rộng khơng ngừng.
Như vậy mâu thuẫn được giải quyết thì mâu thuẫn mới được hình
thành làm cho tốn học phát triển không ngừng.
1.2.3. Mâu thuẫn trong nghiên cứu và giảng dạy toán học.

1.2.3.1. Trong nghiên cứu toán học.
Những vấn đề nghiên cứu trong toán học phải bắt nguồn từ mâu
thuẫn- đó là những bài tốn mà thực tiễn cuộc sống đang đặc ra cũng như
những vấn đề mà nội bộ tốn học đang bế tắc.
Nói như thế khơng có nghĩa là ngồi chờ thực tiễn cần gì, nội bộ
tốn học cần gì thì ta sẽ giải quyết điều đó. Cần có cái nhìn biện chứng, tự
thân phủ định và tạo mâu thuẫn trong tốn học.
Mâu thuẫn được giải quyết khơng có nghĩa là kết thúc nghiên cứu.
Khi bài tốn đặt ra được giải quyết, dưới cái nhìn biện chứng khơng cho
phép nhà toán học dừng lại mà phải tiếp tục nghiên cứu. Khi đó có thể trả
lời những câu hỏi sau :
1) Có cách nào giải quyết tối ưu hơn?
2) Có thể mở rộng hay khơng?
3) Nếu phủ định một hoặc một số kết quả trung gian thì có những
hướng phát triển nào khác?
4) Thu hẹp kết quả sẽ như thế nào? v.v…
1.2.3.2. Trong dạy học toán .


21
Đổi mới phương pháp dạy học đang là vấn đề cấp thiết trong dạy
học toán được nhiều người quan tâm. Trong dạy học toán giáo viên cần tạo
ra được mâu thuẫn đó là mâu thuẫn trong nội bộ nhận thức của học sinh.
Việc học tập của học sinh là quá trình tái phát minh lại kiến thức đã có,
dưới sự dẫn dắt của người thầy, do đó giáo viên cần tạo mâu thuẫn qua đó
tạo động cơ giúp cho học sinh có nhu cầu tìm hiểu kiến thức và có nhu cầu
tự tìm kiếm kiến thức.
1.2.4. Một số dạng mâu thuẫn nổi bật trong dạy học toán.
" Mâu thuẫn là động lực của sự phát triển", mâu thuẫn xuất hiện
dưới nhiều dạng khác nhau; dưới nhiều hình thức khác nhau, nếu khơng rèn

luyện, nghiên cứu để có một tư duy linh hoạt, tư duy sáng tạo, một sự nhạy
bén cần thiết khi đứng trước một vấn đề nói chung hay là đứng trước một
bài tốn nói riêng thì khơng thể phát hiện ra được các mâu thuẫn ẩn chứa
bên trong nên dễ dàng cho qua [29-tr52]. Ví dụ ta nói đường trung bình và
đường trung tuyến của tam giác là hai đường khơng có gì liên quan nhau,
nhưng với một số người khác thì lại thấy lời nói trên có mâu thuẫn vì khi ta
coi tam giác là trường hợp riêng của tứ giác có hai đỉnh trùng nhau thì hai
đường trên thực chất lại là một đường đó là đường trung bình của tứ giác.
Tuy mâu thuẫn xuất hiện và thể hiện dưới mn hình vạn trạng
khác nhau như vậy nhung người ta sắp xếp mâu thuẫn thành các dạng khác
nhau. Sau đây là một số dạng mâu thuẫn nội bật trong dạy học toán.
1.2.4.1. Mâu thuẫn giữa yêu cầu nhiệm vụ nhận thức với tri thức
và kinh nghiệm đã có của học sinh.
Mâu thuẫn này nảy sinh do kiến thức, kỹ năng, kinh nghiệm cũ
không phù hợp với tình huống mới, khơng giải thích được kiến thức trong
trường hợp mới [26-tr15].
Ví dụ 1: Trong dạy học định lý hàm số sin trong tam giác ta cho
học sinh khảo sát các tình huống sau
Tình huống 1: Trong tam giác vng ABC, vng tại A ta có:


22
b
c
a


 a  2 R (R là bán kính vịng trịn
sin B sin C sin A

ngoại tiếp tam giác ABC).
Tình huống 2: Trong tam giác ABC đều ta có thể kiểm tra trực tiếp hệ thức:
a
b
c


 2R
sin A sin B sin C

(R là bán kính vịng trịn

ngoại tiếp tam giác ABC).
Tình huống 3: Đối với tam giác ABC bất kỳ thì việc kiểm tra trực
tiếp như trên sẽ gặp phải mâu thuẫn ( khó khăn) là: khơng thể kiểm tra trực
tiếp hệ thức trên mà phải thay đổi lại nhận thức bằng cách vẽ thêm đường
phụ đi qua tâm của vịng trịn ngoại tiếp tam giác ABC.
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có hai mặt SBC và ABC là những
tam giác đều cạnh a, góc giữa hai mặt phẳng đó là 600. Tính khoảng cách
từ điểm B đến mặt phẳng (SAC).
Khi học sinh đứng trước bài toán yêu cầu tính khoảng cách thì phần
lớn các em suy nghĩ theo chiều hướng là đi tìm chân đường vng góc. Cụ
thể dối với bài trên là cần xác định được chân đường vng góc hạ từ đỉnh
B xuống mặt phẳng (ASC) , nhưng các em gặp phải mâu thuẫn là không
thể dựa vào tri thức đã có để xác định chân đường vng góc nói trên. Để
giải quyết bài tốn trên buộc học sinh phải xem lại về các phương pháp tính
khoảng cách.
Do việc xác định chân đường vng góc hạ từ đỉnh B xuống mặt
phẳng (SAC) là khó khăn, nên chúng ta hướng dẫn cho học sinh đi tìm
phương pháp tính khoảng cách khác mà khơng cần phải xác định chân

đường vng góc. Phương pháp đó là phương pháp vận dụng thể tích của
hình chóp. Vẫn đề đặt ra trong trường hợp này là chúng ta cần phải tính thể
tích của hình chóp và tính diện tích tam giác SAC.
Qua sự phân tích trên cho ta lời giải bài tốn như sau:


23
Gọi M là trung điểm của
BC. Vì các tam giác SBC, ABC là

tam

giác

đều

SM  BC,AM  BC .

S

nên
Từ

đó

SMA là góc phẳng của góc nhị diện
đã cho và bằng 600
a 3
Ta có SM  AM 
nên

2

tam giác

SAM

A

C
H
M

là tam giác đều.

Gọi H là trung điểm cạnh

B

AM  SH  AM mà BC  SH

nên SH
là đường cao của khối chóp, nhưng SH cũng là đường cao của tam
giác đều SAM nên SH 

a 3 3 3
.
 a.
2
2
4

Vậy thể tích khối chóp S.ABC là
VSABC 

1
3 3
SH.SABC 
a.
3
16

Mặt khác, tam giác SAC có
CS  CA  a,SA 

a 3
2

Suy ra diện tích của tam giác SAC là
SACS

1
SA 2
39 2
2
 SA. SC 

a.
2
4
16

Vậy khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) là:
d(B,(SAC)) 

3VSABC 3 13

a.
SACS
13


24
1.2.4.2. Mâu thuẫn giữa trực quan và trừu tượng.
Toán học càng phát triển càng trừu tượng, từ những hình ảnh cụ thể
như hạt bụi, sợi dây mỏng căng thẳng, mặt nước đứng yên tiến lên các khái
niệm là điểm, đường, mặt phẳng rồi đến các khái niệm như đi qua, nằm
trên, ở giữa, bằng nhau. Từ chỗ các khái niệm nói trên được vẽ ra trên giấy
hoặc làm mơ hình bằng các vật liệu nào đó trong khơng gian với các lập
luận logic cịn dựa khơng ít vào trực giác để nghiên cứu, tiến lên đưa toa độ
vào để dùng đại số và giải tích để nghiên cứu hình học. [29-tr129]
Giữa trực giác hình học và tư duy hình học có mối quan hệ biện
chứng: Trực giác hình học là điểm tựa, điểm xuất phát cho tư duy hình học;
Ngược lại tư duy hình học là cơ sở kiểm nghiệm đúng đắn cho trực giác
hình học. Các trực giác phán đoán kết quả và dự đoán kết quả bằng con
đường lý thuyết là hoạt động cần thiết cho việc nghiên cứu toán học.
Từ chỗ toán học phát triển nên đã tồn tại mâu thuẫn nảy sinh giữa
một bên là mô hình dạy học hoặc là các hình vẽ trên giấy và một bên là trực
giác của học sinh.
Ví dụ 1: Khi học sinh chuyển từ hình học phẳng sang hình học khơng
gian thì học sinh đã gặp mâu thuẫn khi biểu diễn hai đường thẳng chéo

nhau trong khơng gian.
Ví dụ 2: Khi chuyển đổi giữa hình học tổng hợp sang hình học giải
tích học sinh gặp phải mâu thuẫn như:
Cho hai đường thẳng d: ax + by +c = 0 và d': a'x + b'y + c' = 0
khi đó hai đường thẳng d và d' cắt nhau khi và chỉ khi
a b
với a '.b'  0

a ' b'

Học sinh chỉ nắm được cách thức, biểu thức của công thức chứ khơng nắm
được thực chất của hình học.
1.2.4.3. Mâu thuẫn giữa nội dung và hình thức


25
Từ một nội dung có thể diễn tả dưới nhiều hình thức khác nhau, như
vậy khi đi tìm một hình thức diễn tả cho một nội dung, tư duy con người
luôn luôn bị nội dung chi phối, coi nội dung là kim chỉ nam cho việc tìm
tịi. [29-tr84]
Nhưng hình thức ảnh hưởng trở lại nội dung. Mỗi hình thức mang lại
cho việc nghiên cứu nội dung những thuận lợi, khó khăn khác nhau.
Ví dụ: Để nghiên cứu hình học Ơclit ta có thể dùng phương pháp
tổng hợp hoặc phương pháp giải tích. Phương pháp tổng hợp có cái hay là
huy động được nhiều trí tưởng tượng khơng gian và chính cái trí tưởng
tượng đó giúp ta tìm được các mắt xích logic nối giả thiết và kết luận, đưa
đến nhứng lời giải hay, gọn đẹp [29-tr85]. Nhưng phương pháp tổng hợp có
cái dở là mối bài tốn lại địi hỏi một sự sáng tạo riêng nhờ vào trực giác
mà tìm ra. Bên cạnh đó phương pháp giải tích lại cho ta lời giải tổng quát
của nhiều trường hợp, nhưng trái lại thì phương pháp giải tích lại có cái

nhược là lời giải thường dài dịng. Phương pháp giải tích cịn cho phép
chuyển từ không gian hai chiều lên không gian ba chiều một cách dễ dàng
bằng cách thêm vào biểu thức một toạ độ thứ ba là cao độ, trong lúc đó với
phương pháp tổng hợp thì việc chuyển từ không gian hai chiều lên không
gian ba chiều là một điều rất khó khăn đối với học sinh.
Hình thức có thể che lấp nội dung; khi đó có mâu thuẫn giữa hình
thức và nội dung: chính mâu thuẫn này kích thích việc tìm tịi tri thức mới.
[29-tr91]
Ví dụ 1: Trong tam giác ABC thì đường trung bình và đường trung
tuyến nếu nhìn sơ qua thì khơng có gì liên quan nhau, nhưng nếu ta nhìn
tam giác ABC dưới góc độ là một tứ giác có hai đỉnh trùng nhau thì hai
đường này thực chất là một.
Ví dụ 2: Lập phương trình hình chiếu vng góc của đường thẳng 
lên mặt phẳng

(P)

biết  :

x 1 y  3 z


, (P) : x  y  4z  0 và
2
2
1