Chuẩn logarit và ứng dụng để nghiên cứu tính ổn định của hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên ito

1

Mục lục

Mở đầu.......................................................................................2
Chương 1. Một số kiến thức cơ bản về lý thuyết ổn
định của hệ phương trình vi phân........................................4
1.1. Các khái niệm cơ bản về tính ổn định của hệ
phương trình vi phân ..................................................................4
1.2. Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính ....6
1.3. Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính
thuần nhất ...................................................................................9
1.4. Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến
tính thuần nhất với hệ số hằng số ..............................................10
1.5. Tính ổn định theo phương pháp hàm Liapunov ..............11
1.6. Tính ổn định của hệ vi phân ngẫu nhiên .........................14
Chương 2. Chuẩn logarit và ứng dụng để nghiên cứu
tính ổn định của hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên
Ito ...............................................................................................16
2.1. Một số khái niệm và tính chất cơ bản ..............................16
2.2. Phương trình vi phân của P (t) = EX(t)X(t)T ................18
2.3. Điều kiện đủ cho tính ổn định tiệm cận bình phương
trung bình của hệ phương trình vi phân khơng đưa được
về dạng Cauchy ............................................................................22
Kết luận .....................................................................................26
Tài liệu tham khảo ...................................................................27


2

MỞ ĐẦU

I. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết ổn định là một bộ phận quan trọng của lý thuyết định tính
phương trình vi phân. Nó được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực
khác nhau của khoa học kỹ thuật, kinh tế, sinh học và mơi trường...
Vì vậy lý thuyết này được phát triển mạnh mẽ theo cả hai hướng
nghiên cứu và ứng dụng.
Để nghiên cứu tính ổn định của hệ vi phân ngẫu nhiên, đa số các nhà
toán học đều sử dụng phương pháp Liapunov ngẫu nhiên. Mục đích của
luận văn này là sử dụng khái niệm chuẩn lôgarit để nghiên cứu tính ổn
định tiệm cận bình phương trung bình của hệ vi phân ngẫu nhiên I tơ
mà khơng cần giải cụ thể hệ phương trình đó.
II. Cấu trúc luận văn
Luận văn gồm có hai chương:
Chương 1. Trình bày một số kiến thức cơ bản về lý thuyết ổn
định
1.1. Các khái niệm cơ bản về tính ổn định của hệ phương trình vi
phân.
1.2. Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính.
1.3. Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất.
1.4. Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất
với hệ số hằng số.
1.5. Tính ổn định theo phương pháp hàm Liapunov.
1.6. Tính ổn định của hệ vi phân ngẫu nhiên.


3

Chương 2. Trình bày về chuẩn lơgarit và ứng dụng để nghiên
cứu tính ổn định của hệ vi phân ngẫu nhiên I tơ

2.1. Một số khái niệm và tính chất cơ bản
2.2. Phương trình vi phân của P (t) = EX(t)X(t)T .
2.3. Điều kiện đủ cho tính ổn định tiệm cận bình phương trung bình
của hệ phương trình vi phân không đưa được về dạng Cauchy
Luận văn được thực hiện tại trường Đại học Vinh và hoàn thành dưới
sự hướng dẫn trực tiếp của PGS.TS Phan Đức Thành. Tác giả xin bày
tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo về sự tận tâm nhiệt tình hướng dẫn
đã dành cho tác giả trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu.
Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Văn
Quảng, PGS.TS Trần Xuân Sinh, TS Nguyễn Trung Hồ cùng các thầy,
cơ giáo trong khoa Tốn, khoa sau Đại học và các bạn trong lớp Cao học
17 Toán đã thường xuyên quan tâm và tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ
tác giả trong quá trình học tập và hồn thành luận văn.
Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến bạn bè, người thân đã
động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho tác giả hồn thành khố
học.
Mặt dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn khơng tránh khỏi những
hạn chế, thiếu sót. Chúng tơi rất mong nhận được những ý kiến đóng
góp của các thầy, cô giáo và bạn bè để luận văn được hoàn thiện hơn.

Vinh, tháng 12 năm 2011
Tác giả

Nguyễn Thị Lê Na


4

CHƯƠNG 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT ỔN

ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Lý thuyết ổn định là một bộ phận quan trọng của lý thuyết định tính
phương trình vi phân. Nó được ứng dụng ở nhiều lĩnh vực khác nhau
nhất là trong kinh tế và khoa học kỹ thuật, trong sinh thái học và môi
trường...
Trong chương này, chúng tơi trình bày một số kiến thức cơ bản về lý
thuyết ổn định của hệ phương trình vi phân.
1.1. Các khái niệm cơ bản về tính ổn định của hệ phương trình
vi phân
Xét hệ phương trình vi phân viết dưới dạng ma trận véc tơ như sau
dX
= F (X; t)
dt

Trong đó
X = (x1 ; x2 ; . . . ; xn )T
(
)T
F (X; t) = f1 (X, t), f2 (X, t), . . . , fn (X, t)
(
)T
dX
dxn
dx1 dx2
=
,
,...,
dt
dt dt

dt
t là một biến độc lập, x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t) là các hàm cần tìm.

(1.1)


5

Các hàm fj (j = 1, 2, 3, . . . , n) xác định trong miền T = (a; ∞) × K.
K là một tập mở trong Rn . a là 1 số có thể bằng −∞, sau này, để tiện
cho cách trình bày ta viết ∞ thay cho +∞ (nếu khơng có gì nhầm lẫn).
Ta giả thiết các hàm fi (i = 1, 2, . . . , n) xác định trong miền T, liên
tục theo t và có các đạo hàm riêng cấp 1 theo các biến x1 , x2 , . . . , xn liên
tục. T là một phép chuyển vị.
1.1.1. Định nghĩa. Nghiệm X = X(t), (a < t < ∞) của hệ phương
trình vi phân (1.1) được gọi là ổn định theo Liapunov khi t → ∞ (gọi tắt
là ổn định) nếu với mọi ε > 0 và t0 ∈ (a; +∞) tồn tại δ = δ(ϵ; t0 ) > 0
sao cho nếu tất cả các nghiệm Y (t) của hệ (1.1) thoả mãn điều kiện
||Y (t0 ) − X(t0 )|| < δ

(1.2)

thì
||Y (t) − X(t)|| < ε, ∀t

t0 .

(1.3)

Nói cách khác nghiệm X(t) ổn định theo Liapunov nếu các nghiệm

Y (t) khá gần với nó ở thời điểm ban đầu t0 bất kỳ sẽ hoàn toàn nằm
trong ống ε nhỏ tuỳ ý được dựng quanh nghiệm X(t), với mọi t

0.

1.1.2. Định nghĩa. Nghiệm X(t), (a < t < ∞) của hệ phương trình vi
phân (1.1) được gọi là ổn định đều nếu với mọi ε > 0 tồn tại δ = δ(ε) > 0
sao cho tất cả các nghiệm Y (t) của (1.1) thoả mãn
||X(t0 ) − Y (t0 )|| < δ
Kéo theo
||X(t) − Y (t)|| < ε
với bất kỳ t0 ∈ (a; ∞).
1.1.3. Định nghĩa. Nghiệm X(t), (a < t < ∞) của hệ phương trình vi
phân (1.1) được gọi là ổn định tiệm cận khi t → ∞ nếu


6

i) Nó ổn định theo Liapunov.
ii) Với mọi to ∈ (a; ∞) tồn tại △ = △(t0 ) > 0 sao cho mọi nghiệm
Y (t), (t0

t < ∞) thoả mãn điều kiện ||Y (t0 ) − X(t0 )|| < △ sẽ có tính

chất
lim ||Y (t) − X(t)|| = 0.

(1.4)

t→∞

Như vậy ổn định tiệm cận là "ổn định có tải" tức là ổn định kèm theo
điều kiện. Đặc biệt nghiệm tầm thường X(t) ≡ 0 ổn định tiệm cận nếu
nó ổn định và lim Y (t) = 0 khi ||Y (t0 )|| < △.
t→∞

1.1.4. Định nghĩa. Giả sử hệ phương trình vi phân (1.1) xác định trong
nửa không gian Ω = {Y : ||Y || < ∞} × (a < t < ∞), nghiệm X(t)
(a < t < ∞) ổn định tiệm cận toàn cục nếu nghiệm X(t) ổn định tiệm
cận khi t → ∞ và tất cả các nghiệm Y (t)(t0

t < ∞; t0 > a) đều có

tính chất (1.4), tức là △ = ∞ thì X(t) được gọi là ổn định tiệm cận tồn
cục.
1.2. Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính.
Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính viết dưới dạng ma trận véc
tơ như sau
dX
= A(t)X + G(t).
dt

(1.5)

Trong đó, ma trận A(t) và hàm véc tơ G(t) liên tục trong khoảng
(a; ∞). Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng là
dX
= A(t)X.
(1.6)
dt

1.2.1 Định nghĩa. Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.6) được gọi là
ổn định (hoặc không ổn định) theo Liapunov nếu tất cả các nghiệm của
nó tương ứng ổn định (hoặc không ổn định) theo Liapunov khi t → ∞.


7

1.2.2 Định nghĩa. i) Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.6) được gọi
là ổn định tiệm cận nếu mọi nghiệm của nó ổn định tiệm cận khi t → ∞.
ii) Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.5) được gọi là ổn định đều nếu
mọi nghiệm của nó ổn định đều khi t → ∞.

1.2.3 Định lý. Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.5) ổn định khi và
chỉ khi nghiệm tầm thường của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần
nhất tương ứng (1.6) ổn định theo Liapunov.
Chứng minh. i) Điều kiện cần: Giả sử Z = Z(t)(t0 < t < ∞) là một
nghiệm ổn định nào đó của hệ vi phân tuyến tính khơng thuần nhất
(1.5). Điều đó có nghĩa mỗi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho với nghiệm bất
kỳ X = X(t) của (1.5) khi t0 < t < ∞.
Ta có bất đẳng thức:
||X(t) − Z(t)|| < ε

(1.7)

||X(t0 ) − Z(to )|| < δ

(1.8)

Khi

Nhưng
X1 (t) = X(t) − Z(t)
là một nghiệm của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.6).
Ngược lại, một nghiệm bất kỳ X1 (t) có thể biểu diễn dưới dạng
X1 (t) = X(t) − Z(t)
Như vậy các bất đẳng thức (1.7) và (1.8) tương đương với bất đẳng
thức sau
||X1 (t)|| < ε


8

khi t0

t < ∞ nếu ||X1 (t)|| < δ.

Từ đó suy ra rằng, nghiệm tầm thường X1 (t) ≡ 0 của hệ vi phân tuyến
tính tương ứng (1.6) ổn định theo Liapunov khi t → ∞.
ii) Điều kiện đủ: Giả sử nghiệm tầm thường X1 (t) ≡ 0 của hệ vi phân
tuyến tính tương ứng (1.6) ổn định theo Liapunov khi t → ∞. Khi đó,
nếu X1 = X1 (t), (t0

t < ∞) là một nghiệm bất kỳ của hệ vi phân

tuyến tính thuần nhất sao cho
||X1 (t0 )|| < δ(ε; t0 )
Thì ||X1 (t)|| < ε khi t0

t < ∞. Như vậy nếu Z(t) là một nghiệm nào

đó của hệ vi phân tuyến tính khơng thuần nhất (1.5) và X(t) là một
nghiệm bất kỳ của hệ đó thì từ bất đẳng thức: ||X(t0 ) − Z(t0 )|| < δ
Suy ra bất đẳng thức ||X(t) − Z(t)|| < ε khi t0

t < ∞.

Điều đó có nghĩa là nghiệm Z(t) ổn định khi t → ∞. Định lý được chứng
minh.
1.2.4. Định lý. i) Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.5) ổn định tiệm
cận khi và chỉ khi nghiệm tầm thường của hệ phương trình vi phân tuyến
tính thuần nhất tương ứng (1.6) ổn định tiệm cận khi t → ∞.
Định lý này được chứng minh trực tiếp suy ra từ khẳng định rằng
hiệu giữa hai nghiệm của hệ vi phân tuyến tính khơng thuần nhất là một
nghiệm của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng ( đẳng thức
(1.9)).
ii) Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.6) ổn định đều khi và chỉ khi
nghiệm tầm thường của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất
tương ứng (1.6) ổn định đều khi t → ∞.


9

1.3. Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần
nhất.
1.3.1. Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính
thuần nhất.
Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất
dX
= A(t)X
dt

(1.10)

Trong đó A(t) liên tục trong khoảng (a, ∞), X(t) là các hàm cần tìm.
Định lý sau cho ta thấy rằng tính ổn định của hệ (1.10) tương đương với
tính giới nội của tất cả các nghiệm của nó.
1.3.2. Định lý. Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất (1.10)
ổn định theo Liapunov khi và chỉ khi mọi nghiệm X(t)(t0
hệ đều bị chặn trên nửa trục t0

t < ∞) của

t < ∞.

Chứng minh. i) Điều kiện đủ: Giả sử nghiệm bất kỳ của (1.10) là giới
nội trên [t0 , ∞) ⊂ (a, ∞). Xét ma trận nghiệm cơ bản chuẩn hoá
[
]
Y (t) = yjk (t)
Trong đó Y (t0 ) = E. Vì ma trận Y (t) bao gồm các hàm giới nội yjk (t)
nên nó giới nội.
Tức là ||Y (t)||

M với t0

t < ∞. Với M là một hằng số dương, nói

chung khơng phụ thuộc vào t0 .
Vì mỗi nghiệm X = X(t) của hệ (1.10) đều có thể biểu diễn dưới dạng:
X(t) = Y (t).X(t0 ).

Từ đó ta có
||X(t)||
Khi ||X(t0 )||

ε
M

||Y (t)||.||X(t0 )||

M.||X(t0 )|| < ε

= δ.

Như vậy nghiệm tầm thường X0 ≡ 0 và do đó theo định lý 1.2.3 nghiệm


10

bất kỳ của hệ (1.10) ổn định theo Liapunov khi t → +∞.
Như vậy, hệ (1.10) ổn định.
ii) Điều kiện cần: Giả sử hệ (1.10) có một nghiệm khơng giới nội trên
[t0 , ∞) là Z(t), ở đây Z(t0 ) ̸= 0, cố định hai số dương ε > 0 và δ > 0.
Xét nghiệm X(t) =
Rõ ràng ||X(t0 )|| =

Z(t)
||Z(t0 )||
δ
2 < δ.

· 2δ .

Và do tính khơng giới nội của Z(t) đối với một thời điểm t1 > t0 nào đó
ta có
||X(t1 )|| =

||Z(t1 )|| δ
· > ε.
||Z(t0 )|| 2

Như vậy, nghiệm tầm thường X ≡ 0 của hệ (1.10) không ổn định theo
Liapunov khi t → +∞. Do đó, theo định lý (1.2.1) hệ (1.10) cũng khơng
ổn định.
Hệ quả: Nếu hệ vi phân tuyến tính khơng thuần nhất ổn định thì tất
cả các nghiệm của nó hoặc giới nội hoặc không giới nội khi t → +∞.
1.3.3. Định lý. Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất ổn định
tiệm cận khi và chỉ khi tất cả các nghiệm của nó dần tới 0 khi t → ∞.
1.4. Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần
nhất với hệ số hằng số
Xét hệ vi phân tuyến tính thuần nhất:
dX
= AX
dt

(1.11)

Trong đó ma trận hệ số A = [aij ] là ma trận hằng vuông cấp n. Với các
phần tử aij là hằng số.
1.4.1. Định nghĩa. Ma trận vuông A được gọi là ma trận ổn định (hay
ma trận Hurwitz) nếu tất cả các giá trị riêng của nó đều có phần thực

âm.


11

1.4.2. Định lý. Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất với hệ số
hằng (1.11) ổn định theo Liapunov khi và chỉ khi tất cả các giá trị riêng
λj của ma trận A đều có phần thực khơng dương (tức là Reλj (A)
0, j = 1, n).
1.4.3. Định lý. Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất với hệ số
hằng (1.11) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi tất cả các nghiệm đặc trưng
λj = λj (A) của A đều có phần thực âm (tức là Reλj (A) < 0; j = 1, n).
1.5. Tính ổn định theo phương pháp hàm Liapunov
1.5.1. Một số khái niệm
Trong mục này ta xét hàm V = V (t; X) liên tục theo biến t và theo từng
biến x1 , x2 , . . . , xn trong miền Z0 , trong đó
Z0 = {(t, X)|a < t < +∞, X(x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn , ||X|| < h}
.
1.5.2. Định nghĩa. Hàm thực V (X) được gọi là xác định dương trên
Vh = {X| ||X||

h} nếu

1) V (0) = 0.
2) V (X) > 0 với mọi X thuộc Vh ; ||X|| =
̸ 0.
1.5.3. Định nghĩa. Hàm V (t, X) được gọi là xác định dương theo nghĩa
Liapunov (hay hàm Liapunov) nếu thoả mãn các điều kiện
i) V(t;0)=0.
ii) Tồn tại hàm W (X) xác định dương theo định nghĩa (1.6.2) sao cho

V (t; X)

W (X) với mọi X ∈ Vh1 (h1

h).

1.5.4. Định nghĩa. Hàm V (t; X) có giới hạn vơ cùng bé bậc cao khi
X → 0 nếu ∀ε > 0, tồn tại δ = δ(ε) > 0 sao cho
|V (t, X)| < ε
khi ||X|| < δ và t ∈ [t0 ; +∞].
1.5.5. Định lý. (Quy tắc vi phân Ito) Cho x = x(t) là một quá trình


12

ngẫu nhiên có vi phân ngẫu nhiên dxt = A(t, xt )dt + B(t, xt )dw(t)
yt = g(t, xt ) là hàm khả vi liên tục đến cấp hai theo biến x, khi đó q
trình ngẫu nhiên yt = g(t; xt ) có vi phân I tơ tính theo cơng thức sau
dyt =

∂g
∂g
1∂ 2 g 2
dt +
dxt +
B dt
∂t
∂x
2∂x2

1.5.6. Vi phân I tô của hàm Liapunov
a)Xét hệ vi phân tuyến tính
dx
= Ax
dt
Trong đó A ∈ Rn×n là ma trận hằng, x ∈ Rn .
Ta xây dựng hàm Liapunov của hệ như sau
V = xT Hx
Trong đó, H = H T là ma trận đối xứng dương, xT là ma trận chuyển
vị của x.
Khi đó, vi phân của hàm Liapunov là
(
) (
)
dx
dV
dx
=
, Hx + x, H
dt
dt
dt
= (Ax, Hx) + (x, HAx)
(
)
= x, AT Hx + (x, HAx)
( (
) )
= x, AT H + HAx x
(

)
= xT AT H + HA x
b)Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính ngẫu nhiên

(
)
dx = Axdt + Bxdw(t) = Adt + Bdw(t) x
Trong đó, A, B thuộc Rn×n là các ma trận hằng.
Ta xây dựng hàm Liapunov V = xT Hx.


13

Theo cơng thức vi phân I tơ ta có
(
)
dV = d xT Hx
= dxT Hx + xT Hdx + (Bx)T HBxdt
(
)
= xT AT dt + xT B T dw(t) Hx + xT (HAxdt + HBxdw(t)) + xT B T HBxdt
(
)
(
)
= xT AT H + HA + B T HB xdt + xT B T H + HB xdw(t)
Do W (t) là quá trình Wierer nên Edw(t) = 0
(
)
Ta suy ra E(dv) = xT AT H + HA + B T HB xdt

1.5.7. Phương pháp hàm Liapunov
Xét hệ phương trình:
dX
= F (t; X)
dt

(1.12)

Giả sử F (t; X) thoả mãn điều kiện Lipschitz đối với x trong miền:
Ω(h; t) = {||X||

h} × {t

t0 }

Và F (t; 0) = 0 với mọi t. Rõ ràng hệ có nghiệm X ≡ 0.
1.5.8. Định nghĩa. Giả sử hàm V = V (t; X) khả vi, liên tục theo các
biến t, x1 , x2 , . . . , xn trong miền Ω. Khi đó hàm

∑ ∂V
V (t; X) ∂V
=
+
fj (t; X)
dt
∂t
∂t
n

j=1

Được gọi là đạo hàm theo t của hàm V (t; X) trong nghĩa của hệ

dX
dt

=

F (t; X).
1.5.9. Định lý. i) (Định lý thứ nhất Liapunov) Nếu đối với hệ quy đổi
(1.16) tồn tại một hàm xác định dương
(1,1)

V (t; X) ∈ CtX (T0 ) (T0 ⊂ T )


14

có đạo hàm dấu dương V (t; X) theo t trong nghĩa của hệ thì nghiệm tầm
thường X ≡ 0, (a < t < ∞) của hệ đã cho ổn định theo Liapunov khi
t → +∞.
ii) (Định lý thứ hai Liapunov) Giả sử đối với hệ quy đổi (1.16) tồn tại
(1,1)

một hàm xác định dương v(t; X) ∈ CtX (T0 ) có giới hạn vơ cùng bé bậc
cao khi X → 0 và có đạo hàm theo t xác định âm v(t; X) trong nghĩa
của hệ đó. Khi đó nghiệm tầm thường X ≡ 0 của hệ ổ định tiệm cận khi
t → +∞.
1.6. Tính ổn định của hệ vi phân ngẫu nhiên

dx(t) = A(x)(t)dt + Bx(t)dW (t)
A, B ∈ Rn×n , x(t) ∈ Rn

(1.13)

W (t): Q trình Wiener.
Nhận xét. x(t) ≡ 0 là nghiệm của (1.13).
1.6.1. Định nghĩa. Nghiệm x ≡ 0 là nghiệm của (1.13) ổn định với xác

{

suất 1 nếu:

}
sup ||x(t)||

lim P

T →∞

ε

=0

T +t0
1.6.2. Định nghĩa. Nghiệm x ≡ 0(1.13) ổn định tiệm cận với xác suất
1 nếu
i) x ≡ 0 ổn định xác suất 1.
ii) lim P {x(t) → 0} = 1.

t→+∞

1.6.3. Định lý Ghicman. Nếu tồn tại hàm xác định dương Liapunov
V (t, x) sao cho V (t, 0) = 0 sao cho kỳ vọng của đạo hàm toàn phần theo
thời gian lấy dọc theo các nghiệm của hệ (1.13) là âm thì nghiệm x ≡ 0
của hệ (1.13) ổn định tiệm cận với xác suất 1.


15

1.6.4. Định lý. Nếu tồn tại H = H T > 0 sao cho AT H +HA+B T HB =
−G
(G = GT > 0 tuỳ ý) thì nghiệm x ≡ 0 ổn định tiệm cận với xác suất 1.
1.6.5. Định lý. Giả sử A là ma trận Hurwitz.
(
)
B là ma trận không suy biến B T B > 0, det B ̸= 0
H − E là ma trận xác định âm.
Nếu tồn tại H = H T > 0 sao cho AT H +HA = −B T B thì nghiệm x ≡ 0
ổn định tiệm cận với xác suất 1.
1.6.6. Bổ đề. Ma trận H − E xác định âm ⇔ λj (H) < 0, ∀j.


16

CHƯƠNG 2
CHUẨN LOGARIT VÀ ỨNG DỤNG ĐỂ NGHIÊN CỨU
TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
NGẪU NHIÊN I TƠ

Trong chương này, chúng tơi trình bày các các tính chất của chuẩn logarit
và điều kiện đủ cho tính ổn định tiệm cận bình phương trung bình của
hệ phương trình vi phân không đưa được về dạng Cauchy.
2.1. Một số khái niệm và tính chất cơ bản
Xét hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên I tơ tuyến tính đưa được về
dạng Cauchy

{
(I)

dX = AXdt + BXdW (t)
X(0) = X0

với A, B ∈ Rn×n , x ∈ Rn , t ∈ [0; +∞)
2.1.1. Định nghĩa. Nghiệm X(t)≡0 của hệ phương trình (I) được gọi
là ổn định tiệm cận bình phương trung bình nếu thoả mãn hai điều kiện
sau
i) ∀ε > 0, ∃δ > 0 : E||X(t)||2 < ε với mọi t

0 khi ||X0 ||2 < δ.

ii) ∃δ0 > 0 : lim E||X(t)||2 = 0; ||X0 ||2 < δ0
Với ||x|| là chuẩn ơclit của véc tơ x ∈ Rn .
2.1.2. Định nghĩa. Tương ứng với chuẩn của các véc tơ trong l1 ; l2 ;
l∞ và trên Rn ta định nghĩa chuẩn của ma trận vng A = (aij )n×n bởi
cơng thức sau

{

i) ||A||1 = max

j

n
∑
i=1

}
|aij |

(2.1)


17

{
ii) ||A||∞ = max
i

n
∑

}
|aij |

(2.2)

j=1

{
}

1
T
iii) ||A||2 = max λj (A A) 2
j

2.1.3. Định nghĩa. Chuẩn logarit của ma trận A = (aij )n×n được xác
định bởi cơng thức
||I + hA||l − 1
h
h→0

µl [A] = lim

(

(l = 1; 2; ∞)

(2.3)

Khái niệm chuẩn logarit của ma trận A do nhà toán học Nga S.M

Lozinski đưa ra do µp [A] có tính chất sau:
−µ[−A]

ln||eA ||

)
µ[A]

2.1.4. Mệnh đề. Chuẩn logarit của ma trận được xác định bởi cơng thức

(2.3) có các tính chất sau:
i) µl [cA] = cµl [A]∀c

0

ii) µl [A + B] = µl [A] + µl [B]
iii) µl [A + cI] = µl [A] + c
iv) −||A||l

−µl [−A]

Reλ[A]

µl [A]

||A||

2.1.5. Mệnh đề. Chuẩn logarit của ma trận A = (aij )n×n tương ứng
với các chuẩn ma trận của nó được xác định bởi cơng thức sau
{
}
n
∑
|aij |
a) µ1 [A] = max ajj +
j
i=1,i̸=j
{
}
n

∑
|aij |
(2.4)
b) µ∞ [A] = max aii +
i
j=1,j̸=i
}
{
A+AT
c) µ2 [A] = max λj ( 2 ) Chú ý rằng µp [A] khơng phải là chuẩn
j

vì nó có thể lấy giá trị âm. Tuy nhiên ta có
µp [A] + µp [−A]

0; µp [0] = 0


18

2.2. Phương trình vi phân của P (t) = EX(t)X(t)T .
Xét hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên I Tơ hai chiều
{
dX(t) = AX(t)dt + BX(t)dW (t)
X(0) = 0
Trong đó

[
A=

[
B=

λ1 0
0 λ2
α1 β1
β2 α2

]
]

Đặt P (t) = EX(t)X(t)T
2.2.1 Mệnh đề. Phương trình vi phân của P (t) thoả mãn phương trình
ma trận
dP
= AP + P AT + BP B T
dt
P (0) = EX0 X0T

(2.5)

Chứng minh. Ta viết lại phương trình (2.5) dưới dạng
dX = (Adt + BdW )X
Từ đó
dX T = X T (AT dt + B T dW )
Ta có
dXX T = XdX T + dXX T + (BX)(BX)T dt
= XX T (AT dt + B T dW ) + (Adt + BdW )XX T + BXX T B T dt
⇒ dEXX T = (EXX T AT + AEXX T + BEXX T B T )dt
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

2.2.2 Định nghĩa. Nghiệm X(t) ≡ 0 của hệ phương trình (2.5) được
gọi là ổn định tiệm cận bình phương trung bình nếu thoả mãn điều kiện


19

a) ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho ||X0 || < δ ta có E(||X(t)||2 ) < ε với ∀t

0.

b) ∃δ0 sao cho ||X0 || < δ0 ta có
lim E(||X(t)||2 ) = 0

t→∞

Trong đó: ||x|| là chuẩn Euclid của véc tơ x ∈ R2 .
Bây giờ ta sẽ thiết lập phương trình của P (t) = EX(t)X(t)T dưới dạng
gọn hơn để có thể vận dụng chuẩn loga µp vào việc nghiên cứu tính ổn
định tiệm cận của phương trình vi phân ngẫu nhiên đã cho (2.5) dạng
gọn hơn mà ta cần là phương trình tuyến tính thuần nhất.
2.2.3 Mệnh đề. Phương trình ma trận (2.6) có thể viết dưới dạng
dY
= MY
dt
Trong đó

(
)
Y (t) = Y 1 (t), Y 2 (t), Y 3 (t)
(

)2
Y 1 (t) = E X 1 (t) = p11
(
)2
Y 2 (t) = E X 2 (t) = p22
Y 3 (t) = EX 1 (t)X 2 (t) = p12
Từ các tính chất của chuẩn logarit ta có:
2.2.4 Mệnh đề. Hệ vi phân tuyến tính (2.5) với điều kiện ban đầu đơn
vị ổn định tiệm cận liên quan đến chuẩn loga µp nếu và chỉ nếu
µp (M ) < 0
Để nghiên cứu tính ổn định tiệm cận của hệ vi phân tuyến tính (2.5)
liên quan đến chuẩn loga µ∞ ta cần tìm ma trận M.

[

Gọi
P =

p11 p12
p21 p22

]


20

Do tính đối xứng của ma trận P nên phương trình ma trận (2.6) có dạng
[ ·
]
·

p11 p12
dP
= ·
·
dt
p12 p22
[
][
] [
][
]
λ1 0
p11 p12
p11 p12
λ1 0
= 0 λ
p12 p22 + p12 p22
0 λ2 +
2
[
][
][
]
α1 β 1
p11 p12
α1 β2
+ β α
p12 p22
β1 α2
2

2
[
]
2λ1 p11
(λ1 + λ2 )p12
= (λ + λ )p
+
2λ2 p22
1
2 12
[
α (α p + β p ) + β (α p + β p ) β (α p + β p + α (α p + β p )
+ α1 (β 1p 11 + α1 p12 ) + β1 (β 1p 12 + α1 p22 ) β 2(β 1p 11+ α 1p 12) + α2 (β1 p12 + α1 p22 )
1 2 11
2 12
1 2 12
2 22
2 2 11
2 12
2 2 12
2 22
[
]
(2λ1 + α12 )p11
β12 p22
2α1 β1 p12
2
2
=
β2 p11

(2λ2 + α2 )p22
2α2 β2 p12
α1 β2 p11
α2 β1 p22
(λ1 + λ2 + α1 α2 + β1 β2 )p12
Từ đó ta thấy ma trận liên quan đến chuẩn loga µ∞ có dạng:
[
]
2λ1 + α12
β12
2α1 β1
=
β22
2λ2 + α22
2α2 β2
α1 β2
α2 β1
λ1 + λ2 + α1 α2 + β1 β2
2.2.5 Định lý. Hệ vi phân (2.5) ổn định liên quan đến chuẩn loga µ∞
nếu

{
}
max 2λ1 + (|α1 | + |β1 |)2 ; 2λ2 + (|α2 | + |β2 |)2 < 0

Chứng minh. Suy ra từ nhận xét sau đây: Tổng các số hạng của hàng
cuối cùng của ma trận M là
λ1 + λ2 + α1 α2 + β1 β2 + |α1 β2 | + |α2 β1 |
λ1 + λ2 + |α1 α2 | + |β1 β2 | + |α1 β2 | + |α2 β1 |
λ1 + λ2 + (|α1 | + |β1 |)(|α2 | + |β2 |)

2λ1 + (|α1 | + |β1 |)2 2λ2 + (|α2 | + |β2 |)2
+
2
2
Vậy nên

{
}
max 2λ1 + (|α1 | + |β1 |)2 ; 2λ2 + (|α2 | + |β2 |)2 < 0


21

Ta suy ra
{
max |2λ1 + α12 | + β12 + 2α1 β1 ; β22 + |2λ2 + α22 | + 2α2 β2 ;
α1 β2 + α2 β1 + |λ1 + λ2 + α1 α2 + β1 β2 | < 0
Do đó µ∞ (M ) < 0
Theo mệnh đề (2.2.4) hệ (2.5) ổn định tiệm cận.
Định lý được chứng minh.
2.2.6 Hệ quả. Trong trường hợp
B=

trong đó

[

0 β
β 0

]




2λ1 β 2
0

M =  β 2 2λ2
0
2
0
0 λ1 + λ2 + β

khi đó hệ (2.4) ổn định bình phương trung bình theo chuẩn loga µ∞ nếu

{
}
max 2λ1 + β 2 , 2λ2 + β 2 < 0
2.2.7 Hệ quả. Trong trường hợp:
[
]
α β
B= β α
trong đó


2λ1 + α2
β2
2αβ


M =
β2
2λ2 + α2
2αβ
αβ
αβ
λ1 + λ2 + α2 + β 2


Khi đó hệ (2.4) ổn định bình phương trung bình theo chuẩn loga µ∞
nếu

{
}
max 2λ1 + (|α| + |β|)2 ; 2λ2 + (|α| + |β|)2 < 0


22

2.3. Điều kiện đủ cho tính ổn định tiệm cận bình phương trung
bình của hệ phương trình vi phân khơng đưa được về dạng
Cauchy.
Xét hệ phương trình vi phân khơng đưa được về dạng Cauchy có dạng

{

sau
(II)

DdX = AXdt + BXdW (t)
X(0) = X0

Với A, B, D ∈ Rn×n , x ∈ Rn , t

0

Đặt P (t) = EX(t)X T (t) là ma trận moment bậc hai của nghiệm X(t)
trong đó X(t) là nghiệm của hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên I Tơ
tuyến tính (II). Khi đó ta có kết quả
2.3.1 Định lý. Các moment bậc hai của nghiệm X(t) của hệ phương
trình (II) thoả mãn phương trình ma trận sau
{
.
D P DT = DP AT + AP DT + BP B T
P (0) = EX0 X0T

(2.6)

Chứng minh. Từ (II) suy ra
dX = D−1 (Adt + BdW (t))X
⇒ dX T = X T (AT dt + B T dW (t))(D−1 )T
Mặt khác, theo công thức vi phân I Tô ta có
dXX T = (dX)X T + XdX T + (D−1 BX)(D−1 BX)T dt
(
)
(
)
= D−1 Adt + BdW (t) XX T + XX T AT dt + B T dW (t) (D−1 )T
+ D−1 BXX T B T (D−1 )T dt

⇒ dEXX T = [D−1 AEXX T + EXX T AT (D−1 )T + D−1 BEXX T B T (D−1 )−1 ]dt
(
)T
⇒ dP = [D−1 AP + P AT D−1 + D−1 BP B T (D−1 )−1 ]dt
.

⇒ D P DT = AP DT + DP AT + BP B T


23

Vậy định lý hoàn toàn được chứng minh.
Bây giờ ta xét hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên I Tơ tuyến tính hai
chiều khơng đưa được về dạng Cauchy
{
DdX = AXdt + BXdW (t)
(III)
X(0) = X0
Với các ma trận hệ số là

[
A=

[
B=

[
D=

λ1 0

0 λ2
α1 β1
β2 α2
v1 0
0 v2

]
]
]

>0 Bằng cách thay trực tiếp vào hệ phương trình (2.7) ta có phương
trình các moment của nghiệm của hệ phương trình (III) là
.

D Y = MY
Trong đó

[
D=

[
M=

v12 0
0
0 v 1 v2 0
0
0 v22

(2.7)

]

α12 + 2λ1 v1
2α1 β1
β12
α1 β2
α1 α2 + β1 β2 + λ1 v2 + λ2 v1
α2 β1
2
2
2α2 β2
α2 + 2λ2 v2
β2
]
[
p11
Y = p12
p22

]

Từ mệnh đề (2.4) ta có bổ đề sau
2.3.2 Bổ đề. Hệ phương trình (2.8) ổn định tiệm cận theo chuẩn loga
µl , l = 1; 2; ∞ nếu µl (D

−1

M ) < 0.

24

2.3.3 Định lý. Hệ phương trình (III) ổn định bình phương trung bình
theo chuẩn loga µ∞ nếu điều kiện sau được thoả mãn:
{
}
max (|β1 | + |α1 |)2 + 2λ1 v1 ; (|β2 | + |α2 |)2 + 2λ2 v2 < 0
Chứng minh. Từ (2.8) ta có
 2
D

−1


M =


α1 +2λ1 v1
v12
α1 β2
v1 v2
β22
v22

2α1 β1
v12
α1 α2 +β1 β2 +λ1 v2 +λ2 v1
v1 v2
2α2 β2

v22

β12
v12
α2 β1
v1 v2
α22 +2λ2 v2
v22






Ta có
|α1 β2 | + α1 α2 + β1 β2 + λ1 v2 + λ2 v1 + |α2 β1 |
v1 v2)
(
)(
|β1 | + |α1 | |β2 | + |α2 | + λ1 v1 + λ2 v2
v1 v2
}
{
1 (|β1 | + |α1 |)2 + 2λ1 v1 (|β2 | + |α2 |)2 + 2λ2 v2
+
2
v12
v22
Do đó từ điều kiện
}

{
max (|β1 | + |α1 |)2 + 2λ1 v1 ; (|β2 | + |α2 |)2 + 2λ2 v2 < 0
Ta suy ra
max

{

(|β1 | + |α1 |)2 + 2λ1 v1 (|β2 | + |α2 |)2 + 2λ2 v2
;
v12
v22

}
<0

Dẫn đến

{ (|β1 | + |α1 |)2 + 2λ1 v1 |α1 β2 | + α1 α2 + β1 β2 + λ1 v2 + λ2 v1 + |α2 β1 |
;
max
;
v1 v2
v12
(|β2 | + |α2 |)2 + 2λ2 v2 }
<0
v22
Vậy nên
µ∞ (D

−1

M) < 0


25

Từ đó theo bổ đề (2.3.2) hệ phương trình (2.8) ổn định tiệm cận. Suy ra
hệ phương trình (III) ổn định tiệm cận.
Định lý được chứng minh.