Bat dang thuc 1

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Đáp án Ngày 1. July 31, 2015. Câu 1: Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:. 1. P. 2. 2. . 2. a  b  c 1. 2  a  1 b  1 c  1. Hướng đi: Vì a, b, c có vai trò như nhau nên ta đoán a  b  c . Khi đó:. P. 1 3a 2  1. . 2.  a  1.  f a. 3. f 'a . 3a. 3a 2  1 3a 2  1. . 6.  a  1. 4.  0.. Đến đây ta không cần giải nghiệm của đạo hàm mà dùng chức năng SOLVE của máy tính để tìm được nghiệm là a  1 . Vậy ta dự đoán a  b  c  1 . 2. 2. 2. . 2. Giải: Ta có: a  b  c  1  a  b. 2.   c. Áp dụng Cauchy ba số:  a  1 b  1 c  1. 2.  1.  a  b . 2. 2.  a  b  c  3 .  c  1  2. 3. 27. 2. . 1 2  a  b  c  1 4.  x  y  z ( Ta áp dụng xyz  27. 3. , để nhớ số. 1 thì các em chỉ cần cho x  y  z  1 , từ đây thay x  a  1; y  b  1; z  c  1 thì sẽ có được BĐT như 27 trên). P. 2 54  a  b  c  1  a  b  c  3 3. Đặt t  a  b  c  3, t  3  P . f ' t  . 2. t  2. 2. . 2 54  3  f t  t2 t. 162 2  0  t 4  81 t  2  4 t.  t  3   0   t 2  9t  18  t 2  9t  18   0  t  6  t  9  3 17  2. Mà t  3  t  6 Vẽ bảng biến thiên thì ta thấy P  f  6  . 1 khi a  b  c  1 4. Đối với những em 11 không dùng đạo hàm thì ta làm như sau: 1. Chiến thắng bản thân!.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Đáp án Ngày 1. July 31, 2015. 2.  t  6   t 2  2t  12  2 54 1    0 Ta chỉ cần chứng minh f  t   t  2 t3 4 4t 3  t  2 . 1. Vì t  3  t 2  2t  12  32  2.3  12  3  0. 1 khi a  b  c  1 4. Vậy (1) luôn đúng. Từ đó P . Câu 2: Cho các số dương a; b; c . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:. 1. P 3. 2  a3  b3  c3  1. . 2  a  1 b  1 c  1. Hướng đi: Nhìn vào biểu thức của P ta thấy a, b, c có vai trò như nhau nên ta dự đoán a  b  c. 1. Khi đó P . 2  3a3  1. 3. f ' a . . 2.  a  1. 3a 2.  3a. 3.  1 2  3a  1 3. 3. . 3.  f a. 6.  a  1. 4.  0 . Đến đây ta dùng máy tính SOLVE thì thấy a  1 là nghiệm. của phương trình trên. Vì vậy ta dự đoán a  b  c  1 Giải: Trước tiên ta cần chứng minh 3. a b. 3.  a  b  4. 3.  a3  b3  ab  a  b    a3  a 2b    b3  b 2 a   0   a  b   a 2  b2   0. 2.   a  b   a  b   0 luôn đúng. (BĐT này nên nhớ nha, nhớ số ¼ theo cách anh chỉ nhé). Tương tự ta chứng minh: c.  a 3  b3  c 3  1 . 3.  c  1 1  4. 3. (vì ta đã dự đoán c  1 ). 1 1 3 3 3 a  b    c  1    a  b  c  1   16 4. Và ta dùng AM-GM cho ba số:  a  1 b  1 c  1. 2. Chiến thắng bản thân!.  a  b  c  3  27. 3.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Đáp án Ngày 1. July 31, 2015. Do đó P . 2 54  a  b  c  1  a  b  c  3 3. Đặt t  a  b  c  3, t  3  P . f ' t  . 2. t  2. 2. . 2 54  3  f t  t2 t. 162 2  0  t 4  81 t  2  4 t.  t  3   0   t 2  9t  18  t 2  9t  18   0  t  6  t  9  3 17  2. Mà t  3  t  6 Vẽ bảng biến thiên thì ta thấy P  f  6  . 1 khi a  b  c  1 4. Các em 11 thử làm mà không dùng đạo hàm thử nha!. Câu 3: Cho a, b và c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của:. P. (a  b  c)(ab  bc  ca) 4bc  abc (b  c) 2. Hướng đi: Việc đầu tiên ta sẽ dự đoán dấu bằng của nó. Đối với bài này, thông thường dấu = xảy ra khi b  c .. (a  2b)(ab  b2  ab) (a  2b)(b  2a) a b 1  1  2    5 1  4 Khi đó P  2 ab ab b a Đến đây ta có thể dự đoán a  b (theo Cauchy). Từ đây ta sẽ biết được a  b  c Giải: P . (a  b  c)(ab  bc  ca) 4bc   abc (b  c)2. Ta dùng Bất đẳng thức phụ:. 1 1 1 4bc    2  a b c  (b  c).  a  b  c  . (a  b)( x  y )  ax  by.  (a  b)( x  y)  ax  by  2 abxy  ay  bx  2 abxy (luôn đúng theo Cauchy). 3. Chiến thắng bản thân!.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> July 31, 2015. Dấu = xảy ra khi. Đáp án Ngày 1. a x  . b y. Tiếp theo ta sẽ lồng biểu thức. 1 1 1    vào BĐT phụ trên, và điều ưu tiên là ta sẽ khử đi a b c.  a  b  c  . ẩn a .. 1 1 1 1 bc 1 1     a.  (b  c)     1  a bc a b c b c.  a  b  c  . 1 a a bc Đến đây ta kiểm tra, dấu = xảy ra khi  a    a 2  bc . Điều này đi đúng bc 1 1 b  c a (b  c ) b c với hướng đã vạch ra là a  b  c . ( Ở bước này ta có thể làm như sau 2. 2.  b  c   a(b  c)  b  c  1   b  c   2 b  c  1  b  c ) 1 1 1  a  b  c       1  bc bc a bc bc bc a b c.  P  1. bc 4bc 1 bc  1    1   4t 2  f (t ), t    0; 2 t b  c  2  bc  b  c . 1 8t 3  1 f '(t )  8t  2  2  t t. 8.. 1 1 23  0  f (t ) nghịch biến trên 1 22. 1 1  f (t )  f    4 . Dấu = khi t   a  b  c 2 2 Vậy MinP  4 khi a  b  c . Cách em 11 có thể dùng như sau:. 1 1 1 1 1  P  1   4t 2  1     4t 2   1  3 3 . .4t 2  4 t 2t 2t  2t 2t  Vậy MinP  4 khi a  b  c .. 4. Chiến thắng bản thân!.  1  0;   2.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> July 31, 2015. Đáp án Ngày 1. 2. 2. 2. Câu 4: Cho các số thực dương x, y, z thỏa x  y  z  2 xy  3  x  y  z  . Tìm GTNN của. 20  x z. P  x yz. 20 y2. Hướng đi: Bài này thực sự là 1 bài khá khó, đây không phải BĐT nửa đối xứng, và ta khó mà đoán được điểm rơi của nó. Nhưng khó chứ không phải là không thể. Để ý kĩ, ta sẽ thấy sự xuất hiện của 2 biểu thức. 1 và xz. 1 . Điều này giúp ta liên tưởng đến việc khử mẫu và rất để ý thấy, hệ số của chúng đều y2. là 20, nên rất có thể chúng bằng nhau. 2. 2. 2. 2. 2. Khi chúng bằng nhau thì x  z  y  2  x  y  z  2 xy  3  x  y  z   x  y  2 x  y  1  0. 40  2 . Khảo sát hàm số này thì hàm số sẽ có GTNN là 26 và x  z  4 x z. Và P  2( x  z ) . x  z  4   x  z  y  2  x  1; y  2; z  3  x2  y2  2x  y  1  0  Từ đó ta đã biết được điểm rơi của BĐT. 2. 2 2 2 2 Giải: 3  x  y  z   x  y  z  2 xy   x  y   z (dễ thấy x  y  z nên ta làm tiếp).  x  y  z . 2. 2. P  x yz.  x yz 6. 20  x z. 20  x y z y2. 40 4.  x  z  y  2 .   x  y  z  2 . 40 2 2 x y z2. Đến đây thì đã đơn giản, có nhiều cách sử lí, và tôi sẽ chọn cách gần gũi với các bạn nhất. Đặt t . x y z2  2 2.  P  f t   t 2 . f '(t )  2t  5. 40 2 2 t. 40 2 2t 3  40 2   0t  2 2  f  t  nghịch biến trên t2 t2. Chiến thắng bản thân!. . 2; 2 2 .

<span class='text_page_counter'>(6)</span> July 31, 2015. . Đáp án Ngày 1. . Vậy f  t   f 2 2  26 . Vậy MinP  26 khi x  1; y  2; z  3 Các em hãy làm thử bài này: 2. 2. 2. (moon.vn) Cho các số thực dương x, y, z thỏa x  y  z  2 xy  3  x  y  z  . Tìm GTNN của. P  x yz. 54 54  y7 z  x5. Câu 5: Cho a, b, c  0 thỏa c  1 và a  b  c  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:. P. a 2  b2 3 1   c  a  1 b  1 c  1 8 8. Hướng đi: Ta dự đoán a  b khi đó 2a  c  3  a . 3c 2. 2. 2 3  c  3 1 3 1 P   c   c  f c 2 2  a  1  c  1 8 8  5  c   c  1 8 8 2a 2. 2 2 2 2  c  3 5  c   c  1   c  5   2  c  5  c  1   c  3 1   f '  c   2.  0 2 2 8  c  5   c  1   . Đạo hàm hơi vất vả, ta tiếp túc dùng máy tính SOLVE thì ta được nghiệm c  1 Nhưng để ý kĩ đề bài thì c  1 nên rất nhiều khả năng c  1 Vậy ta dự đoán a  b  c  1 Giải: Giờ anh xin so sánh hai cách giải như sau: Cách 1: Khi ta chưa biết điểm rơi:. 2 a  b. 2. 2. 2 3  c  3 1 3 1 P   c   c  f c 2 2  a  b  2   c  1 8 8  5  c   c  1 8 8. 6. Chiến thắng bản thân!.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> July 31, 2015. Đáp án Ngày 1.  2 c  3 c  5 2 c  1  c  3 2 2 c  5 c  1  c  5 2                 1   f '(c )  0  2  4 2   8  0 (khúc này đạo c  5 c  1         hàm hơi thấm, và không chắc có bao nhiêu bạn sẽ chứng minh được đạo hàm nhỏ hơn 0).  f  c  nghịch biến.  P  f 1  0 khi a  b  c  1 Nhưng cách này chúng ta sẽ mất thời gian cho công việc đạo hàm và tìm nghiệm đạo hàm. Chính vì vậy mình sẽ đưa thêm 1 cách nữa để các bạn có thể so sánh với cách 1. Cách 2: Để ý ta thấy c  1 và dự đoán a  b nên ta thử ngầm a  b  c  1 và ta có cách nào sau 2. 2. 27  a  b  3  c  3  1 c a 2  b2 3 1 3 1 P   c   c 3 16 8 8  a  1 b  1 c  1 8 8 2  a  b  c  3 8 8. c 2  4c  3 1  c  3  c    0 16 16 Vậy MinP  0 khi a  b  c  1 Cả hai cách đều có những ưu điểm và khuyết điểm, nhưng quan trọng vẫn là ứng dụng của chúng ta vào chúng, hãy thử sáng tạo theo hướng của chính mình rồi các bạn sẽ hiểu tại sao lại có kết quả như thế.. Câu 6: Cho các số thực x; y; z thỏa mãn xyz  1 và x 4  y 4  8 xy  6 . Tim giá trị lớn nhất của biểu thức 2. P  xy   x  y  . 1 2 z. Hướng đi: Nhìn vào biểu thức của P, ta sẽ đi theo hướng dồn về biến z và lại có xy . . Giải: x 4  y 4  8 xy  6  x 2  y 2. . 2. 2. 1 z. 2.  2  xy   8 xy  6  x 2  y 2  2  xy   8 xy  6. 2. 4 4 Và 8 xy  6  x  y  2  xy   1  xy  3. P  x 2  y 2  xy . 7. 1 1 2  2  xy   8 xy  6  xy  (ta quy về xy để biến đổi đỡ phức tạp hơn) 1 2 z 2 xy. Chiến thắng bản thân!.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Đáp án Ngày 1. July 31, 2015. Đặt t  xy, t  1;3  P  2t 2  8t  6  t . 2t  4. f 't  . . 2t 2  8t  6. 1. 5.  2t  1. 2. . 2t 2  8t  22. . 2. 2t  4  2t  8t  6. . t  f t  2t  1. 2t  4  2t 2  8t  6 2t 2  8t  6 . 2. 2t  8t  6. 5.  2t  1. 2. . 5.  2t  1. 2.  0t  1;3.  f  t  đồng biến trên 1;3   xy  3 x  y  3  12  Vậy P  f  3  khi  x  y   1 5 z   1 3  z  xy . Câu 7: Đây mới là câu hay nhất trong đề, cảm ơn các em đã gửi đến anh những bài sáng tạo của các em, đây mới là ý nghĩa của khóa học này! Cảm ơn các em.. . . 1.(Văn Tuân Ngô) Cho các số dương x, y, z thỏa 4 y 3  7 x 3  z 3  9 xz  x  z  . Tìm giá trị nhỏ nhất của. 2 x2 1 2z2 1 y2     y2 2 y 2 2 4 xz. biểu thức: P .   x 3  z 3  x zx z Giải: 4 y  7  x  z   9 xz  x  z   7        9 .     4 y y y y  y   y   3. Đặt a . 3. 3. x z 2 2 3 ; b   7  a3  b3   9ab  a  b   4  4   a  b   4  a  b   3  a  b    4  a  b    y y.  1  a  b  2 ab  4 ab . P  2a 2 . 8. 1 2. 1 1 1  2b2    2 2 2 4ab. Chiến thắng bản thân!. . . a b . 1 1  2 2 4 ab  4ab 4ab.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> July 31, 2015. . Đặt t  4 ab , t   0;. . f 't   2 2 . Đáp án Ngày 1. 1  1  P  2 2t  4  f  t   4t 2.  1  y 1  1  P f   khi x  z   0 t   0;  5  2 t 2  2  2. 2. 2. 2.(Nguyễn Công Hoan) Cho các số thực dương a, b, c thỏa 3a  3b  c  2  a  b   2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P . 4c 2  2  a  b   6ab  2 6c. 2. 3c 2 ab. . . . Giải: Theo giả thiết c 2  2  a  b   2  3a 2  3b 2  c 2  2  a  b   1  3 a 2  b 2  1   a  b  1 2.  c2  2  a  b   1   a  b   2  a  b   1  c  a  b . P. . c 1 ab. 3c 2  6ab   c 2  2  a  b   2  4c 2  2  a  b   6ab  2 3c 3c  2  2 2 2 6c ab 6c ab. 2. 2. . 2. c  a  b 3c 2  6ab  3a 2  3b3 3c 3c  2  2 2 2 6c ab 2c ab. a  b  c 2 2c 2. 2. . 3c 2 ab. abc 3c ab 3c 3  2   2c ab c ab 2. Đặt t . c 1 3 t 1 5 3 5 3 , t  1  P  3t        t   1    2 ab 2t 2  2 2t  2 2 2 2. Vậy MinP  2 khi a  b  1; c  2 3.(Ôn Cẩm Lê) Cho các số thực dương a, b, c, d thỏa a  b  c  d  2 . Tim giá trị nhỏ nhất của biểu. . . thức: P  8 a 3  b3  c 3  d 3 . 27 8abcd  a  b  c  d . a  b  c  d  Giải: Áp dụng AM-GM abcd  4. Và a 3 . 1 1 1 1 3   3. a 3 . .  a . 8 8 8 8 4. 9. Chiến thắng bản thân!. 4. 4. . 1 16.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Đáp án Ngày 1. July 31, 2015 Tương tự ta có b3 . 1 1 3   b 8 8 4. 1 1 3 c3    c 8 8 4. Cộng vế theo vế ta được a 3  b3  c 3  d 3  1 . 1 2. Vậy P  8. . 1 1 3 d 3    d 8 8 4. 3 3 1  a  b  c  d    a 3  b3  c3  d 3  4 2 2. 27 1  31 Dấu  khi a  b  c  1 2 8. .2 16. 4.(Phạm Văn Huy) Cho các số không âm a, b, c thỏa a  b  c  3 . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: P . Giải: P . 1  2abc a  b2  c2 2. 1 1 1  2abc   2abc   2abc 2 2 2 a b c 9  2  ab  bc  ca   a  b  c   2  ab  bc  ca  2. abc  0 1 1    a; b; c    3;0; 0  cùng các hoán vị.   2.0  . Dấu  xảy ra khi a  b  c  3 9  2.0 9 ab  bc  ca  0 . 1 P  2 2 2  2abc  a b c. . 1 a. 2. b  c . 2. b  c   a. 2. 2. . 2 2a 2   3  a . 2. a 3  a   2. 2. 2. 2 a 3  6a 2  9a   f a 3a 2  6a  9 2.  3  a  1 a  3 33  a   4 1 a 4  0 f ' a  .   0  a  1     3  a 2  2a  32 3  a 2  2a  3  2 2 2   .  a  1 vì. 4 3  a 2  2a  3. 2. . 3 3  a   0 a   0;3 2. Vẽ bảng biến thiên  P  f 1 . Vậy MinP . 10. 7 khi a  b  c  1 3. 1 khi  a; b; c    3;0;0  cùng các hoán vị. 9. Chiến thắng bản thân!.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Đáp án Ngày 1. July 31, 2015. MaxP . 7 khi a  b  c  1 3. 5. .(Phạm Văn Huy) Cho các số không âm a, b, c thỏa a  b  c  6 . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: P  a 2  b 2  c 2  2abc Giải: Không mất tính tổng quát, giả sử a  max a; b; c  a   2;6  a  a  2  a  6   0. 1 2 2 2 2 P  a 2  b 2  c 2  2abc  a 2   b  c   2bc  2abc  a 2   b  c   2abc  a 2   b  c   a  b  c  2 2 2 2 3 2  2 P  2a  2  6  a   a  6  a   a  8a  12a  72  a  a  2  a  6   72  72.  MaxP  36 khi  a; b; c    6;0;0  cùng các hoán vị. 2. 2. 2. 2. 2. P  a   b  c   2  a  1 bc  a   b  c   a   6  a . 2. a  6  a  2. 2.  18.  MinP  18 khi  a; b; c    3;3;0  cùng các hoán vị 6.(Phạm Văn Huy) Cho các số thực không âm x; y; z thỏa x; y  1 và x  y  1  z . Tìm giá trị lớn nhất. . 1. của biểu thức: P   z  2  .  1  x2 .  1  2  4 z 1 y  1. . Giải: Theo giả thiết, ta có z  x  y  1  z   0;3 và xy  1.  x  y. 2. 2.   z  1  xy . TH1: z   0; 2  P . 1 1 2  z  1  x 2  y 2    z 2  2 z  1  2 2. 1 1 1   4 z 42 2. TH2: z   2;3 Ta chứng minh BĐT:. 1 1 x. 2. . 1 1 y. 2. . 2 1 1 2 4     2 2 2 2 1 x 1 y 1  xy 1  xy 1 x . 1 x.  1 1 2   1 1   0     2   2 2  1  x 1  y 1  xy   1  x 2 . 1  y 2 1  xy . 11. Chiến thắng bản thân!.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Đáp án Ngày 1. July 31, 2015 2.  x  y   xy  1  2. 1  xy   1  x 2 1  y 2  1  xy  1  xy . 1  x 1  y  0 1  x 1  y . 2.  x  y   xy  1  2.  1  x2 1  y 2  1  xy  1  xy  . P. . 2  z  2 1  xy. 2. 2. 2. 2.  x  y 1  x2 1  y 2   1  xy . 2  z  2. 1  4 z. . 2. 1. 1 2  z  2 z  1 2. . 1  x2 1  y 2 .  0 (đúng). 2  z  2 2 1 1   4 z 4 z z2  2z  1. z2 1 .2 2   f  z z 1 4 z. f ' z  . 2 2.  z  1. . 2. 1. 4  z. 4 z.  0 z   2;3.  f  z  đồng biến trên  2;3  P  f  3  2  1 Vậy MaxP  2  1 khi x  y  1; z  3 2 2 2 7. (Phạm Văn Huy) Cho các số thực không âm x; y; z thỏa x  y  z  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu. 1. thức P . 1 x. 2. 1. . 1 y. 2.  2 z2 1. Giải: Theo giả thiết  z   0;3. P. 1 1 x. . 2 2 5 z. 2. 2. . 1 1 y. 2. 2.  2 z2 1  4. 1  x 1  y  2. 2.  2 z2 1 . 2 2 2. 2 x  y. 2.  2 z2 1.  2 z2 1. t  5  z 2 , t  1; 2   P . 2 2  2 6  t 2  f t  t. . . 2 t3  26  t2  2 2 2t f 't   2    0  t 3  2  6  t 2   t 6  12  2t 2 2 2 2 t 6t t 6t 12. Chiến thắng bản thân!.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> July 31, 2015. t. 2. Đáp án Ngày 1.  2  t 2  2t  6   0  t  2. Lập bảng biến thiên thấy MinP  f.  2   2 . Dấu = xảy ra khi x  y  0; z . 3. 8. (Nkok Iu Bé) Cho các số thực dương a; b; c thỏa a  b  c  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2. 2. 4c 4c 9c 1  a  9c 1  b  c P     a b a b 3ab 2. 2. 4c 4c 9c 1  a  9c 1  b  c c 1 1      13c     9c  a 2  b2    36c Giải: P  a b a b 3ab 3ab a b 2. 2. 16c 9c  a  b  4c 16c 9c 1  c  4c     36 c     36c  f  c  2 2 ab 2 1 c 2 3 a  c  3 1  c  Đến đây các em tự làm tiếp nhé! 2 2 2 9. (Phạm Văn Huy) Cho các số thực không âm x; y; z thỏa x  y  z  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu. thức: P . 1 1 2 3   1 x 1 y z 1 1. Giải: Đặt a . 1. 0 3 2. 1 1   a 3  x  1  3a  x 1 x 1. Ta có. 1  y 1. 1  a 3  y  1  3a  y 1.  2 P  a3  x  y  .  a3 2  3  z 2  . f ' z  . 13. a3 z 2 3 z. 2. . 2  3a  a3  x  1 x 1. 2  3a  a 3  y  1 y 1. 4 3 4 3  2a 3  6a   a 3 2  x 2  y 2    2a 3  6a z 1 z 1. 4 3  2 a 3  6a  f  z  z 1. 4 3.  z  1. 2.  0  f  z  đồng biến trên 0; 3 . Chiến thắng bản thân!.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> July 31, 2015. Đáp án Ngày 1.  2 P  f  0    a 3 6  2a 3  6 a  4 3  P . Vậy MinP . 2 1. 14.  2 3 khi x  y  3 2. Chiến thắng bản thân!. 1  a 3 6  2a 3  6a  4 3  2. . 3 ;z  0 2. . 2 3 1 2. 2 3.

<span class='text_page_counter'>(15)</span>