Chuong IV 1 So phuc

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chuyên đề. Tổ Toán – Tin Trường THPT Thanh Bình. Thực hiện.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Chương IV. I. Số phức II. Cộng, trừ, nhân và chia số phức III. Phương trình bậc hai với hệ số thực IV. Phương trình bậc hai với hệ số phức V. Bài tập về số phức.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> TRƯỜNG THPT THANH BÌNH TỔ TOÁN – TIN. Chuyên đề. I. SỐ PHỨC.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Phương trình: ax² + bx + c = 0 ∆ = b² – 4ac ∆>0 ∆=0 ∆<0. (a ≠ 0). (1). Kết luận ─ – b ± ∆ (1) có 2 nghiệm phân biệt: x = ¹’² 2a (1) có một nghiệm: x = – b 2a (1) vô nghiệm.. Với mong muốn mở rộng tập các số thực để mọi phương trình bậc n đều có nghiệm, người ta đưa ra một số mới..

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 1. Số i được coi là nghiệm của phương trình :. 2. Định nghĩa số phức: - Mỗi biểu thức dạng: a + bi, trong đó a,b  R; i2 = -1 được gọi là một số phức.. 2. - Với số phức z = a + bi: a là phần thực của số phức. b là phần ảo của số phức. - Tập hợp các số phức, kí hiệu: C và:. NZQR C.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Quan hệ giữa các tập hợp số: N  Z  Q  R  C. C. R. Q. Z. N Biểu đồ VEN. Ví dụ 1. Xác định phần thực, phần ảo của mỗi số phức sau: 3 Số thuần ảo. -5 0. Số thực. 7. 2 4 -2 0.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> 3. Số phức bằng nhau: Hai số phức bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau.. a + bi = c + di  a = c và b = d Ví dụ 2. Tìm các số thực x; y, biết: 1. (3x – 2 ) + (2y + 1)i = (x + 1) – (y – 5)i Giải.. 3x  2  x  1  3x  2    2 y 1 i  x 1   y  5  i   2 y  1  y  5  3  x  2 x 3  2    y 4 3 y 4  . 3.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> 3. Số phức bằng nhau: Ví dụ 2. Tìm các số thực x; y, biết: 2). (1 – 2x ) + i3 = 5 + (1 – 3y)i.  1 5 1  2 x  5 x   2 1 2x   i 3  5  1 3 y  i    3  1  3 y   1 3.  y  3 3). (2x + y ) + (2y – x)i = (x – 2y + 3) + (y + 2x + 1)i. 2 x  y x  2 y  3 x  3 y 3     2 y  x  y  2 x  1  3x  y  1.  x 0   y 1.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> 1. Số i: 2. Định nghĩa số phức: 3. Số phức bằng nhau: Chú ý:  Mỗi số thực a được coi là một số phức với phần ảo bằng 0 Ta viết:. z = a + 0i. Như vậy, mỗi số thực cũng là một số phức  Số phức: z = 0 + bi được gọi là số thuần ảo  Số i được gọi là đơn vị ảo.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> 4. Biểu diễn hình học của số phức:  Trong hệ tọa độ vuông góc y. b. (x’ox; y’oy), điểm M(a;b) được gọi là điểm biểu diễn của số. M. phức z = a + bi x. x' O. a.  Một số phức z = a + bi hoàn toàn được xác định bởi cặp y'. số thực (a; b).

<span class='text_page_counter'>(11)</span> 4. Biểu diễn hình học của số phức: Ví dụ 3.  Điểm A( 2; 3) là điểm biểu y. diễn của số phức z1 = 2 + 3i A. 3 B x'.  Điểm B( -3; 2) là điểm biểu. 2 x. -1 2. O. -3. -4. E y'. diễn của số phức z2 = -3 + 2i  Điểm E( -1; - 4) là điểm biểu diễn của số phức z3 = -1 - 4i.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> 4. Biểu diễn hình học của số phức:  Biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ các số phức: z4 = 2 và z5 = -3i y. x'. Các điểm biểu diễn số thực, số thuần ảo nằm ở đâu trên mặt phẳng tọa độ?.  Điểm H( 2; 0) là điểm biểu O H diễn của số phức z4 = 2 + 0i, điểm H nằm trên trục hoành K. -3 z4 = 2 là số thực  Điểm K( 0; -3) là điểm biểu z5 =của -3i là thuần diễn sốsố phức z5 =ảo0 - 3i, y' nằm tung Mặt phẳng biểu diễn sốđiểm phứcKgọi làtrên mặt trục phẳng phức. .. 2. x.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> 4. Biểu diễn hình học của số phức: Ví dụ 4. Trong mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện: d. y. a/. Phần thực của z bằng –2. 2 x'. Giải. x. -2 O. -1 y'. Số phức z = -2 + bi (b  R) Tập hợp điểm biểu diễn của số phức z thỏa điều kiện đã cho là đường thẳng d: x = –2.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> 4. Biểu diễn hình học của số phức: Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu y. diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện: b/. Phần ảo của z bằng 3. d. 3 x. x' O. Giải y'. Số phức z = a + 3i (a  R) Tập hợp điểm biểu diễn của số phức z thỏa điều kiện đã cho là đường thẳng d: y = 3.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> 5. Môđun của số phức: y.  Độ dài của vectơ OM được gọi là môđun của số phức z. .M. b. x. x' a. O.  Giả sử số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng tọa độ.  Ký hiệu: z= a + bi  Công thức: z= a2 +b2. y'. Ví dụ 4. Tính môđun của mỗi số phức sau:. z= 3+2i = 32 + 22 = 13 z= -5+4i = (-5)2 + 42 = 41 z= -3+4i = (-3)2 + 42 = 5.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> 6. Số phức liên hợp:  Cho số phức z = a + bi, ta gọi a – bi là số phức liên hợp của số phức z và kí hiệu: z = a - bi  Điểm M1( a; b) là điểm biểu diễn của số phức z = a + bi. y.  Điểm M2( a; -b) là điểm biểu M1. b. diễn của số phức z = a - bi x. x' O. -b y'.  Trên mặt phẳng tọa độ, các điểm. a. biểu diễn của z và z đối xứng nhau. M2. qua trục Ox  Chú ý: z = z ; z= z.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> 6. Số phức liên hợp: Ví dụ 5. Hãy điền vào các chỗ còn trống với các kết quả thích hợp:. Câu. Số phức z. 1. Z = 3 + 4i. 2. Z = 2 - 5i. 3. Z = 1 + 3i. 4. Z = - 9i. lzl. Số phức ¯z ¯ = 3 – 4i Z. z= 32 + (4)2 = 5. ¯ = 2 + 5i Z. 22 +(-5)2 =. ¯ = 1 - 3i Z. 10. ¯ = 9i Z. 9. z= 29 z= z=.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> TRƯỜNG THPT THANH BÌNH TỔ TOÁN – TIN. Chuyên đề. II. CỘNG, TRỪ, NHÂN VÀ CHIA SỐ PHỨC.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Cho hai số phức: z = a + bi, z = c + di 1. Cộng hai số phức. ¹. ². z + z = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. ¹. ². 2. Trừ hai số phức z – z = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i. ¹. ². 3. Nhân hai số phức z . z = (a + bi).(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i. ¹. ². 4. Chia hai số phức z ¹ = a + bi = (a + bi).(c – di) = ac + bd + (bc – bd)i z c + di (c + di).(c – di) c² + d² c² + d² ².

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Ví dụ 1. Thực hiện các phép tính sau: Câu. Kết quả. Đề bài. 1. (3 – 5i) + (2 + 4i). 2. (–2 – 3i) + (–1 – 7i). 3. (4 + 3i) – (5 – 7i). 4. (2 – 3i) – (5 – 4i). 5. (3 – 2i) + (2 + 4i) + (–1 + i). = (3 + 2) + (-5 + 4)i = 5 – i = (– 2 –1) + (– 3 – 7)i = –3 – 10i = (4 –5) + (3 + 7)i = –1 + 10i = ( 2 –5) + (– 3 +4)i = –3 +i = 4 + 3i. Chú ý 1: Phép cộng, phép trừ hai số phức được thực hiện theo quy tắc cộng, trừ đa thức.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> Chú ý 2: Phép nhân hai số phức được thực hiện theo quy tắc nhân đa thức rồi thay i2 = -1 trong kết quả nhận được. (a + bi).(c + di) = ac + adi + bci + bdi 2 = (ac – bd) + (ad + bc)i Ví dụ 2. Thực hiện các phép tính sau: 1/. (2 – 3i).(3 – 2i) = 6 – 4i – 9i + 6i2 = – 13i 2/. (–1 + i).(3 + 7i) = –3 – 7i + 3i + 7i2 = –10 – 4i 3/. 5(4 + 3i). = 20 + 15i. 4/. (– 2 – 5i).4i. = –8i – 20i2. = 20 – 8i.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> Chú ý 3 :. i =i  i2 = – 1  i3 = i2.i = – i  i4 = i3.i = – i2 = 1.  i5 = i4.i = i  i6 = i5.i = i2 = – 1  i7 = i6.i = – i  i8 = i7.i = – i2 = 1.  i9 = i8.i = i  i10 = i9.i = i2 = – 1  i11 = i10.i = – i  i12 = i11.i = – i2 = 1.  i13 = i12.i = i  i14 = i13.i = i2 = – 1  i15 = i14.i = – i  i16 = i15.i = – i2 = 1. Tổng quát: Nếu: n  4q  r, 0  r  4 thì:.  in = i4qr = ir. 15 = i4.33 = i2 = i–3 = i –i  i5 = i4.11 i=2014 i = ?i10 = i4.22 = i2 = –i2014 1 =ii4.5032.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> Cho số phức z = a + bi, trong đó a,b  R Số phức liên hợp của z: ¯z = a + bi Tổng và tích hai số phức liên hợp: z + ¯z = 2a. z.¯ z = a² + b² = lzl². Tổng và tích hai số phức liên hợp là một số thực Nghịch đảo của một số phức: 1 z̄ a bi ─= = – z lzl² a² + b² a² + b² Chú ý: (1+ i)² = 2i, (1– i)² = – 2i.

<span class='text_page_counter'>(24)</span> Ví dụ 3: Thực hiện các phép tính sau: 1. 2 + i 3 – 2i. (2 + i).(3 + 2i) 4 + 7i 4 7i = = + (3 – 2i).(3 + 2i) 13 13 13 2. 1 + i 2̄ = (1 + i 2̄ ) .(2 – i 3̄) = 2 +  6̄ + (2 2̄ –  3̄ )i 7 7 2 + i 3̄ (2 + i 3̄). (2 – i 3̄ ) =. 3.. 5i 2 – 3i. 5i (2 + 3i) = = – 15 + 10i (2 – 3i).(2 + 3i) 13 13. 4.. 2 1 – 2i. 2 (1 + 2i) = = 2 + 4i (1 – 2i).(1 + 2i) 5 5. 5. (2 + 3i)²+i³ = (– 5 + 11i).2i = – 11 – 5i 2 2 (1 – i)² ( – 2i).2i.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> TRƯỜNG THPT THANH BÌNH TỔ TOÁN – TIN. Chuyên đề. III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC.

<span class='text_page_counter'>(26)</span> Căn bậc hai của số thực dương. ─ ─ Căn bậc hai của số thực dương a là ± a , vì (± a )² = a Căn bậc hai của số thực âm. Căn bậc hai của số thực âm a là ± ilal Ví dụ 1.. ─ ─ 1. Căn bậc hai của –2 là ±i2 , vì (± i2)² = 2i² = –2. ─ ─ 2. Căn bậc hai của –5 là ± i5 , vì (± i5)² = 5i² = –5 ─ 3. Căn bậc hai của –9 là ± i9 = ± 3i , vì (± 3i)² = 9i² = –9.

<span class='text_page_counter'>(27)</span> Phương trình: ax² + bx + c = 0 ∆ = b² – 4ac ∆>0 ∆=0 ∆<0. (a ≠ 0). (1). Kết luận ─ – b ± ∆ x¹ ² = 2a ’ (1) có một nghiệm thực: x=–b 2a. (1) có 2 nghiệm thực phân biệt:. (1) có 2 nghiệm phức:. x¹ ² = ’. – b ± il∆l 2a. Trên tập hợp số phức, mọi phương trình bậc hai đều có hai nghiệm (không nhất thiết phân biệt).

<span class='text_page_counter'>(28)</span> Ví dụ 2. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức 1) 2z² – 5z + 4 = 0 (1). 2) 7z² + 3z + 2 = 0 (2). Giải ∆ = 25 – 32 = –7 = 7i². Giải ∆ = 9 – 56 = – 47 = 47i². Nghiệm của phương trình (1) Nghiệm của phương trình (2) ─ ─ 5 – i7 = 5 – i7 ─ z = ¹ 4 4 4 ─ ─ 5 i7 5 + i7 ─ z² = = 4 +4 4. z = ¹ z² =. -3 – i47 – 3 i47 – = 14 14 14 -3 + i47 3 i47 + =– 14 14 14. Sử dụng máy tính để kiểm tra kết quả..

<span class='text_page_counter'>(29)</span> Phương trình: ax² + bx + c = 0 ∆’ = b’² – ac ∆’ > 0 ∆’= 0 ∆’ < 0. (a ≠ 0). (1). Kết luận ─ – b’ ± ∆’ x¹ ² = a ’ (1) có một nghiệm thực: x = – b’ a. (1) có 2 nghiệm thực phân biệt:. (1) có 2 nghiệm phức:. x¹ ² = ’. – b’ ± il∆’l a. Trên tập hợp số phức, mọi phương trình bậc hai đều có hai nghiệm (không nhất thiết phân biệt).

<span class='text_page_counter'>(30)</span> Ví dụ 2. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức 3) z² – 4z + 7 = 0 (3) Giải ∆’ = 4 – 7 = –3 = 3i². 4) 8z² + 4z + 1 = 0 (4) Giải ∆’ = 4 – 8 = – 4 = 4i². Nghiệm của phương trình (3) Nghiệm của phương trình (4) z = 2 – 3i ¹ z ² = 2 + 3i. 1 – i z = –─ ─ ¹ 4 4 i 1 z² = – ─ + ─ 4 4. Sử dụng máy tính để kiểm tra kết quả..

<span class='text_page_counter'>(31)</span> Ví dụ 3. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức 1) z4 + z² – 6 = 0 (1) Giải. Đặt: t = z². (t  C). Phương trình (1) thành: t= 2 t² + t – 6 = 0  - t = –3 ─  t = 2  z² = 2  z = –─2 - z = 2 ─ i3  t = – 3  z² = 3i² z = – ─ - z = i3 ─ ─ Phương trình (1) có 4 nghiệm: z = –2 , z = 2 , ─ ─ z = i3, z = – i3.

<span class='text_page_counter'>(32)</span> Ví dụ 3. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức 2) z4 + 6z² + 25 = 0 (2) Giải.. Đặt: t = z². Phương trình (1) thành:. (t  C) t² + 6t + 25 = 0 (*). ∆’ = 9 – 25 = –16 = 16i² Nghiệm của phương trình (*): t = 3 – 4i , t = 3 + 4i  t = 3 – 4i  z² = 3 – 4i = (4 – 4i + i²) = (2 – i)²  z = ± (2 – i)  t = 3 + 4i  z² = 3 + 4i = (4 + 4i + i²) = (2 + i)²  z = ± (2 + i) Phương trình (2) có 4 nghiệm:. z=–2+i,z= 2–i, z = –2 – i, z = 2 + i.

<span class='text_page_counter'>(33)</span> TRƯỜNG THPT THANH BÌNH TỔ TOÁN – TIN. Chuyên đề. IV. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ PHỨC.

<span class='text_page_counter'>(34)</span> 1. Căn bậc hai của số phức: Bài toán. Tìm căn bậc hai của các số phức sau: a). z = 3 – 4i. Giải. . Giả sử: x + yi (x,yR) là căn bậc hai của số phức z, ta có: (x + yi)² = 3 – 4i. . {. 2 – y = ─ x - x² = – 1 (vn) - x² = 4 x = –2. {y=1. hoặc. x =2. { y = –1.  (x² – y²) + 2xyi = 3 – 4i . . {. x² – y² = 3 2xy = – 4. 2 y =–─ x. {x. 4. – 3x² – 4 = 0. Vậy căn bậc hai của z là: 2 – i và – 2 + i  3 – 4i = (2 – i)²  3 + 4i = (2 + i)².

<span class='text_page_counter'>(35)</span> 1. Căn bậc hai của số phức: Bài toán. Tìm căn bậc hai của các số phức sau: b). z = 5 + 12i. Giải Giả sử: x + yi (x,yR) là căn bậc hai của số phức z, ta có: (x + yi)² = 5 + 12i  (x² – y²) + 2xyi = 5 + 12i . . { {. x² – y² = 5 2xy = 12. 6 – x x 4 – 5x² – 36 = 0. . . {. 6 y = ─ x - x² = – 4 (vn) - x² = 9 x = –3. x =3. { y = – 2 hoặc { y = 2. Vậy căn bậc hai của z là: 3 + 2i và – 3 – 2i. y =.  5 – 12i = (3 – 2i)²  5 + 12i = (3 + 2i)².

<span class='text_page_counter'>(36)</span> 2. Phương trình bậc hai với hệ số phức: Ví dụ . Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức a) (1+i)z² – 2(1– i)z +1 – 3i = 0. (1). ∆’ = (1– i)² – (1+i).(1– 3i = – 4 = 4i² Nghiệm của phương trình (1) (1 – 3i).(1 – i) 1 – i – 2i z = = = – 1 – 2i ¹ (1 + i).(1 – i) 1+i 1 – i + 2i =1 z² = 1+i.

<span class='text_page_counter'>(37)</span> 2. Phương trình bậc hai với hệ số phức: Ví dụ . Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức b) (1 – i)z² – 2z +1 – (11 + 3i) = 0. (2). ∆’ = 1 + (1 – i).(11 + 3i = 15 – 8i = 16 – 8i + i² = (4 – i)² Nghiệm của phương trình (2) (– 3 + i).(1 + i) 1 – 4 + i z = = = –2–i ¹ (1 – i).(1 + i) 1–i (5 – i).(1 + i) 1+4–i = = 3 + 2i z² = (1 – i).(1 + i) 1–i.

<span class='text_page_counter'>(38)</span> TRƯỜNG THPT THANH BÌNH TỔ TOÁN – TIN. Chuyên đề. V. BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC.

<span class='text_page_counter'>(39)</span> Bài 1. Gọi z¹ , z² là hai nghiệm phức của phương trình: z² + 2z + 10 = 0 Tính giá trị của biểu thức: A = lz¹ l² + lz l² ² Bài 2. Tìm số phức z thỏa mãn : z² + 2z + 10 = 0 lz – (2 + i)l = 10 và z.z ¯ = 25 Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện : lz – (3 – 4i)l = 2 Bài 4. Tìm phần thực, phần ảo của số phức z thỏa mãn điều kiện : (2 – 3i)z + (4 + i)z ¯ = – ( 1+ 3i)² Bài 5. Tìm số phức z thỏa mãn : ¯ và z² là số thuần ảo |z| = 2.

<span class='text_page_counter'>(40)</span>

<span class='text_page_counter'>(41)</span>  -. ─ i3  t = – 3  z² = 3i²  z = – ─ - z = i3. 2 –2i. ¹ ². z Tính = 2 –giá 3i trị của biểu thức: A 10 = lz l² + lz l² ¹ z ² = 2 + 3i. ¹. ². ¹. z = –2 , z = 2 , z = i3, z = – i3. z=. ².

<span class='text_page_counter'>(42)</span>