De va dap an HSG Quang Xuong 14 15

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN QUẢNG XƯƠNG. ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2014-2015. Ngày thi: 20/4/2015. Môn: Toán (Thời gian: 150 phút - không kể thời gian giao đề).   x  1 2 1  2 x2  4 x 1  x2  x P    : 2 x3  1 x  1  x3  x  3 x   x  1  Câu 1 (4 điểm): Cho biểu thức. 1) Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định 2) Tìm giá trị của x để giá trị của P bằng 0 3) Tìm giá trị của x để Câu 2 ( 4 điểm): 1) Giải phương trình:. P 1. x x 2x   2  x  3 2  x  1  x  1  x  3. A x y. y  z z  x  xyz.     2) Cho đa thức: a) Phân tích A thành nhân tử b) Chứng minh rằng nếu x, y, z là các số nguyên và x + y + z chia hết cho 6 thì A - 3xyz chia hết cho 6 Câu 3 ( 4 điểm): 1) Cho 3 số a, b, c khác 0 thỏa mãn điều kiện: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 a2 b2 c2  2  2 1 2 Chứng minh rằng: a  2bc b  2ca c  2ab. 2) Hai công nhân nếu cùng làm chung thì trong 12 giờ sẽ hoàn thành xong một công việc. Họ làm chung với nhau trong 4 giờ thì người thứ nhất chuyển đi làm việc khác, người thứ hai làm xong công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi người thứ hai làm một mình thì bao lâu hoàn thành xong công viêc ? Câu 4 (7 điểm): 1) Cho hình bình hành ABCD có góc A = 120 0. Đường phân giác của góc D đi qua trung điểm của cạnh AB a) Chứng minh: AB = 2AD b) Gọi F là trung điểm của cạnh CD. Chứng minh:  ADF là tam giác đều và  AFC là tam giác cân c) Chứng minh AC vuông góc với AD 2) Cho tam giác ABC, trong tâm G (AB < AC). Qua G vẽ đường thẳng d AB AC  3 cắt các cạnh AB, AC ở D và E. Chứng minh rằng: AD AE. Câu 5 (1 điểm): Cho a, b, c là các độ dài thỏa mãn điều kiện: a 2  b2  c2 b2  c 2  a 2 c 2  a2  b2   1 2ab 2bc 2ca. Chứng minh rằng: a, b, c là các cạnh của một tam giác Họ tên: ...................................... Số báo danh : ................................ Giám thị không giải thích gì thêm.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN QUẢNG XƯƠNG. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 8 NĂM HỌC 2014-2015 - MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút. Câu. Nội dung 1) Điều kiện: x 0; x 1; x  1. Điểm 1đ. 2) Rút gọn:   x  1 2 1  4 x  2 x 2 1  x2  x P  2   : x3  1 x  1  x3  x  x  x  1   1  4 x  2 x 2    x 2  x  10,25  . x3 đx  x3  1 x2  x x3  3 x 2  3 x  1  1  4 x  2 x 2  x 2 0,25 x  1 đx( x 2  1)  . x3  1 x( x  1).  x  1. 3. 0,25 đ. x3  1 x 2  1  3 . x  1 x 1 x2 1  x 1. Câu 1 (4 đ). 0,5 đ. Vì: x2 + 1 > 0 với mọi x. Do đó không có giá trị nào của x để P =0 P 1. 3) Vì nên P = 1 hoặc P = -1 + Nếu: P = 1 thì. 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ. x2 1 1  x 2  1 x  1  x  x  1 0  x 0; x 1 x 1. hai giá trị này không thỏa mãn điều kiện + Nếu: P = -1 thì. 0,25 đ 0,25 đ. 2. x 1  1  x 2  1  x  1  x 2  x  2 0  x 1. với mọi x Vây không có giá trị Câu 2 (4 đ). nào của x để 1) Điều kiện:. P 1. x  1; x 3. Quy đồng mẫu thức và rút gọn ta đưa về phương trình: 2x(x 3) = 0 => x = 0 (thỏa mãn);. 0,25 1đ 0,5 đ 0,25 đ. 2. 1   x   2 .

<span class='text_page_counter'>(3)</span> x = 3 (không thỏa mãn điều kiện) Vậy nghiệm của phương trình là: x = 0 2a) Ta có: A  x  y   y  z   z  x   xyz. = (x + y + z)(xy + yz + zx) b) Vì x, y, z là các số nguyên và x + y + z  6 nên A  6 Mặt khác: x + y + z  6 nên trong ba số x, y, z phải có ít nhất một số chẵn, suy ra: xyz  2 => 3xyz  6 Suy ra: A - 3xyz chia hết cho 6 Câu 3 ( 4 đ). 1) Từ: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 => ab + bc + ca = 0 => a2 + 2bc = a2 + bc – ab – ca = ( a – b)( a – c) Tương tự: b2 + 2ca = ( b – c)( b – a) ; c2 + 2ab = ( c – a)( c - b) Đặt: P. a2 b2 c2   a 2  2bc b 2  2ca c 2  2ab. Thay vào ta được:. 1đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ. 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ. 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ.  a 2 (b  c )  b 2 (c  a )  c 2 (0,25 a  b)đ (a  b)(b  c)(c  a ) (a  b)(b  c)(c  a )  (a  b)(b  c)(c  a ) 1 . Vậy: a2 b2 c2   1 a 2  2bc b 2  2ca c 2  2ab. 2) Gọi thời gian để một mình người thứ hai làm xong công. 0,25 đ 1,5 đ.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> việc là x giờ (x > 12) Ta có phương trình: 4. Câu 4 (7 đ). 0,25 đ. 1 10  1 12 x . Giải ra ta. có: x = 15 (thỏa mãn) Vậy người thứ hai hoàn thành một mình xong công việc là 15 giờ 1a) Gọi E là trung điểm của AB. Ta chứng minh:  ADE cân Suy ra: AD = AE, mà AE = EB = AB/2 => AB = 2AD. 1đ 1đ 0,5 đ 0,5 đ. b) + Xét  ADF có AD = DF do DF = AE =AB/2 (AB = DC). 0,5 d 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ. Suy ra:  ADF là tam giác cân mà góc A = 1200 => góc D = 600. 0,5 đ. Vậy  ADF cân và có 1 góc bằng 600 nên  ADF là tam giác đều + Ta có: AF = FD = DC/2 mà FC = DC/2 => AF = FC Suy ra:  AFC là tam giác cân c) Do  ADF đều nên góc AFC = 1200 Theo câu b)  AFC là tam giác cân nên góc ACF = 600/2 = 300 Xét  ADC có:  ADC +  DCA = 600 + 300 = 900 =>  DAC = 900 hay: AC vuông góc với AD. 0,5 đ.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> A. D. F. 2) Gọi trung của. A. B. E. C. M là điểm. D. E. G. d. I B. BC Qua B vẽ đường thẳng // với d cắt AM tại I, ta có:. M K. AB AI  (1) AD AG. Qua C vẽ đường thẳng // với d cắt AM tại K, ta có:. C. 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ. AC AK  (2) AE AG. Từ (1) và (2) suy ra: AB AC AI  AK   (3) AD AE AG. Mặt khác: AI + AK = (AM - MI) + (AM + MK) = 2AM (4) (vì MI = MK do  BMI =  CMK) Từ (3) và (4) suy ra: AB AC 2 AM 2 AM    3 2 AD AE AG AM 3. Câu 5 (1 đ). Nếu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác thì: a < b + c; b < a + c và c < a + b Theo bài ra ta có:. 0,25 đ. a 2  b2  c 2 b 2  c 2  a 2 c 2  a 2  0,25 b2 đ   1 2ab 2bc 2ca.  c(a2 + b2 - c2) +a(b2.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> + c2 - a2) + b(c2 + a2 b2) - 2abc > 0  a2b + a2c + b2a + b2c + c 2 a + c 2 b - a 3 - b3 c3 - 2abc >0 (*) Vì: (b + c - a)(c + a b)(a + b - c) = a2b + a2c + b2a + b2c + c2a + c2b - a3 - b3 - c3 - 2abc Nên (*)  (-a + b + c) (a - b + c)(a +b - c) > 0 Ta chứng minh được cả ba thừa số đều dương tức:  a  b  c   a  b  c   a  b  c  . 0,25 đ. 0,25 đ. b  c  a  a  c  b a  b  c . Từ đó suy ra độ dài a, b, c là các cạnh của một tam giác Chú ý: 1) Nếu học sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định. 2) Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải bảo đảm không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong tổ chấm. 3) Điểm bài thi là tổng điểm không làm tròn. 4) Bài 4 nếu không vẽ hình thì không chấm điểm..

<span class='text_page_counter'>(7)</span>