Vận dụng quan điểm hoạt động vào dạy học hình học không gian lớp 11 thpt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH
---------O0O-----------NGUYỄN THỊ HỒNG NGHĨA

VẬN DỤNG QUAN ĐIỂM HOẠT ĐỘNG VÀO DẠY HỌC
HÌNH HỌC KHƠNG GIAN LỚP 11 THPT

CHUN NGÀNH: LÍ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MƠN TỐN
MÃ SỐ: 60.14.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. BÙI GIA QUANG

VINH, 2010
LỜI CẢM ƠN
Luận văn này đƣợc hoàn thành dƣới sự hƣớng dẫn của TS. Bùi Gia Quang. Tác
giả xin đƣợc bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy.


1
Trong quá trình làm luận văn, tác giả cũng nhận đƣợc sự giúp đỡ nhiệt tình của
TS. Nguyễn Văn Thuận, nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn thầy.
Xin cảm ơn các thầy cô giáo giảng dạy trong chuyên ngành Lý luận và phƣơng
pháp giảng dạy bộ môn Tốn đã cho tác giả những bài học bổ ích trong quá trình học
tập và nghiên cứu.
Xin cảm ơn ban giám hiệu, đồng nghiệp trƣờng THPT Nam Đàn 2 đã tạo điều
kiện, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và làm luận văn.
Xin cảm ơn gia đình, bạn bè - nguồn cổ vũ động viên để tác giả thêm nghị lực
hoàn thành luận văn.
Dù đã rất cố gắng, song luận văn cũng không tránh khỏi những khiếm khuyết,

tác giả mong nhận đƣợc sự góp ý của các thầy cô giáo và các bạn.

Vinh, tháng 12 năm 2010.
Tác giả
Nguyễn Thị Hồng Nghĩa

DANH MỤC VIẾT TẮT
THPT: Trung học phổ thông


2
PPDH: Phƣơng pháp dạy học
SGK: Sách giáo khoa
HD: Hƣớng dẫn

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU……………………………………………………………………..…...1
Chương 1. Một số vấn đề về cơ sở lý luận và thực tiễn cho việc vận dụng quan
điểm hoạt động vào dạy học hình học khơng gian lớp 11 THPT


3
1.1. Hoạt động của học sinh và những thành tố cơ sở của PPDH………………....6
1.1.1. Hoạt động của học sinh…………..…………..........………………….....6
1.1.2. Các thành tố cơ sở của hoạt động dạy học Toán…...……………...……..8
i) Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động và hoạt động thành
phần tƣơng thích với nội dung và mục đích dạy học;…………………...….8
ii) Gợi động cơ học tập và tiến hành hoạt động;…………………………..15
iii) Truyền thụ tri thức, đặc biệt là những tri thức phƣơng pháp, nhƣ phƣơng
tiện và kết quả của hoạt động;…………………………………………….29

iv) Phân bậc hoạt động làm chỗ dựa cho việc điều khiển quá trình dạy
học………………………………………………………………………...33
1.1.3. Mối liên hệ giữa các thành tố cơ sở trong hoạt động dạy học Tốn…....39
1.1.4. Vai trị của các thành tố cơ sở trong dạy học Toán…………..………...40
1.2. Thực trạng của việc vận dụng quan điểm hoạt động trong dạy học Toán hiện nay
ở trƣờng THPT………..……………………………………………………..40
1.3.Kết luận chƣơng 1…………………..………………………………………..43
Chương 2. Vận dụng quan điểm hoạt động của PPDH vào dạy học hình học
không gian lớp 11 THPT
2.1. Cơ sở của việc vận dụng quan điểm hoạt động trong dạy học hình học không
gian lớp 11 THPT………..……………………………………………………..44
2.1.1. Cơ sở triết học………..…...……………………………………………44
2.1.2. Cơ sở tâm lí học……………..…...…………………………………….44
2.1.3. Cơ sở sƣ phạm và thực tiễn………… …………………………………45
2.1.4. Cơ sở lý luận dạy học Toán………………………………….………...46
2.2. Tổng quan về hình học khơng gian trong chƣơng trình tốn THPT……….46
2.3. Vận dụng quan điểm hoạt động vào dạy học hình học khơng gian lớp 11 THPT
qua những tình huống cụ thể………………..…………………………….49
2.3.1. Vận dụng vào dạy học khái niệm…………………..…………………..50
2.3.2. Vận dụng vào dạy học định lý, quy tắc, phƣơng pháp……………..…...59
2.3.3. Vận dụng vào dạy học giải bài tập toán……………………..………….88
2.4. Kết luận chƣơng 2…………………………………………………………...95


4
Chương 3. Thử nghiệm sư phạm
3.1. Mục đích thử nghiệm………………………………………………………..96
3.2. Tổ chức và nội dung thử nghiệm……………………………………………96
3.3. Đánh giá kết quả thử nghiệm………………………………………………..97
Kết luận chƣơng 3………………………………………………………………..99

KẾT LUẬN………………………………..…..……………………….….100

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Thực trạng dạy học Toán ở trƣờng THPT từ trƣớc tới nay nhìn chung cịn thiên
về truyền thụ kiến thức một chiều. Vì vậy, phƣơng pháp dạy học đó chƣa phát huy
đƣợc tính tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh; làm học sinh rơi vào thế
bị động khi tiếp nhận kiến thức, đôi khi học thuộc công thức mà không hiểu đƣợc
bản chất của vấn đề. Cơ sở nào và vì sao lại có kiến thức ấy? Dẫn đến sự mơ hồ và
thiếu căn cứ khoa học về một kiến thức tiếp nhận nào đó. Cũng chính vì lối truyền
thụ kiến thức ấy mà ít gây nên sự hứng thú và tập trung khi học bài trên lớp, không
phát huy và phát triển đƣợc các tiềm năng tƣ duy ở học sinh.
Nghị quyết trung ƣơng 2 (khoá 8) chỉ rõ: “Đổi mới mạnh mẽ phƣơng pháp
giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tƣ duy
sáng tạo của ngƣời học”.
Luật giáo dục nƣớc cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam 2005 đã quy định:
- “Nội dung giáo dục phổ thơng phải bồi dƣỡng tính phổ thơng, cơ bản, tồn
diện, hƣớng nghiệp và có hệ thống; gắn với thực tiễn cuộc sống, phù hợp với tâm
sinh lý lứa tuổi của học sinh, đáp ứng mục tiêu giáo dục mỗi cấp học”.
( Điều 28. Yêu cầu về nội dung, phƣơng pháp giáo dục phổ thông).
- “Phƣơng pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tƣ duy
sáng tạo của ngƣời học, bồi dƣỡng cho ngƣời học năng lực tự học, khả năng thực


5
hành, lịng say mê học tập và ý chí vƣơn lên”. (Điều 5. Yêu cầu về nội dung, phƣơng
pháp giáo dục).
Xuất phát từ những yêu cầu xã hội đối với sự phát triển nhân cách của thế hệ
trẻ, từ những đặc điểm nội dung mới và từ bản chất của q trình học tập, địi hỏi
chúng ta phải đổi mới phƣơng pháp dạy học theo định hƣớng hoạt động hóa ngƣời

học. Tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích
cực chủ động và sáng tạo. Khi nghiên cứu về vấn đề đó, chúng tôi quan tâm đến việc
vận dụng quan điểm hoạt động vào dạy học Toán cho học sinh, mà nội dung của
quan điểm đó đƣợc thể hiện qua các tƣ tƣởng chủ đạo sau (Theo Nguyễn Bá Kim
2004):
-

Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động và hoạt động
thành phần tương thích với nội dung và mục đích dạy học;

-

Gây động cơ học tập và tiến hành hoạt động;

-

Truyền thụ tri thức, đặc biệt là những tri thức phương pháp, như
phương tiện và kết quả của hoạt động;

-

Phân bậc hoạt động làm chỗ dựa cho việc điều khiển quá trình dạy
học.

Quan điểm hoạt động đã đƣợc nhiều tác giả bàn tới trong các cơng trình hay
luận văn của mình. Các tác giả: Nguyễn Bá Kim, Vũ Dƣơng Thụy trong cuốn
“Phương pháp dạy học mơn Tốn” đã nghiên cứu lí luận về quan điểm hoạt động,
nhƣng chƣa đề cập đến việc vận dụng nó vào kiến thức cụ thể. Tác giả Phạm Sỹ Nam
- Đại học Vinh – 2001, trong luận văn thạc sỹ của mình đã vận dụng quan điểm hoạt
động vào việc thực hiện gợi động cơ với đề tài “Thực hành dạy học giải bài tập biến

đổi lượng giác theo hướng gợi động cơ cho học sinh khá, giỏi THPT”. Riêng trong
lĩnh vực hình học, GS.TS. Đào Tam với giáo trình “Phương pháp dạy học hình học
ở trường THPT” đã vận dụng quan điểm hoạt động cho việc hình thành các khái
niệm, quy tắc, phát hiện các định lí, chẳng hạn: Khái niệm hai vectơ cùng phƣơng
hay cùng chiều, hai vectơ bằng nhau, quy tắc hình bình hành, định lí Cơsin trong tam
giác (Hình học 10); Định lí về quan hệ song song, vng góc trong khơng gian (Hình
học 11); Khái niệm elip, hypebol (Hình học 12). Luận văn thạc sĩ của Nguyễn Thị


6
Hƣờng - Đại học Vinh – 2001, “Vận dụng quan điểm hoạt động hóa người học thơng
qua chủ đề hệ thức lượng trong tam giác và đường tròn lớp 10 THPT”. Tuy nhiên,
luận văn này cũng mới chỉ làm sáng tỏ việc vận dụng quan điểm hoạt động trong dạy
học hình học 10.
Việc vận dụng quan điểm hoạt động cũng đƣợc một số tác giả khác quan tâm
nhƣng chƣa có điều kiện nghiên cứu sâu sắc, chỉ đề cập tới ở cơng trình hay luận văn
của mình trong một số phân mục nhỏ. Chẳng hạn, luận văn thạc sỹ của Nguyễn
Dƣơng Hoàng - Đại học Huế – 1999 với tiêu đề: “Hoạt động gợi động cơ hướng đích
trong dạy học các định lí hình học khơng gian lớp 11 THPT”.
Nhƣ vậy, việc vận dụng quan điểm hoạt động trong dạy học Toán cũng đƣợc
nhiều ngƣời quan tâm nghiên cứu, song chƣa đề cập nhiều đến các kiến thức Toán
học cụ thể, nhất là phần hình học khơng gian (Chƣơng 3, sách giáo khoa hình học 11
hiện hành). Về việc dạy học chƣơng này đã có nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu
nhằm nâng cao hiệu quả. Song, trong các luận văn này các tác giả chỉ chủ yếu đề cập
đến các biện pháp giúp học sinh hoạt động một cách tích cực, nhằm ứng dụng và
khai thác các khái niệm, định lí. Thực tiễn dạy học ở lớp 11 cho thấy hình học khơng
gian là một phần kiến thức quan trọng mà khó lĩnh hội, nó gây cho học sinh tâm lí
ngại học phần này. Vì vậy, vận dụng quan điểm hoạt động để hình thành khái niệm,
cơng thức, phát hiện định lí, định hƣớng lời giải bài tập là một giải pháp đúng đắn để
tạo hứng thú học tập cho học sinh, làm cho học sinh có ý thức tự giác, tích cực khi

học phần kiến thức này. Đó cũng là tiền đề quan trọng để học sinh nắm vững kiến
thức, kỹ năng tiến tới khai thác tốt các ứng dụng của khái niệm, định lí.
Nâng cao hiệu quả dạy và học, làm cho học sinh thấy đƣợc cái đẹp, gây cho họ
hứng thú khi học phần kiến thức hình học khơng gian, chính là lí do mà chúng tôi
chọn đề tài: “Vận dụng quan điểm hoạt động vào dạy học hình học khơng gian lớp
11 THPT”.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của luận văn là xác định cơ sở lí luận và thực tiễn làm
căn cứ vận dụng quan điểm hoạt động vào dạy học khái niệm, định lý, bài tập hình


7
học khơng gian, trên cơ sở tơn trọng chƣơng trình và sách giáo khoa hiện hành nhằm
nâng cao hiệu quả dạy học Toán ở trƣờng THPT.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
a, Xác định vị trí, vai trị của quan điểm hoạt động trong q trình dạy học Tốn;
b, Thực trạng của việc vận dụng quan điểm hoạt động vào dạy học Toán ở trƣờng
THPT nhƣ thế nào?
c, Xác định cơ sở của việc vận dụng quan điểm hoạt động trong dạy học hình học
khơng gian lớp 11 THPT;
d, Vận dụng quan điểm hoạt động vào dạy học hình học khơng gian lớp 11 qua
những tình huống cụ thể nhƣ thế nào?
4. Giả thuyết khoa học
Trong quá trình dạy học, nếu giáo viên biết tổ chức tốt việc vận dụng quan
điểm hoạt động vào dạy học hình học khơng gian ở lớp 11 thì khơng những hƣớng
học sinh vào việc giải quyết vấn đề Tốn học một cách tích cực mà cịn hình thành ở
học sinh các phẩm chất trí tuệ, từ đó sẽ góp phần nâng cao hiệu quả dạy học Tốn.
5. Phương pháp nghiên cứu
1. Nghiên cứu lí luận: Sách báo và các tài liệu chuyên môn liên quan đến việc xác
định nội dung, đặc điểm, bản chất của “Quan điểm hoạt động”;

2. Phân tích SGK Hình học lớp 11 hiện hành để chỉ ra cách thức vận dụng cụ thể
quan điểm hoạt động vào dạy học hình học khơng gian nhằm nâng cao hiệu quả dạy
học.
6. Đóng góp của luận văn
1. Về mặt lý luận
- Góp phần làm sáng tỏ nội dung quan điểm hoạt động cũng nhƣ vai trị, vị trí và
sự cần thiết của nó trong hoạt động dạy học Toán ở trƣờng THPT.
2. Về mặt thực tiễn
- Luận văn có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên Toán THPT, sinh viên
các trƣờng Đại học sƣ phạm.
7. Cấu trúc của luận văn


8
Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, luận văn có
cấu trúc nhƣ sau:
Chƣơng 1. Một số vấn đề về cơ sở lý luận và thực tiễn cho việc vận dụng quan
điểm hoạt động vào dạy học hình học khơng gian lớp 11 THPT
1.1.

Hoạt động của học sinh và những thành tố cơ sở của PPDH
1.1.1. Hoạt động của học sinh
1.1.2. Các thành tố cơ sở của hoạt động dạy học Toán
1.1.3. Mối liên hệ giữa các thành tố cơ sở trong hoạt động dạy học Tốn
1.1.4. Vai trị của các thành tố cơ sở trong dạy học Toán

1.2.

Thực trạng của việc vận dụng quan điểm hoạt động trong dạy học
Toán hiện nay ở trƣờng THPT

1.3.

Kết luận chƣơng 1

Chƣơng 2. Vận dụng quan điểm hoạt động của PPDH vào việc dạy học hình
học khơng gian lớp 11 THPT
2.1. Cơ sở của việc vận dụng quan điểm hoạt động trong dạy học hình học
khơng gian lớp 11 THPT
2.2. Tổng quan về hình học khơng gian trong chƣơng trình Tốn THPT
2.3. Vận dụng quan điểm hoạt động vào dạy học hình học khơng gian lớp 11
THPT qua những tình huống cụ thể
2.3.1. Vận dụng vào dạy học khái niệm
2.3.2. Vận dụng vào dạy học định lý, quy tắc, phƣơng pháp
2.3.3. Vận dụng vào dạy học giải bài tập
2.4. Kết luận chƣơng 2
Chƣơng 3. Thử nghiệm sƣ phạm
3.1. Mục đích thử nghiệm
3.2. Tổ chức và nội dung thử nghiệm
3.3. Đánh giá kết quả thử nghiệm
3.4. Kết luận chƣơng 3


9

CHƢƠNG 1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
CHO VIỆC VẬN DỤNG QUAN ĐIỂM HOẠT ĐỘNG VÀO DẠY HỌC HÌNH
HỌC KHƠNG GIAN LỚP 11 THPT

1.1. Hoạt động của học sinh và các thành tố cơ sở của phương

pháp dạy học
1.1.1. Hoạt động của học sinh
Công cuộc xây dựng xã hội mới trƣớc ngƣỡng cửa của thế kỷ XXI địi hỏi nhà
trƣờng phổ thơng phải đào tạo ra những con ngƣời không những nắm đƣợc kiến thức
khoa học mà lồi ngƣời đã tích lũy đƣợc mà cịn phải có năng lực sáng tạo, giải quyết
đƣợc những vấn đề mới mẻ của đời sống bản thân mình, của đất nƣớc, của xã hội.
Trong vài thập kỷ gần đây, dựa trên những thành tựu của tâm lý học, lý luận
dạy học đã chứng tỏ rằng có thể đạt đƣợc mục đích trên bằng cách đƣa học sinh vào
vị trí chủ thể hoạt động trong q trình dạy học; thơng qua hoạt động tự lực, tích cực
của bản thân mà chiếm lĩnh kiến thức đồng thời hình thành và phát triển khả năng tƣ
duy.
Hoạt động là quy luật chung nhất của tâm lý học. Nó là phƣơng thức tồn tại
của cuộc sống chủ thể. Hoạt động sinh ra từ nhu cầu nhƣng lại đƣợc điều chỉnh bởi
mục tiêu mà chủ thể nhận thức đƣợc. Nhƣ vậy, hoạt động là hệ toàn vẹn gồm hai
thành tố cơ bản: chủ thể và đối tƣợng; chúng tác động lẫn nhau, thâm nhập vào nhau
và sinh thành ra nhau tạo ra sự phát triển của hoạt động, Hoạt động học là yếu tố
quan trọng và có tính chất quyết định, thơng thƣờng các hoạt động khác hƣớng làm
thay đổi khách thể (đối tƣợng của hoạt động) trong khi đó hoạt động học lại làm cho


10
chính chủ thể hoạt động thay đổi và phát triển. Dĩ nhiên cũng có khi hoạt động học
lại làm thay đổi khách thể nhƣng đó chỉ là phƣơng tiện để đạt mục đích làm cho
ngƣời học phát triển năng lực nhận thức (chẳng hạn trong thí nghiệm).
Mỗi nội dung dạy học đều liên hệ mật thiết với những hoạt động nhất định. Đó
là những họat động đã đƣợc tiến hành trong q trình hình thành và vận dụng nội
dung đó. Cho nên, để đảm bảo đƣợc nội dung dạy học, thu đƣợc kết quả nhƣ mong
muốn chúng ta cần tổ chức cho chủ thể học sinh tiến hành họat động một cách tự giác
và hiệu quả. Cụ thể là:
Bắt đầu từ một nội dung dạy học ta cần phát hiện ra những hoạt động liên hệ

với nó rồi căn cứ vào mục đích dạy học mà lựa chọn để tập luyện cho học sinh một
số trong những hoạt động đã phát hiện đƣợc. Việc phân tích một hoạt động thành
những hoạt động thành phần giúp ta tổ chức cho học sinh tiến hành những hoạt động
với mức độ vừa sức với họ và đây là tƣ tƣởng chủ đạo để đi đến xu hƣớng cho học
sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động thành phần tƣơng thích với nội dung và
mục đích dạy học.
Hoạt động thúc đẩy sự phát triển là hoạt động mà chủ thể thực hiện một cách
tích cực và tự giác. Vì thế, cần gắn liền với gợi động cơ để học sinh ý thức rõ ràng vì
sao thực hiện hoạt động này hay hoạt động khác. Chính vì vậy, xu hƣớng gợi động
cơ đƣợc đƣa vào quan điểm hoạt động trong phƣơng pháp dạy học và trở thành một
trong các xu hƣớng hoạt động có ý nghĩa đặc biệt quan trọng.
Việc tiến hành những hoạt động đòi hỏi những tri thức nhất định, đặc biệt là tri
thức phƣơng pháp. Những tri thức nhƣ vậy có khi lại là kết quả của một quá trình
hoạt động. Thông qua hoạt động để truyền thụ các kiến thức, đặc biệt là tri thức
phƣơng pháp có ý nghĩa quan trọng trong dạy học.
Trong hoạt động, kết quả rèn luyện ở một mức độ nào đó của một hoạt động
có thể là tiền đề để tập luyện và đạt kết quả cao hơn của các hoạt động tiếp theo. Cho
nên cần phân bậc hoạt động theo những mức độ khác nhau làm cơ sở cho việc chỉ
đạo, điều khiển quá trình dạy học.
Nói tóm lại, để thực hiện một cách tồn diện mục đích dạy học phải tổ chức
thực hiện những hoạt động theo những xu hƣớng trên.


11
Những tƣ tƣởng chủ đạo trên hƣớng vào việc tập luyện cho học sinh những
hoạt động và hoạt động thành phần, gợi động cơ hoạt động, xây dựng tri thức mà đặc
biệt là tri thức phƣơng pháp, phân bậc hoạt động. Nên chúng đƣợc xem là các thành
tố cơ sở của phƣơng pháp dạy học.

1.1.2. Các thành tố cơ sở của hoạt động dạy học Toán

(Các tƣ tƣởng chủ đạo thể hiện quan điểm hoạt động trong phƣơng pháp dạy
học toán).
i) Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động và hoạt động
thành phần tương thích với nội dung và mục tiêu dạy học
a) Phát hiện những hoạt động tương thích với nội dung
Một hoạt động của ngƣời học đƣợc gọi là tƣơng thích với nội dung dạy học
nếu nó có tác động góp phần kiến tạo hoặc củng cố, ứng dụng. Những tri thức đƣợc
bao hàm trong nội dung đó hoặc rèn luyện những kỹ năng, hoặc hình thành những
thái độ có liên quan.
Việc phát hiện những hoạt động tƣơng thích với nội dung căn cứ một phần
quan trọng vào sự hiểu biết về những dạng nội dung khác nhau: khái niệm, định lý
hay phƣơng pháp, về những con đƣờng khác nhau để dạy học từng nội dung. Chẳng
hạn: Con đƣờng quy nạp, suy diễn hay kiến thiết để tiếp cận khái niệm; Con đƣờng
thuần tuý suy diễn hay có cả suy đốn để dạy học định lý.
Ở mỗi con đƣờng nói trên ta cần chú ý xem xét những dạng hoạt động khác
nhau trên những bình diện khác nhau nhƣ:
- Nhận dạng và thể hiện;
- Những hoạt động Tốn học phức hợp;
- Những hoạt động trí tuệ phổ biến trong mơn Tốn;
- Những hoạt động trí tuệ chung;
- Những hoạt động ngôn ngữ.
* Hoạt động nhận dạng và thể hiện là hai dạng hoạt động theo chiều hƣớng
trái ngƣợc nhau liên hệ với một định nghĩa, một định lý hay một phƣơng pháp.


12
- Nhận dạng một khái niệm là phát hiện xem một đối tƣợng cho trƣớc có thỗ
mãn định nghĩa đó hay không. Thể hiện một khái niệm là tạo một đối tƣợng thõa mãn
định nghĩa đó (có thể cịn địi hỏi thoã mãn một số yêu cầu khác nữa).
Chẳng hạn, sau khi dạy khái niệm hai đƣờng thẳng chéo nhau, hai đƣờng thẳng

song song để học sinh nhận dạng khái niệm này giáo viên yêu cầu học sinh giải bài
toán sau:
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A' B'C ' D'
a) Hãy chỉ ra các cặp đƣờng thẳng chéo nhau?
b) Hãy chỉ ra các cặp đƣờng thẳng song song?
B
A
C
D

B'
A'
C'
D'

Còn để thể hiện khái niệm này giáo viên yêu cầu học sinh cho ví dụ về hai
đƣờng thẳng song song, hai đƣờng thẳng chéo nhau có trong lớp học?
- Nhận dạng một định lý là xét xem một tình huống cho trƣớc có ăn khớp với
định lý đó hay khơng, cịn thể hiện một định lý là xây dựng một tình huống ăn khớp
với định lý cho trƣớc.
Chẳng hạn, để nhận dạng định lý ba đƣờng vng góc, giáo viên cho học sinh
làm bài tập sau: Cho hình chóp S.ABCD trong đó ABCD là hình vng và
SA  ( ABCD) . Chứng minh rằng SC  BD .


13
S

B

O

C

A

D

- Chẳng hạn, để thể hiện định lý ba đƣờng vng góc, giáo viên cho học sinh
làm bài tập sau: Cho tứ diện ABCD có ba mặt chung đỉnh B đều vuông, các cạnh AB
= 5cm, BC = 3cm, BD = 4cm. Tính góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD)?
A

D

B
E
C

- Nhận dạng một phương pháp là phát hiện xem một dãy tình huống có phù
hợp với các bƣớc thực hiện phƣơng pháp đó hay khơng, cịn thể hịên phƣơng pháp là
tạo một dãy tình huống phù hợp với các bƣớc thực hiện phƣơng pháp đó.
Chẳng hạn, để thể hiện phƣơng pháp dựng đƣờng vng góc chung của hai
đƣờng thẳng chéo nhau giáo viên ra cho học sinh bài tập: Cho hình hộp chữ nhật
ABCD. A' B'C ' D' . Dựng đƣờng vng góc chung của AC và B' D' ?


14
B
A

M
C
D

B'
A'
N

C'

D'

*Những hoạt động Toán học phức hợp nhƣ chứng minh, định nghĩa, giải tốn
bằng cách lập phƣơng trình, giải tốn dựng hình, giải tốn quỹ tích,…thƣờng xuất
hiện lặp đi lặp lại trong sách giáo khoa Tốn phổ thơng. Cho học sinh tập luyện
những hoạt động này sẽ làm cho họ nắm vững những nội dung Toán học và phát
triển những kỹ năng và năng lực Toán học tƣơng ứng.
*Hoạt động trí tuệ phổ biến trong Tốn học: lật ngƣợc vấn đề, xét tính giải
đƣợc (có nghiệm, nghiệm duy nhất, nhiều nghiệm), phân chia trƣờng hợp…
- Lật ngược vấn đề: Chẳng hạn, từ tính chất: hai đƣờng thẳng a và b song song
thì chúng khơng có điểm chung, giáo viên đặt vấn đề: hai đƣờng thẳng a và b khơng
có điểm chung, liệu ta có suy ra a song song b. Hay, sau khi học xong định lý:
d  ( ), d d '  ( )  d ( ) . Giáo viên đặt câu hỏi: liệu điều ngƣợc lại của định lý có

đúng khơng?
- Phân chia trường hợp: Chẳng hạn, xét bài tốn: Cho hình chóp S.ABCD với
đáy là hình thang ABCD có AD BC và AD = 2BC. Gọi E là trung điểm của AD và
O  AC  BE . I là điểm di động trên cạnh AC khác A và C. Qua I, ta vẽ mặt phẳng

( ) song song (SBE). Tìm thiết diện tạo bởi ( ) và hình chóp S.ABCD?

Để tìm thiết diện ta phải phân chia 2 trƣờng hợp: I thuộc đoạn AO, khi đó thiết
diện là JMN và I thuộc đoạn CO, khi đó thiết diện là tứ giác MNPQ (hình dƣới).


15
S
S

N

M

J

M

A
N
B

E

E

A

D

P

D

O

I
O

B
C

I
Q

C

* Hoạt động trí tuệ chung: phân tích, tổng hợp, so sánh, xét tƣơng tự, trừu
tƣợng hóa, khái quát hóa,…Chúng đƣợc gọi là hoạt động trí tuệ chung bởi vì chúng
cũng đƣợc thực hiện ở các môn học khác một cách bình đẳng nhƣ mơn Tốn.
- Xét tƣơng tự: Chẳng hạn, khi dạy định nghĩa phép cộng hai vectơ, tích vô
hƣớng của hai vectơ, khái niệm vectơ chỉ phƣơng, khái niệm góc giữa hai đƣờng
thẳng, góc giữa hai vectơ,… trong không gian; Giáo viên yêu cầu học sinh nêu định
nghĩa tƣơng tự nhƣ trong mặt phẳng.
Hay, từ bài toán phẳng, xét bài tốn khơng gian tƣơng tự, sau khi học sinh đã
biết sự tƣơng tự giữa các đối tƣợng trong hình học phẳng và hình học khơng gian.
Chẳng hạn, từ định lý trong hình học phẳng: Giao của ba đường trung tuyến đồng
quy, giáo viên yêu cầu học sinh phát biểu bài tốn tƣơng tự trong hình học khơng
gian: Học sinh phân tích rằng: Đƣờng trung tuyến của tam giác là đoạn thẳng nối một
đỉnh của tam giác và trung điểm cạnh đối diện; tƣơng tự tam giác của hình học phẳng
là tứ diện của hình học khơng gian, tƣơng tự trung điểm cạnh đối diện của tam giác

của hình học phẳng là trọng tâm mặt đối diện của tứ diện của hình học khơng gian.
Nhƣ vậy, trong hình học khơng gian có định lý tƣơng tự định lý nêu trên là : Trong tứ
diện các đường thẳng đi qua một đỉnh và trọng tâm của mặt đối diện thì đồng quy.
*Hoạt động ngôn ngữ: đƣợc học sinh thực hiện khi họ đƣợc yêu cầu phát
biểu, giải thích một định nghĩa, một mệnh đề nào đó, đặc biệt là bằng lời lẽ của mình
hoặc biến đổi chúng từ dạng này sang dạng khác, chẳng hạn từ dạng ký hiệu Toán
học sang ngôn ngữ tự nhiên và ngƣợc lại.


16
Ví dụ 1. Giáo viên yêu cầu học sinh phát biểu bằng kí hiệu Tốn học định lý
Thales trong khơng gian, hay yêu cầu học sinh diễn đạt theo cách khác định nghĩa:
Ba đƣờng thẳng a, b, c đồng quy.
Ví dụ 2. Để tìm tịi lời giải bài tốn, có khi ta phải diễn đạt kết luận của bài
toán sang ngơn ngữ khác. Chẳng hạn, đối với bài tốn: “Cho hình hộp
ABCD.A’B’C’D’. Xác định hai điểm M, N sao cho M  AC ', N  B ' D ', MN A ' D ”,
giáo viên yêu cầu học sinh diễn đạt kết luận của bài toán theo các cách khác nhau:
+ Cách 1. Yêu cầu học sinh chuyển sang ngơn ngữ vectơ. Khi đó, u cầu của
 AM  x AC '

bài tốn trở thành tìm x, y sao cho  B ' N  yB ' D ' (*) . Từ đó, học sinh phải biểu thị

 MN  z A ' D

các vectơ AC ' , B ' D ' , A ' D qua ba vectơ không đồng phẳng AB  a, AD  b, AA '  c , sau
2
3

1
3

đó chuyển hệ (*) về hệ phƣơng trình đại số và tìm đƣợc x  , y  .
A'

D'

N

B'

C'

M

A
B

D
C

+ Cách 2. Yêu cầu học sinh chuyển sang ngơn ngữ của phép chiếu song song.
Khi đó, u cầu bài toán trở thành: Xác định M, N sao cho: M  AC ', N  B ' D ' và M
là ảnh của N qua phép chiếu song song lên mặt phẳng (A’B’C’D’) theo phƣơng chiếu
A’D. Từ đó, việc xác định M, N quy về việc xác định N (N là giao của hai đƣờng
thẳng B’D’ và đƣờng thẳng ảnh của đƣờng thẳng AC’ qua phép chiếu song song nói
trên).


17
A"

A'

D'

N

B'

C'

M

B

A

C

D

+ Cách 3. Yêu cầu học sinh phát biểu bài tốn tổng qt của bài tốn này : Khi
đó, bài toán này là trƣờng hợp đặc biệt của bài toán: Dựng đƣờng thẳng cắt hai
đƣờng thẳng chéo nhau và song song với đƣờng thẳng cho trƣớc.

b) Phân tách những hoạt động thành những hoạt động thành phần
Theo Nguyễn Bá Kim 2004: Trong quá trình hoạt động, nhiều khi một hoạt
động này có thể xuất hiện nhƣ một thành phần của hoạt động khác. Phân tách một
hoạt động thành những hoạt động thành phần là biết đƣợc cách tiến hành hoạt động
tồn bộ, nhờ đó có thể vừa quan tâm rèn luyện cho học sinh hoạt động toàn bộ vừa

chú ý cho họ tập luyện tách riêng những hoạt động thành những hoạt động thành
phần khó hoặc quan trọng khi cần thiết. Chẳng hạn, nếu học sinh gặp khó khăn khi
chứng minh một mệnh đề Tốn học, có thể tách riêng một thành phần của nó là khái
quát hóa và cho học sinh tập luyện thành phần này nhờ câu hỏi gợi ý sau: “Tình
huống bài tốn này phù hợp với giả thiết của định lý nào?”


18
c) Lựa chọn hoạt động dựa vào mục tiêu
Theo Nguyễn Bá Kim 2004: Mỗi nội dung thƣờng tiềm tàng nhiều hoạt động.
Tuy nhiên nếu khuyến khích tất cả các hoạt động nhƣ thế thì có thể sa vào tình trạng
dàn trải, làm cho học sinh thêm rối ren. Để khắc phục tình trạng này, cần sàng lọc
những hoạt động đã phát hiện đƣợc để tập trung vào một số mục tiêu nhất định. Việc
tập trung vào những mục tiêu nào đó căn cứ vào tầm quan trọng của các mục tiêu này
đối với việc thực hiện những mục tiêu còn lại.
d) Tập trung vào những hoạt động toán học
Theo Nguyễn Bá Kim 2004 thì năm dạng hoạt động ở mục (i) có vai trị khơng
ngang nhau. Ta cần hƣớng tập trung vào những hoạt động Toán học, tức là những
hoạt động nhận dạng và thể hiện những khái niệm, định lý và phương pháp toán học,
những hoạt động toán học phức hợp như định nghĩa, chứng minh,…Các hoạt động
còn lại không hề bị xem nhẹ, nhƣng đƣợc tập luyện trong khi và nhằm vào việc thực
hiện các hoạt động toán học nói trên.
ii) Gợi động cơ hoạt động trong dạy học Toán
a) Thế nào là gợi động cơ cho hoạt động
Hoạt động là một quá trình thực hiện sự chuyển hóa lẫn nhau giữa hai cực chủ
thể và khách thể. Hoạt động là một cơ cấu có tổ chức, có chuyển hóa và biến đổi bên
trong.
Theo A. N. Lêơnchiep 1989: “Hoạt động đƣợc đặc trƣng bởi tính đối tƣợng
của nó. Do vậy điều chủ yếu để phân biệt hoạt động này với hoạt động khác là ở chỗ
đối tƣợng của chúng khác nhau. Quả vậy, chính đối tƣợng của hoạt động làm cho

hoạt động có một hƣớng nhất định”.
Theo Ơng: “Đối tƣợng của hoạt động là động cơ thực sự của hoạt động”,
“Khái niệm hoạt động gắn liền một cách tất yếu với khái niệm động cơ. Khơng có
hoạt động nào khơng có động cơ; hoạt động “khơng động cơ” không phải là hoạt
động thiếu động cơ mà là hoạt động với một động cơ ẩn dấu về mặt chủ quan và về
mặt khách quan”.
Trong dạy học Toán ở trƣờng phổ thông đối tƣợng của hoạt động là một họ các
tình huống: Các sự vật, các kiến thức về các đối tƣợng, các quan hệ , quy luật,


19
phƣơng pháp…Các tình huống này cần đƣợc hình dung, tƣ duy làm bộc lộ với tƣ
cách là động cơ của hoạt động, là đối tƣợng mang tính nhu cầu. Khi đối tƣợng của
nhu cầu đƣợc phát lộ ra thì các đối tƣợng đó kích thích và điều chỉnh hoạt động,
chúng đƣợc gọi là động cơ của hoạt động (Sau động cơ của hoạt động là những nhu
cầu của hoạt động).
Dạy học là một quá trình tác động lên đối tƣợng học sinh, nên để đạt mục đích
dạy học điều cần thiết và quyết định là tất cả học sinh phải học tập tự giác, tích cực,
chủ động và sáng tạo. Do vậy học sinh phải có ý thức về những mục tiêu đặt ra và tạo
đƣợc động lực bên trong thúc đẩy bản thân họ hoạt động để đạt các mục tiêu đó.
Điều này đƣợc thực hiện trong dạy học không chỉ đơn giản bằng việc nêu rõ mục tiêu
mà quan trọng hơn cịn do gợi động cơ.
Chính vì mọi hoạt động đều có động cơ của nó, mặc dầu động cơ có thể đƣợc
nhận biết một cách tƣờng minh hay ẩn tàng bên trong hoạt động, nên việc gợi động
cơ là cần thiết, bởi học sinh do hạn chế về trình độ nhận thức nên khơng phải khi nào
họ cũng có ý thức về ý nghĩa của hoạt động và của đối tƣợng hoạt động; tạo cho họ
có đƣợc sự say mê, hứng thú, ham muốn tìm tịi, suy nghĩ khám phá, tiến hành những
hoạt động.
Gợi động cơ đƣợc hiểu cả ở tầm vi mô lẫn vĩ mô. Ở tầm vĩ mơ (tức là gợi động
cơ học tập nói chung) cần phải có sự tham gia của tồn xã hội, trong cũng nhƣ ngoài

ngành giáo dục, để tƣơng hỗ tích cực với gợi động cơ ở tầm vi mơ (gợi động cơ trong
phạm vi dạy học của giáo viên), để cho giáo viên gợi động cơ học tập của học sinh
đạt kết quả cao nhất.
Có nhiều phƣơng thức để gợi động cơ cho học sinh: ở lớp dƣới, giáo viên
thƣờng dùng những cách nhƣ cho điểm, khen, chê, thông báo kết quả học tập cho gia
đình,… để gợi động cơ. Càng lên lớp cao, cùng với sự trƣởng thành của học sinh với
trình độ nhận thức và giác ngộ chính trị ngày một nâng cao thì những cách gợi động
cơ xuất phát từ nội dung hƣớng vào những nhu cầu nhận thức, nhu cầu đời sống,
trách nhiệm đối với xã hội ngày một trở nên quan trọng.


20
Gợi động cơ không phải là việc làm ngắn ngủi lúc bắt đầu dạy một tri thức nào
đó (một bài học…) mà phải xuyên suốt quá trình dạy học. Vì vậy có thể phân biệt gợi
động cơ mở đầu, gợi động cơ trung gian và gợi động cơ kết thúc.
b) Các cách thường dùng để gợi động cơ
i) Gợi động cơ mở đầu
Ta thƣờng vận dụng gợi động cơ mở đầu khi bắt đầu nội dung, có thể là một
phân mơn, một chƣơng, một bài hoặc một phần nào đó của bài. Chẳng hạn, khi bắt
đầu học phân mơn hình học khơng gian, giáo viên có thể gợi động cơ nhƣ sau: Trƣớc
đây, chúng ta đã nghiên cứu các tính chất của những hình nằm trong mặt phẳng. Mơn
học nghiên cứu các tính chất của hình nằm trong mặt phẳng đƣợc gọi là hình học
phẳng. Trong thực tế, ta thƣờng gặp các vật nhƣ: hộp phấn, kệ sách, bàn học,… là
các hình hình học trong khơng gian. Mơn học nghiên cứu các tính chất của các hình
trong khơng gian đƣợc gọi là hình học khơng gian. Hoặc khi bắt đầu học bài hai mặt
phẳng song song, giáo viên gợi động cơ bằng hình ảnh bề mặt của các bậc cầu thang,
hay khi bắt đầu học bài đƣờng thẳng vng góc với mặt phẳng, giáo viên gợi động cơ
nhƣ sau: Trong thực tế, hình ảnh của sợi dây dọi vng góc với nền nhà cho ta khái
niệm về sự vng góc của đƣờng thẳng và mặt phẳng.
Gợi động cơ mở đầu có thể xuất phát từ thực tế nhƣ các ví dụ trên đây hoặc từ

nội bộ toán học.
- Khi gợi động cơ xuất phát từ thực tế có thể nêu lên:
+ Thực tế gần gũi xung quanh học sinh;
+ Thực tế xã hội rộng lớn (kinh tế, kỹ thuật, quốc phịng,…);
+ Thực tế ở những mơn học và khoa học khác.
Ta thƣờng gợi động cơ xuất phát từ thực tế khi bắt đầu một nội dung lớn chẳng
hạn một phân môn hay một chƣơng. Việc xuất phát từ thực tế giúp học sinh tri giác
vấn đề dễ dàng hơn bởi vì đó là những sự vật mà học sinh tiếp xúc hàng ngày, cái mà
học sinh đã quen thuộc, đồng thời qua đó học sinh thấy đƣợc sự liên hệ giữa thực tế
và lí thuyết ở trƣờng. Từ đó làm cho bài học trở nên hấp dẫn hơn, cuốn hút hơn và
đồng thời tạo cho học sinh ý thức vận dụng lí thuyết đã học để áp dụng vào cải tạo
thực tiễn.


21
Nhƣ vậy, việc xuất phát từ thực tế không những có tác dụng gợi động cơ mà
cịn góp phần hình thành thế giới quan duy vật biện chứng. Nhờ đó mà học sinh thấy
rõ việc nhận thức và cải tạo thế giới đã đòi hỏi phải suy nghĩ và giải quyết những vấn
đề Toán học nhƣ thế nào, tức là nhận rõ Toán học bắt nguồn từ những nhu cầu của
đời sống thực tế. Vì vậy cần khai thác mọi khả năng để gợi động cơ xuất phát từ thực
tế, nhƣng cần chú ý những điều kiện sau:
- Vấn đề đặt ra phải đảm bảo tính chân thực, có thể đơn giản hố vì lý do sƣ
phạm trong trƣờng hợp cần thiết;
- Việc nêu vấn đề khơng địi hỏi q nhiều kiến thức bổ sung vì nếu ngƣợc lại
làm cho học sinh phân tán tƣ tƣởng và khó mà lĩnh hội nội dung trọng tâm trọn vẹn;
- Con đƣờng từ lúc nêu cho tới khi giải quyết vấn đề càng ngắn càng tốt.
Mặt khác Toán học phản ánh thực tế một cách tồn bộ và nhiều tầng, do đó
khơng phải bất cứ một nội dung nào, hoạt động nào cũng có thể gợi động cơ xuất
phát từ thực tế. Vì vậy ta còn cần tận dụng việc gợi động cơ từ nội bộ Toán học.
Gợi động cơ từ nội bộ Toán học là nêu vấn đề Toán học xuất phát từ nhu cầu

Toán học, từ việc xây dựng khoa học Toán học từ những phƣơng thức tƣ duy và hoạt
động Toán học.
Gợi động cơ theo cách này là cần thiết vì hai lẽ:
+ Thứ nhất: Nhƣ đã nêu trên, việc gợi động cơ từ thực tế không phải bao giờ
cũng thực hiện đƣợc;
+ Thứ hai: Nhờ gợi động cơ từ nội bộ Tốn học, học sinh hình dung đƣợc
đúng sự hình thành và phát triển của Tốn học cùng với đặc điểm của nó và có thể
dần dần tiến tới hoạt động Toán học một cách độc lập.
Ta thƣờng vận dụng gợi động cơ từ nội bộ Toán khi bắt đầu từ một bài mới,
hoặc trong từng phần của bài, mà các cách thƣờng dùng là:
*Đáp ứng nhu cầu xóa bỏ một hạn chế
Ví dụ. Trong hình học phẳng, để nghiên cứu quan hệ vị trí của hai đƣờng
thẳng, ngƣời ta đƣa ra một khái niệm, đó là góc giữa hai đƣờng thẳng mà ta đã biết.
Bây giờ xét trong khơng gian cho hai đƣờng thẳng chéo nhau, thì chúng không nằm
trong mặt phẳng nào cả và hiển nhiên chúng khơng tạo ra một góc nào cả. Tuy nhiên,


22
chúng ta vẫn muốn tìm một số để đo “độ lệch về phương của hai đường thẳng đó”,
con số nhƣ vậy vẫn đƣợc gọi là góc giữa hai đƣờng thẳng a và b. Từ đó ta phải mở
rộng khái niệm góc giữa hai đƣờng thẳng trong mặt phẳng thành góc giữa hai đƣờng
thẳng trong không gian để đáp ứng nhu cầu trên.
*Hướng tới sự hồn chỉnh, hệ thống
Ví dụ. Tìm các trƣờng hợp về điều kiện song song của hai mặt phẳng, thực tế
cho thấy rằng trƣờng hợp mặt phẳng này chứa một đƣờng thẳng song song với mặt
phẳng kia thì chƣa chắc hai mặt phẳng đó song song. Từ đó, xét một cách đầy đủ và
hệ thống tất cả các trường hợp mặt phẳng này chứa hai đƣờng thẳng song song với
mặt phẳng kia. Làm nhƣ vậy ta có kết quả: Điều kiện để hai mặt phẳng song song là
mặt phẳng này chứa hai đƣờng thẳng cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng kia.

(Q)
a

(P)

(Q)
a
b

(P)


23
a
A

(P)

b

a'
A'
b'
(Q)

*Lật ngược vấn đề
Sau khi chứng minh một định lý, một bài toán; một câu hỏi rất tự nhiên thƣờng
đƣợc đặt ra là liệu mệnh đề đảo của định lý cịn đúng nữa khơng?
Chẳng hạn, sau khi học xong định lý: Nếu đƣờng thẳng d không nằm trong mp
(ỏ) và d song song đƣờng thẳng d’ nằm trong (ỏ) thì d song song (ỏ). Giáo viên đặt

câu hỏi ngược lại: Nếu d song song (ỏ), liệu có tồn tại đƣờng thẳng d’ nằm trong (ỏ)
mà d song song d’ ?
a

b
(P)

Hay, ta biết tích vơ hƣớng của hai vectơ chỉ phƣơng của hai đƣờng thẳng
vng góc bằng 0, giáo viên đặt câu hỏi ngược lại: Nếu biết tích vơ hƣớng của hai
vectơ chỉ phƣơng của hai đƣờng thẳng bằng 0 thì hai đƣờng thẳng đó có vng góc
với nhau khơng? (Từ biểu thức của tích vơ hƣớng ta suy ra góc giữa hai vec tơ chỉ
phƣơng bằng 900 ).
* Xét tương tự
Ví dụ 1. Để học sinh phát biểu định nghĩa góc giữa hai vectơ trong khơng gian,
giáo viên gợi ý rằng: Định nghĩa đó hồn tồn tương tự như định nghĩa góc giữa hai
vectơ trong mặt phẳng.


24
Ví dụ 2. Xuất phát từ bài tốn sau: Qua các đỉnh của tam giác ABC vẽ các
đƣờng thẳng a, b, c lần lƣợt song song với các cạnh BC, CA, AB;
a  b  M , b  c  N , c  a  P . Chứng minh rằng A, B, C là các trung điểm của các cạnh

PM, MN, NP của tam giác MNP.
P

A

B

M
N

C

Để có bài toán mới, giáo viên yêu cầu học sinh xét bài tốn tương tự trong
khơng gian.
Khi đó, học sinh phát biểu đƣợc bài toán mới: Cho tứ diện ABCD. Qua các
đỉnh A, B C, D vẽ các mặt phẳng (P), (Q), (R), (S) lần lƣợt song song với các mặt đối
diện với các đỉnh A, B, C, D. Các mặt phẳng (P), (Q), (R), (S) đôi một cắt nhau tạo
thành tứ diện MNPQ. Chứng minh rằng trọng tâm của các mặt tứ diện lần lƣợt là A,
B, C, D.
P

A
B

D

Q
N
C

M

*Khái quát hóa