Ứng dụng dạng toàn phương để giải phương trình vô định nghiệm nguyên

1

Bộ giáo dục và đào tạo
Tr-ờng đại học Vinh
------------------------------------------

Hồ kim th-

ứng dụng dạng toàn ph-ơng
để giải ph-ơng trình
vô định nghiệm nguyên
Chuyên ngành đại số và Lý thuyết số

MÃ số: 60 46 05

Luận văn thạc sĩ toán học
Ng-ời h-ớng dẫn khoa häc

PGS.TS. Ngun Thµnh Quang

Vinh 2010


2

mục lục
Trang
mở đầu

1

Ch-ơng 1. Các kiến thức cơ sở

3

1.1.

Dạng tuyến tính và dạng song tuyến tính.

3

1.2.

Dạng toàn ph-ơng.

8

1.3

Dạng chính tắc của một dạng toàn ph-ơng.

10

1.4

Phép biến đổi một dạng toàn ph-ơng.

12

1.5

Giới thiệu ph-ơng trình nghiệm nguyên.

14

Ch-ơng 2. ứng dụng dạng toàn ph-ơng để giải
ph-ơng trình vô định bậc hai

16

2.1.

Ph-ơng trình vô định bậc hai hai ẩn.

16

2.2.

Biểu diễn số nguyên theo dạng toàn ph-ơng.

17

2.3.

Biểu diễn số nguyên theo dạng toàn ph-ơng biến đổi.

19

2.4

Phép biến đổi dạng toàn ph-ơng và nghiệm ph-ơng trình.

22

2.5

Ph-ơng trình dạng toàn ph-ơng có định thức bằng không.

25

2.6

Ph-ơng trình dạng toàn ph-ơng có định thức khác không.

27

2.7

Đề xuất một số bài tập.

32

Kết luận

33

Tài liệu tham khảo

34

3

mở ĐầU
Một trong những bài toán cơ bản của Đại số và Số học là nghiên cứu
nghiệm nguyên của các ph-ơng trình Diophantus.
Đối với các ph-ơng trình Diophantus bậc cao, tồn tại hay không một
ph-ơng pháp chung để giải? Đó là câu hỏi đà đ-ợc đặt ra d-ới thời
Diophantus và là nội dung của bài toán Hilbert thứ 10 nổi tiếng: Có hay
không một thuật toán để giải các ph-ơng trình Diophantus?
Bài toán thứ 10 của Hilbert đà đ-ợc nhà toán học ng-ời Nga Yuri
Matijasievich giải quyết vào năm 1970. Câu trả lời là: Không tồn tại thuật
toán giải ph-ơng trình Diophantus tổng quát. Nh- vậy, với ph-ơng trình
Diophantus bậc cao hơn 2, ta chỉ có thể tìm cách giải từng ph-ơng trình cụ
thể.
Ph-ơng trình vô định bậc hai hai ẩn là một tr-ờng hợp riêng của
ph-ơng trình Diophantus. Để giải ph-ơng trình này, có một h-ớng giải hữu
hiệu đó là: Dựa theo các tính chất của dạng toàn ph-ơng của Gauss.
Bằng cách tiếp cận theo dạng toàn ph-ơng của Gauss, luận văn trình
bày một cách chi tiết các phép biến đổi một dạng toàn ph-ơng để rút ra
ph-ơng pháp tìm nghiệm riêng và tổng quát của ph-ơng trình vô định bậc
hai hai ẩn trong tập số nguyên. Từ đó đ-a ra một số ứng dụng của chúng
vào việc giảng dạy và nghiên cứu toán học ở nhà tr-ờng phổ thông cũng
nh- chỉ ra mối liên hệ chặt chẽ giữa hai bộ môn toán học: Đại số tuyến tính
và Số học.
Nội dung của luận văn gồm hai ch-ơng:


4

Ch-ơng 1. Các kiến thức cơ sở về Dạng toàn ph-ơng. Trong ch-ơng này

trình bày một số kiến thức về phép biến đổi một dạng toàn ph-ơng, giới
thiệu về ph-ơng trình nghiệm nguyên có dạng toàn ph-ơng.
Ch-ơng 2. ứng dụng dạng toàn ph-ơng để giải ph-ơng trình vô định
bậc hai. Trong ch-ơng này trình bày về ph-ơng trình vô định bậc hai hai
ẩn, một số phép biến đổi số nguyên theo dạng toàn ph-ơng, từ đó rút ra
cách tìm nghiệm riêng và nghiệm tổng quát của ph-ơng trình vô định bậc
hai hai ẩn.
Luận văn cũng đà đ-a ra một số bài toán cụ thể về việc ứng dụng
dạng toàn ph-ơng để giải các phuơng trình vô định bậc 2 có hai ẩn.
Luận văn này đ-ợc hoàn thành d-ới sự h-ớng dẫn nhiệt tình của thầy
giáo PGS.TS Nguyễn Thành Quang. Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng
kính trọng và biết ơn sâu sắc đến thầy, ng-ời đà dành cho tác giả sự h-ớng
dẫn chu đáo và nghiêm túc trong quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện
luận văn.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến PGS.TS. Ngô Sĩ Tùng, PGS.TS. Lê
Quốc Hán, TS. Nguyễn Thị Hồng Loan, TS. Mai Văn T- và các thầy cô
giáo trong Chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số, Khoa Toán, Khoa Đào tạo
Sau đại học - Tr-ờng Đại học Vinh đà tận tình giúp đỡ tác giả trong quá
trình học tập.
Mặc dù đà hết sức cố gắng, luận văn không tránh khỏi những thiếu
sót. Tác giả mong muốn nhận đ-ợc sự chỉ bảo của quý thầy cô giáo và các
bạn đồng nghiệp.
Vinh, tháng 12 năm 2010
Tác giả
Hồ kim th-


5

Ch-ơng 1

Kiến thức cơ sở
1.1 DạNG TUYếN TíNH và dạng song tuyến tính
1.1.1 Dạng tuyến tính.
Cho không gian vectơ V. Mỗi ánh xạ tuyến tính f : V

trong đó

là không gian các số thực gọi là dạng tuyến tính. Nói khác đi, một ánh xạ
f :V

là một dạng tuyÕn tÝnh nÕu:
f (   )  f    f ( )
f  a   af ( ),

víi  ,  V , a  .

VÝ dụ.
1. Cho V là không gian các hàm liên tục t xác định trên a, b .
Khi đó ánh xạ f : V
b

t

t dt
a

là một dạng tuyến tính.
2. ánh xạ f :
mọi x

là một dạng tuyến tính khi và chỉ khi f  x   ax víi

vµ a lµ mét sè thùc cho tr-íc.

Chøng minh.
i) NÕu f : 
x

ax

a  

th× f  x  y   a  x  y   ax  ay  f  x   f  y 
f   x   a   x     ax    f  x  , với .

Suy ra f là dạng tuyến tính.
ii) Ng-ợc lại, nếu f :

là dạng tuyến tính. Gäi a  f 1 , ta cã:

f  x   f  x.1  xf 1  f 1 x  ax, x  .


6

Cho không gian vectơ V. Giả sử trong V đà chän mét c¬ së 1 ,...,  n .
n

n

i 1

i 1

Suy ra, với mỗi V : xi i th× f     xi f i 
NÕu f i   ai 

vµ   x1 ,..., xn thì đối với cơ sở 1 ,...,  n , ta cã d¹ng

biĨu diƠn cđa f lµ:
f ( )  x1a1  ...  xn an .

1.1.2. Dạng song tuyến tính:
a. Cho không gian vectơ V , ta xÐt V 2 = V x V và ánh xạ:
: V2

,

,   ,

víi mäi  ,  V .
Ta gäi là một dạng song tuyến tính nếu:
1. Khi cố định thì , là một dạng tuyến tính đối với nghĩa là:
1  2 ,     1 ,      2 ,  
  k ,    k  ,   .

2. Khi cố định thì là một dạng tuyến tính đối với nghĩa là:
, 1 2     , 1     , 2 

  , k    k  ,   ,

víi 1 , 1 ,  2 , 2 ,  ,   V , k .
Ví dụ.
1. Định thức cấp hai là mét d¹ng song tuyÕn tÝnh tõ
D:

2

x

 ,    a, b , c, d
cố định    a, b  , ta cã:

2



a
c

b
 ad  bc,
d

2

x

2




7

  ,    '      a, b  ,  c, d    c ', d '  
    a, b  ,  c  c ', d  d '  

a
b
a b a b
=
=
+
c c' d  d ' c d c' d '
   ,      ,  '

  , k   

a

b

kc kd

k

a b
c d

 k ,

2. Xét ánh xạ : E2  E2  R
  ,  

 .   .  cos  ,

theo tÝnh chÊt cđa h×nh häc gi¶i tÝch ta cã:
i)      '     '
=     '  '     '
ii)

 .  k    k  .  .

Suy ra là một dạng song tuyến tính.
b. Định nghĩa. Dạng song tuyÕn tÝnh   ,   : V 2

đ-ợc gọi là dạng

song tuyến tính đối xứng nếu   ,       , .
Ví dụ. Tích vô h-ớng trên E2 là một dạng song tuyến tính đối xứng
,   .   .     ,

1.1.3. Ma trận của một dạng song tuyến tính.

Giả sử V là một không gian vectơ n - chiều và trong V đà chọn
một cơ sở là 1 , 2 ,...., n . Biểu thị các véc tơ , V qua cơ sở ta
đ-ợc:

8

n

  x1 1  x2 2  ...  xn n   xi i
i 1

n

  y1 1  y2 2  ...  yn n   y j j .
j 1



n

Khi ®ã   ,       xi i ,
 i 1

n

y 
j

j 1

n

  xi   i ,

i 1


j





n

y 
j 1

j

j





  xi  y j  i ,  j 
n

n

i 1

j 1

n


i 1

  
n

j 1

i,

 j  xi y j .

NÕu ký hiÖu   i ,  j   aij thì   ,    
n

i 1

n

a x y .
j 1

ij i

j

Ma trËn vu«ng cÊp n A   aij  víi aij i đ-ợc gọi là ma trận của

dạng song tuyến tính đối với cơ sở 1 ,...,  n .

1.1.4. C¸c ma trËn cđa mét dạng song tuyến tính đối với các cơ sở
khác nhau.
Giả sử trong không gian véc tơ Vn n chiều đà chọn hai cơ sở
1 ,..., n

1 và 1 ,..., n 2

Giả sử đối với cơ sở (1) có ma trận A và đối với cơ sở (2) 
cã ma trËn lµ B.
Ta cã aij    i ,  j  ,

bij    i ,  j 

Gi¶ sư P   pij  lµ ma trËn chun tõ (1) sang (2), tøc  j   pij i .
n

i 1


9

n
 n
b



,




p

,
 i j    si s  ptjt 
Ta cã: ij
i 1
 s 1


n

n



p

s 1

si

t 1

n

ptj  s ,  t 

n



p

j 1

si

t 1

ptj ast

Gäi P '   p 'ij  lµ ma trËn chun cđa ma trËn P '   p 'ij  th×

p 'ij  p ji , khi ®ã ta cã:
n

bij  
s 1



n

p a
'
is

t 1

st

ptj

 i,

j  1,..., n 

B  P ' AP

1.2. Dạng toàn ph-ơng
1.2.1.Định nghĩa. Cho không gian vectơ Vn trong đó chọn một cơ sở

1 ,... n .

1

Giả sử có dạng tuyến tính đối xứng đối với cơ sở (1) có ph-ơng
trình:
n

,   
i 1

n


j 1

aij xi y j


   xi 
víi 

   y j 

A   aij

Do đối xứng cho nên aij  i ,  j   a ji , do ®ã: A   aij   A '.
Ma trận A đ-ợc gọi là ma trận đối xứng nếu A  A ' . V× vËy, ma trËn cđa
mét dạng song tuyến tính đối xứng là ma trận đối xøng.


10

n

D¹ng   ,    
i 1

n


j 1

ai j xi x j    x1 ,..., xn , trong đó aij a ji đ-ợc

gọi là dạng toàn ph-ơng của n biến x1,...,xn.
1.2.2. Định lý. Dạng tun tÝnh ®èi cùc   ,   cđa dạng toàn ph-ơng
, hoàn toàn đ-ợc xác định bởi dạng toàn ph-ơng ,  .

Chøng minh. Ta cã:
    ,        ,      ,       ,      ,  
   ,       ,    2  ,   ,

1
2

  ,        ,        ,      ,

suy ra

bằng giá trị của 1 dạng toàn ph-ơng.
1.2.3. Ma trận của dạng toàn ph-ơng.
n

Ta có:  ,    
i 1

n


j 1

aij xi x j

Ma trận đối xứng A aij đ-ợc gọi là ma trận của dạng toàn ph-ơng.

Giả sử đối với cơ sở (1), có ma trận là A, đối với cơ sở (2), có ma
trận là B. Gäi P   pij  lµ ma trËn chun tõ c¬ së (1) sang c¬ së (2), ta cã
B = PAP
1.2.4. Ph-ơng trình của một dạng toàn ph-ơng.

,   

n

n

 a x x
i 1 j 1

Gäi

ij i

 x1 
 
.
A   aij  , X   
. 
 
 xn 
   ,    X ' AX

j

11

Vì là dạng toàn ph-ơng A đối xứng  A = A’

 aij  a ji
n

n

   ,     aij xi x j 
i 1 j 1

Ng-ợc lại, khi cho dạng f x1 ,..., xn  



1i  j  n



1i  j  n

aij' xi x j

bij xi x j

n
n
1


f
x
,...,
x

 1 n aij xi x j
Ta đặt aii = bii, aij  a  bij
2
i 1 j 1
'
ji

víi A  aij là ma trận đối xứng.
1.2.5. Dạng toàn ph-ơng xác định d-ơng.
Định nghĩa. Dạng toàn ph-ơng , đ-ợc gọi là xác định d-ơng
 ,    0 víi   0 .

VÝ dô. Trong R4 ta cã   x1 ,..., x4   x12  x22  x32  x42 là xác định d-ơng.
Mệnh đề. Dạng tuyến tính , t-ơng ứng với dạng toàn ph-ơng
,   cã c¸c tÝnh chÊt:

1.   ,   =    ,  
2.     ',      ,      ',  
3.   k ,    k  ,  
4.   ,    0 nÕu   0
Khi đó , đ-ợc gọi là tích vô h-ớng của hai vectơ , V .


12

1.3. Dạng chính tắc của một dạng toàn ph-ơng
1.3.1. Định nghĩa.
Cho dạng toàn ph-ơng , , nếu đối với một cơ sở nào đó của
không

gian

véc

tơ

V

,

mà

có

thể

viết

d-ới

dạng

, k1 x12  k2 x22  ...  kn xn2 , trong ®ã  x1 ,..., xn  lµ täa ®é cđa đối với
cơ sở nào đó, ki R thì dạng (1) gọi là dạng chính tắc của dạng toàn
ph-ơng   ,   , c¬ së t-¬ng øng đ-ợc gọi là cơ sở chính tắc.

1.3.2. Định lý.

Giả sử trong Vn đà cho một dạng toàn ph-ơng tùy ý

 ,   . Khi ®ã trong Vn tån tại một cơ sở 1 ,..., n sao cho đối với cơ sở

này , có dạng chính tắc: , k1 x12  ...  kn xn2 .
Chøng minh. Cho dạng toàn ph-ơng tùy ý , trong Vn đối với một cơ
n

sở nào đó x1 ,..., xn     ,    
i 1

 a x x .  aij  a ji  .
n

j 1

ij i

j

Ta cã thĨ gi¶ thiÕt r»ng tån t¹i mét hƯ sè aij  0 . ThËt vËy nÕu   0
do c¸c hƯ sè cđa x1..., xn không đồng nhất bằng không, chẳng hạn a12
x1 y2 y2

Đặt x2  y1  y2
x  y ,
i3
i

 i

1
0...........0 
1


0...........0 
1  1


P  ............................. 
0
0.............1 0 


 0
0...................1 

   y1 ,..., yn   2a12 y12  2a12 y22 ... trong đó mọi hệ số của dạng bình

ph-ơng là khác 0. Vì vậy có thể giả sử dạng toàn ph-ơng x1 ,..., xn có
một hệ số bình ph-ơng khác 0, chẳng hạn a11 .


13

Ta chøng minh b»ng quy n¹p. ThËt vËy:
. n  1    x1   a11 x12 lµ dạng chính tắc.
.Với mọi n 1 trong dạng toàn ph-ơng đà cho ta tách ra tất cả các hạng tö

cã chøa x1:
a11 x12  2a12 x1 x2  ...  2a1n x1 xn 

1
2
 a11 x1  ...  a1n xn f
a11

trong đó f chỉ chứa các bình ph-ơng và các nhân tử a12x2,.., a1nxn. Thay biểu
thức nµy vµo biĨu thøc cđa  :
  x1 ,..., xn  

1
2
 a11 x1  ...  a1n xn   1  x2 ,..., xn  ,
a11

trong ®ã 1 là một dạng toàn ph-ơng của x2,..., xn.
Theo giả thiết quy nạp 1 đ-a về đ-ợc dạng chính tắc. Do đó cũng đ-a về
đ-ợc dạng chính tắc nhờ cách đặt:
y1 a11 x1 ... a1n xn
y  x
 2
2

...........
 yn  xn
   x1 ,..., xn     y1 ,..., yn   b1 y12  b2 y22  ...  bn yn2

 b  1 .

 1
a11 



14

1.4. Phép biến đổi dạng toàn ph-ơng
Cho dạng toàn ph-ơng:
f(x,y) = ax2 + 2bxy + cy,2 (a,b,c là những số nguyên).
Số D = b2 ac gọi là định thức của dạng toàn ph-ơng.
Ta đổi biến số x và y bằng những biến và theo công thức:
x   

(1.1)

y     ,

c¸c hƯ sè , , , là những số nguyên.
Ta nhận đ-ợc:
f(x,y) = ax2 + 2bxy + cy
= a      2b         c    
2

2

  a 2  2b  c 2   2  2  a  b  b  c     a 2  2b  c 2  2

= a1 2  2b1  c1 2 , ,
ở đây:

a1 a 2  2b  c 2
b1  a  b  b  c ,

(1.2)

c1  a 2  2b  c 2

Đẳng thức (1.1) gọi là phép biến đổi.
Ta nói rằng dạng toàn ph-ơng f(x,y) đ-ợc biến đổi thành dạng toàn
ph-ơng , thông qua công thức (1.1).
Số - gọi là môđun của biến đổi (1.1). Định thức của dạng toàn
ph-ơng đà biến đổi ,  lµ:





D1   a  b  b  c   a 2  2b  c 2 a 2  2b  c 2
2



Bá dÊu ngc và tiến hành đơn giản biểu thức ta đ-ợc:





D1 b2  ac    

2

(1.3)


15

Đẳng thức (1.3) chỉ ra rằng khi chuyển đổi từ dạng toàn ph-ơng này
sang dạng toàn ph-ơng khác thì định thức nhận đ-ợc bằng định thức ban
đầu nhân với bình ph-ơng của môđun chuyển đổi.
Nếu 1 thì dạng toàn ph-ơng đà cho f(x,y) và dạng toàn
2

ph-ơng chuyển đổi , có cùng một định thức suy ra từ (1.3).
Bằng cách kiểm tra liên tiếp dễ thấy rằng trong tr-ờng hợp này dạng
, biến đổi thành dạng  ax 2  2bxy  cy 2   f x, y thông qua

sự biến đổi   x   y,   x  y, với bình ph-ơng môđun của nó ta có



2

1.

Trong tr-ờng hợp này hai dạng toàn ph-ơng gọi là t-ơng đ-ơng.
Tóm lại, hai dạng toàn ph-ơng gọi là t-ơng đ-ơng nhau, khi từ dạng
thứ nhất chuyển đổi sang dạng thứ hai, cũng nh- ng-ợc lại đều thông qua
một phép biến đổi với hệ số nguyên.
Nếu    1 , phÐp biÕn ®ỉi (1.1) gäi là phép biến đổi riêng, còn nếu

1 , thì phép biến đổi không riêng.

Tổng quát, phép biến đổi (1.1) gọi là riêng nếu 0 và không
riêng nếu 0 .
Nếu một dạng toàn ph-ơng f(x,y) bao hàm dạng toàn ph-ơng ,
thông qua phép biến đổi riêng thì ta nói rằng f(x,y) bao hàm riêng dạng
, , còn ng-ợc lại không bao hàm riêng.

Nếu f(x,y) bao hàm riêng , , và ng-ợc lại thì khi đó những dạng
toàn ph-ơng f(x,y) và , gọi là t-ơng đ-ơng riêng. Nếu chỉ có một bao
hàm không riêng thì gọi chúng là t-ơng đ-ơng không riêng.


16

1.5 Giới thiệu ph-ơng trình nghiệm nguyên
Định nghĩa. Một ph-ơng trình có nhiều ẩn số, với tất cả các hệ số đều là
số nguyên đ-ợc gọi là một ph-ơng trình Diophantus.
Những ph-ơng trình Diophantus nói chung có nhiều nghiệm nguyên,
vì vậy ng-ời ta cũng gọi đó là ph-ơng trình vô định.
Nhiều ph-ơng trình vô định phát biểu một đơn giản nh-ng cho đến
ngày nay vẫn ch-a có kết quả hữu hiệu. Một ph-ơng trình vô định th-ờng
có dạng P (x, y,..z) = 0, ở đây P (x,y,...z) là một đa thức nhiều biến với hệ
số nguyên. Để giải một ph-ơng trình Diophantus nguyên ta th-ờng phải trả
lời những câu hỏi sau:
1. Ph-ơng trình có tồn tại ít nhất một nghiệm nguyên không?
2. Ph-ơng trình có hữu hạn hay vô hạn nghiệm?
3. Tìm tất cả những nghiệm nguyên của ph-ơng trình.
Từ thời Diophantus ông đà đặt ra giải bài toán "HÃy phân tích một số
chính ph-ơng thành tổng hai số chính ph-ơng", từ bài toán trên dẫn đến

định lý Phythagore trong hình học.
Theo nh- các tài liệu lịch sử để lại, thì từ thời Bavilion hay sau nữa là
ấn độ, Ai cập, Trung Quốc với kích th-ớc của tam giác vuông 3, 4, 5 thoả
mÃn a2 + b2 =c2 đà đ-ợc biết đến với a, b, c là các cạnh trong tam giác
vuông, c là cạnh huyền.
Ng-ời Bavilon đà biết rằng mäi tam gi¸c cã kÝch th-íc x = m2 - n2,
y = 2mn, z= m2 + n2 (m, n lµ số tự nhiên) đều là tam giác vuông.
Đặc tr-ng của Diophantus là ông giải ph-ơng trình trong tập số hữu
tỷ, từ đó suy ra nghiệm ph-ơng trình trong tập số nguyên. Chẳng hạn trong
bài toán trên đà chỉ ra rằng Diophantus giải đ-ợc ph-ơng trình vô định x2 +
y2 = a2 trong tập số hữu tỷ với số a nào đó ph-ơng trình có nghiệm:


17

2am
a(m 2  1)
x
, y
.
m2  1
m2  1

Mét c©u hỏi đặt ra là một số lập ph-ơng có phân tích ra tổng hai số
lập ph-ơng, phải chăng câu hỏi này đặt ra d-ới thời Diophantus?. Rất lâu
sau nhà toán học Fecmat đà khẳng định "Không thể phân tích số lËp
ph-¬ng ra tỉng hai sè lËp ph-¬ng, mét sè tø ph-ơng ra tổng hai số tứ
ph-ơng..." Hay Fecmat đà khẳng định: "Ph-ơng trình vô định xn + yn =zn
với n 3 nguyên, không có nghiệm nguyên d-ơng"
Không có một ph-ơng pháp chung nào để giải đ-ợc mỗi ph-ơng

trình Diophantus bậc hai và bậc cao hơn. Đối với mỗi ph-ơng trình, ta phải
xem xét đặc điểm của nó để tuỳ tr-ờng hợp cụ thể, có thể phân tích ra thừa
số hoặc viết d-ới dạng tổng số rồi vận dụng các tÝnh chÊt chia hÕt. Cã thĨ
thư ®Ĩ thÊy mét nghiƯm (trong tr-ờng hợp dễ thấy) rồi từ đó tìm cách suy ra
các nghiệm khác hoặc chứng minh rằng ph-ơng trình không thể có nghiệm
nào khác...
Nói chung giải ph-ơng trình Diophantus bậc cao là một bài toán rất
khó. Chú ý rằng nhiều khi ta gặp hai ph-ơng trình t-ơng tự, chỉ khác nhau
về hệ số, mà ph-ơng trình này có vô số nghiệm, ph-ơng trình kia lại vô
nghiệm; ph-ơng trình này dễ giải, ph-ơng trình kia lại rất khó giải, thậm
chí ch-a ai giải đ-ợc. Rất nhiều ph-ơng trình Diophantus phải giải bằng các
ph-ơng pháp của toán học cao cấp; việc nghiên cứu về ph-ơng trình
Diophantus đà trở thành một nghành riêng đ-ợc gọi là giải tích Diophantus.
Các ph-ơng trình Diophantus ngoài những liên hệ về lý thuyết với
những vấn đề khác, giúp ta giải quyết các tình huống trong đời sống th-ờng
ngày mà còn có ứng dụng trong kỹ thuật, riêng ph-ơng trình Pell đà đ-ợc
gặp trong thiên văn học.


18

Ch-ơng 2
ứng dụng dạng toàn ph-ơng để
giải Ph-ơng trình vô định bậc hai
2.1. Ph-ơng trình vô định bậc hai hai ẩn
Dạng chung của ph-ơng trình vô định bậc hai hai Èn x vµ y lµ:
ax2 + 2 bxy + cy2 + 2dx +2ey + f = 0,

(2.1)

(c¸c hƯ sè a, b, c, d, e, f là những số nguyên, ít nhất một trong các số a, b, c
khác không)
Khi b2 ac 0 ph-ơng trình (2.1) có thể đ-a về dạng đơn giản.
Thật vậy, ta đ-a vào hai ẩn mới và bằng cách đặt
x

cd be
b 2  ac

,

y

  ae  bd
b 2  ac

(2.2)

Ta thay x vµ y nµy vµo (2.1) vµ sau khi biến đổi ta nhận đ-ợc:
a 2 2b  c 2   b2  ac  . A,

(2.3)

víi A = afc + 2bed – d2c – b2f – ae
Tõ (2.2) ta cã:
  x  b2  ac   cd  be,

  y  b2  ac   ae  bd

Suy ra mäi nghiÖm nguyên của ph-ơng trình (2.1) t-ơng ứng với

nghiệm nguyên của ph-ơng trình (2.3).
Nếu ta biết nghiệm nguyên của ph-ơng trình (2.3) thì nghiệm nguyên
x và y của (2.1) sẽ nhận đ-ợc thông qua và của (2.3) từ công thức (2.2).
Trong ch-ơng này ta quan tâm đến ph-ơng trình dạng (2.3).Vế trái của
ph-ơng trình (2.3) có dạng a 2 2b c 2 , đây là dạng toàn ph-ơng của
hai biến , . Ch-ơng này ta đi giải ph-ơng trình vô định hai ẩn bậc hai ở
dạng toàn ph-ơng.


19

2.2. biểu diễn số nguyên theo dạng toàn ph-ơng
2.2.1.Định nghĩa. NÕu ax02  2bx0 y0  cy 02  m , ở đây m, x0, y0, a, b, c là
những sè nguyªn, ta nãi r»ng sè nguyªn m biĨu diƠn thông qua dạng toàn
ph-ơng ax2 + 2 bxy + cy.2
1. Nếu m = 0, ta có ph-ơng trình ax2 +2bxy + cy2 = 0. Giải ph-ơng
trình theo ẩn x, ta ®-ỵc.
x

by  b 2 y 2  acy 2 b b 2 ac

y
a
a

Trong tr-ờng hợp này ph-ơng trình có nghiệm nguyên khi và chỉ khi
định thức của nó b2 ac là số d-ơng và hơn nữa phải là số chính ph-ơng.
2. Nếu m 0, giả sử rằng m biểu diễn đ-ợc theo dạng toàn ph-ơng
2
2

ax2 + 2bxy + cy2, tức là ta có đẳng thức m ax0 2bx0 y0 cy0 ,( ở đây x0

và y0 là những số nguyên tố cùng nhau).
Khi x0, y0 nguyên tố cùng nhau thì tồn tại hai số nguyên p và q, sao cho:
px0 + qy0 = 1.
Dễ tính toán đ-ợc đẳng thức sau:







m aq 2 2bqp  cp 2   p  x0b  y0c   q  x0 a  y0b   b2 ac

Hoặc là:

2



mU V 2 b2 ac , ở đây:

U = aq2 - 2bpq + cp2
V= p (x0b + y0c) - q(x0a + y0b).
Suy ra nếu số m biểu diễn đ-ợc theo dạng toàn ph-¬ng ax2 +2bxy+cy2 khi
x = x0, y = y0 víi (x0, y0) = 1, thì phải tồn tại số nguyên V sao cho V2 – D
chia hÕt cho m.
Trong tr-êng hợp này ta nói định thức D là số d- của bình ph-ơng V đối
với m.

20

Tóm lại số R gọi là số d- của bình ph-ơng một số X đối với số M, nếu
hiệu X2 R chia hết cho M.
2.2.2.Mệnh đề. Nếu R là số d- của bình ph-ơng một số X đối với số M thì
R là số d- của bình ph-ơng mọi số d¹ng X + kM, k = 0, ± 1,...
Chøng minh. Ta cã:

 X  kM 

2

R

M

X 2  2 XkM  k 2 M 2 R

M

X2 R

 2 Xk  k 2 M .
M

X2 R
Do R lµ sè d- cđa bình ph-ơng X đối với M, suy ra
Z.

M

Suy ra

X kM
M

2

R

là số nguyên, nghĩa là R đúng là số d- của bình

ph-ơng X + kM đối với số M với mọi k.
Vì mệnh đề trên ta có thể chỉ hạn chế một trong các số X + kM. Ta sẽ
chọn số không âm nhỏ nhất dạng X + kM, nó hiển nhiên nhỏ hơn M.
Số 3 không thể biểu diễn d-ới dạng toàn ph-ơng x2 - 2xy + 2y2,

Ví dụ.

nghĩa là ph-ơng trình x2 2xy + 2y2 = 3 không có nghiệm nguyên.
Lời giải.
Định thức của dạng toàn ph-ơng x2 2xy + 2y2 bằng (-1)2 1.2 = 1.
Để số -1 là số d- bình ph-ơng đối với số 3, cần phải tồn tại số
nguyên V (0 ≤ V< 3) sao cho sè V2 + 1 chia hÕt cho 3. B»ng kiĨm tra trùc
tiÕp víi V = 0, 1, 2 sè V2 + 1 kh«ng chia hết cho 3; suy ra số -1 không phải
là số d- bình ph-ơng đối với 3.
Từ đó suy ra ph-ơng trình vô định x2 2xy + 2y2 = 3 không có
nghiệm nguyên mà các nghiệm nguyên tố cùng nhau.
Nh-ng ta cũng chứng minh đ-ợc ph-ơng trình không thể có nghiệm

nguyên mà chúng không nguyên tố cùng nhau. Thật vËy, nÕu x0, y0 lµ mét


21

nghiƯm, mµ chóng cã tÝnh chÊt (x0,y0)= d > 1, thì khi ta đặt x0= dx1, y0=
dy1, ở đây x0 và y0 là những số nguyên, ta có đẳng thức sau:
x02  2 x0 y0  2 y02  3

Hc lµ:

d 2 x12  2d 2 x1 y1  2d 2 y12  3 (*)

Tõ (*) suy ra sè 3 chia hÕt cho mét sè chÝnh ph-¬ng lín h¬n 1, điều
này không thể có. Suy ra ph-ơng trình không có nghiệm nguyên mà chúng
không nguyên tố cùng nhau.
Kết hợp cả hai phần chứng minh trên dẫn đến kết luận ph-ơng trình vô
định ta xét không có nghiệm nguyên, nghĩa là số 3 không thể biểu diễn
dạng toàn ph-ơng x2 2xy + 2y2.

2.3. Biểu diễn số nguyên theo dạng toàn ph-ơng
biến đổi
Cho dạng toàn ph-ơng ax2+2bxy+cy2 bao hàm dạng a1 2 2b1 c1 2
thông qua phép biến đổi.
x     ,
(  ,  ,  , là những số nguyên)
y

Nếu ph-ơng trình vô định a1 2 2b1 c1 2 m (m là số nguyên) có
nghiệm 0 ,0 trong số nguyên, thì các số:

x0 0 0 ,
y0 0 0

sẽ là một nghiệm nguyên của ph-ơng trình vô định.
ax2 + 2 bxy + cy2 = m.
Ta cã mƯnh ®Ị sau:
2.3.1.MƯnh ®Ị. NÕu mét sè nguyên biểu diễn thông qua một dạng toàn
ph-ơng đà cho thì nó cũng biểu diễn thông qua mọi dạng toàn ph-ơng
khác, mà nó bao hàm bởi dạng toàn ph-ơng đà cho.


22

Ví dụ.

Những ph-ơng trình.
x2 + xy+y2 = 5.
x2 + 3xy + 3y2 = 5.

hoặc là cả hai đều có nghiệm nguyên, hoặc là cả hai không có nghiệm
nguyên.
Lời giải. Dạng toàn ph-ơng x2 + xy + y2 bao hàm dạng toàn ph-ơng
2 3 3 2 thông qua phÐp biÕn ®ỉi x =    , y môđun của phép biến

đổi này bằng 1. Theo phần đầu ở ch-ơng này dạng toàn ph-ơng
2 3  3 2 bao hµm x2 + xy +y2 thông qua phép biến đổi = x y,

y . Nh- vậy ta nhận đ-ợc sự t-ơng đ-ơng giữa hai dạng toàn ph-ơng.

Bây giờ ta chứng minh định lý cơ bản về sự biểu diễn một số nguyên

bằng những dạng toàn ph-ơng.
2.3.2.Định lý. Nếu m là một số nguyên khác không, mà nó biểu diễn đ-ợc
thông qua dạng toàn ph-ơng ax2 + 2bxy + cy2 với x = x0, y = y0 và (x0, y0) =
1, định thức D của nó là số d- bình ph-ơng của số V đối với m, thì những
dạng toàn ph-ơng:
ax 2  2bxy  cy 2 vµ m 2  2V

V2 D 2
là t-ơng đ-ơng riêng.
m

Chứng minh.
Cho x0, y0 là một nghiệm nào đó của ph-ơng trình ax2+2bxy+cy2= m,
mà (x0,y0) = 1. Nghiệm nh- vậy tồn tại do giả thiết. Vì tính chất nguyên tố
cùng nhau, nên tồn tại những số p và q, với chúng px0+ qy0 = 1.
Trong phần tr-ớc ta đà chỉ ra rằng định thức D = b2 ac là số d- bình
ph-ơng của số V, xác định bằng đẳng thức V = p(x0b+y0c) – q(x0a+y0b).
Ta chän phÐp biÕn ®ỉi.
x  x0  q

y  y0  p

(2.4)


23

môđun của nó bằng x0p + y0q = 1 và suy ra nó là phép biến đổi riêng. Dạng
biến đổi sÏ lµ:

a  x0  q   2b  x0  q  y0  p   c  y0  p   m 2  2V
2

2

V2 D 2

m

V2 D
Ta có
chắc chắn là nguyên, vì D là số d- của bình ph-ơng V đối với m.
m

Nh- vậy ta nhận đ-ợc, nếu số m biểu diễn qua dạng toàn ph-ơng
ax2+2bxy+cy2 khi x1 x2 , y1 y2 mà (x0, y0) = 1, thì dạng này bao hàm
riêng m 2 2V

V2 D 2
.
m

Dễ chứng minh đ-ợc rằng trong tr-ờng hợp này dạng toàn ph-ơng
V2 D 2
m 2V
bao hàm riêng dạng ax2 + 2bxy + cy2.
m
2

Ta cần nhấn mạnh rằng với những số nguyên p và q không đòi hỏi điều

kiện gì hơn ngoài việc chúng là nghiệm của ph-ơng trình xop + y0q =1.
Nh-ng những số nh- vậy vô cùng nhiều, vì chúng là nghiệm của ph-ơng
trình vô định ta đà xét ở ch-ơng 1. Cũng dễ chứng minh đ-ợc trong số
những số p và q, mà nó t-ơng ứng với V có những số không âm và nhỏ hơn
m. Để giải các bài toán trong thực tế ng-ời ta chỉ chọn những số p và q sao
cho 0 ≤ V < m.
Ta nãi r»ng mét nghiÖm x0, y0, qua nó mà xác định V, đ-ợc gọi là
nghiệm thuéc V.


24

2.4. Phép biến đổi dạng toàn ph-ơng
và nghiệm của ph-ơng trình
Nếu một dạng toàn ph-ơng có thể chuyển đồi thành dạng khác theo
những phép biến đổi khác nhau thì định lý sau đây có thể vét cạn tất cả các
phép biến đổi đó. Ta không chứng minh định lý này.
2.4.1. Định lý. Cho một dạng toàn ph-ơng f(x,y) = ax2 + 2 bxy+cy2 biến
đổi thành dạng toàn ph-ơng ,   a1 2  2b1 n  c1 2 theo phép biến đổi
riêng.
x 0 0

(2.5)

y 0 0

Khi đó tất cả phép biến đổi riêng, mà nó biến đổi f(x,y) thành ,
đ-ợc xác định theo công thức.
1
at b c  u      t   b   c  u  



1
1
y   t  a   b  u     t    a   b u



x

1

(2.6)

ở đây là -ớc số chung lớn nhất của a, 2b, c, còn t và u là những nghiệm
nguyên của ph-ơng trình vô định:
t2 Du2 = σ 2 ( D = b2- ac)
Theo c¸c công thức trên những số x, y là những số nguyên.
Ph-ơng trình t2 Du2 = 2 là dạng đặc biệt đ-ợc giải trong ch-ơng sau.
Tr-ờng hợp riêng, nếu   ,   m 2  2V 
những dạng

V2 D 2
, thì nh- ta đà biết
m

f(x,y) = ax2 + 2bxy + cy2 vµ
V2 D 2
  , m 2V

m
2

là t-ơng đ-ơng riêng. Nếu tồn tại nghiệm nguyên x0, y0 của ph-ơng tr×nh


25

ax2 + 2bxy + cy2 = m mà chúng nguyên tè cïng nhau vµ thuéc ë V. Ngoµi
ra f(x,y) biÕn đổi thành , thông qua (2.4). So sánh (2.4) và (2.5) ta tìm
đ-ợc = x0, = y0. Nh-ng đẳng thức (2.6) trong tr-ờng hợp cụ thĨ nµy
1

x

 x t   x0b  y0c  u 
 0

y

1

 y t   x0 a  y0b  u  ,
 0

(2.7)
t 2  Du 2 2

là nghiệm của ph-ơng trình ax2 + 2bxy + cy2 = m trong số nguyên và
nguyên tố cùng nhau.

Tất cả nghiệm x, y xác định theo (2.7), thuộc số V và những nghiệm
khác thuộc V không có.
Nh-ng giữa những số 0, 1, 2,..., m 1 có khả năng có những số khác,
ví dụ V1, V2..., mà những định thức là số d- bình ph-ơng của chúng. Nếu x1,
y1 là một nghiệm nguyên nh- vậy của ph-ơng trình ax2 + 2 bxy + cy2 = m,
mµ nã thuéc V1, nghĩa là với chúng ta có thể tìm đ-ợc những số nguyên p
và q sao cho x1p+y1q = 1 và hơn nữa V1 = p(x1b+y1c) q (x1a+y1b), thì tất
cả các nghiệm thuộc V1 lại xác định bằng (2.7) bằng cách thay x0 và y0
t-ơng ứng với x1 và y1.
Tất cả các nghiệm, mà chúng thuộc V, V1, V2... là tất cả nghiệm của
ph-ơng trình vô định.
ax2 + 2bxy + cy2 = m

(2.8)

trong cặp số nguyên nguyên tố cùng nhau.
Nếu ph-ơng trình (2.8) có nghiệm nguyên không nguyên tố cùng nhau
ta cã thĨ lý ln nh- sau: Gi¶ sư x–, y– lµ nghiƯm cđa (2.8), mµ (x–, y–)
= d >1. Ta có thể viết các đẳng thức x = dx1, y = dy1, mà (x1, y1) = 1. Vì
x, y lµ nghiƯm cđa (2.8), ta cã ax–2 + 2 bx–y + cy2 = m hoặc là
ax12 2bx1 y1 cy12 

m
d2