PHUONG TRINH BAC BON

<span class='text_page_counter'>(1)</span>NGUYỄN MẠNH CƯỜNG (Giáo viên chuyên luyện thi THPTQG). PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ - DÙNG CHO KHÓA CHINH PHỤC PT – BPT - HPT PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN. PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN I. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN ĐẶC BIỆT I.1. PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG ax 4  bx 2  c  0  a  0  (1) 1. Phương pháp giải Đặt t  x 2  t  0 thì phương trình trở thành at 2  bt  c  0 (1) Ta giải (1) như một phương trình bậc hai. 2. Ví dụ minh họa Bài 1. Giải các phương trình sau a) x 4  2 x 2  3  0. c) x 4  3x 2  1  0. b) 2 x 4  5 x 2  1  0. Hướng dẫn giải a) Ta đặt t  x 2  t  0 , lúc này phương trình đã cho trở thành  t  1  tm  t 2  2t  3  0   t  1 t  3   0    t   3  l . Với t  1 thì ta có x 2  1  x   1 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x  1  b) Ta đặt t  x 2  t  0 , lúc này phương trình đã cho trở thành  5  17 t  4 2 2t  5t  1  0    tm   5  17 t   4 + Với t  + Với t . 5  17 4 5  17 4. thì ta có x 2 . thì ta có x 2 . 5  17 4 5  17 4. 5  17.  x. 2 5  17.  x. 2.  . 5  17.  . 2. Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x   . ;. 5  17     2  . c) Ta đặt t  x 2  t  0 , lúc này phương trình đã cho trở thành 2. 3 1  t  3.t  1  0   t     0 (1) 4 4  2. Ta thấy VT (1)  0,  t  (1) vô nghiệm ⇒ phương trình đã cho vô nghiệm Vậy phương trình đã cho vô nghiệm  THẦY CƯỜNG – 0911060820 – FACE: NMC22297. NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC. 1.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ - DÙNG CHO KHÓA CHINH PHỤC PT – BPT - HPT PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN 3. Bài tập vận dụng Bài 2. Giải các phương trình a) 5x4  8x2  3  0. c) 2 x 4  5 x 2  3  0. b ) x 4  6 x 2  40  0. d ) x4  3x2  1  0. Hướng dẫn giải & Đáp số  4  31. a) Đặt t  x 2  0 thì PT trở thành 5t 2  8t  3  0 , đáp số: x  . 5. b) Đặt t  x 2  0 thì PT trở thành t 2  6t  40  0 , đáp số: x   2  . c) Đặt t  x 2  0 thì PT trở thành 2t 2  5t  3  0 , đáp số: x     . d) Đặt t  x 2  0 thì PT trở thành t 2  3t  1  0 , đáp số: x  .   ;  1 2   6. 3  13 2. I.2. PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG TỊNH TIẾN  x  a    x  b   c  0 (2) 4. 4. 1. Phương pháp giải Đặt x  t . ab 2. thì phương trình đã cho sẽ trở về dạng phương trình trùng phương và có cách giải. như mục 1. ⚠ Chú ý:  a  b   a 4  4a 3b  6a 2b 2  4ab 3  b 4   a  b    a  b   2  a 4  6a 2b 2  b 4  4. 4. 4. 2. Ví dụ minh họa Bài 3. Giải các phương trình sau a )  x  3    x  5   82 4. b )  x  2    x  8   272. 4. 4. 4. c )  x  1   x  3   90 4. 4. Hướng dẫn giải a) Ta đặt x  t  4 thì phương trình đã cho trở thành.  t  1. 4.   t  1. 4.  t 2  4  tm   82  t  6t  40  0   2  t   10  l  4. 2. t  2  x  6. Với t 2  4   t  2  x  2 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x   2; 6  b) Ta đặt x  t  5 thì phương trình trở thành.  t  3. 4.   t  3. 4.  t 2  1  tm   272  t  54t  55  0   2  t   55  l  4. 2. THẦY CƯỜNG – 0911060820 – FACE: NMC22297. NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC. 2.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ - DÙNG CHO KHÓA CHINH PHỤC PT – BPT - HPT PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN t  1  x  4. Với t 2  1   t  1  x  6 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x  4; 6  c) Ta đặt t  x  1 thì phương trình trở thành. t  2. 4.  t  2. 4.  t 2   12  173  tm   90  t  24t  29  0    t 2   12  173  l  4. 2. t  173  12  x  1  173  12 Với t  173  12    t   173  12  x  1  173  12  2. . . 173  12 . Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x  1  3. Bài tập vận dụng Bài 4. Giải các phương trình a )  x  10    x  4   5392 4. . b) x  2. c )  x  5    x  3   1522. 4.  x 3 2 4. 4. 4. .  98. d) x  3. 4.   x 3 3 4. 4.  896. Hướng dẫn giải & Đáp số a) Đặt x  t  3 thì PT trở thành  t  7    t  7   5392 , đáp số: x  4; 2 4. . b) Đặt x  t  2 2 thì PT trở thành t  2. 4.   t  2  4. 4.  98 , đáp số: x  2 2  3. c) Đặt x  t  1 thì PT trở thành  t  4    t  4   1522 , đáp số: x  1  5 4. . d) Đặt x  t  3 thì PT trở thành t  2 3. 4.   t  2 3  4. 4.  896 , đáp số: x  3  2. I.3. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG ax 4  bx 3  cx 2  kbx  k 2 a  0  k  0, a  0  (3) 1. Phương pháp giải Do a  0 nên x  0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho, nên ta chia cả hai vế của phương trình cho x 2 ta được phương trình mới là ax 2  bx  c  kb..  t  x  Đặt    t  x . k x k x. 1 x.  k 2 a..  2 k2  k   0  a  x  2   b  x    c  0 * 2 x x  x   1.  t 2  2k  x 2   t 2  2  x2 . k2 x2. k2 x2. t 2 k. t . THẦY CƯỜNG – 0911060820 – FACE: NMC22297. NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC. 3.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ - DÙNG CHO KHÓA CHINH PHỤC PT – BPT - HPT PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN Phương trình (*) trở thành a  t 2. 2   bt  c  0 (**). Ta giải (**) như một phương trình bậc hai. 2. Ví dụ minh họa Bài 5. Giải các phương trình sau a ) 2 x 4  3 x 3  16 x 2  3 x  2  0. c ) 6 x 4  7 x 3  36 x 2  7 x  6  0. b) x 4  13 x 3  46 x 2  39 x  9  0. Hướng dẫn giải a) Dễ thấy x  0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho, ta chia cả hai vế của phương trình 3 2 1  2 1   2 cho x 2 và được 2 x  3 x  16   2  0  2  x  2   3  x    16  0 x x x   x  t  4 Đặt t  x   x  2  t  2  t  2  thì 2  t  2   3t  16  0   5 t  x x  2 1. 1. 2. Với t   4  x . 1 x. 2. 2.  4  x 2  4 x  1  0  x  2  3. x  2 Với t   x    2 x  5 x  2  0   1 x  2 x 2  2 5. 1. 5. 2. 1   Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x    2  3; ; 2   2  . b) Nghiệm x  0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho, ta chia cả hai vế của phương trình cho x 2 và được x 2  13 x  46 . Đặt t  x . 3 x. 39 x. .  x2 . Với t  8  x . 1. Với t  5  x . 1. x. x. 9  3    0   x 2  2   13  x    46  0 x x  x   9. 2. t  8  t 2  6 t  2 3 thì  t 2  6   13t  46  0   x t  5 9. 2. . .  8  x 2  8 x  1  0  x  4  15.  5  x2  5x  1  0  x . 5  21 2. 5  21   Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x   4  15;   2  . THẦY CƯỜNG – 0911060820 – FACE: NMC22297. NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC. 4.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ - DÙNG CHO KHÓA CHINH PHỤC PT – BPT - HPT PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN c) Nghiệm x  0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho, ta chia cả hai vế của phương trình 7 6 1  2 1   2 cho x 2 và được 6 x  7 x  36   2  0  6  x  2   7  x    36  0 x x x  x   3  t  Đặt t  x  1  x 2  12  t 2  2 thì 6  t 2  2   7 t  36  0   2 x x t   8  3. x  2 Với t   x    2 x  3 x  2  0   1 x   2 x 2  2 3. 1. 3. 2.  x  3 Với t    x     3 x  8 x  3  0   1 x  3 x 3 3  8. 1. 8. 2. 1 1   Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x    3;  ; ; 2   2 3  . 3. Bài tập vận dụng Bài 6. Giải các phương trình a ) x 4  x 3  16 x 2  9 x  81  0. c ) 16 x 4  3 x 3  230 x 2  15 x  400  0. b ) 2 x 4  3 x 3  82 x 2  6 x  8  0. d ) x 4  3x3  3  3 x 2  2 3x  4  0. . . Hướng dẫn giải & Đáp số a) Đặt t  x . 9. b) Đặt t  x . 2. x. x.  x2 . 81.  x2 . 4. x2. x. 2.  t 2  18  t  6  thì PT  t 2  t  2  0 , đáp số: x  . .  t2  4 t  2 2.  thì PT  2t. 2.  3t  90  0 , đáp số:.    15  193   x  3  7;  4    . c) Đặt t  x . 5. d) Đặt t  x . 2. x. x.   35  3 705    t 2  10 thì PT  16t 2  3t  70  0 , đáp số: x  1  6;  x 32    .  x2 . 25.  x2 . 4. 2. x2. .  t2  4 t  2 2.  thì PT  t. 2.  3t  3  1  0 , đáp số: x  . I.4. PHƯƠNG TRÌNH CÂN BẰNG THEO HỆ SỐ PHÉP CỘNG (4).  x  a  x  b  x  c  x  d   e với. a  c  b  d  m , ac  n , bd  p. 1. Phương pháp giải Ta viết lại phương trình thành THẦY CƯỜNG – 0911060820 – FACE: NMC22297. NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC. 5.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ - DÙNG CHO KHÓA CHINH PHỤC PT – BPT - HPT PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN   x  a  x  c     x  b  x  d    e   x 2   a  c  x  ac   x 2   b  d  x  bd   e   x 2  mx  n  x 2  mx  p   e 2 Đặt t  x  mx  n hoặc t  x  mx  p thì phương trình đã cho trở về phương trình bậc hai và ta giải nó như một phương trình bậc hai.. 2. 2. Ví dụ minh họa Bài 7. Giải các phương trình sau a )  x  2  x  3  x  7  x  8   144. c)  4 x  3. 2.  x  1 2 x  1  7. b )  x 2  1  x  2  x  4   7. Hướng dẫn giải a) Ta viết lại phương trình đã cho  x 2  5 x  14  x 2  5 x  24   144  t  18. Đặt t  x 2  5 x  14  x 2  5 x  24  t  10 thì t  t  10   144   t  8 2 Với t  18  x  5 x  32  0  x . 5  3 17 2. x  6. Với t   8  x 2  5 x  6  0    x  1.  5  3 17  ; 1; 6   Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x   2   b) Ta viết lại phương trình đã cho.  x  1 x  4  x  1 x  2   7   x 2  3 x  4  x 2  3 x  2   7 t  1. Đặt t  x 2  3 x  4  x 2  3 x  2  t  6 thì t  t  6   7   t  7 2 Với t  1  x  3 x  5  0  x .  3  29 2 2. 3 3  Với t   7  x  3 x  3  0 vô nghiệm do x  3 x  3   x     0,  x  2 4  2. 2.   3  29  Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x    2   THẦY CƯỜNG – 0911060820 – FACE: NMC22297. NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC. 6.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ - DÙNG CHO KHÓA CHINH PHỤC PT – BPT - HPT PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN c) Ta viết lại phương trình đã cho. 16 x. 2.  24 x  9  2 x 2  3 x  1  7  16 x 2  24 x  9 16 x 2  24 x  8   56. t  7. Đặt t  16 x 2  24 x  8  16 x 2  24 x  9  t  1 thì t  t  1  56   t  8 2 Với t  7  16 x  24 x  1  0  x . 3  2 2 4. Với t   8  16 x 2  24 x  16  0  2 x 2  3 x  2  0 vô nghiệm Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x . 3  2 2 4. . 3. Bài tập vận dụng Bài 8. Giải các phương trình a )  x  5  x  6  x  8  x  9   40. c )  x  1 x  5  x  3  x  7   33. b )  6 x  5   3 x  2  x  1  35. d )  x  1 x  2  x  3  x  4   3. 2. Hướng dẫn giải & Đáp số a) Viết lại PT thành. x. 2.  14 x  45  x 2  14 x  48   40 , đặt t  x 2  14 x  45 thì PT trở thành. t 2  3t  40  0 , đáp số: x  10; 4. b) Viết lại PT thành  36 x 2  60 x  25  36 x 2  60 x  24   420 , đặt t  36 x 2  60 x  24 thì PT trở thành t 2  t  420  0 , đáp số: x  c) Viết lại PT thành. x. 2.  5  21 6.  2 x  3  x 2  2 x  35   33 , đặt t  x 2  2 x  3 thì PT trở thành. . t 2  32t  33  0 , đáp số: x  1  3;1  37. d) Viết lại PT thành. x. t 2  2t  3  0 , đáp số: x . 2. .  5 x  4  x 2  5 x  6   3 , đặt t  36 x 2  60 x  24 thì PT trở thành. 5  13 2. I.5. PHƯƠNG TRÌNH CÂN BẰNG THEO HỆ SỐ PHÉP NHÂN (5).  x  a  x  b  x  c  x  d   ex 2 với. ac  bd  m , a  c  n , b  d  p. 1. Phương pháp giải Ta viết lại phương trình thành.  x 2   a  c  x  ac   x 2   b  d  x  bd   ex 2   x 2  nx  m  x 2  px  m   ex 2 THẦY CƯỜNG – 0911060820 – FACE: NMC22297. NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC. 7.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ - DÙNG CHO KHÓA CHINH PHỤC PT – BPT - HPT PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN TH1: Xét x  0 là nghiệm của phương trình hay không TH2: Xét x  0 , ta chia cả hai vế của phương trình cho x 2 ta được m m     x   n x   p   e x x   . Đặt t  x  m  t  2 m , phương trình trở thành x.  t  n  t  p   e  t 2   n  p  t  np  e  0 Ta giải phương trình trên như một phương trình bậc hai. 2. Ví dụ minh họa Bài 9. Giải các phương trình sau a )  x  6  x  8  x  9  x  12   2 x 2. c ) 4  x  5  x  6  x  10  x  12   3 x 2. b )  x  4  x  6  x  2  x  12   25 x 2. Hướng dẫn giải a) Ta viết lại phương trình đã cho thành  x 2  18 x  72  x 2  17 x  72   2 x 2 Dễ thấy x  0 không phải là nghiệm của phương trình, ta chia cả hai vế của phương trình cho x 2 ta 72 72     18   x   17   2 được  x  x x    Đặt t  x . 72 x.  t   16  l .  t  12 2 thì  t  18  t  17   2  .  t   19  x .  t   19(tm ). 72 x.   19  x 2  19 x  72  0  x . Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x .  19  73 2.  19  73 2. . b) Ta viết lại phương trình đã cho thành  x 2  10 x  24  x 2  14 x  24   25 x 2 Dễ thấy x  0 không phải là nghiệm của phương trình, ta chia cả hai vế của phương trình cho x 2 ta 24 24     10   x   14   25 được  x  x x    Đặt t  x .  t  15  t  4 6 thì  t  10  t  14   25   x  t   11. 24. Với t  15  x . 24 x.  15  x 2  15 x  24  0  x . 15  129 2. THẦY CƯỜNG – 0911060820 – FACE: NMC22297. NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC. 8.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ - DÙNG CHO KHÓA CHINH PHỤC PT – BPT - HPT PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN Với t   11  x .  x  3   11  x 2  11x  24  0   x  x  8. 24. 15  129   Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x    8;  3;  2   c) Ta viết lại phương trình đã cho thành 4  x 2  17 x  60  x 2  16 x  60   3 x 2. Dễ thấy x  0 không phải là nghiệm của phương trình, ta chia cả hai vế của phương trình cho x 2 ta 60 60     17   x   16   3 được 4  x  x x    31  t  60 2  t  4 15  10 thì 4  t  17   t  16   3   Đặt t  x  x  t   35  2. 15  x  Với t    x    2 x  31x  120  0  2  2 x 2 x   8  31. Với t  . 35 2. 60.  x. 60 x. 31. . 35 2. 2.  2 x 2  35 x  120  0  x . 35  265 4.  15 35  265  Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x   8;  ;   2 4   3. Bài tập vận dụng Bài 10. Giải các phương trình a )  x  5  x  6  x  8  x  9   40. c )  x  1 x  5  x  3  x  7   33. b )  6 x  5   3 x  2  x  1  35. d )  x  1 x  2  x  3  x  4   3. 2. Hướng dẫn giải & Đáp số . . 2. . . 2. . 2. . . x. . . x. . x. a) Ta viết lại PT thành 10  x    30  10  x    33   1720 , đặt x  thì PT trở thành 10t 2  63t  73  0 , đáp số: x  . b) Ta viết lại PT thành  x  . t t 2 2.  73  4529 20. 6 6    7   x   5   168 , đặt t  x   t  2 6 , thì PT trở thành x x x  . 6.    19  337   t 2  12t  133  0 , đáp số: x  1; 6;  2     THẦY CƯỜNG – 0911060820 – FACE: NMC22297. NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC. 9.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ - DÙNG CHO KHÓA CHINH PHỤC PT – BPT - HPT PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN . c) Ta viết lại PT thành  x  . 12 6    7 x   8   30 , đặt t  x   t  2 6 , thì PT trở thành x x x  . 12. t  15t  26  0 , đáp số: x    12;  1 2. . d) Ta viết lại PT thành  x  . . 15 15   , thì PT trở thành t 2  12t  32  0  2 x   14   4 , đặt t  x  x x x  . 15. đáp số: x  3  17  41  6 17 ;3  17  41  6 17. . I.6. PHƯƠNG TRÌNH KHUYẾT BẬC BA ax 4  bx 2  cx  d (6) 1. Phương pháp giải  A( x )  B ( x ). Ta đưa về dạng  A  x     B  x     bằng cách chèn hằng số m   A( x )   B ( x ) phương trình 2. 2. và được. a  x 4  2 mx 2  m 2   2 amx 2  am 2  bx 2  cx  d  a  x 2  m    2 am  b  x 2  cx  am 2  d (*) 2. Ta đi tìm m  sao cho VP(*) là một biểu thức bình phương hay phương trình VT (*)  0 có nghiệm kép. Do đó ta phải có c 2  4  2 am  b   am 2  d   0  8a 2 .m 3  4 ab.m 2  8ad .m  4bd  c 2  0. Ta đi giải phương trình bậc ba thuần nhất ẩn m như một phương trình bậc ba. 2. Ví dụ minh họa Bài 11. Giải các phương trình sau a ) x 4  19 x 2  10 x  8. b) 2 x 4  3 x 2  10 x  3  0. c) x 4  8 x  7. Hướng dẫn giải a) Bước đầu ta đi liệt kê các hệ số a  1, b  19, c  10, d   8 , ta đi thay các hệ số đó vào 8 a 2 .m 3  4 ab.m 2  8 ad .m  4bd  c 2  0 và được 8 m 3  76 m 2  64 m  708  0 . Giải ra ta được 3 nghiệm nhưng chỉ có nghiệm m  3 là thỏa mãn nên phương trình đã cho trở thành.  x 2  3  5 x  1 (1) 2 2 x 4  6 x 2  9  25 x 2  10 x  1   x 2  3    5 x  1   2  x  3   5 x  1 (2) (1)  x 2  5 x  2  0  x . 5  17. 2  x  1 (2)  x 2  5 x  4  0    x  4.  5  17  Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x    4;  1;  2   b) Tương tự như trên ta tìm được m  2 là thỏa mãn nên phương trình đã cho trở thành THẦY CƯỜNG – 0911060820 – FACE: NMC22297. NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC. 10.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ - DÙNG CHO KHÓA CHINH PHỤC PT – BPT - HPT PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN 2  x  4 x  4   5 x  10 x  5  2  x  2   4. 2. (1) . 2. 2. 2x2  5x  2 2  5  0  x . 2. . 5x  5. . 2.  2  x 2  2   5 x  5 (1)   2  x 2  2    5 x  5 (2) . 5  4 10  11 2 2. 2 x 2  5 x  2 2  5  0  vn . (2) . 5. Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x  x . 4 10  11. . 2 2. c) Tương tự như trên ta tìm được m  1 thỏa mãn nên phương trình đã cho trở thành x  2 x  1  2 x  8 x  8   x  1  2  x  2  4. 2. 2. 2. (1)  x 2  2 x  1  2 2  0  x . 2.  x 2  1  2  x  2  (1)   x 2  1   2  x  2  (2). 2. 2  8 2 2 2. (2)  x  2 x  1  2 2  0  x   2. 2 8 2 2. Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x  x . 2. . 3. Bài tập vận dụng Bài 12. Giải các phương trình a ) 3 x 4  2 x 2  16 x  5  0. c ) 16 x 4  32 x 2  48 x  7. b) x 4  4 x  1. d ) x4  x2  6x  1  0. Hướng dẫn giải & Đáp số a) Tìm được m  1 , PT đã cho trở thành 3  x 2  1  8  x  1 , đáp số x  2. 2. b) Tìm được m  1 , PT đã cho trở thành  x 2  1  2  x  1 , đáp số x  2. 2. 2  6 2 1 3 2  4 2 2 2. c) Tìm được m  1 , PT đã cho trở thành 16  x 2  1   8 x  3  , đáp số x  1  2. d) Tìm được m  2 , PT đã cho trở thành  x 2  2   3  x  1 , đáp số x  2. 3. 2. 2. 2. 3  4 3 5 2. II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN TỔNG QUÁT ax 4  bx 3  cx 2  dx  e  0  a  0  (5) II.1. KHI NHẨM ĐƯỢC MỘT NGHIỆM HỮU TỶ x  x0 1. Phương pháp giải. THẦY CƯỜNG – 0911060820 – FACE: NMC22297. NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC. 11.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ - DÙNG CHO KHÓA CHINH PHỤC PT – BPT - HPT PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN Phương trình (5) trở thành.  x  x0   ax 3   b  ax0  x 2   c  bx0  ax0 2  x   d  cx0  bx0 2  ax0 3    0  x  x0  3 2 2 2 3  ax   b  ax0  x   c  bx0  ax 0  x   d  cx 0  bx 0  ax 0   0(*). Ta giải (*) như một phương trình bậc ba. b  x  x  x  x   1 2 3 4  a   x .x  x .x  x .x  x .x  x .x  x .x  c 2 3 3 4 4 1 1 3 2 4  1 2 a Ngoài ra giải theo cách nhẩm nghiệm (định lý Vi-ét)   x .x .x  x .x .x  x .x .x  x .x .x   d 1 2 4 2 3 4 1 3 4  1 2 3 a  e  x1 . x2 . x3 . x4  a . x  y  z  t     x. y  y. z  z.t  t .x  x.z  y .t   Tồn tại 4 số x , y , z , t  R và thỏa mãn  thì phương trình bậc bốn là  x. y. z  x. y.t  x. z.t  y. z.t    x. y. z.t  . X 4   . X 3   . X 2   . X    0 nhận x , y , z , t làm nghiệm.. 2. Ví dụ minh họa Bài 13. Giải các phương trình sau a ) 6 x 4  25 x 3  28 x 2  x  10  0. c) 8 x 4  16 x 3  6 x 2  13 x  2  0. b) x 4  4 x 3  12 x 2  192  0. Hướng dẫn giải a) Chúng ta nhẩm được một nghiệm x  1 nên ta sử dụng lược đồ hoocne hoặc chức năng CALC của máy để phân tích nhân tử (sẽ nghiên cứu ở bài sau) và được phương trình mới.  x  1  6 x 3  19 x 2  9 x  10   0   x  1 x  2   6 x 2  7 x  5   0   x  1 x  2  2 x  1 3 x  5   0  1 5   x    ;1; ; 2   2 3 .  1 5  Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x    ;1; ; 2    2 3  x  4. b) Ta nhẩm được nghiệm x  4 nên PT   x  4   x 3  12 x  48   0  . 3  x  12 x  48(*). THẦY CƯỜNG – 0911060820 – FACE: NMC22297. NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC. 12.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ - DÙNG CHO KHÓA CHINH PHỤC PT – BPT - HPT PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN Đặt x  4t , thay vào phương trình đã cho ta được 64.t 3  48.t  48  4 t 3  3t  3 (**) Đặt 2 . 1 3 1  3 1 3 3  a  3   a  3  2 2 . Chọn a  3  2 2   3  2 2 2 a  a 3. Khi đó 4  1  a  1    3  1  a  1    1  a 3  13  a  a  2  a  2  2  Do đó t 0  1. 2. . 3. 3 2 2 . 3. 32 2.  là một nghiệm của (**). Ta đi chứng minh nghiệm t 0 là nghiệm duy nhất của (**), thật vậy 4t 3  3t  4t 0 3  3t 0   t  t 0   4t 2  4t 0 . t  4t 0 2  3   0. .  t  t 0 do  2t  t 0   3  t 0 2  1  0,  t 0 2  1.  2. ⇒t1. 3. 2. 3 2 2 . 3. 32 2. .  là nghiệm duy nhất của phương trình (**).  . Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x  4; 2. 3. 3 2 2  3 3 2 2.  .  x  2 c) Ta nhẩm được nghiệm x   2 nên PT   x  2   8 x  6 x  1  0   3 1  4 x  3 x   (*)  2 3. Xét hàm số f ( x )  4 x 3  3 x có f '( x )  12 x 2  3  0, x  ⇒ Phương trình f ( x )  0 có nhiều nhất một nghiệm Ta đi chứng minh (1) có duy nhất một nghiệm Đặt . 1 2. . 1 3 1  a  3   a  2 a . 3. 1  5 2. . Chọn a . 3. 1  2. 5. . 1 a. . 3. 1. 5. 2. 3. 1 1  1 1  1 1 Khi đó 4   a     3   a      a 3  3  2 a 2 a 2 a  . Do đó x . .  . . . . 1  3 1  5 3 1  5    là nghiệm duy nhất của (*)  2 2 2   .  1  3 1  5 3 1  5       Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x    2;   2 2 2     . 3. Bài tập vận dụng. THẦY CƯỜNG – 0911060820 – FACE: NMC22297. NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC. 13.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ - DÙNG CHO KHÓA CHINH PHỤC PT – BPT - HPT PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN Bài 14. Giải các phương trình a ) 4 x 4  12 x 3  3 x 2  2 x  33  0. c) 4 x 4  4 x3  3x 2  5 x  2  0. b ) x 4  14 x 2  9 x  4  0. d ) 8 x 4  8 x3  6 x 2  7 x  1  0. Hướng dẫn giải & Đáp số a) Ta nhẩm được một nghiệm x  3 , PT trở thành  x  3   4 x 3  3 x  11  0 , đáp số:  1 x   3;  2. . 3. .  11  2 30  3 11  2 30  . b) Ta nhẩm được một nghiệm x  1 , PT trở thành  x  1  x 3  x 2  13 x  4   0 , đáp số:  3  13    x    4;1;  2    . c) Ta nhẩm được một nghiệm x  1 , PT trở thành  x  1  4 x 3  3 x  2   0 , đáp số:  1 x  1;  2. . 3. .  2 5  3 2 5  . d) Ta nhẩm được một nghiệm x   1 , PT trở thành  x  1  8 x 3  6 x  1  0 , đáp số:  5 7   x    1; cos ; cos ; cos  9 9 9  . II.2. DÙNG ĐỊNG LÝ VI-ÉT ĐẢO 1. Phương pháp giải Khi nhẩm được 2 nghiệm, 4 nghiệm mà các cặp nghiệm áp dụng được định lý Vi-et đảo hay tổng hai nghiệm và tích hai nghiệm là số hữu tỷ. a  b  S . Ta nhẩm được hai nghiệm a , b mà 2 nghiệm đó thỏa mãn .  a.b  P . nghiệm của phương trình x 2  S .x  P  0  x . S  S 2  4 SP 2. thì hai nghiệm a , b là. .. 2. Ví dụ minh họa Bài 15. Giải các phương trình sau a) x 4  3x3  4 x 2  x  3  0. c) 15 x 4  17 x 3  7 x 2  6 x  2  0. b) 2 x 4  8 x 3  11x 2  13 x  5  0. Hướng dẫn giải a) Dùng chức năng SOLVE ta tìm được hai nghiệm là A  0, 6180339887, B  1, 618033989 và hai nghiệm này tạo thỏa mãn hệ thức Vi-et A  B   1; A.B   1 . Do đó, A, B là nghiệm của phương trình. THẦY CƯỜNG – 0911060820 – FACE: NMC22297. NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC. 14.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ - DÙNG CHO KHÓA CHINH PHỤC PT – BPT - HPT PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN X 2  X  1  0 . Ta dùng chức năng CALC hoặc thực hiện phép chia đa thức để tìm thương và số dư. hay phân tích nhân tử. x. 2.  x  1 x 2  2 x  3   0  x . 1  5 2.  do x. 2.  2 x  3   x  1  2  0,  x  2. .   1  5  Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x     2  b) Ta tìm được A  4,192582404; B  1,192582404; C  1, 366025404; D  0, 3660254038 và các A  B  3. nghiệm thỏa mãn hệ thức Vi-et đảo theo từng cặp là .  A.B   5. . Do đó, A, B là nghiệm của phương. C  D  1  2 trình X  3 X  5  0 và  1 do đó C và D là hai nghiệm của phương trình 2 X  2 X  1  0 C . D    2 2. Phương trình trở thành  2 3  29  x  3x  5  0  x  2  x 2  3 x  5  2 x 2  2 x  1  0   1 3 2 2 x  2 x  1  0  x   2.  3  29 1  3  ; Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x     2   2  1  13 x  6 2 2 c) Tương tự phần trên ta có  3 x  x  1 5 x  4 x  2   0    2  14 x  5 . 1  13 2  14  ; Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x     6 5   3. Bài tập vận dụng Bài 16. Giải các phương trình a ) x 4  16 x 3  66 x 2  16 x  55  0. c ) x 4  13 x 3  32 x 2  13 x  1  0. b ) x 4  8 x 3  20 x 2  12 x  9  0. d ) x 4  5x3  7 x 2  4  0. Đáp số   15  229     1 5   a ) x  3  14; 5  14 ; b) x  1  2; 3 ; c) x  1  2;  ; d) x   2;  2 2        . . . . . II.3. ĐƯA VỀ DẠNG ax 4  bx 2  cx  d THẦY CƯỜNG – 0911060820 – FACE: NMC22297. NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC. 15.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ - DÙNG CHO KHÓA CHINH PHỤC PT – BPT - HPT PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN 1. Phương pháp giải Đặt x  t . b 4a. thì phương trình trở thành 3. 2. b  b  b  b      at    bt    ct    d t  e  0 4a  4a  4a  4a       3b 2   bc b 3   3b 4  b 2 c bd  at 4    c t2    3  d t      e  (*) 4 2 16 a 4a  8a   2 a 8a   256 a . Ta giải (*) như mục trên. 2. Ví dụ minh họa Bài 17. Giải các phương trình sau a ) x 4  4 x 3  2 x 2  12 x  16  0. c) x 4  8 x 3  24 x 2  16 x  220  0. b) x 4  8 x 3  20 x 2  12 x  9  0. Hướng dẫn giải a) Đặt x  t  1 , thay vào phương trình đã cho ta được.  t  1. 4.  4  t  1  2  t  1  12  t  1  16  0 3. 2.  t 4  8t 2  9  0 t 2  9  2   t   1  l . t  3  x  4  t  3  x  2. Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x  2; 4  b) Đặt x  t  2 , thay vào phương trình đã cho ta được. t  2. 4.  8  t  2   20  t  2   12  t  2   9  0 3. 2.  t  4 t  4 t  1  t   2 t  1 4. 2. 1    t  1 . 4. 2. 2.  t 2  2t  1 1  2  t  1  2t  2 . 1 t 1 x  3 t  1  2  x  1  2.  2   t 2  2t  1  0  .  t   1  2  x  1  2. . . Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x  1  2;1  2; 3  c) Đặt x  t  2 , thay vào phương trình đã cho ta được. t  2. 4.  8  t  2   24  t  2   16  t  2   220  0  t 4  48 y  140 *  3. 2. Ta giải (*) như dạng như dạng ax 4  bx 2  cx  d Tìm được m  2 , do đó PT (*) trở thành THẦY CƯỜNG – 0911060820 – FACE: NMC22297. NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC. 16.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ - DÙNG CHO KHÓA CHINH PHỤC PT – BPT - HPT PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN. t. 2.  2    2t  12  2.  t 2  2  2t  12 1  2  t  2    2t  12  2 . 2.  t  1  11  x   1  11. 1  t 2  2t  10  0  .  t  1  11  x   1  11.  2   t 2  2t  14  0   t  1. 2.  13  0  x    do VT  0,  x . Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x  1  11  3. Bài tập vận dụng Bài 18. Giải các phương trình a) x 4  4 x3  3x 2  2 x  6  0. b) x 4  4 x 3  19 x 2  48 x  45  0. Hướng dẫn giải & Đáp số a) Đặt x  t  1 thì PT trở thành t 4  3t 2  4 , đáp số: x  1;3 b) Đặt x  t  1 thì PT trở thành t 4  13 y 2  18 y  13 , đáp số: x   II.4. CÁCH GIẢI TỔNG QUÁT 1. Phương pháp giải  A( x )  B ( x ). Ta sẽ đưa phương trình (1) về dạng  A( x )    B ( x )     A( x )   B ( x ) 2. 2. Phương trình (1) trở thành b   a  x 4  x 3   cx 2  dx  e  0 a   2 2  2 bx  bx   bx   2  a   x 2   2. x 2 .        cx  dx  e  0 2 a  2 a   2 a   . b   a  x2  2a .  b2   x    c  x 2  dx  e  2    4a  2. Ta sẽ chèn hằng số m . để biến phương trình (2) về dạng  A( x )    B ( x )  . Khi đó, phương trình 2. 2. (2) trở thành  b a  x 2  2a  . 2. b   x   2.  x 2  2a  .  b   x  .m  m 2   2 a .m .  x 2  2a   .   b  x   a .m 2    c  x 2  dx  e 2 a   .   b b2    a  x2  x  m    2 a.m   c  x 2   b.m  d  x   a .m 2  e   3  2a 4a     2.   b2 VP(3)   2 a.m   c  x 2   b.m  d  x   a.m 2  e  là một biểu thức bình phương thì phương trình 4a  . bậc hai VP(3)  0 phải có nghiệm kép. Khi đó, ta phải có: THẦY CƯỜNG – 0911060820 – FACE: NMC22297. NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC. 17.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ - DÙNG CHO KHÓA CHINH PHỤC PT – BPT - HPT PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN   b2 2  VP( 3 )  0   b.m  d   4.  2 a.m   c  .  a.m 2  e   0 4a    8 a 3 .m 3  4 a 2 c.m 2  2 a  bd  4 ae  .m  4 ace  ad 2  b 2 e  0  4 . Việc của ta bây giờ là tìm m  Sau khi tìm được m . với m là nghiệm của phương trình (4).. rồi, ta chỉ việc thay vào phương trình (3) và giải.. Tóm lại các bạn cần nhớ hai phương trình (4)  8a 3 .m 3  4 a 2 c.m 2  2 a  bd  4 ae  .m  4 ace  ad 2  b 2 e  0   b b2   (3)  a  x 2  x  m    2 a.m   c  x 2   b.m  d  x   a.m 2  e  2a 4a     2. 2. b    ⚠ Chú ý: Phương trình f ( x )  ax  bx  c  a  x   0    b 2  4 ac  . Phương trình có   2a  4a  2.  nghiệm kép   0 , khi đó phương trình trở thành f ( x )  a  x  . 2. b  b  0 x 2a  2a. 2. Ví dụ minh họa Bài 19. Giải các phương trình sau a ) 2 x 4  32 x 3  127 x 2  38 x  243  0. c) 2 x 4  5 x 3  5 x 2  11x  10  0. b) x 4  14 x 3  54 x 2  38 x  11  0. Hướng dẫn giải a) Đây dạng bài khá khó nếu không có cách giải tổng quát này, bởi lẽ nó không nhẩm được nghiệm đẹp cũng như áp dụng được định lý Vi-et một cách thuận lợi nhất, chính vì vậy ta phải có một cách nhìn trực quan hơn. Bước đầu ta sẽ xác định các hệ số a  2, b   32, c  127, d  38, e  243 Tiếp theo các bạn thay các giá trị đó vào phương trình 8a 3 .m 3  4 a 2 c.m 2  2 a  bd  4ae  .m  4ace  ad 2  b 2e  0  64m 3  2032m 2  2912 m  944  0. Giải phương trình đó ta tìm được 3 nghiệm nhưng chỉ có m  1 là thỏa mãn. Bâygiờ chúng ta thay giá trị m vừa tìm được vào phương trình   b b2   a  x2  x  m    2 a.m   c  x 2   b.m  d  x   a.m 2  e  2a 4a     2.  2  x 2  8 x  1  5 x 2  70 x  245 2.  2  x 2  8 x  1  5  x  7  2. 2.   x 2  8 x  1 2   x  7  5 (1)    x 2  8 x  1 2   7  x  5 (2)  THẦY CƯỜNG – 0911060820 – FACE: NMC22297. NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC. 18.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ - DÙNG CHO KHÓA CHINH PHỤC PT – BPT - HPT PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN (1)  (2) . . . 8 2  5  133  12 10. . . 8 2  5  133  12 10. 2. x 2  8 2  5 x  7 5  0  x . 2 2. 2. x 2  8 2  5 x  7 5  0  x . 2 2  8 2  5  133  12 10 8 2  5  133  12 10  ;  2 2 2 2  . Phương trình có nghiệm là x  . b) Tương tự như trên ta tìm được m  4 là thỏa mãn, thay giá m vừa tìm được vào phương trình   b b2   a  x2  x  m    2 a.m   c  x 2   b.m  d  x   a.m 2  e  2a 4a     2.   x 2  7 x  4   3 x 2  18 x  27 2.   x2  7 x  4   3  x  3 2. 2.  x 2  7 x  4   x  3  3(1)   x 2  7 x  4   3  x  3(2). . . 7  3  36  2 3. . . 7  3  36  2 3. (1)  x 2  7  3 x  4  3 3  0  x  (2)  x 2  7  3 x  4  3 3  0  x . 2 2.  7  3  36  2 3 7  3  36  2 3  ;   2 2  . Như vậy, phương trình có nghiệm là x  . 2 x2  x  2  0. c) Hoàn toàn tương tự ta có phương trình  4 x 2  5 x  8    7 x  12    2. 2. 2  x  3x  5  0. Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x . 1  17 4. . 3. Bài tập vận dụng Bài 20. Giải các phương trình a ) x 4  30 x 3  174 x 2  420 x  196  0. c ) 3 x 4  6 x 3  35 x 2  26 x  5  0. b) x 4  x 3  7 x 2  x  1  0. d ) 4 x 4  4 x 3  82 x 2  64 x  8  0. Hướng dẫn giải & Đáp số. . . a) Tìm được m  39 , PT trở thành  x 2  15 x  39   3 53 x  5 53 , đáp số: 2. x. 2. 15  3 53  546  70 53 2. THẦY CƯỜNG – 0911060820 – FACE: NMC22297. NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC. 19.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ - DÙNG CHO KHÓA CHINH PHỤC PT – BPT - HPT PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN b) Tìm được m  1 , PT trở thành 2  x 2  8 x  1  5  x  7  , đáp số: 2. 2.  8 2  5  133  12 10 8 2  5  133  12 10  x ;  2 2 2 2  . c) Tìm được m   1 , PT trở thành 3  x 2  x  1  8  2 x  1 , đáp số: 2. 2.  3  4 2  77  16 6 3  4 2  77  16 6  x ;  2 3 2 3  . d) Tìm được m   2 , PT trở thành  2 x 2  x  2   3  5 x  2  , đáp số: 2. 2.   1  5 3  84  2 3  1  5 3  84  2 3  x ;  4 4  . III. CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN VÔ NGHIỆM 1. Phương pháp giải Xét hàm số bậc bốn f ( x )  ax 4  bx 3  cx 2  dx  e  a  0  Ta sẽ tách một về dạng f ( x )   A  x    B ( x ) với B ( x ) là một tam thức bậc hai luôn dương. 2. Nhắc lại kiến thức: a  0. 1. Tam thức bậc hai g ( x )  ax 2  bx  c  0  .   0. , x.  A( x ) 2 2 ,  x  f ( x )   A( x )   B ( x )  0, x 2.   B ( x )  0. Cách làm như sau: b   f ( x )  a  x 4  x 2   cx 2  dx  e a     b2 2 b b2  a  x 4  2. x 2 . x  2 x2   x  cx 2  dx  e 2a 4a   4a b   a  x2  2a . b2  2    2 b x  c   x  dx  e  a  x  4a  2a    2. 2.  x   B(x) . TH1: Phương trình B ( x )  0 vô nghiệm hay 2.   0  B( x) . 4 ac  b 2  2 ad  a.   0  f ( x )  0,  x x 2  4a  4 ac  b  4 ac  b 2. TH2: Phương trình B ( x )  0 có nghiệm hay. THẦY CƯỜNG – 0911060820 – FACE: NMC22297. NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC. 20.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ - DÙNG CHO KHÓA CHINH PHỤC PT – BPT - HPT PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN   0  chưa biết dấu của B ( x ). để đưa f ( x ) về dạng f ( x )   A  x    B ( x ) ban đầu bằng cách 2. Ta chèn hằng số m   b f ( x )  a  x 2  2a  . 2. b   x   2.  x 2  2a  .  b   x  .m  m 2   2 am  x 2  2a   .  b2  2  x   am 2   c   x  dx  e 4a   .  b b2 b       a  x2  x  m  c   2 am  x 2   d  bm  x  e  am 2  a  x 2  x  m   B(x) 2a 4a 2a       2. 2. 2   Lúc này B ( x )   c  b  2 am  x 2   d  bm  x  e  am 2 và để B ( x )  0,  x thì ta phải có hệ điều. . . 4a.  b  2 am  0 c  4a  kiện  2   d  bm  2  4  c  b  2 am   e  am 2   0    4a   2. Do a  0 nên dấu của khoảng ngoài cùng của (**) luôn dương. Các bạn đi giải (**) và kết hợp với điều kiện (*) thì ra khoảng m thỏa mãn. Ta sẽ lấy m  nằm trong khoảng nghiệm đó rồi thay m vào f ( x ) để tách thành f ( x )   A  x    B ( x ) 2.  4 ac  b 2 m   m Tóm lại ta cần nhớ (  )  8a 2 8 a 3 .m 3  4 ac.m 2  2 a  bd  4 ae  .m  4 ace  ad 2  b 2 e  0 . 2. Ví dụ minh họa Bài 21. Giải các phương trình sau a) x 4  x3  3x 2  x  5  0. c) x 4  3 x 3  6 x 2  5 x  3  0. b) x 4  2 x 3  2 x 2  6 x  10  0. Hướng dẫn giải Kiểm tra bằng SOLVE ta thấy máy trả kết quả vô nghiệm.Tiếp theo, ta sẽ liệt kê các hệ số a  1, b  1, c   3, d   1, e  5 . Bây giờ, ta đi tách f ( x ) để xem B ( x ) nằm ở trường hợp nào 2. x  13 2  13 f ( x)   x 2    x  x  5 , ta thấy biểu thức B ( x )   x 2  x  5 có nghiệm. Vậy nằm ở trường 4 2 4 . hợp hai. Tiếp theo ta sẽ thay vào hệ (I) tối giản để tìm ra khoảng nghiệm của m, ta có hệ 13  9 m     2  m   1, 796338193  ta chọn m   1, 8   8  5 8 m 3  12 m 2  42 m  66  0  9. Tiếp theo ta thay m   vào f ( x ) cùng với các hệ số và được như sau 5. THẦY CƯỜNG – 0911060820 – FACE: NMC22297. NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC. 21.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ - DÙNG CHO KHÓA CHINH PHỤC PT – BPT - HPT PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN  2 x  2 44   2 x  9 81   7 2 4 0   x    2.  x   .     x  x  2 2  5 25   20 5 25     2. 2. x 9 7  8 228    x2     0 x   2 5 20  7  175 . 2. 2. x 9 7  8 228  Ta thấy B ( x )   x 2      x     0,  x  phương trình vô nghiệm 2 5 20  7  175 . Vậy phương trình đã cho vô nghiệm  b) Kiểm tra bằng SOLVE ta thấy máy trả kết quả vô nghiệm. Tiếp theo, ta sẽ liệt kê các hệ số a  1, b   2, c  2, d   6, e  10 . Bây giờ, ta đi tách f ( x ) để xem B ( x ) nằm ở trường hợp nào: f ( x )   x 2  x   x 2  6 x  10 , ta thấy biểu thức B ( x )  x 2  6 x  10 vô nghiệm. 2. Vậy nằm ở trường hợp nhất. Ta đi tách phương trình như sau f ( x)   x 2  x    x  3  1  0 2. 2. Ta thấy f ( x )   x 2  x    x  3  2  1  0,  x  phương trình vô nghiệm 2. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm  c) Kiểm tra bằng SOLVE ta thấy máy trả kết quả vô nghiệm. Tiếp theo, ta sẽ liệt kê các hệ số a  1, b   3, c  6, d   5, e  3 . Bây giờ, ta đi tách f ( x ) để xem B ( x ) nằm ở trường hợp nào 2. 15 2 3 x  15 2  x  5 x  3 vô nghiệm. Vậy nằm ở f ( x)   x 2  x  5 x  3 , ta thấy biểu thức B ( x )    4 2  4 . trường hợp một. Hoàn toàn tương tự ta có 2. 2. 3  15  2 4  f ( x )   x 2  x    x     0,  x  phương trình vô nghiệm 2  4  3 3 . Vậy phương trình đã cho vô nghiệm  3. Bài tập vận dụng Bài 22. Giải các phương trình a ) x 4  4 x 3  19 x 2  48 x  45  0. c ) 16 x 4  32 x 3  56 x 2  136 x  241  0. b ) x 4  4 x 3  19 x 2  30 x  51  0. d ) x 4  11x 3  39 x 2  56 x  88  0. Bạn đọc tự chứng minh. ⚠ Chú ý: Ta cũng có thể dùng các chức năng của MTCT để chứng minh phương trình bậc bốn một cách nhanh chóng bằng cách sau Xét hàm số bậc bốn f ( x )  ax 4  bx 3  cx 2  dx  e (chuyển hệ số về a  0 ). THẦY CƯỜNG – 0911060820 – FACE: NMC22297. NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC. 22.

<span class='text_page_counter'>(24)</span> TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ - DÙNG CHO KHÓA CHINH PHỤC PT – BPT - HPT PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN . Ta đưa hàm số về dạng f ( x )  a  x 2  . Với g ( x )   x 2   x   và m . 2.  x  m   g ( x )  0, x  g ( x )  0, x 2a  b. , ta đi tìm m để g(x)>0 như sau. Bước 1: giải phương trình f '( x )  0  x  xCT Bước 2: tìm m . . . . . sao cho m    2  xCT 2 .  xCT   lấy giá trị nguyên gần nhất 2a  b. Bước 3: tìm các hệ số  ,  ,  như sau 2. b   CALC với X=1000 cho biểu thức f ( x )   x 2  x  m     10 6   x 2 2a  . . CALC với X=1000 cho biểu thức f ( x )   x 2  . 2.  x  m    x 2    10 3   x 2a  b. 2. b   CALC với X=1000 cho biểu thức f ( x )   x 2  x  m    x2   x   2a   2. b   CALC với X=1000 cho biểu thức f ( x )   x 2  x  m    x 2   x   nếu kết quả ra bằng 0 và 2 a  . CALC với X bất kỳ vẫn ra 0 thì kết quả là đúng Như vậy, ta được g ( x )   x 2   x   Sau khi đã tìm được g ( x )   x 2   x   mà ở đó phương trình g ( x )  0 vô nghiệm, nên ta sẽ viết   4   2  g ( x)    x   0,  x . Mà để làm việc này nhanh thì ta dùng chức năng tính cực   2  4  2. trị của hàm số parabol bằng cách bấm SHIFT 6 6 đối với máy vinacal và bấm MODE 5  1 đối với máy casio fx-570VN (không áp dụng cho máy casio fx-570ES) rồi nhập các hệ số và thu được kết quả    xmin  2  g ( x )  0,  x  f ( x )  0,  x  2  f ( x )  y  4   min min  4. Ta nghiên cứu ví dụ sau đây: Giải phương trình sau x 4  4 x 3  19 x 2  48 x  45  0 Xét hàm số f ( x )  x 4  4 x 3  19 x 2  48 x  45 Dùng SOLVE ta thu được kết quả Can’t solve tức là phương trình đã cho vô nghiệm, ta đi chứng minh phương trình đã cho vô nghiệm Trước tiên đi tìm m đã nhé! Ta đi giải phương trình f '( x )  0 THẦY CƯỜNG – 0911060820 – FACE: NMC22297. NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC. 23.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ - DÙNG CHO KHÓA CHINH PHỤC PT – BPT - HPT PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN Xét f '( x )  4 x 3  12 x 2  38 x  48  f '( x )  0  xCT   1, 65 . . . . Do đó lấy nguyên m    2  xCT 2 .  xCT   ta được m  1 2a  b. Bây giờ ta sẽ đi tìm hệ số  ,  ,  như cách hướng dẫn trên ta được 2. 23  88  g ( x )  13 x  44 x  44  13  x   0,  x   13  13  2. . Do đó ta có f ( x )   x 2  2 x  1  13  x  2. . 2. 22  88  0,  x   13  13. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. IV. TỔNG KẾT ❶ Để giải phương trình bậc bốn ax 4  bx 3  cx 2  dx  e  0  a  0  thì ta cần thực hiện các bước sau: B1. Xác định các hệ số a, b, c, d, e  b2   2 b  x    c  x 2  dx  e B2. Biến đổi phương trình về a  x  2a    4a  2. B3. Chèn hằng số m . để biến phương trình (2) về dạng  A( x )    B ( x )  và phương trình thành 2. 2.   b b2   a  x2  x  m    2 a.m   c  x 2   b.m  d  x   a.m 2  e  (*) 2a 4a     2. B4. Tạo (*) thành bình phương tức là phương trình VP (*)  0 có nghiệm kép khi đó ta phải có VP (*)  0  8a 3 .m 3  4 a 2 c.m 2  2 a  bd  4 ae  .m  4 ace  ad 2  b 2 e  0 (**). B5. Giải (**) để tìm m hữu tỷ từ đó thay vào (*) để giải tiếp. ❷ Để chứng minh phương trình bậc bốn vô nghiệm thì ta cần làm các bước sau B1. Xác định các hệ số a, b, c, d, e b  B2. Biến đổi phương trình về dạng a  x 2  2a . b2  2   x  c   x  dx  e  0 (*) 4a    2.  b2  2 B3. Kiểm tra xem phương trình  c   x  dx  e  0  **  có nghiệm hay không 4a  . TH1. Nếu (**) vô nghiệm thì 2. Khi  (**)  0  VT (**) . 4 ac  b 2  2 ad  a.   0  f ( x )  0,  x  0 x 2  4a  4 ac  b  4 ac  b 2. THẦY CƯỜNG – 0911060820 – FACE: NMC22297. NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC. 24.

<span class='text_page_counter'>(26)</span> TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ - DÙNG CHO KHÓA CHINH PHỤC PT – BPT - HPT PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN TH2. Nếu (**) có nghiệm thì ta chèn tham số m vào (*) để VT (**)  0  b2  2 b   x  m  c   2 am  x 2   d  bm  x  e  am 2  0 (***) B3.1. (*)  a  x  2a 4a     2. . B3.2. Ta đi tìm m sao cho  c  .   2 am  x 2   d  bm  x  e  am 2  0 khi đó ta phải có 4a  b2.  4 ac  b m  ta chọn mhữu tỷ bất kỳ từ nghiệm 8a 2  3 3 2 2 2 8 a .m  4 ac.m  2 a  bd  4 ae  .m  4 ace  ad  b e  0  2. của hệ đó rồi thay vào (***) để tiếp tục giải.. THẦY CƯỜNG – 0911060820 – FACE: NMC22297. NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC. 25.

<span class='text_page_counter'>(27)</span>