De thi HSG toan 9 huyen Tam Nongvong2

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TAM NÔNG ĐỀ THI THÀNH LẬP ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2014-2015 MÔN TOÁN. ĐỀ CHÍNH THỨC. Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Câu 1: (3,0 điểm) a) Chứng minh rằng số:. 44...488...8 9   2015. 2014. là số chính phương. 2 2 b) Với a, b là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu 4a + 3ab  11b chia hết 4 4 cho 5 thì a  b chia hết cho 5.. Câu 2: (4,0 điểm)  x+2 x P =  + x x 1 x + x + 1  Cho biểu thức. 1   : x - 1 . x -1 2. a) Rút gọn biểu thức P. b) Tìm trị của x để P là số nguyên. Câu 3: (4,0 điểm) 3 2 2 2 a) Giải phương trình sau: x + x + 3x + 3 + 2x = x + 3 + 2x + 2x. 2014 + b 2014 + c 2014 = 1 và a 2015 + b 2015 + c 2015 = 1 . b) Cho a 2013. 2014. 2015. Tính giá trị của tổng: a + b + c Câu 4: (4,5 điểm) Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; r) tiếp xúc ngoài tại A. Gọi BC, DE là các tiếp tuyến chung của hai đường tròn (B, D thuộc đường tròn tâm O; C, E thuộc đường tròn tâm O’). a) Chứng minh rằng: BDEC là hình thang cân. b) Tính diện tích hình thang BDEC theo bán kính R và r. Câu 5: (2,5 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Xác định điểm C thuộc nửa đường tròn sao cho tam giác CEF có diện tích lớn nhất, trong đó CH là đường cao của tam giác ABC, CE và CF là các đường phân giác của các tam giác CHA và CHB. Câu 6: (2,0 điểm) 1 1 1   2 1 + a 1 + b 1 + c Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn: . Tìm giá trị lớn nhất của tích P = abc. --------------------------Hết------------------------Họ và tên thí sinh:.............................................................................. SBD......................

<span class='text_page_counter'>(2)</span> *Lưu ý: Cán bộ coi thi không phải giải thích gì thêm. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TAM NÔNG HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN KỲ THI THÀNH LẬP ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2014-2015 Câu Câu 1: (3,0 điểm). Hướng dẫn chấm. a) Chứng minh rằng số:. 44...488...8 9   2015. 2014. Điểm. là số chính phương. 2 2 b) Với a, b là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu 4a + 3ab  11b chia hết cho 5 thì. a 4  b 4 chia hết cho 5. 11...1  1a (1,5đ). Đặt 2015 = a thì 102015 = 9a + 1 44...488...8 9 44...488...8     2015 2014 = 2015 2015 + 1 = 4a. 102015 + 8a + 1 = 36.a2 +12.a + 1 KL và chỉ ra số chính phương: Chỉ ra:. (66..67) . 0,5đ 0,5đ. 2. 0,5đ. 2014. .  . . 4a 2  3ab  11b 2 5  5a 2  5ab  10b 2  4a 2  3ab  11b 2 5. 0,75đ. 2. 1b (1,5đ).  (a + b) 5. Chỉ ra: (a + b) 5 ( Vì 5 là số nguyên tố) Chỉ ra và KL:. . 0,25đ. . a 4  b 4  a 2  b 2  a  b   a  b  5. 0,5đ. Câu 2: (4,0 điểm)  x+2 x P =  + x x 1 x + x + 1  Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P. b) Tìm trị của x để P là số nguyên. Điều kiện: x 0, x 1. 2a (2,0đ). 2b (2,0đ). 1   : x - 1 . x -1 2. 0,5đ.  x + 2 + x ( x - 1) - (x + x + 1)  P=   . ( x 1)(x + x + 1)   Chỉ ra: ( x - 1) 2 .2 2 P= = 2 ( x - 1) (x + x + 1) (x + x + 1) Chỉ ra:. 2 x -1. 0,5đ 1,0đ. Vì x 0 nên x + x + 1  1 hay P  2 Mặt khác: P > 0 nên 0 < P  2. Để P là số nguyên thì P  {1; 2}. 0,75đ. Chỉ ra với P = 2  x + x + 1 = 1  x = 0 Chỉ ra với P = 1  x + x + 1 = 2  4x + 4 x. 2 +1=5 . . 2. x  1 5. 0,5đ 0,5đ.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Chỉ ra:. x. 3. 5 2 3. 5 2. KL với x  {0; Câu 3: (4,0 điểm). 0,25đ. } thì P là số nguyên. x 3 + x 2 + 3x + 3 + 2x =. a) Giải phương trình sau:. x2 + 3 +. 2x 2 + 2x (1). 2014 + b 2014 + c 2014 = 1 (1.1) và a 2015 + b 2015 + c 2015 = 1 (1.2) b) Cho a 2013 + b 2014 + c 2015 Tính giá trị của tổng: a ĐK: x ≥ 0. (x 2 + 3)(x + 1) + 2x =. (1) . x+1. . 3a (2,0đ). . . .  . x 2 + 3 - 2x -. . x+1-1. Chỉ ra với:. 0,25đ. x 2 + 3 + 2x(x + 1) x 2 + 3 - 2x. . = 0. 0,5đ. . x 2 + 3 - 2x = 0. 0,75đ. x + 1 - 1 = 0  x = 0 (TMĐK) 2. 2. 2. Chỉ ra với: x + 3 - 2x = 0  x + 3 = 2x  (x - 1) + 2 = 0 (Vô nghiệm) KL: Phương trình có nghiệm x = 0. a 1, b 1, c 1, suy ra a 2015 a 2014 , b 2015 b 2014 ,c 2015 c 2014 . Từ (1.1) có 2015  b 2015  c2015 a 2014  b 2014  c 2014 (3) Chỉ ra: a 3b (2,0đ). 2015. 2014. 2015. 2014. 2015. 2014. a , b b ,c c Chỉ ra tõ (1.1), (1.2), (1.3) cã a a 2015 a 2014  a 2014  a  1 0  a 1, a 0 Chỉ ra: , do đó a2013 = a2014. Tương tự có b2014 = b2014, c2015 = c2015. 2013 2014 2015 a 2014  b2014  c2014 1 Chỉ ra và kết luận: a  b  c. 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,75đ. Câu 4: (4,5 điểm) Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; r) tiếp xúc ngoài tại A. Gọi BC, DE là các tiếp tuyến chung của hai đường tròn (B, D thuộc đường tròn tâm O; C, E thuộc đường tròn tâm O’). a) Chứng minh rằng: BDEC là hình thang cân. b) Tính diện tích hình thang BDEC theo bán kính R và r. Vẽ đúng hình B M C. K. Vẽ hình (0,5đ). H. 0,5đ O'. A. O. E N D.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Chỉ ra: BD  OO’; CE  OO’ (Theo tính đối xứng)  BD // CE  BDEC là hình thang. 4a   CBD = EDB (1,75đ) Chỉ ra: KL: BDEC là hình thang cân Kẻ tiếp tuyến chung tại A cắt BC, DE ở M, N. Chỉ ra: ΔOMO’ vuông tại M nên MA2 = OA.O’A = R.r. 0,75đ 0,75đ 0,25đ 0,75đ. Từ đó chỉ ra: MN = 2AM = BC = 2 Rr Kẻ đường cao CH của hình thang BDEC, CH cắt OB tại K. Chỉ ra: KC = OO’ Chỉ ra trong ΔBKC vuông tại B có: HC =. 4Rr R+r. BC2 = KC.HC  4Rr = (R + r).HC  4b (CE + BD).CH (2,25đ) SBDEC = 2 Chỉ ra và KL: = MN.CH SBDEC. 8Rr Rr = R + r (ĐVDT). 1,0đ. 0,5đ. Câu 5: (2,5 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Xác định điểm C thuộc nửa đường tròn sao cho tam giác CEF có diện tích lớn nhất, trong đó CH là đường cao của tam giác ABC, CE và CF là các đường phân giác của các tam giác CHA và CHB. Hình vẽ C. 0,25đ A. 5 (2,5đ). E. H. O F. B. 0 0       Chỉ ra: ACF = 90 - BCF, AFC = 90 - HCF  ACF = AFC  AF = AC Tương tự: BE = BC Chỉ ra: AC + BC = AF + BE = AB + EF.. 0,5đ. Đặt AC = x, BC = y có EF = x + y – 2R. Áp dụng BĐT Cosi: x2 + y2  2xy  (x + y)2  2(x2 + y2) = 8R2. 0,5đ. Chỉ ra: x + y  2 2 R nên x + y – 2R  (2 2 - 2)R hay EF  2( 2 - 1)R 1 Chỉ ra: CH  R nên SCEF = 2 EF.CH  ( 2 - 1)R2 Chỉ ra: Max SCEF = ( 2 - 1)R2  x = y  CO  AB KL: với CO  AB thì .... 0,5đ 0,75đ. 1 1 1   2 Câu 6: (2,0 điểm): Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn: 1 + a 1 + b 1 + c . Tìm giá trị lớn nhất của tích P = abc. 6 (2,0đ). 1 1 1 b c bc (1  )  (1  )  2 1 b 1 c 1 b 1 c (1  b)(1  c) Chỉ ra: 1  a. 0,75đ.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 1 ca 1 ab 2 2 (1  c)(1  a ) ; 1  c (1  a)(1  b) Tương tự: 1  b 1 1 1 bc ca ab . . 2 .2 .2 (1  b)(1  c ) (1  c)(1  a ) (1  a )(1  b) Chỉ ra: 1  a 1  b 1  c 1 8abc  abc . 0,5đ. 1 1 1 8 ; Vậy Max P = 8 khi a = b = c = 2. 0,75đ Chỉ ra và KL: Lưu ý: Học sinh có nhiều cách giải khác nhau, nếu đúng giám khảo cho điểm tương ứng của phần đó.. 1 1 1   2 Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn: 1  a 1  b 1  c .. Tìm giá trị nhỏ nhất của tích P = abc. HD: 1 1 1 b c bc (1  )  (1  )  2 1 a 1 b 1 c 1 b 1 c (1  b)(1  c) 1 ca 1 ab 2 2 (1  c)(1  a ) ; 1  c (1  a )(1  b) Tương tự: 1  b 1 1 1 bc ca ab . . 2 .2 .2 1 a 1 b 1 c (1  b)(1  c) (1  c)(1  a ) (1  a)(1  b) 1 1 1 8abc . .  1  a 1  b 1  c (1  a )(1  b)(1  c) 1 8abc  abc . 1 8. 1 1 Max P = 8 khi a = b = c = 2. Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn: a + b + c = 3 . a+1 b+1 c+1 + + 3 2 2 1+c 1 + a2 Chứng minh rằng: 1 + b 2 2 Với a, b là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu 4a + 3ab  11b chia hết cho 5 thì a 4  b 4 chia hết cho 5.. 4a 2  3ab  11b 2 5   5a 2  5ab  10b 2    4a 2  3ab  11b 2  5  a 2  2ab  b 2 5 2.   a  b  5  a  b5 ( Vì 5 là số nguyên tố)  a 4  b 4  a 2  b 2   a  b   a  b  5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 2 3 4 5 2015 2016 Chứng minh rằng số: 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + ... + 7 + 7 chia hết cho 400..

<span class='text_page_counter'>(7)</span>