PHUONG TRINH BAC BA

<span class='text_page_counter'>(1)</span>NGUYỄN MẠNH CƯỜNG (Giáo viên chuyên luyện thi THPTQG). PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ - DÙNG CHO KHÓA CHINH PHỤC PT – BPT – HPT PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA. PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA I. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA ĐẶC BIỆT I.1. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG 4 x 3  3 x  m (1) 1. Phương pháp giải Xét hàm số f ( x )  4 x 3  3 x có f '( x )  12 x 2  3  0, x  ⇒ Phương trình f ( x )  0 có nhiều nhất một nghiệm Ta đi chứng minh (1) có duy nhất một nghiệm Đặt m . 1 3 1  3 3 2 2  a  3   a  m  m 1  a  m  m 1 2 a . Chọn a  3 m  m 2  1  1. 1 . 3. 1 a. 1.   m  m2 1 3. 1 . Khi đó 4   a     3   a      a 3  3  a  a  2  a  2  2  Do đó x . 1. 1. 1 1 13 3  2 2  a     m  m  1  m  m  1  là nghiệm duy nhất của (1) 2 a 2 . 2. Ví dụ minh họa Bài 1. Giải phương trình 4 x 3  3 x  1 . Hướng dẫn giải Xét hàm số f ( x )  4 x 3  3 x có f '( x )  12 x 2  3  0, x  ⇒ Phương trình f ( x )  0 có nhiều nhất một nghiệm Đặt 1 . 1 3 1  1 3 3 3  a  3   a  1  2 . Chọn a  1  2    1  2 2 a  a 3. 1  1  1  1  1  1  Khi đó 4   a     3   a      a 3  3  a  a  2  a  2  2 . Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x .  2. 1. 3. 1 2  3 1 2. . Bài 2. Giải phương trình 16 x 3  12 x  4 2 . Hướng dẫn giải Ta viết lại phương trình thành 4 x 3  3 x 2  2 Xét hàm số f ( x )  4 x 3  3 x có f '( x )  12 x 2  3  0, x  ⇒ Phương trình f ( x )  0 có nhiều nhất một nghiệm THẦY CƯỜNG – 0911060820 – FACE: NMC22297. NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC. 1.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ - DÙNG CHO KHÓA CHINH PHỤC PT – BPT – HPT PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA Đặt. 2. 1 3 1  a  3   a  2 a . 1. 1 . 3. 3. 1. 2  3 . Chọn a  1 . 2 3. 3. 1 a.  3. 2 3. Khi đó 4   a     3   a      a 3  3  a  a  2  a  2  2  1. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x . 1. 1 2. . 3. 2 3. 3. 2 3. . 3. Bài tập vận dụng Bài 3. Giải các phương trình a) 8 x3  6 x  8. c ) 36 x 3  27 x  45. b) 4 x3  3 x  2  0. d )  4 x3  3x  6  0. Hướng dẫn giải & Đáp số.  2. 3. 4  17  3 4  17.  2. 3. 2 5  3 2 5.  2. 3. 5  26  3 5  26. a) Đưa về dạng chính thống 4 x 3  3 x  4 , đáp số: x . 1. b) Đưa về dạng chính thống 4 x 3  3 x  2 , đáp số: x . 1. c) Đưa về dạng chính thống 4 x 3  3 x  5 , đáp số: x . 1. d) Đưa về dạng chính thống 4 x 3  3 x   6 , đáp số: x  .  2. 1. 3. .  . 6  37  3 6  37. . I.2. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG 4 x 3  3 x  m (2) TH1. Khi m  1 1. Phương pháp giải Đặt m  cos 3a  4 cos 3 a  3 cos a , trong đó a  . arccos  m  3. Phương trình (2) trở thành 4 x 3  3 x  4 cos 3 a  3 cos a  4  x 3  cos 3 a   3  x  cos a   0   x  cos a   4 x 2  4 cos a. x  4 cos 2 a  3   0  x  cos a  2 2  4 x  4 cos a. x  4 cos a  3  0  * . Ta đi giải (*) có biệt thức  '  4 cos 2 a  4  4 cos 2 a  3   12 1  cos 2 a   12 sin 2 a  0 Do đó (*) có hai nghiệm phân biệt là THẦY CƯỜNG – 0911060820 – FACE: NMC22297. NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC. 2.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ - DÙNG CHO KHÓA CHINH PHỤC PT – BPT – HPT PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA x1  x2 .  2 cos a  2 3 sin a 4  2 cos a  2 3 sin a 4.  cos a     2 . 3 sin a       cos  a  2 3  . 2      cos  a   3   .  cos a     2 . 3 sin a       cos  a  2 3  . 2      cos  a   3   . 2  Như vậy, phương trình (2) có 3 nghiệm là x1  cos  a  3 . 2     , x2  cos  a   , x3  cos a 3   . 2. Ví dụ minh họa Bài 4. Giải phương trình 8 x 3  6 x  3 . Hướng dẫn giải Ta viết lại phương trình đã cho thành 4 x 3  3 x  cos.  6.  4 cos 3.  18.  3 cos.  18.         x  cos   4 x 2  4 cos . x  cos 2  3  0 18   18 18    11 13  x  cos  cos  cos 18 18 18.  11 13   ; cos Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x   cos ; cos   18 18 18   Bài 5. Giải phương trình 8 x 3  6 x  1 . Hướng dẫn giải Ta viết lại phương trình đã cho thành 4 x3  3x . 1 2.  cos. .  4 cos 3. 3.  9.  3 cos.  9.         x  cos   4 x 2  4 cos . x  cos 2  3   0 9  9 9    5 7  x  cos  cos  cos 9 9 9.  5 7   Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x   cos ; cos ; cos   9 9 9   3. Bài tập vận dụng Bài 6. Giải các phương trình a) 8 x3  6 x  3  0. c ) x 3  0, 75 x  0,125  0. b ) 8x 3  6 x . d ) 12 x 3  9 x  2. 2. Hướng dẫn giải & Đáp số. THẦY CƯỜNG – 0911060820 – FACE: NMC22297. NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC. 3.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ - DÙNG CHO KHÓA CHINH PHỤC PT – BPT – HPT PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA 3. 3 a) Ta viết lại PT thành 4 x  3 x  . 2. 2. 3 b) Ta viết lại PT thành 4 x  3 x . 2.  cos.  cos. 5 7 17   ; cos ; cos , đáp số: x   cos  18 18 18  6 . 5.  7 3    ; cos , đáp số: x   cos ; cos  12 12 4  4 . 2 4 8   ; cos ; cos  c) Ta viết lại PT thành 4 x 3  3 x   1  cos 2 , đáp số: x   cos 9 9 9  2 3 . d) Ta viết lại PT thành 4 x 3  3 x .   2   cos  arccos    , đáp số: 3  3   2.  1 1 1  2   2  2   2  2   x   cos  arccos    ; cos  arccos     ; cos  arccos      3  3 3   3  3  3 3 3 . ⚠ Chú ý: Khi a không phải góc đặc biệt nhưng vẫn nằm trong đoạn  0;   thì ta dùng arccos(?) (góc tính bằng đơn vị rad nên chuyển máy về đơn vị rad MODE 4) TH2. Khi m  1 1. Phương pháp giải Đặt m . 1 3 1  3 3 2 2  a  3   a  m  m 1  a  m  m 1 2 a . Chọn a  3 m  m 2  1  1 . 1 . 3. 1 a. . 1 . 3. m  m2 1. 1 . 1. 1 . Khi đó 4   a     3   a      a 3  3  a  a  2  a  2  2  Do đó x0 . 1 1 13 3  2 2  a     m  m  1  m  m  1  là một nghiệm của (2) 2 a 2 . Ta đi chứng minh nghiệm x0 là nghiệm duy nhất của (2), thật vậy 4 x 3  3 x  4 x0 3  3 x0   x  x0   4 x 2  4 x0 . x  4 x 0 2  3   0. .  x  x0 do  2 x  x0   3  x0 2  1  0,  x0 2  1. Vậy x . 2. . 13 3  2 2  m  m  1  m  m  1  là nghiệm duy nhất của (2) 2 . 2. Ví dụ minh họa Bài 7. Giải phương trình 4 x 3  3 x  2 . Hướng dẫn giải. THẦY CƯỜNG – 0911060820 – FACE: NMC22297. NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC. 4.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ - DÙNG CHO KHÓA CHINH PHỤC PT – BPT – HPT PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA Đặt 2 . 1 3 1  1 3 3 3  a  3   a  2  3 . Chọn a  2  3   2  3 2 a  a 1. 1 . 3. 1. 1 . Khi đó 4   a     3   a      a 3  3  a  a  2  a  2  2  Do đó x0 . . 1 2. 3. 2 3  3 2 3. 1. 1.  là một nghiệm của (2). Ta có:. 4 x 3  3 x  4 x0 3  3 x0   x  x0   4 x 2  4 x0 . x  4 x 0 2  3   0. .  x  x0 do  2 x  x0   3  x0 2  1  0,  x0 2  1. Vậy x .  2. 1. 2. 2 3  3 2 3. 3. .  là nghiệm duy nhất của phương trình . Bài 8. Giải phương trình 44 x 3  33 x  121 . Hướng dẫn giải Ta viết lại phương trình đã cho thành 4 x 3  3 x  11 Đặt 2 . 1 3 1  1 3 3 3  a  3   a  11  2 30 . Chọn a  11  2 30   11  2 30 2 a  a 3. 1 1  1 1  1 1 Khi đó 4   a     3   a      a 3  3  2 a 2 a 2 a  . Do đó x0 . 1 2. . . 3.  . . 11  2 30  3 11  2 30. . .  là một nghiệm của (2). Ta có:. 4 x 3  3 x  4 x0 3  3 x0   x  x0   4 x 2  4 x0 . x  4 x 0 2  3   0. .  x  x0 do  2 x  x0   3  x0 2  1  0,  x0 2  1. Vậy x .  2. 1. 2. 3. 11  2 30  3 11  2 30. .  là nghiệm duy nhất của phương trình . 3. Bài tập vận dụng Bài 9. Giải các phương trình a ) 20 x 3  15 x  35. c )  2 x 3  1, 5 x  3, 5. b ) 4 x 3  3 x  10  0. d ) 4 x3  3x  3 2. Hướng dẫn giải & Đáp số a) Ta viết lại PT thành 4 x 3  3 x  7 , đáp số: x .  2. 1. 3. 74 3  3 74 3. . THẦY CƯỜNG – 0911060820 – FACE: NMC22297. NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC. 5.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ - DÙNG CHO KHÓA CHINH PHỤC PT – BPT – HPT PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA.  2. 1. b) Ta viết lại PT thành 4 x 3  3 x  10 , đáp số: x . 3. 10  3 11  3 10  3 11. . .  2. 3. 3 2 2  3 3 2 2.  2. 3. 3 2  17  3 3 2  17. c) Ta viết lại PT thành 4 x 3  3 x   3 , đáp số: x  . 1. d) Ta viết lại PT thành 4 x 3  3 x  3 2 , đáp số: x . 1. . I.3. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG x 3  px  n (3) 1. Phương pháp giải Nếu p  0 (3) có nghiệm là x  3 n Nếu p  0 thì Ta đưa (3) về dạng (1) và (2), cách làm như sau: Đặt x  a.t , thay vào (3) ta được a 3 .t 3  pa.t  n  t 3 . Để đưa (*) về dạng (1) thì ta phải có. p a. 2. . 3 4. a2. p a. p 3. 2. .t . n a3. (*). , dó đó ta có cách đặt. + Khi p  0 thì (*) trở về dạng (1) 4 x 3  3 x  m bằng cách đặt x  2. + Khi p  0 thì (*) trở về dạng (2) 4 x 3  3 x  m bằng cách đặt x  2. p 3. .t. p 3. .t. 2. Ví dụ minh họa Bài 10. Giải phương trình x 3  27 x  27 . Hướng dẫn giải Đặt x  6t , thay vào phương trình đã cho ta được 216.t 3  162.t  27  4t 3  3t . 1 2. (*). Xét hàm số f (t)  4t 3  3t có f '(t)  12t 2  3  0, t  ⇒ Phương trình f (t)  0 có nhiều nhất một nghiệm Đặt. 1 2. . 1 3 1  a  3   a  2 a  1. 1 . 3. 3. 1. 1 5. . Chọn a . 3. 1 5 2. 2 1 . . 1 a.  3. 1 5 2. Khi đó 4   a     3   a      a 3  3  a  a  2  a  2  2  1. Phương trình (*) có nghiệm duy nhất là t . 1. 1  3 1 5 3 1 5     2 2 2   . THẦY CƯỜNG – 0911060820 – FACE: NMC22297. NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC. 6.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ - DÙNG CHO KHÓA CHINH PHỤC PT – BPT – HPT PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA  1 5 1 5    3  2 2   . Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x  3  3 Bài 11. Giải phương trình x 3  12 x  48 . Hướng dẫn giải. Đặt x  4t , thay vào phương trình đã cho ta được 64.t 3  48.t  48  4 t 3  3t  3 (*) Đặt 2 . 1 3 1  1 3 3 3  a  3   a  3  2 2 . Chọn a  3  2 2   3  2 2 2 a  a 3. 1  1  1  1  1  1  Khi đó 4   a     3   a      a 3  3  a  a  2  a  2  2 . Do đó t 0 .  2. 1. 3. 3 2 2  3 32 2.  là một nghiệm của (*). Ta đi chứng minh nghiệm t 0 là nghiệm duy nhất của (*), thật vậy 4t 3  3t  4t 0 3  3t 0   t  t 0   4t 2  4t 0 . t  4t 0 2  3   0. .  t  t 0 do  2t  t 0   3  t 0 2  1  0,  t 0 2  1 t. 1 2. . 3. 2. 3 2 2  3 3 2 2. .  là nghiệm duy nhất của phương trình (*). Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x  2. . 3. 3 2 2  3 3 2 2. . Bài 12. Giải phương trình x 3  3 x  2  0 . Hướng dẫn giải 3 3 Đặt x  2t , thay vào phương trình đã cho ta được 8.t  6.t  2  4t  3t . 2 2. (*). Ta viết lại phương trình (*) thành 4t 3  3t  cos.  4.  4 cos 3.  12.  3 cos.  12.         t  cos   4t 2  4 cos . t  cos 2  3  0 12   12 12       t  cos 12  x  2 cos 12  7 7   t  cos  x  2 cos  12 12  3 3  t  cos  x  2 cos  4 4 THẦY CƯỜNG – 0911060820 – FACE: NMC22297. NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC. 7.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ - DÙNG CHO KHÓA CHINH PHỤC PT – BPT – HPT PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA.  7 3   ; 2 cos Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x   2 cos ; 2 cos   12 12 4   3. Bài tập vận dụng Bài 13. Giải các phương trình. a ) x 3  15 x  50. c) x3  3x  3. b ) x 3  18 x  24. d ) x 3  12 x  8 3. Hướng dẫn giải & Đáp số a) Đặt x  2 5.t thì PT trở thành 4t 3  3t  5 , đáp số: x  5 6. b) Đặt x  2 6.t thì PT trở thành 4t 3  3t . 3. . 3. 5 6 . 3. 5 6. . , đáp số:.  1 1  6   6  2     x   2 6 cos  arccos  ; 2 6 cos arccos        3   3 3     3  3      . c) Đặt x  2.t thì PT trở thành 4t 3  3t . 3 2. d) Đặt x  4.t thì PT trở thành 4t 3  3t  . , đáp số: x . 3. 3 5 2. . 3. 3 5 2. 5 7 17   ; 4 cos ; 4 cos , đáp số: x   4 cos  18 18 18  2  3. II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA TỔNG QUÁT ax 3  bx 2  cx  d  0  a  0  (4) II.1. NHẨM ĐƯỢC MỘT NGHIỆM HỮU TỶ x  x0 1. Phương pháp giải Phương trình (4) trở thành.  x  x0   ax 2   b  ax0  x  c  bx0  ax0 2   0  x  x0  2 2  ax   b  ax0  x  c  bx0  ax0  0 (*). Ta giải (*) như một phương trình bậc hai. ⚠ Chú ý: Ta dùng Lược đồ hoocne hoặc chức năng CALC của máy tính cầm tay để tìm ra VT(*). b   x1  x2  x3   a  c   Ngoài ra ta cũng có cách giải nhẩm nghiệm theo định lý Vi-ét  x1 . x2  x2 . x3  x3 . x1  như sau: a  d   x1 . x2 . x3   a . THẦY CƯỜNG – 0911060820 – FACE: NMC22297. NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC. 8.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ - DÙNG CHO KHÓA CHINH PHỤC PT – BPT – HPT PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA x  y  z    Tồn tại 3 số thực phân biệt x, y, z thỏa mãn  x. y  y. z  z . x   thì khi đó phương trình bậc ba là  x. y . z   . X 3   . X 2   . X    0 sẽ nhận x, y , z làm nghiệm.. 2. Ví dụ minh họa Bài 14. Giải các phương trình a) x3  3x 2  x  3  0. b ) x 3  6 x 2  11x  6  0. c ) x 3  x 2  14 x  30  0. Hướng dẫn giải a. Phương trình đã cho trở thành  x  1  x  1  x  2 x  3   0   x  1 x  1 x  3   0   x  1  x  3 2. Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x  1;1;3  b. Hoàn toàn tương tự ta có phương trình  x  1  x  1 x  2  x  3   0   x  2  x   3. Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x  3; 2; 1  c. Hoàn toàn tương tự ta có phương trình.  x  5  x2  4 x  6  0 . . x  5 do x 2  4 x  6   x  2   2  0,  x  2. . Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x  5  3. Bài tập vận dụng Bài 15. Giải các phương trình. a ) x 3  x 2  3 x  1. c) 2 x3  7 x 2  6 x  5. b ) 3 x 3  11x 2  11x  2  0. d ) 3 x 3  22 x 2  19 x  2  0. Đáp số   5  13   1   2  a) x  1; 1  2 ; b) x   2;  ; c) x    ; d) x    ; 4  17  6  2  3    . . . II.2. ĐƯA (4) VỀ DẠNG (3) x 3  px  n (CÁCH GIẢI TỔNG QUÁT) 1. Phương pháp giải. THẦY CƯỜNG – 0911060820 – FACE: NMC22297. NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC. 9.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ - DÙNG CHO KHÓA CHINH PHỤC PT – BPT – HPT PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA b. Đặt x  t . 3a. thì phương trình đã cho trở thành. 3. 2. b  b  b     at    bt    ct  d  0 3a  3a  3a     2 3 2  3  2 b  b   b   b   b    2 b  a  t  3.t .  3.t .        b  t  2.t .    c  t  d  0  3a 3a  3a   3a   3a   3a     .  at  bt  3. 2. b2 3a. t. b3 27 a.  b 2 2b 2  at 3   c   3a 3a .  bt  2. 2. 2b 2 3a. t. b3 9a.  ct . 2.   b3 bc b3 t  d      9 a 2 3a 27 a 2  . bc 3a. d 0.  0 .  3ac  b 2 9 abc  27 a 2 d  2b 3   t 3  m.t  n  m  ,n   (*) 3a 27 a 2  . Ta giải (*) như mục 3. 2. Ví dụ minh họa Bài 16. Giải các phương trình x 3  3 x 2  4 x  1  0 . Hướng dẫn giải Nếu dùng chức năng SOLVE của máy tính cầm tay, chúng ta thấy phương trình có nghiệm thực duy nhất là x   0, 2134116628 , chúng ta sẽ đi tìm dạng tường minh của nghiệm lẻ này bằng cách đưa về dạng x 3  px  n đã được đề cập ở mục 3. Bước đầu tiên, các bạn nên liệt kê tất cả các hệ số của phương trình ra là a  1, b   3, c  4, d  1. Đặt x  t  1 , phương trình đã cho trở thành.  t  1. 3. Đặt t .  3  t  1  4  t  1  1  0  t 3  t   3 (*) 2. 2 3 3. . y , thay vào (*) ta được. 8 3 9. .y3 . 2 3 3. . y  3  4 y 3  3 y  . 9 3 2. (**). Xét hàm số f (y)  4 y 3  3 y có f '(y)  12 y 2  3  0, y  ⇒ Phương trình f (y)  0 có nhiều nhất một nghiệm Ta đi chứng minh (**) có duy nhất một nghiệm Đặt . 9 3 2. Chọn a . 3. . 1 3 1  a  3   a  2 a .  9 3  247 2. . 1 a. . 3. 9 3 . 247. 2. 3. 9 3  247 2. 3. 1  1  1  1  1  1  Khi đó 4   a     3   a      a 3  3  a  a  2  a  2  2 . THẦY CƯỜNG – 0911060820 – FACE: NMC22297. NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC. 10.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ - DÙNG CHO KHÓA CHINH PHỤC PT – BPT – HPT PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA Do đó y . t. 1  3  9 3  247   2 2 . 3  3  9 3  247   3  2 . 3. 3. 9 3  247   là nghiệm duy nhất của (**)  2 . 9 3  247  3  3 9 3  247 3 9 3  247   x   1    2 3  2 2   . Vậy PT đã cho có nghiệm duy nhất là x . 3  3  9 3  247   3  2 . 3. 9 3  247   1.   2 . Bài 17. Giải các phương trình 2 x 3  3 x 2  8 x  5  0 . Hướng dẫn giải Đặt x  t  Đặt t  19 57 9. 1. , thay vào phương trình đã cho ta được t 3 . 2. 57 3. 19 4. t. 1 4. (*). . y , thay vào phương trình (*) ta được. .y3 . 19 57 12. .y  . 1.  4 y3  3 y  . 4. 3 57 361. (**). Ta viết lại phương trình (**) thành    3 cos 3 3         y  cos   4 y 2  4 cos . y  cos 2  3   0 3  3 3   4 y 3  3 y  cos   4 cos 3.    y  cos  t  3     2   y  cos   3 3    2  y  cos   3  3. 57 3. cos.  3. 57    2  cos   t   3 3   3 57    2  cos   t   3 3   3. Vậy PT đã cho có nghiệm là   1 57  57   2 x cos  ; cos   3 2 3 3 3   3.   .  3 57 1   , trong đó   arccos   2  361 .    . Bài 18. Giải các phương trình 5 x 3  15 x 2  10 x  20  0 . Hướng dẫn giải Đặt x  t  1 , thay vào phương trình ta được 5  t  1  15  t  1  10  t  1  20  0  t 3  t  4 (*) 3. Đặt t . 2 3 3. . y , thay vào phương trình (*) ta được. 8 3 9. 2. .y3 . 2 3 3. . y  4  4 y 3  3 y  6 3  ** . THẦY CƯỜNG – 0911060820 – FACE: NMC22297. NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC. 11.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ - DÙNG CHO KHÓA CHINH PHỤC PT – BPT – HPT PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA 1 3 1  1 3 3 3  a  3   a  6 3  107 . Chọn a  6 3  107   6 3  107 2 a  a. Đặt 6 3 . 3. 1  1  1  1  1  1  Khi đó 4   a     3   a      a 3  3  a  a  2  a  2  2 . Do đó y 0 .  2. 1. 3. 6 3  107  3 6 3  107.  là một nghiệm của (**). Ta có:. 4 y 3  3 y  4 y0 3  3 y0   y  y0   4 y 2  4 y0 . y  4 y0 2  3   0. .  y  y 0 do  2 y  y 0   3  y 0 2  1  0,  y 0 2  1  y. 1 2. . 2. 3. . . 6 3  107  3 6 3  107 là nghiệm duy nhất của phương trình (**). Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x .  3 3. . 6 3  107  3 6 3  107  1 . . 3. 3. Bài tập vận dụng Bài 19. Giải các phương trình a) x3  6 x 2  3x  6  0. c ) 16 x 3  48 x 2  54 x  22  3 2. b) x3  x 2  2 x  1  0. d ) 3x3  3x 2  3 3x  1  0. Hướng dẫn giải & Đáp số a) Đặt x  t  2 thì PT trở thành t 3  15t  28 (*) 3 Đặt t  2 5. y thì PT (*) trở thành 4 y  3 y . 14 5 25.   14 5  355 3 14 5  355  3  Đáp số: x  5  2   25 25  . b) Đặt x  t . Đặt t . 2 7 3. 1 3. 7. 7. 3. 27. thì PT trở thành t 3  t  . . y thì PT (*) trở thành 4 y  3 y   3. (*) 7 14.  2 7 1 1   7  1 2 7 7  2  1  cos  arccos    ; cos arccos          14   3 3 3 3  3 3 14 3         . Đáp số: x  . 3 3 2 3 c) Đặt x  t  1 thì PT trở thành t  t  (*) 8 16 THẦY CƯỜNG – 0911060820 – FACE: NMC22297. NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC. 12.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ - DÙNG CHO KHÓA CHINH PHỤC PT – BPT – HPT PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA Đặt t . y. thì PT (*) trở thành 4 y 3  3 y  3. 2 1. Đáp số: x  2. d) Đặt x  t .  2. 1. 3. . 3  10  3 3  10  1. 3 3. 3. Đặt t . 4. 3 y thì PT (*) trở thành 4 y  3 y . 3  4. Đáp số: x  .  3. 8. thì PT đã cho trở thành t 3  4t . cos.  9. . 1 3. ;. 4 3. cos. 5 9. . 1 2. 1. ;. 3. 4. cos. 3. 7 9. . 1   3. ⚠ Chú ý: Để kiểm tra nghiệm của một phương trình bậc ba thì ta dùng chức năng ENQ của MTCT để kiểm tra bằng cách sau. Ví dụ: giải phương trình bậc ba x 3  2 x 2  2 x  1  0 THAO TÁC - MỤC ĐÍCH. MÀN HÌNH MÁY. Vào chức năng EQN giải phương trình bậc ba Xác định các hệ số a  1, b  2, c   2, d   1 . Nhập hệ số vào máy. Ra kết kết quả nghiệm x1, x2, x3. Để tìm được phương trình bậc hai chứa hai nghiệm vô tỷ kia thì ngoài cách dùng lược đồ hoocner, ta còn dùng chức năng CALC của máy để thực hiện phép chia đa thức hay tìm nhân tử còn lại là phương trình bậc hai bằng cách sau THAO TÁC - MỤC ĐÍCH. MÀN HÌNH MÁY. Nhập biểu thức vào máy CALC với X=1000 thu được kết quả là  1  10 6  x 2 , ta trừ đi số hạng này Bấm nút back và trừ đi X 2 rồi bấm = thu được kết quả là  3  10 3  3x , ta trừ đi số hạng này Bấm nút back và trừ đi 3X rồi bấm = thu được kết quả là 1 , ta trừ đi số hạng này. THẦY CƯỜNG – 0911060820 – FACE: NMC22297. NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC. 13.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ - DÙNG CHO KHÓA CHINH PHỤC PT – BPT – HPT PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA Bấm nút back và trừ đi 1 rồi bấm = ta thu được kết quả là 0, ta CALC với X bất kỳ thu được kết quả là 0 nên phép tính của ta là đúng Do đó, ta viết lại phương trình thành x  1 x  2 x  2 x  1  0   x  1  x  3 x  1  0    x  3  5  2 3. 2. 2. Lời giải chi tiết dành cho bạn đọc. III. CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH BẠC BA VÔ NGHIỆM TRÊN TXĐ 1. Phương pháp giải Chứng minh phương trình bậc ba ax 3  bx 2  cx  d  0 vô nghiệm trên  ;   Cách làm là ta sẽ chứng minh hàm số f ( x )  ax 3  bx 2  cx  d luôn đồng biến hay nghịch biến trên.  ;   đồng thời không tồn tại. f ( x )  0 trên  ;   .. 2. Ví dụ minh họa Bài 20. Giải các phương trình x 3  2 x 2  x  1  0 trên đoạn 1;5  . Hướng dẫn giải Ta thấy phương trình có nghiệm duy nhất x0  0, 4655712319 và không nằm trong đoạn 1;5  tức là hàm số f ( x )  x 3  2 x 2  x  1 sẽ không nhận f  x0   0 trên 1;5  .  Maxf ( x )  f (5)  81  0. Ta có .  Minf ( x )  f (1)  1  0.  f ( x )  0,  x  1; 5 . Vậy phương trình x 3  2 x 2  x  1  0 vô nghiệm trên đoạn 1;5   Bài 21. Giải các phương trình 3 x 3  12 x 2  9 x  5  0 trên đoạn  3; 1 . Hướng dẫn giải  x  2, 598922954  Ta thấy phương trình có 3 nghiệm là  x  1, 764514799 và không nằm trong đoạn   3;  1 hay  x   0, 3634377536 . phương trình vô nghiệm trên đoạn   3;  1 .  Maxf ( x )  f (  1)   15  0. Ta có .  Minf ( x )  f (  3)   191  0.  f ( x )  0,  x    3;  1. Vậy phương trình 3 x 3  12 x 2  9 x  5  0 vô nghiệm trên đoạn   3;  1  3. Bài tập vận dụng. THẦY CƯỜNG – 0911060820 – FACE: NMC22297. NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC. 14.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ - DÙNG CHO KHÓA CHINH PHỤC PT – BPT – HPT PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA Bài 22. Giải các phương trình a ) x 3  6 x 2  3 x  6  0 trên   1; 4  . b) 16 x 3  48 x 2  54 x  22  3 2 trên  2; 6  .. Bạn đọc tự chứng minh. IV. TỔNG KẾT ❶ Để giải phương trình bậc ba ax 3  bx 2  cx  d  0  a  0  ta có cách giải tổng quát sau Trước hết ta cần tính   b 2  3ac ,  . 9 abc  2b 3  27 a 2 d 2 . 3. TH1: Nếu   0  2  1  b cos  arccos       x1  3 3  3a   2  2  b  1 cos  arccos      x2   3 3 3   3a   2  2  b 1  x3  co s  arccos      3 3  3a 3  . .   1 thì. phương trình có 3 nghiệm là. .   1 thì. phương trình có một nghiệm duy nhất là. x. 1    3 2      1  3a   . 3.     2  1   b  . TH2: Nếu   0 thì phương trình có nghiệm bội là x .  b  3 b 3  27 a 2 d 3a. TH3: Nếu   0 thì phương trình có nghiệm duy nhất là x. 1  3a .  3 3      2  1    2  1   b   . ❷ Để chứng minh một phương trình bậc ba vô nghiệm trên D thì ta cần tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số bậc ba từ đó kết luận vô nghiệm nếu cả giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số bậc ba lớn hơn 0.. THẦY CƯỜNG – 0911060820 – FACE: NMC22297. NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC. 15.

<span class='text_page_counter'>(17)</span>