Dạy học một số nội dung chủ đề giới hạn thông qua việc tổ chức các hoạt động toán học cho học sinh lớp 11 THPT

Trờng đại hoc vinh
Khoa toán

Dạy học một số nội dung chủ đề giới hạn
thông qua việc tổ chức các hoạt ®éng
to¸n häc cho häc sinh líp 11 thpt
Kho¸ ln tèt nghiệp đại học
Chuyên ngành: lý luận và phơng
pháp dạy học bộ môn toán
MÃ số: 60.14.10
Thầy giáo hớng dẫn:

Ts: chu trọng thanh

Nguyễn thị hờng
lớp 42a2 khoa toán

Vinh 2005


Trang
Phần I. Mở đầu

1

Phần II. Nội Dung

5

Chơng I. Cơ sở lý luận và thực tiễn

5

I.1. Hoạt động.

5

I.1.1. Sơ lợc về hoạt động.

5

I.1.2. Cấu tạo và tính chất của hoạt động.

5

I.1.3. Hoạt động và ý thức.

7

I.1.4. Kết luận.

7

I.2. Phơng pháp tiếp cận hoạt động trong dạy học.

7

I.2.1. Phơng pháp tiếp cận hoạt động.

7

I.2.2. Vận dụng phơng pháp tiếp cận hoạt động vào dạy học.

8

I.3. Nhu cầu và định hớng đổi mới phơng pháp dạy học.

10

I.4. Xu hớng tổ chức hoạt động trong dạy học toán.

11

I.4.1. Hoạt động trong dạy học toán.

11

I.4.2. Các thành tố cơ sở của PPDH trong hoạt động dạy học toán. 12
I.4.3. Dạy học toán theo hớng tổ chức các hoạt động toán học.
I.5. Thực tiễn dạy học chủ đề giới hạn ở trờng THPT hiện nay.
.

17
18

I.5.1. Vị trí của kiến thức giới hạn trong chơng trình
sách giáo khoa hiện hành.

18

I.5.2. Thực tiễn dạy học chủ đề giới hạn ở trờng phổ thông

19

hiện nay.
Kết luận chơng I.

20

Chơng II. Dạy học chủ đề giới hạn thông qua việc tổ chức các

21

hoạt động toán học cho học sinh
II.1. Xây dựng hệ thống các hoạt động cơ sở để tổ chức dạy học.
II.1.1. Hoạt động với dÃy số.

21
21

II.1.2. Hoạt động với các biểu thức toán học.
II.2. Tổ chức các hoạt động mà trọng tâm là các hoạt động cơ sở
2

25
30


®Ĩ d¹y häc chđ ®Ị giíi h¹n.
II.2.1. D¹y häc néi dung “giíi h¹n d·y sè”.

31

II.2.2. D¹y häc néi dung “giíi hạn hàm số.

40

Kết luận chơng II.

51

Chơng III. Thực nghiệm s phạm

52

III.1. Mục đích thực nghiệm.

52

III.2. Nội dung thực nghiệm.

52

III.3. Kết quả thực nghiệm.

55

Phần III. Kết luận

57

Tài liệu tham khảo

58

3


Phần I. mở đầu
I. Lý do chọn đề tài.
Đổi mới nội dung và phơng pháp dạy học là một nhu cầu cấp thiết của nền
giáo dục nớc ta hiện nay. Bộ giáo dục và đào tạo đà đẩy mạnh cuộc vận động đổi
mới phơng pháp dạy học ở tất cả các cấp học, ngành học trong những năm ngần
đây, với những t tởng chủ đạo đợc phát biểu dới nhiều hình thức khác nhau nh:
lấy ngời học làm trung tâm, hoạt động hoá ngời học, phát huy tính tích
cực, tích cực hoá hoạt động học tập Những ý tởng này đều bao hàm yếu tố
tích cực có tác dụng thúc đẩy đổi mới phơng pháp dạy học (ppdh) nhằm nâng
cao hiệu quả giáo dục và đào tạo.
Thích hợp với những định hớng đó là một số xu hớng dạy học không
truyền thống nh: Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, dạy học áp dụng lý
thuyết tình huống, dạy học hoạt động hóa, dạy học chơng trình hoá Trong
khoá luận này chúng tôi chọn ppdh thông qua việc tổ chức các hoạt động vì phơng pháp này có tác dụng lớn trong việc hoạt động hoá ngời học, góp phần phát
huy tính tích cực và sáng tạo cho học sinh, nó phù hợp với quan điểm của tâm lý
học và giáo dục học cho rằng con ngời phát triển trong hoạt động và học tập
diễn ra trong hoạt động.
Trong chơng trình toán THPT chủ đề giới hạn là một nội dung khó và mới
lạ. Những kiến thức về giới hạn đòi hỏi ở học sinh một trình độ suy luận và khả
năng nhận thức những vấn đề trừu tợng. Để khắc phục và giảm bớt khó khăn
giúp học sinh có thể tiếp thu và vận dụng đợc nội dung này, ngời giáo viên phải
có những biện pháp s phạm hợp lý mà điều quan trọng ở đây là tổ chức điều
khiển cho học sinh tự giác, tích cực tham gia vào các hoạt động toán học cần

thiết. Vì những lý do trên đây chúng tôi chọn đề tài:
Dạy học một số nội dung chủ đề giới hạn thông qua việc tổ chức các
hoạt động toán học cho học sinh líp 11 THPT.

4


II. Mục đích nghiên cứu.
1.Xây dựng hệ thống các hoạt ®éng ®Ĩ tỉ chøc d¹y häc mét sè né i dung
chủ đề giới hạn.
2. Nâng cao hiệu quả dạy học chủ đề giới hạn thông qua việc tích cực hoá
hoạt động của học sinh.
III. Nhiệm vụ nghiên cứu.
1. Tìm hiểu những ý tởng chính về lý thuyết hoạt động, phơng pháp tiếp
cận hoạt động trong tâm lý học hiện đại.
2. Vận dụng phơng pháp tiếp cận hoạt động vào dạy học chủ đề giới hạn.
3. Thực nghiệm s phạm kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của phơng pháp
dạy học đà đề xuất đối với chủ đề giới hạn.
IV. Giả thuyết khoa học.
Nếu dạy học chủ đề giới hạn theo hớng tổ chức các hoạt động toán học
cho học sinh sẽ nâng cao đợc hiệu quả dạy học, đáp ứng yêu cầu đổi mới của phơng pháp dạy học toán.
V. phơng pháp nghiên cứu.
1. Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các sách về khoa học toán, giáo dục
học, tâm lý học phục vụ đề tài.
2. Quan sát: Dự giờ, quan sát việc dạy của giáo viên và việc học cđa häc
sinh ë trêng phỉ th«ng.
3. Thùc nghiƯm s pham: Tổ chức thực nghiệm nhằm kiểm chứng giả
thuyết, đánh gía tính khả thi và hiệu quả của việc vận dụng các biện pháp đà đề
xuất.
VI. cấu trúc của luận văn.

Phần I. Mở đầu
- Lý do chọn đề tài
- Mục đích nghiên cứu
- Nhiệm vụ nghiên cứu
- Giả thiết khoa học
5


- Phơng pháp nghiên cứu
Phần II. Nội Dung
Chơng I. Cơ sở lý luận và thực tiễn
I.1. Hoạt động.
I.1.1. Sơ lợc về hoạt động.
I.1.2. Cấu tạo và tính chất của hoạt động.
I.1.3. Hoạt động và ý thức.
I.1.4. Kết luận.
I.2. Phơng pháp tiếp cận hoạt động trong dạy học.
I.2.1. Phơng pháp tiếp cận hoạt động.
I.2.2. Vận dụng phơng pháp tiếp cận hoạt động vào dạy học.
I.3. Nhu cầu và định hớng đổi mới phơng pháp dạy học.
I.4. Xu hớng tổ chức hoạt động trong dạy học toán.
I.4.1. Hoạt động trong dạy học toán.
I.4.2. Các thành tố cơ sở của PPDH trong hoạt động dạy học toán.
I.4.3. Dạy học toán theo hớng tổ chức các hoạt động toán học.
I.5. Thực tiễn dạy học chủ đề giới hạn ở trờng THPT hiện nay.
I.5.1. Vị trí của kiến thức giới hạn trong chơng trình sách giáo khoa hiện
hành.
I.5.2. Thực tiễn dạy học chủ đề giới hạn ở trờng phổ thông hiện nay.
Chơng II. Dạy học chủ đề giới hạn thông qua việc tổ chức các hoạt động
toán học cho học sinh

II.1. Xây dựng hệ thống các hoạt động cơ sở để tổ chức dạy học.
II.1.1. Hoạt động với dÃy số.
II.1.2. Hoạt động với các biểu thức toán học.
II.2. Tổ chức các hoạt động mà trọng tâm là các hoạt động cơ sở để dạy học chủ
đề giới hạn.
II.2.1. Dạy học nội dung giới hạn dÃy số.
II.2.2. Dạy học nội dung giới hạn hàm số.

6


Chơng III. Thực nghiệm s phạm
III.1. Mục đích thực nghiệm.
III.2. Nội dung thực nghiệm.
III.3. Kết quả thực nghiệm.
Phần III. Kết luËn

7


Phần II. Nội dung
Chơng I. Cơ sở lý luận và thực tiễn

I.1. Hoạt động
I.1.1. Sơ lợc về hoạt động
Hoạt động là phơng thức tồn tại của con ngời, dòng các hoạt động tạo nên
cuộc sống của con ngời. Triết học Max xít coi hoạt động là quá trình đa chủ
thể vào thực tiễn và ngợc lại là quá trình đa hoạt động thành chủ thể chính là quá
trình sáng tạo của chủ thể và quá trình lĩnh hội toàn bộ những cái có trong thực
tại xung quanh cần cho cuộc sống với t cách là sự tồn tại xà hội của chủ thể.

Chính những quá trình này quy định toàn bộ nội dung và sự vận hành của tâm lý.
Hoạt động đợc xem nh là sự vận động tạo thành tâm lý, ý thức, nhân cách, sự
vận động gắn chủ thể của hoạt động với thế giới đối tợng xung quanh.
I.1.2. Cấu tạo và tính chất của hoạt động
a. Cấu tạo của hoạt động
Lý thuyết tâm lý học đại cơng về hoạt động xuất phát từ quan điểm duy
vật lịch sử cho rằng con ngời thực hiện các tác động qua lại với thực tại xung
quanh bằng các hoạt động bao gồm quá trình lĩnh hội kinh nghiệm xà hội lịch sử
và quá trình sáng tạo ra thế giới đối tợng, do đó không xem hoạt động của con
ngời là một chuỗi phản ứng, chuỗi cử động Mà xem hoạt động của con ngời là
đơn vị của cuộc sống.
Cấu trúc vĩ mô của hoạt động đà đợc A.N Lêonchiep mô tả trong các tác
phẩm của mình và những ngời tiếp sau ông nh P.Ia Galpêril,
Đ.B Elcônin, V.V Đavđov, đà có những đóng góp to lớn trong việc tờng minh
hóa các vấn đề của lý thuyết hoạt động vào trong giáo dục .
Một quan điểm cơ bản trong lý thuyết hoạt động của A.N
Lêonchiep khi phân tích cấu trúc vĩ mô của hoạt động là một hoạt động bao giờ
cũng nhằm vào một đối tợng cụ thể, đối tợng của hoạt động là động cơ thực sự
của hoạt động. Nh vậy khái niệm hoạt động gắn liền với khái niệm ®éng c¬ mét
8


cách tất yếu. Không có hoạt động nào không có động cơ. Hoạt động không
động cơ không phải là hoạt động thiếu động cơ mà là hoạt động với một động
cơ ẩn dấu về mặt chủ quan và về mặt khách quan.
Thành phần cơ bản hợp thành những hoạt động riêng rẽ của con ngời là
những hành động thực hiện hoạt động ấy. Hành động là quá trình bị chi phối bởi
biểu tợng về cái kết quả phải đạt đợc nghĩa là quá trình nhằm một mục đích đợc
ý thức. Đối tợng mà hành động nhằm vào gọi là mục đích của hành động, mỗi
mục đích là một đối tợng cần chiếm lĩnh. Đồng thời hành động bao giờ cũng giải

đáp một nhiệm vụ nhất định, nhiệm vụ là mục đích đợc đề ra trong những điều
kiện nhất định. Vì vậy hành động có một chất lợng đặc biệt, một yếu tố cấu
thành đặc biệt đó chính là phơng thức thực hiện hành động gọi là thao tác.
Tóm lại trong dòng diễn biến chung của hoạt động Lêonchiep viết
sự phân tích đà tách ra, một là những hoạt động riêng rẽ theo các động cơ kích
thích chúng, tiếp đó là hành động những quá trình tuân theo các mục đích có
ý thức, cuối cùng là những thao tác phụ thuộc trực tiếp vào các điều kiện để đạt
mục đích cụ thể. Chính những đơn vị ấy tạo thành cấu trúc vĩ mô của hoạt
động.
b. Tính chất của hoạt động
Hoạt động có hai tính chất cơ bản nhất đó là tính đối tợng và tính chủ thể.
Hai tính chất này là nền tảng cơ bản nhất của phạm trù hoạt động. Không có hai
tính chất đó thì phạm trù này sẽ không tồn tại.
+ Tính đối tợng: Hoạt động bao giờ cũng là hoạt động có đối tợng, đó là
quá trình con ngời tác động vào khách thể. Chẳng hạn hoạt động học tập là nhằm
vào tri thức, kĩ năng, kĩ xảo để hiểu biết, tiếp thu vào vốn liếng kinh nghiệm của
bản thân tức là lĩnh hội chúng. Đối tợng của hoạt động dạy và học là nhằm hình
thành và phát triển nhân cách ở ngời học. Do đặc điểm này của hoạt động cho
nên ta có thể hiểu trong khái niệm hoạt động bao giờ cũng hàm ý hoạt động có
đối tợng.
+ Tính chủ thể: Hoạt động có đối tợng thực hiện mối liên hệ giữa chđ thĨ
vµ thÕ giíi xung quanh bao giê cịng lµ hoạt động có chủ thể, do chủ thể tiến
9


hành. Giáo viên là chủ thể của hoạt động dạy, học sinh là chủ thể của hoạt động
học. Trong hoạt động dạy học, thầy tổ chức điều khiển hoạt động ở trò, trò thực
hiện hoạt động đó để đi đến hình thành nhân cách, khi đó cả thầy và trò cùng là
chủ thể của hoạt động dạy và học. Điểm nổi bật trong tính chủ thể là tính tự giác
và tính tích cực.

I.1.3. Hoạt động và ý thức
ý thức hình thành và vận hành trong quá trình chuyển hoá qua lại giữa
chủ thể và khách thể. Các quá trình đó đợc thực hiện bằng hoạt động của chủ
thể. Nh vậy ý thức sinh ra bởi hoạt động và phục vụ hoạt động, ý thức tâm lý ngời bao giờ cũng mang tính chất tích cực.
Hoạt động và ý thức đó không phải là hai mặt của một vấn đề, chúng
hợp thành một thể thống nhất. Từ luận điểm này X.L Rubinstêin đà đi đến khẳng
định nguyên lý ý thức và hoạt động có quan hệ qua lại và quy định lẫn nhau.
Theo nguyên lý này, hoạt động của con ngời quy định sự hình thành ý thức, tâm
lý của con ngời. Ngợc lại ý thức, tâm lý điều chỉnh hoạt ®éng cđa con ngêi vµ lµ
®iỊu kiƯn cđa sù thùc hiện tơng ứng của hoạt động.
I.1.4. Kết luận
Từ những phân tích trên đây giúp chúng ta nhận đợc ý nghĩa vô cùng quan
trọng trong quá trình giáo dục dó là: Bản chất của tri thức là hoạt động, quá trình
giáo dục là quá trình tổ chức cho học sinh hoạt động theo một mục đích đà định.
Đó là quá trình giúp học sinh chuyển chú ý, thao tác bên ngoài vào t duy bên
trong, biến những thao tác ấy thành kỹ năng, năng lực của mình.
I.2. Phơng pháp tiếp cận hoạt động trong dạy học
I.2.1. Phơng pháp tiếp cận hoạt động
Vận dụng lý thuyết hoạt động vào nghiên cứu lý giải sự hình thành và
phát triển tâm lý ngời gọi là phơng pháp tiếp cận hoạt động. Có thể nói vắn tắt về
phơng pháp tiếp cận hoạt động nh sau:
- Hoạt động đợc xem là quy luật chung nhất của tâm lý học ngời. Con
ngời là chủ thể của hoạt động.

10


- Quan hƯ gi÷a con ngêi víi thÕ giíi xung quanh cũng nh với bản thân là
quan hệ hoạt động qua lại.
- Hoạt động của con ngời có hai tính chất cơ bản đó là tính chủ thể và tính

đối tợng.
- Trong quá trình hoạt động và giao lu con ngời với t cách là chủ thể của
hoạt động trở thành nhân cách.
- Tâm lý con ngời là sản phẩm của hoạt động đồng thời là thành tố của
hoạt động.
I.2.2. Vận dụng phơng pháp tiếp cận hoạt động vào dạy học
(1) Theo lý thuyết hoạt động, cuộc đời con ngời là một dòng hoạt động
trong dó có hoạt động dạy và hoạt động học. Hoạt động dạy thực hiện cơ chế di
sản xà hội nghĩa là thế hệ trớc truyền cho thế hệ sau các kinh nghiệm lịch sử xÃ
hội (tri thức, kĩ năng, thái độ, giá trị) hoạt động dạy của ngời thầy là tổ chức
và điều khiển hoạt động của trò nhằm giúp chúng lĩnh hội kiến thức, hình thành
kĩ năng, vận dụng kiến thức vào thực tiễn ở đây thầy giáo là chủ thể của hoạt
động dạy, chức năng của thầy không làm nhiệm vụ sáng tạo ra tri thức mới, cũng
không làm nhiệm vụ tái tạo tri thức cũ mà nhiệm vụ chủ yếu, nhiệm vụ đặc trng
là tổ chức quá trình tái tạo ở học sinh, sử dụng tri thức nh là phơng tiện, vật liệu
để tổ chức và điều khiển ngời học sản xuất tri thức ấy lần thứ hai (lần thứ nhất
là nhân loại đà tìm ra).
Một lý thuyết dạy học có chứa đựng nhiều yếu tố phù hợp với quan điểm
hoạt động trong lý thuyết hoạt động là lý thuyết tình huống của những nhà lý
luận dạy học Pháp do Guy Brousseau đứng đầu. Theo quan điểm của lý thuyết
tình huống, vai trò của ngời thầy đợc thể hiện đặc biệt ở hai chức năng uỷ thác
và thể chế hoá.
+ Uỷ thác: Không phải là bắt trò học tập theo ý thầy một cách khiên cỡng
mà là biến ý đồ dạy của thầy thành nhiệm vụ học tập tự giác tích cực của trò, là
đa trò vào những tình huống để trò hoạt động và thích nghi từ đó có thể chiÕm
lÜnh tri thøc.

11

+ Thể chế hoá: Là xác nhận những kiến thức mà học trò phát hiện và đồng
nhất hoá những kiến thức riêng lẻ mang màu sắc cá thể của từng häc sinh thµnh
tri thøc khoa häc cđa x· héi.
(2) – Cùng với hoạt động dạy có hoạt động học, hoạt động học thực hiện
một phần cơ chế di sản, tiếp thu kinh nghiệm lịch sử xà hội biến thành năng lực
của bản thân tạo ra năng lực hoạt động. Học là sự tiếp thu tri thức đợc thực hiện
thông qua sự tơng tác với môi trờng. Khi học trò làm việc với những đối tợng
trong môi trờng có thể xẩy ra hai trờng hợp:
- Nếu họ có thể áp dụng những tri thức vào quan niệm sẵn có vào những
đối tợng mới thì đó là sự đồng hoá.
- Nếu những đối tợng mới tác động trở lại chủ thể buộc họ phải điều chỉnh
những tri thức, quan niệm sẵn có để giải quyết vấn đề nẩy sinh thì đó là sự điều
tiết.
Học sinh học tập bằng cách tự thích nghi (thông qua việc đồng hoá - điều
tiết) với môi trờng sinh ra những mâu thuẫn, những khó khăn và những sự mất
cân bằng.
(3) Nh vậy hoạt động dạy và hoạt động học là hai hoạt động gắn bó với
nhau, nhà tâm lý học Đavđôp đà viết: các hoạt động dạy học là các hoạt
động cùng nhau của thầy và trò trong đó thầy tổ chức, trò thực hiện; thầy thiết
kế, trò thi công Hoạt động dạy của thầy và hoạt động học của trò là hai mặt
của một hoạt động thống nhất có chung nhiệm vụ, mục đích, động cơ. Vận dụng
phơng pháp tiếp cận hoạt động vào dạy học trớc hết phải làm sao để cả thầy lẫn
trò cùng thực sự trở thành chủ thể của hoạt động dạy và học nhằm thực hiện đợc
nội dung cơ bản của học vấn phổ thông: Kiến thức cơ bản, toàn diện, hiện đại; kĩ
năng vận dụng kiến thức ấy vào cuộc sống, lao động sản xuất; hệ thống thái độ.
I.3. Nhu cầu và định hớng đổi mới phơng pháp dạy
học
Luật giáo dục nớc ta đà quy định: phơng pháp giáo dục phổ thông phải
phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, t duy sáng tạo của học sinh; phï hỵp
12

với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dỡng phơng pháp tự học, rèn luyện
kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, ®em l¹i niỊm
vui, høng thó häc tËp cđa häc sinh” (luận giáo dục 1998, chơng I, điều 24).
Điều đó phản ánh nhu cầu đổi mới phơng pháp giáo dục để giải quyết mâu
thuẫn giữa yêu cầu đào tạo con ngời mới, con ngời xây dựng xà hội công nghiệp
hoá, hiện đại hoá với thực trạng lạc hậu của phơng pháp dạy học ở nớc ta hiện
nay. Ppdh theo kiểu thầy nói, trò nghe chủ yếu là thuyết trình vẫn đang phổ
biến làm cho học trò trở nên bị động, lệ thuộc vào ngời thầy trong quá trình học
tập, hạn chế sự phát triển t duy.
Định hớng đổi mới Ppdh đó là PPDH cần hớng vào việc tổ chức cho ngời
học học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tích cực, tự giác, sáng tạo, đợc
thực hiện độc lập hoặc trong giao lu. Nói ngắn gọn là hoạt động hoá ngời học.
Định hớng đó có những hàm ý sau đây đặc trng cho PPDH hiện đại:
1. Xác lập vị trí chủ thể của ngời học, bảo đảm tính tự giác, tích cực và
sáng tạo của hoạt động học tập.
2. Xây dựng những tình huống có dụng ý s phạm cho học sinh học tập
trong hoạt động và bằng hoạt động đợc thực hiện độc lập hoặc trong giao lu.
3. Dạy việc học, dạy tự học thông qua toàn bộ quá trình dạy học.
4. Chế tạo và khai thác những phơng tiện phục vụ quá trình dạy học.
5. Tạo niềm lạc quan học tập dựa trên lao động và thành quả của bản thân
ngời học.
6. Xác định vai trò mới của ngời thầy với t cách là ngời thiết kế, uỷ thác,
điều khiển và thể chế hoá.
Thích hợp với một số định hớng đó là một số xu hớng dạy học không
truyền thống nh: Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, dạy học hoạt động hoá,
dạy học chơng trình hoá mà mấu chốt ở đây là việc tổ chức các hoạt động học
tập cho học sinh để học sinh lĩnh hội kiến thức. Trong phạm vi khoá luận này,
chúng tôi chỉ tập chung vào hình thức dạy học theo hớng tổ chức các hoạt động,

hình thức này thể hiện rất rõ t tởng cơ bản của sự đổi mới PPDH là hoạt động
hoá ngời học.
13


I.4. Xu hớng tổ chức hoạt động trong dạy học
toán
I.4.1. Hoạt động trong dạy học toán
Để thực hiện một cách toàn diện mục đích dạy học phải tổ chức thực hiện
hoạt động theo những nguyên tắc cơ bản sau:
1. Mỗi nội dung đều liên hệ mật thiết với những hoạt động nhất định. Do
đó phải biết phát hiện những hoạt động tiềm ẩn trong nội dung, chọn lựa những
hoạt động tơng thích với nội dung.
2. Sau mỗi quá trình học tập, ngời học sinh ngoài việc nắm vững kiến thức
còn phải nắm đợc phơng pháp dự đoán, phơng pháp nghiên cứu đó chính là
các tri thức phơng pháp vừa là kết quả, vừa là phơng tiện của hoạt động tạo cho
học sinh một tiềm lực quan trọng để hoạt động tiếp tục.
3. Hoạt động là một quá trình xử lý thông tin. Quá trình này có các chức
năng đa thông tin vào, ghi nhớ và biến đổi thông tin, đa thông tin ra và điều
khiển. Quá trình này do ngời học sinh thực hiện do đó học sinh phải là chủ thể
hoạt động một cách tự giác, tích cực.
4. Trong hoạt động kết quả rèn luyện đợc ở mức nào đó có thể lại là tiền đề
để tập luyện và đạt kết quả cao hơn. Do đó trong hoạt động phải có sự phân bậc
theo những mức độ khác nhau.
Những t tởng chủ đạo trên hớng vào việc tập luyện cho học sinh những
hoạt động và hoạt động thành phần, gợi động cơ hoạt động, xây dựng tri thức
đặc biệt là tri thức phơng pháp phân bậc hoạt động mà chúng đợc xem là các
thành tố cơ sở của PPDH.
I.4.2. Các thành tố cơ sở của phơng pháp dạy học trong hoạt động dạy
học toán

1. Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động và hoạt động
thành phần tơng thích với nội dung và mục đích dạy học
T tởng này đợc cụ thể hoá nh sau:
a. Phát hiện những hoạt động tơng thích với nội dung

14


Một hoạt động đợc gọi là tơng thích với nội dung nếu nó góp phần đem lại
kết quả và giúp chủ thể chiếm lĩnh hoặc vận dụng nội dung đó. Xuất phát từ nội
dung dạy học, cần phát hiện ra những hoạt động tơng thích đó. Việc phát hiện
căn cứ một phần quan trọng vào sự hiểu biết về những hoạt động nhằm lĩnh hội
những dạng nội dung khác nhau, về những con đờng khác nhau để lĩnh hội từng
dạng nội dung. Chẳng hạn con đờng quy lạp hay suy diễn để xây dựng khái
niệm, con đờng thuần tuý suy diễn hay có pha suy đoán để học tập định lý.
Trong vấn đề này cần lu ý những dạng hoạt động sau đây:
- Nhận dạng và thể hiện.
- Những hoạt động toán học phức hợp.
- Những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học.
- Những hoạt động trí tuệ chung.
- Hoạt động ngôn ngữ.
VD1: Khi dạy về tìm công thức nghiệm của phơng trình bậc hai đủ ax2 +
bx + c = 0 ta tập chung vào các hoạt động để phơng trình trên về dạng (x + A)2 +
B = 0, trong đó A, B không chứa x.
VD2: Khi dạy định nghĩa giới hạn của dÃy số thì các hoạt động tơng thích
với nội dung đó là: Biểu diễn các số hạng của dÃy số trên trục số, giải bất đẳng
thức có chứa giá trị tuyệt đối, phát biểu định nghĩa
b. Phân tích hoạt động thành những hoạt động thành phần.
Trong quá trình học tập, có những hoạt động xuất hiện khá phức tạp nh khi
học sinh lĩnh hội một khái niệm, chứng minh một định lý, giải quyết một bài

toán làm cho học sinh gặp khó khăn, khi đó ta phải tách ra thành những hoạt
động thành phần nhỏ hơn giúp học sinh tìm ra đờng lối giải bài toán đồng thời
hiểu bài toán một cách sâu sắc hơn.
Ví dụ1: Cho a, b là hai số dơng, chứng minh:
(a + b) (+ ) 4
Khi giải bài toán này mà học sinh gặp khó khăn ta có thể tách ra những
hoạt động thành phần bằng các câu hỏi gợi ý nh: Với giả thiết bài toán, hÃy đánh

15


giá giá trị của (a + b) và (+ ). Cụ thể hơn có thể nói với học sinh là sử dụng bất
đẳng thức Cauchy để đánh giá.
+ Với điều kiƯn a > 0, b > 0, ¸p dơng bÊt ®¼ng thøc Cauchy cã:
a+b ≥2
1 1
+
a b

(1)

ab

≥2

1 1
.
a b

(2)

+ Tõ (1) vµ (2) suy ra:
1 1
(a + b) ( + ) ≥ 4
a b

ab .

1
=4
ab

DÊu = xÈy ra khi a = b.
x + 1 nÕu x ≤ 1

VÝ dô 2: Cho hµm sè f (x ) =

3 – ax2 nÕu x > 1, a là tham số.
HÃy xác định giá trị của a để hàm số f (x ) liên tục trên toàn trục số.
- Chúng ta có thể tách hoạt động giải bài toán này thành các hoạt động nh
sau:
- Tại những điểm x < 1 và x > 1. H·y xÐt tÝnh liªn tơc cđa f (x ) ?
- Tại điểm x = 1. HÃy tính

lim f ( x ) và


x1

lim f ( x )

x 1+

- điều kiện để hàm số liên tục tại x = 1 là gì?
- Để hàm số f(x) liên tục trên toàn trục số ta cần điều gì? từ đó tìm ra giá trị của
a.
c. Lựa chọn hoạt động dựa vào mục đích.
Mỗi nội dung thờng tiềm ẩn nhiều hoạt động, dạy học cần sàng lọc những
hoạt động để phát hiện đợc ®Ĩ tËp trung vµo mơc ®Ých cđa tõng bµi häc.
VÝ dụ: Khi dạy định nghĩa giới hạn hàm số cần lựa chọn các hoạt động
tập trung vào những mục đích chính sau đây:
- Rèn luyện khả năng tính toán, biến đổi đồng nhất các biểu thức.
- Rèn luyện năng lực suy đoán, năng lực khái quát hoá.
- Nắm vững định nghĩa và vận dụng định nghĩa vào giải toán.
d. Tập trung vào những hoạt động toán học.
16


Trong quá trình dạy học toán ta cần hớng tập trung vào những hoạt động
toán học, tức là các hoạt động nh nhận dạng và thể hiện những khái niệm, định
lý, phơng pháp, những hoạt động toán học phức hợp nh định nghĩa, chứng minh.
Các hoạt động còn lại không bị xem nhẹ nhng đợc luyện tập trong khi thực hiện
các hoạt động toán học nói trên.
2. Động cơ hoạt ®éng
Häc sinh chØ cã thĨ trë thµnh chđ thĨ cđa hoạt động học tập của mình khi
mà đà ý thức đợc mục đích đặt ra. Lúc đó học sinh sẽ tích cực tự giác hoạt động
để đạt các mục đích đó. Điều này đợc thực hiện thông qua việc gợi động cơ.
Gợi động cơ là làm cho học sinh có ý thức về ý nghĩa của những hoạt
động và đối tợng hoạt động, gợi động cơ nhằm làm cho mục đích s phạm biến
thành mục đích cá nhân học sinh chứ không phải là sự vào bài đặt vấn đề một

cách hình thức. Gợi động cơ không phải là việc làm ngắn ngủi lúc bắt đầu tri
thức nào đó mà phải xuyên suốt quá trình dạy học. Vì vậy có thể phân biệt gợi
động cơ mở đầu, gợi động cơ trung gian và gợi động cơ kết thúc.
Ví dụ 1: Cho đờng thẳng d và hai điểm A,B nằm về một phía của d. Tìm
trên d một điểm M sao cho tổng AM + MB có giá trị nhỏ nhất.

+ Gợi động cơ bằng cách đặt

.B

A

ra giả thiết: Nếu A,B nằm về hai phía
của d thì điểm M cần tìm nằm ở đâu?

M

Từ đó chuyển bài toán trên về trờng hợp
,
A

hai điểm nằm hai phía của d.

Ví dụ 2: Giải phơng trình lợng giác có dạng đối xứng với sinx và cosx.
a (sinx + cosx) + bsinxcosx = c
trong đó a,b, c R
+ Chúng ta đà biết cách giải hệ phơng trình:
a (x + y) + bxy = c
17

d


x2 + y2 = d

(I)

có liên hệ gì với phơng trình trên?
+ Giữa sinx và cosx có hệ thức cơ bản nào?
sin2x + cos2x = 1
+ Vậy ta có hệ

a (sinx + cosx) + bsinxcosx = c
sin2x + cos2x = 1

(II)

Từ cách giải của hệ phơng trình (I) suy ra cách giải hệ phơng trình (II), từ
đó suy ra cách giải tổng quát cho phơng trình:
a (sinx + cosx) + bsinxcosx = c

(a,b,c ∈ R)

3. DÉn d¾t häc sinh kiÕn tạo tri thức đặc biệt là tri thức phơng pháp nh
phơng tiện và kết quả của hoạt động
a. Dạy học tờng minh tri thức phơng pháp đợc phát biểu một cách tổng
quát.
ở cấp độ này phải rèn luyện cho trò hoạt động dựa trên tri thức phơng
pháp đợc phát biểu một cách tổng quát và phải làm sao cho học sinh hiểu đợc
ngôn ngữ diễn tả từng bớc đó nh phơng pháp giải phơng trình bậc hai, các bớc

tính đạo hàm theo định nghĩa
b. Thông báo tri thức phơng pháp trong quá trình tiến hành hoạt động.
Nhằm giúp học sinh dễ dàng thực hiện hoạt động nào đó, đồng thời cũng
giúp học sinh hiểu bài tốt hơn.
Ví dụ 1: Khi giải phơng trình trùng phơng ax4 + bx2 + c = 0 phơng pháp
chung là đặt ẩn phụ y = x2 để đa phơng trình bậc bốn về phơng trình bậc hai
quen thuộc.
Ví dụ 2: Để tính giới hạn hàm số có dạng vô định

- ta thờng nhân

và chia biểu thức đà cho với biểu thức liên hợp của nó nhằm khử dạng vô định.
c. Tập luyện những hoạt động ăn khớp với những tri thức phơng pháp.
Cách làm này tuỳ theo yêu cầu có thể đợc sử dụng trong hai trờng hợp:
Tri thức đợc quy định hoặc không đợc quy định trong chơng trình. đối với những
tri thức phơng pháp không đợc quy định trong chơng trình nhng giúp học sinh dễ
dàng thực hiện một số hoạt động quan trọng nào đó thì cần đợc thầy giáo vËn
18


dụng một cách có ý thức trong việc ra bài tập, trong việc hớng dẫn và bình luận
hoạt động của học sinh. Nhờ đó học sinh có thể làm quen với phơng pháp này.
Vi dụ. Tổ chức cho học sinh hoạt động để giải bài toán:
Cho hàm số

x 2 + 3x
x

f(x) =

nếu x > 0
nếu x 0

x

tại điểm x = 0 hàm số f(x) có giới hạn không?
Những hoạt động có thể là:
- Tính giới hạn bên trái điểm 0.
- Tính giới hạn bên phải điểm 0.
- So sánh hai giới hạn trên
- Kết luận về sự tồn tại giới hạn của f(x) tại x = 0.
4. Phân bậc hoạt động
Trong quá trình dạy học, một điều quan trọng là phải xác định đợc mức
độ, yêu cầu mà học sinh phải đạt đợc vào lúc cuối cùng hay ở những thời điểm
trung gian của mỗi hoạt động. Đây chính là sự phân bậc hoạt động.
Những căn cứ phân bậc hoạt động là:
- Sự phức tạp của đối tợng hoạt động.
- Sự trừu tợng khái quát của đối tợng.
- Nội dung của hoạt động.
- Sự phức hợp của hoạt động.
- Chất lợng của hoạt động.
- Phối hợp nhiều phơng diện làm căn cứ phân bậc.
Ngời thầy giáo cần biết lợi dụng sự phân bậc hoạt động để điều khiển quá
trình học tập sao cho hiệu quả nhằm đạt đợc mục đích đề ra.
I.4.3. Dạy học toán theo hớng tổ chức các hoạt động toán học
Dạy học theo hớng tổ chức các hoạt động là một trong những xu hớng dạy
học theo phơng pháp dạy học tích cực theo phơng pháp này dạy học không chỉ
đơn giản là cung cấp tri thức mà quan trọng là phải hớng dẫn hoạt động, ngời
học không thụ động chỉ nghe thầy giảng và truyền đạt kiến thức mà học tích cực
19

bằng hoạt động của mình. Dạy học theo hớng tổ chức các hoạt động học tập có
tác dụng rất lớn trong việc tích cực hoá hoạt động học sinh, mà đây lại là một
yếu tố quyết định đến chất lợng giáo dục và đào tạo.
Trong quá trình dạy học toán, ngời thầy giáo phải biết sử dụng linh hoạt
các thành tố cơ sở của PPDH mà điều quan trọng là phải xây dựng đợc hệ thống
những hoạt động toán học phù hợp với nội dung giảng dạy, với trình độ nhận
thức của học sinh và biết cách tổ chức điều khiển học sinh tham gia vào những
hoạt động ấy. Tất nhiên đó không chỉ đơn thuần đa ra các tình huống hành động
(khái niệm, định lý, bài toán) yêu cầu học sinh giải quyết mà ng ời thầy giáo
cần tổ chức cả những tình huống giao lu để ngời học có nhu cầu trao đổi thông
tin trong quá trình giải quyết vấn đề và những tình huống kiểm chứng đễ xác
nhận hay bác bỏ kiến thức. Bên cạnh đó ngời thầy cần phải huy động một hệ
thống phơng pháp tác động liên tục nhằm khêu gợi t duy học sinh, tạo cho học
sinh niềm say mê hứng thú học tập, có nh vậy mới đạt đợc mục đích dạy học
một cách toàn diện.
I.5. Thực tiễn dạy học chủ đề giới hạn ở trờng
THPT hiện nay
I.5.1. Vị trí của kiến thức giới hạn trong chơng trình sách giáo khoa
hiện hành
Chủ đề giới hạn là một chủ đề cơ bản của toán học nói chung và toán học
ở trờng phổ thông nói riêng. Chủ đề này có nhiều ứng dụng về mặt lý thuyết
cũng nh thực tiễn. Trên cơ sở nội dung của chủ đề này ta có thể giải quyết đợc
nhiều vấn đề thuộc phạm vi đại số, số học, hình học, vật lý. Vì vậy việc dạy học
chủ đề giới hạn ở trờng phổ thông có một ý nghĩa rất quan trọng.
Có thể nói giới hạn là kiến thức mở đầu cho bộ môn giải tích ở trờng
phổ thông, nó là cơ sở đối với hai phép tính cơ bản của giải tích toán học là phép
tính đạo hàm và phép tính vi phân. Giới hạn còn đợc áp dụng nh một phơng pháp
để giải một số dạng toán nh: Tìm tiệm cận của đồ thị, chứng minh các đẳng thức

và bất đẳng thức, xét sự tồn tại nghiệm của phơng trình và bất phơng trình

20


Tríc néi dung “giíi h¹n” chóng ta cha thÊy cã một nội dung nào mà các
định lý lại đợc thừa nhận nhiều đến nh vậy cộng thêm với tính chất quá trừu tợng
của giới hạn khiến cho đa số học sinh cảm thấy khó khăn lúc học nội dung này.
Tuy nhiên lý thuyết về giới hạn khi đợc dạy một cách hiệu quả sẽ có tác dụng
lớn trong việc phát triển t duy học sinh và các năng lực toán học nh phân tích,
tổng hợp, khái quát hoá .
I.5.2. Thực tiễn dạy học chủ đề giới hạn ở trờng phổ thông hiện nay
Qua thực tiễn và dự giờ các giáo viên giảng dạy môn toán ở trờng THPT,
chúng tôi thấy rằng:
Chủ đề giới hạn là một chủ đề gây khó khăn nhất trong chơng trình toán
phổ thông. Ngay cả đối với những học sinh khá khi tiếp cận với nội dung này
cũng cảm thấy khó tiếp thu. Học sinh lần đầu tiên đợc làm quen với ngôn ngữ
giải tích nh đủ bé, x dần đến a, dÃy số dần ra vô cực, giới hạn tại vô
cực, mà nếu không có một trình độ t duy, khả năng nhận thức những vấn đề
trừu tợng thì khó có thể lĩnh hội đợc chủ đề này.
Vì đây là một nội dung khó nên cách dạy của giáo viên phổ thông chủ yếu
là cung cấp tri thức, tiến hành các bài tập vận dụng. Việc ứng dụng, khai thác,
mở rộng trên bình diện của học sinh đại trà ít thực hiện đợc. Học sinh khi học
đến đây vừa gặp khó khăn về nhận thức vừa dễ rơi vào bị động bởi hàng loạt
những định lý đợc thừa nhận không chứng minh, việc áp dụng trở nên máy móc
và nh vậy không thể lĩnh hội kiến thức một cách trọn vẹn.
Tuy nhiên nếu giáo viên khi dạy chủ đề này biết cách tổ chức dẫn dắt hoạt
động học sinh và có những biện pháp s phạm hợp lý sẽ giúp học sinh lĩnh hội đợc nội dung này, các định lý dù học sinh cha hiểu thật bản chất thì cũng nắm đợc
tinh thần cơ bản và có kĩ năng vận dụng vào giải toán.

21


Kết luận Chơng I
Từ sự phân tích cơ sở lý luận và thực tiễn dạy học toán ở trờng phổ thång,
chóng t«i rót ra mét sè kÕt ln trong viƯc tổ chức hoạt động học tập cho học
sinh THPT nh sau:
- Tổ chức hoạt động dạy và học ở trờng phổ thông phải đảm bảo cơ chế di
sản xà hội. Dạy là truyền thụ, học là lĩnh hội, tiếp thu những điều thầy truyền thụ
thành vốn liếng, phẩm chất và năng lực của mình.
- Quá trình dạy học là quá trình điều khiển hoạt động và giao lu của học
sinh nhằm đạt đợc các mục đích dạy học, đáp ứng yêu cầu đổi mới của PPDH
hiện nay.
- Tổ chức hoạt động học tập của học sinh phải phù hợp với đặc điểm t duy
và trình độ nhận thức của học sinh. Hoạt động thúc đẩy sự phát triển là hoạt
động mà chủ thể thực hiện một cách tự giác và tích cực.
- Học sinh phải là chủ thể của hoạt động học tập, thông qua hoạt động của
mình mà học sinh kiến tạo tri thức, rèn luyện kĩ năng và hình thành thái độ.
Những kết luận trên đây đợc vận dụng thích hợp trong việc xây dựng và
tổ chức các hoạt động toán học ở trờng THPT.

22


Chơng II. Dạy học một số nội dung chủ đề giới
hạn thông qua việc tổ chức các hoạt động
toán học cho học sinh
Để nâng cao chất lợng học tập của học sinh trớc tiên phải trang bị cho các
em nền kiến thức cơ bản phổ thông vững chắc vì nắm chắc đợc lý thuyết mới có
thể hình thành kĩ năng giải các dạng bài tập toán. Ngời giáo viên phải vận dụng

mọi phơng pháp dạy học nhằm đa các em vào môi trờng hoạt động tích cực; xem
học tập nh là một quá trình tự khám phá liên tục đầy thú vị. Để làm đợc nh vậy,
theo chúng tôi phải xây dựng một hệ thống các hoạt động cơ sở để tổ chức dạy
học, biến quá trình học tập thành nhu cầu của bản thân học sinh.
II.1. Xây dựng hệ thống các hoạt động cơ sở để tổ chức
dạy học

Ngoài các hoạt động toán học chung, chúng tôi xin đa ra các hoạt động cơ
bản sau để dạy học một số nội dung chủ đề giới hạn.
II.1.1. Hoạt động với dÃy số
1. Quan sát để phát hiện tính chất cơ bản của mỗi dÃy số.
Để bắt đầu dạy nội dung giới hạn của dÃy số trớc hết nên cho học sinh
quan sát một số dÃy số, mục đích để học sinh tìm ra tính chất cơ bản của từng
dÃy, tiếp cận dần với khái niệm mới.
Ví dụ: Có thể cho học sinh quan sát các dÃy số sau đây, yêu cầu nêu lên
tính chất của mỗi dÃy.
1.

1, 2, 3,,n,

2.

1, 1, -1, 1,, (-1)n,

3.

2,

3
2

,

4
n +1
,...,
,...
3
n

+ DÃy 1: Là dÃy số đơn điệu tăng, bị chặn dới nhng không bị chặn trên, là
một cấp số cộng có công sai bằng 1.
+ DÃy 2: Là dÃy số không đơn điệu, bị chặn, các số hạng của dÃy chỉ nhận
hai giá trị 1 và (-1) nên dÃy số nằm trên đoạn [-1; 1], dÃy số này là cấp số
nhân có công bội bằng 1.
23


+ DÃy 3: Là dÃy đơn điệu giảm, bị chặn nên dÃy số nằm trên một đoạn
thẳng của trục số.
Để việc dạy học giới hạn bớt đi sự trừu tợng và trực quan hơn chúng ta sẽ
tổ chức thực hiện hoạt động sau đây:
2.Biểu diễn dÃy số trên trục số hoặc bằng bảng số và rút ra nhận xét
trực quan.
Ví dơ 1: BiĨu diƠn d·y un =

1
n

u100 u10

0

1
100

vµ vn = 1 +

1
n

trªn trơc sè.

u2

1
10

v50 v10

1
2

v2

51 11
10 10

u1
1

3
2

1

v1
2

NhËn xÐt: khi n càng lớn thì khoảng cách từ un tới 0 càng nhỏ tức là điểm
un dần về điểm 0, tơng tự nh vậy khi n càng lớn thì khoảng cách từ v n tới 1 càng
nhỏ và điểm vn cũng dần về điểm 1.
Ví dụ 2: Cho hàm số

y = 2x + 1, cho x các giá trị theo dÃy số dần tới 1

khi đó dÃy số tơng ứng của y thay đổi nh thế nào?
+ Quan sát bảng giá trị sau đây:
x

0,9

0,99

0,999

0,9999

y

2,8

2,98

2,998

2,9998

x

1,1

1,01

1,001

1,0001

y

3,2

3,02

3,002

3,0002

x

0,9

1,1

0,99

1,01

0,999

1,001

y

2,8

3,2

2,98

3,02

2,998

3,002

24


Học sinh dễ nhận thấy: Khi x dần đến 1 từ phía bên trái, bên phải hay cả
hai phía của điểm 1 thì y dần đến 3.

Mục đích của hai hoạt động trên với dÃy số là nhằm giúp học sinh tiếp cận
với những định nghĩa, những khái niệm trong chủ đề giới hạn. Cụ thể là học sinh
sẽ hiểu đợc thế nào là x dần tới a, khoảng cách giữa un và a nhỏ tuỳ ý khi
chọn n độ lín”, … b»ng c¸ch trùc quan ho¸.
3. Chøng minh tÝnh chÊt quan träng cña d·y sè.
a. Chøng minh tÝnh chÊt đơn điệu của dÃy số.
Phơng pháp chung: Cho dÃy số (un) để xét tính đơn điệu của dÃy số này ta
xÐt hiÖu un + 1 - un
+ NÕu un + 1 - un > 0 thì dÃy (un) tăng.
n
+ NÕu un + 1 - un < 0 ∀ th× d·y (un) gi¶m.
n
Khi un > 0 ∀ ta cã thĨ xÐt
n
+ NÕu

un +1
un
un +1

+ NÕu u
n

un +1
un

> 1 ∀ th× dÃy (un ) tăng.
n
< 1 thì dÃy (un ) giảm.
n

Ví dụ: Xét tính đơn điệu của các dÃy số sau:
1.

un = n2

2.

un =

3.

u1 = 2

n
n

4

un + 1 =

un + 1
2

Giải.
1. DÃy số un = n2 là một dÃy tăng v× un + 1 – un = (n + 1)2 – n2
2. D·y sè un =

= 2n + 1 > 0 ∀
n

n
n

4

25