Tài liệu Toán xác suất_ Chương 1 doc

Gv. Cao Hào Thi

CHƯƠNG 1
XÁC SUẤT


1.1. THÍ NGHIỆM NGẪU NHIÊN, KHÔNG GIAN MẪU, BIẾN CỐ
1.1.1 Thí nghiệm ngẫu nhiên (Random Experiment)
Thí nghiệm ngẫu nhiên là một thí nghiệm có hai đặc tính :
• Không biết chắc hậu quả nào sẽ xảy ra.
• Nhưng biết được các hậu quả có thể xảy ra
Thí dụ 1.1.1:
Thảy một con xúc sắc là một Thí nghiệm ngẫu nhiên vì :
• Ta không biết chắc mặt nào sẽ xuất hiện
• Nhưng biết được có 6 trường hợp xảy ra.
(xúc sắc có 6 mặt 1, 2, 3, 4, 5, 6)
1.1.2. Không gian mẫu (Sample Space)
Tập hợp các hậu quả có thể xảy ra trong thí nghiệm ngẫu nhiên gọi là không gian mẫu
của thí nghiệm đó.
Thí dụ 1.1.2:
Không gian mẫu của thí nghiệm thảy một con xúc xắc là:
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Thí dụ 1.1.3:
Không gian mẫu của thí nghiệm thảy cùng một lúc hai đồng xu là:
E = {SS, SN, NS, NN} với S: Sấp, N: Ngửa
1.1.3. Biến cố (Event)
1.1.3.1. Biến cố
• Mỗi tập hợp con của không gian mẫu là một biến cố
• Biến cố chứa một phần tử gọi là biến cố sơ đẳng

Thí dụ 1.1.4:
Trong thí nghiệm thảy 1 con xúc sắc :
• Biến cố các mặt chẵn xuất hiện là : {2, 4, 6}

Gv. Cao Hào Thi

2
• Biến cố các mặt lẻ xuất hiện là : {1, 3, 5}
• Các biến cố sơ đẳng là : {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}
1.1.3.2. Biến cố xảy ra (hay thực hiện)
Gọi r là một gọi hậu quả xảy ra và A là một biến cố
• nếu r ∈ A ta nói biến cố A xảy ra
• nếu r ∉ A ta nói biến cố A không xảy ra
Thí dụ 1.1.5 :
Trong thí nghiệm thảy một con xúc sắc nếu mặt 4 xuất hiện thì:
• Biến cố {2,4,6} xảy ra vì 4 ∈ {2, 4, 6}
• Biến cố {1,3,5} không xảy ra vì 4 ∉ {1, 3, 5}
Ghi chú:
• Þ ⊂ E => Þ là một biến cố
r ∉ Þ => Þ là một biến cố vô phương (biến cố không)
• E ⊂ E => E là một biến cố
∀ r, r ∈ E => E là một biến cố chắc chắn
1.1.4. Các phép tính về biến cố
Cho 2 biến cố A, B với A ⊂ E và B ⊂ E
1.1.4.1. Biến cố hội A ∪ B (Union)
Biến cố hội của 2 biến cố A và B được ký hiệu là A ∪ B.
A ∪ B xảy ra Ù (A xảy ra HAY B xảy ra)

A


B
A∪B
E

Gv. Cao Hào Thi

3
1.1.4.2 Biến cố giao A ∩ B (Intersection)
A ∩ B xảy ra Ù (A xảy ra VÀ B xảy ra)






1.1.4.3 Biến cố phụ
A
=
C
E

A
(Biến cố đối lập, Component of A)

A
xảy ra Ù A không xảy ra









1.1.4.4. Biến cố cách biệt
( biến cố xung khắc, mutually exclusive event)
A cách biệt với B Ù A ∩ B = Þ
A cách biệt với B Ù A với B không cùng xảy ra








A


B

A∩B

A

E
A





B


A
E
A∩B=Þ
E

Gv. Cao Hào Thi

4
Thí dụ 1.1.6 :
Trong thí nghiệm thảy một con xúc sắc, ta có không gian mẫu:
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• Gọi A là biến cố mặt lẻ xuất hiện => A = {1, 3, 5}
• Gọi B là biến cố khi bội số của 3 xuất hiện => B = {3, 6}
• Gọi C là biến cố khi mặt 4 xuất hiện => C = {4}, biến cố sơ đẳng.
Ta có:
A ∪ B = {1, 3, 5, 6}

A ∩ B = {3}
A = {2,4,6} : biến cố khi mặt chẵn xuất hiện.
A ∩ C = Þ => A và C là 2 biến cố cách biệt.
1.1.4.5. Hệ đầy đủ (Collectively Exhaustive)
Gọi A
1
, A
2
…, A
k
là k biến cố trong không gian mẫu E
Nếu A
1
∪ A
2
∪… ∪A
k
= E thì K biến cố trên được gọi là một hệ đầy đủ.
1.2 XÁC SUẤT (Probability).
1.2.1. Đònh nghóa :
Nếu thông gian mẫu E có N biến cố sơ đẳng và biến cố A có n biến cố sơ đẳng thì xác
suất của biến cố A là :
P(A) =
N
n(A)

Một cách khác ta có thể viết :
P(A) =
raxảy thể có hợptrường Số
raxảyA hợptrường So

á

Thí dụ 1.2.1
:
Trong thí nghiệm thảy một con xúc sắc, xác suất của biến cố các mặt chẵn xuất hiện là
:
P(A) =
N
n(A)
=
2
1
6
3
=
1.2.2 Tính chất
:
a. Gọi A là một biến cố bất kỳ trong không gian mẫu E
0 ≤ P(A) ≤ 1

Gv. Cao Hào Thi

5
b. P (Þ) = 0 ==> Þ là Biến cố vô phương
P (E) = 1 ==> E là Biến cố chắc chắn
1.2.3. Công thức về xác suất
:
1.2.3.1. Xác suất của biến cố hội
:
P (A ∪ B) = P (A) + P(B) - P( A ∩ B)

Chứng minh:
Gọi N : là số phần tử của không gian mẫu E
n
1
: là số phần tử của (A-B)
n
2
: là số phần tử của (A∩B)
n
3
: là số phần tử của (B -A)





n(A ∪ B) = n
1
+ n
2
+ n
3

= n
1
+ n
2
+ n
2
+ n

3
- n
2

= n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
Do đó : n( A ∪ B)/N = n(A)/N + n(B)/N - n(A ∩ B )/N
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
Ghi chú
:
Nếu A và B là 2 biến cố cách biệt, ta có:
A ∩ B = Þ => P(A ∩ B) = P(Þ) = 0
==> P (A ∪ B) = P(A) + P(B)
1.2.3.2 Xác suất của biến cố phụ
(biến cố đối lập)
Biến cố phụ của biến cố A trong không gian quan mẫu E là
A

P(A) + P (
A
) = 1
Chứng minh
A
∪
A
= E


A

B

n
1
n
2
n
3
E