Tài liệu CHƯƠNG II QUI HOẠCH TRỰC GIAO CẤP I 1. THỰC NGHIỆM YẾU TỐ TOÀN PHẦN TYT2k Trong pptx

CHƯƠNG II QUI HOẠCH TRỰC GIAO CẤP I
1. THỰC NGHIỆM YẾU TỐ TOÀN PHẦN TYT2k
Trong qui hoạch thực nghiệm, tùy thông tin ban đầu mà người nghiên cứu
tổ chức các thí nghiệm để nhận được mơ hình thống kê thực nghiệm dạng tuyến
tính hoặc phi tuyến. Nếu khơng có thơng tin sơ bộ khẳng định tính phi tuyến của
mơ hình thống kê thực nghiệm thì người nghiên cứu bắt đầu bằng qui hoạch
tuyến tính. Với nội dung của chương trình chúng tơi chọn qui hoạch thực
nghiệm yếu tố tồn phần và từng phần.
Những thực nghiệm mà mọi tổ hợp các mức của các yếu tố đều được thực
hiện để nghiên cứu gọi là thực nghiệm yếu tố toàn phần (TYTn k). Lượng thí
nghiệm cần thiết N khi hoạch định theo TYT được xác định bằng cơng thức.
N=nk

(2.1)

Trong đó: n là số lượng các mức, k số yếu tố ảnh hưởng.
Để đơn giản ở đây chúng tôi chỉ xét n = 2, như vậy chúng ta có thực nghiệm
yếu tố tồn phần 2 mức k yếu tố ảnh hưởng và được ký hiệu (TYT2 k).
1.1. Xây dựng mơ hình thống kê thực nghiệm
1.1.1. Cách tổ chức thí nghiệm trực giao cấp I
a) Số thí nghiệm cần thực hiện
Trong nghiên cứu nếu người nghiên cứu chỉ tiến hành thực nghiệm ở 2 mức
của k yếu tố ảnh hưởng. Mức của các yếu tố là biên của miền nghiên cứu theo
thông số kỹ thuật đã cho. Vì vậy số thí nghiệm cần thực hiện là N = 2 k

Với k = 2, N = 4
k = 3, N = 8
k = 4, N = 16
b) Mức cơ bản
Ta xét một thí nghiệm có k yếu tố ảnh hưởng, được ký hiệu Xj (j =1,2,3,…k).
Ta gọi X 0 là mức cơ bản (tâm phương án) được tính theo cơng thức sau.

j


X =
0
j

X max + X min
j
j
2

;

j = 1,2,3,…k

(2.2)

X max là mức trên, mức cao
j
X min là mức dưới, mức thấp
j

b) Khoảng biến thiên
Khoảng biến thiên theo trục Xj hay khoảng biến đổi của yếu tố Xj, nó chính
là khoảng cách từ mức thấp đến tâm thực nghiệm và cũng là khoảng cách từ tâm
thực nghiệm đến mức cao, được ký hiệu và được xác định như sau:
λj =

X max − X min

j
j
2

; j = 1,2,3,…k

(2.3)

Ví dụ: Nghiên cứu ảnh hưởng của 2 yếu tố đến hiệu suất y% của một phản
ứng. Biết rằng nó được thực hiện trong điều kiện sau đây, nhiệt độ (X1) dao động
từ 12 ÷ 200C, nồng độ (X2) trong khoảng 3 ÷ 5%.
Theo bài ra ta có:
min
X 1 = 12 0 C

X min = 3%
2

max
X 1 = 20 0 C

X max = 5%
2

- Mức cơ bản
0
X1 =

12 + 20
= 16 0 C

2

X0 =
2

3+5
= 4%
2

- Khoảng biến thiên
λ1 =

20 − 12
= 40 C
2

λ2 =

5−3
= 1%
2

c) Biến khơng thứ ngun
Để tính tốn dễ dàng, người ta chuyển biến tự nhiên (biến thực) có toạ độ Xj
sang biến không thứ nguyên (biến mã) được ký hiệu xj.Việc mã hoá được thực hiện
dễ dàng nhờ việc chọn tâm (Xj0) của miền nghiên cứu làm gốc hệ trục toạ độ

x

max

j

x

min
j

=
=

X max − X 0
j
j

λj
X min − X 0
j
j

λj

(2.4)


x =
0
j

X0 −X0
j

j

J = 1,2,3,…,k

λj

Từ công thức (2.4) ta dễ dàng nhận thấy trong hệ thống toạ độ không thứ
nguyên mức trên ( x max ) luôn luôn bằng +1, mức dưới ( x min ) luôn luôn bằng –1
j
j
và toạ độ của tâm phương án ( x 0 ) luôn luôn bằng không và trùng với gốc toạ độ.
j
Cũng từ cơng thức (2.4), nếu tìm được tâm thực nghiệm ta có thể xác định
được mức trên và mức dưới của mỗi yếu tố ảnh hưởng.
Xjmax = Xj0 + λj
Xjmin = Xj0 – λj
d) Lập ma trận thực nghiệm

(2.5)

Ma trận thực nghiệm với biến thực được biểu diễn trên bảng (2.1)
Bảng (2.1) ma trận thực nghiệm TYT2k với biến thực
S.Y.T
S.T.N
1
2
3
4
“
“

N-1
N

X1

X2

max
X1

…

Xk

Y

X max
2

X max
k

min
X1

X max
2

X max
k

max
X1

X min
2

X max
k

min
X1

X min
2

X max
k

“
“

“
“

“
“

max
X1

X min
2

X min
k

Y1
Y2
Y3
Y4
“
“
YN-1
YN

min
X1

X min
2

X min
k

Ma trận thực nghiệm với biến ảo được biểu diễn trên bảng (2.2). Khi xây dựng
ma trận thực nghiệm người ta đưa thêm biến x0 = +1 (biến tương ứng với hệ số
b0) và bố trí các thí nghiệm sao cho khơng có thí nghiệm nào trùng nhau.
Bảng (2.2) ma trận thực nghiệm với biến ảo
S.Y.T

S.T.N

x0

x1

x2

…

xk

Y


1

+

+

+

2

+

-

+

3

+

+

-

4

+

-

-

“

“

“

“

“

“

“

“

N-1

+

+

-

N

+

-

-

+
+
+
+

Y1
Y2
Y3
Y4

“

“

“

“

-

YN-1

-

YN

Ví dụ 2.1:Lập ma trận thực nghiệm TYT2 k với biến ảo, nếu số yếu tố ảnh
hưởng k = 3 thì số thí nghiệm cần thực hiện N = 8 (bảng 2.3).
Bảng (2.3) ma trận thực TYT23
S.Y.T

x0

x1

x2

x3

Y

1

+

+

+

+

Y1

2

+

-

+

+

Y2

3

+

+

-

+

Y3

4

+

-

-

+

Y4

5

+

+

+

-

Y5

6

+

-

+

-

Y6

7

+

+

-

-

Y7

8

+

-

-

-

Y8

S.T.N

Phương án mã hóa trình bày ở bảng (2.3) có thể biểu diễn dưới dạng khối
lập phương hình (2.1), 8 đỉnh của nó là 8 điểm cần phải làm thí nghiệm.


d) Tính chất ma trận trực giao cấp I
•

Ma trận ở bảng (2.2), (2.3) là ma trận trực giao nên nó có một số tính chất
sau:
N

∑ x iu

Tính đối xứng qua tâm thực nghiệm

= 0;

i =1,2,…k; u = 1,2, …N

(2.5)

u =1

-

Tính trực giao giữa 2 cột trong ma trận thực nghiệm
N

∑ x iu x iu

= 0 ; i ≠ j =1,2,…k

(2.6)

u =1

-

Tính bất biến khi quay hệ trục quanh tâm thực nghiệm.
N

2
∑ x iu

= N;

i = 1,2,…k

(2.7)

u=1

•

Ưu điểm của ma trận trực giao cấp I
- Các hệ số (b) trong phương trình hồi qui xác định độc lập nhau
- Phương sai của các hệ số (b) trong phương trình hồi qui ( S2 ) có giá trị tối
bj
thiểu, được xác định theo kết quả của N thí nghiệm và nhỏ hơn S2 (ứng với
th
phương án thí nghiệm tại tâm), S2 ( Y ) (ứng với phương án thí nghiệm song song)
là N lần.
- Phương sai của các hệ số bj đều bằng nhau khi quay quanh gốc là tâm thực
nghiệm.
1.1.2. Một số dạng của phương trình hồi qui cấp I
Để xây dựng mơ tả tốn học cho một q trình thực nghiệm, trước tiên
người nghiên cứu phải biết được sự phụ thuộc giữa các thông số đầu vào và các
thông số đầu ra (Y = f(x)) để chọn dạng phương trình hồi qui sao cho hợp lý.
Nói chung khơng hy vọng tìm được hàm f(x) hồn tồn đúng mà chỉ mong sao


tìm được hàm Y ≈ f(x). Ngay cả việc tìm hàm xấp xỉ này cũng không đơn giản,
thường người ta giả thiết đã biết dang của hàm xấp xỉ đó tức là dạng của PTHQ.
Đối với qui hoạch thực nghiệm, những dạng của PTHQ chúng ta chọn thường là
các khai triển của đa thức có dạng tổng quát như sau.
Y = b0 + b1x1 …+ bkxk + …+ bijxixj + …+ bijkxixjxk ; i≠j≠k =1, n

(2.8)

Trong đó: b0 là hệ tự do hay còn gọi là hệ số số hồi qui.
bj là hệ số tuyến tính
bi j ; bi j k,… .là hệ số tương tác cặp, tương tác ba,…

Với k = 2 (2 yếu tố ảnh hưởng) ta có:
Y = b0 + b1x1 + b2x2

(2.9)

Y = b0 + b1x1 + b2x2 + b12x1x2
Với k = 3 ta có:
Y = b0 + b1x1 + b2x2 + b3x3

(2.10)

Y = b0 + b1x1 + b2x2 + b3x3 + b12x1x2 + b23x1x2 + b13x1x3 +b123x1x2x3
!.1.3. Lập cơng thức tính hệ số b trong phương trình hồi qui
a)

Phương pháp bình phương nhỏ nhất
Phương pháp bình phương nhỏ nhất (BPNN) là phương pháp rất cơ bản có
hiệu lực khi xử lý các số liệu thực nghiệm và xây dựng mơ hình thống kê cho
nhiều đối tượng nghiên cứu thuộc các lĩnh vực khác nhau. Lời giải của phương
pháp BPNN là mơ hình tốn học biểu diễn gần đúng qui luật thực.
Phương pháp này cho phép xác định các hệ số của phương trình hồi qui đã
chọn sao cho độ lệch của sự phụ thuộc đã chọn so với so với các số liệu thực
nghiệm về một phương diện nào đấy là nhỏ nhất.
Bài toán xác định hệ số hồi qui dẫn đến bài toán xác định cực tiểu của hàm
nhiều biến b0, b1, … bk. Tức là:
N
~
Φ = ∑ (Yu − Yu ) 2 → min

(2.11)

u=1

~

Trong đó: Yu là giá trị tính theo PTHQ ứng với k thơng số tối ưu ở thí nghiệm
thứ u


Yu là giá trị thực nghiệm của k thông số tối ưu hóa ở thê thí nghiện
thứ u
b)

Hệ phương trình chuẩn tắc
Để đơn giản và dễ hiểu chúng ta xét trường hợp k =2 (tức là có 2 yếu tố ảnh
hưởng), dạng của PTGQ như sau:
~
Y = b0 x 0 u + b1 x 1u + b2 x 2 u + b12 x 1u x 2 u

(2.12)

Thay biểu thức (2.12) vào (2.11) ta được.
2

N

Φ = ∑ [(bo x 0 u + b1 x 1u + b 2 x 2 u + b12 x 1u x 2 u ) − Yu ] → min

(2.13)

u =1

~
Y là hàm khả vĩ Φ cực tiểu khi nó thỏa mãn trong các điều kiện sau:

∂Φ
=0
∂b0

∂Φ
=0
∂b1

;

∂Φ
=0
∂b 2

;

;

∂Φ
=0
b12

(2.14)
Ta có thể viết dưới dạng sau:

[

]

4
∂Φ
= ∑ (b0 x 0 + b1 x 1 + b 2 x 2 + b12 x 1 x 2 )u − Y u x 0 u = 0
∂b0 u=1

4
∂Φ
= ∑ [(b0 x 0 + b1 x 1 + b 2 x 2 + b12 x 1 x 2 )u − Yu ] x 1u = 0
∂b1 u=1

(2.15)

4
∂Φ
= ∑ [(b0 x 0 + b1 x 1 + b 2 x 2 + b12 x 1 x 2 )u − Yu ] x 2 u = 0
∂b 2 u=1
4
∂Φ
= ∑ [(b0 x 0 + b1 x 1 + b 2 x 2 + b12 x 1 x 2 )u − Y u ] x 1u x 2 u = 0
b12 u=1

4

4

4

4

4

u=1

u=1

u=1

u=1

u=1

4

4

4

4

4

u=1

u=1

u=1

u=1

u=1

b0 ∑ x 0 u + b1 ∑ x 1u + b2 ∑ x 2 u + b12 ∑ x 1u x 2 u = ∑ Yu x 0 u
2
2
b0 ∑ x 1u + b1 ∑ x 1u + b2 ∑ x 1u x 2 u + b12 ∑ x 1u x 2 u = ∑ Yu x 1u
4

4

4

4

4

u=1

u=1

u=1

u=1

(2.16)

u=1

b0 ∑ x 2 u + b1 ∑ x 1u x 2 u + b 2 ∑ x 2 u + b12 ∑ x 1u x 2 u = ∑ Yu x 2 u
2
2
4

4

u =1

u =1

4

b 0 ∑ x 1u x 2 u + b1 ∑ x x 2 u + b 2 ∑ x 1u x
2
1u

u =1

2
2u

4

2

4

+ b12 ∑ (x 1u x 2 u ) = ∑ Yu x 1u x 2 u

u =1

u =1


c) Cơng thức tính hệ số b của PTHQ
Do tính chất ma trận của phương án qui hoạch TYT2
(2.16) chuyển về dạng đơn giản như sau
4b0 +

0b1

+ 0b2 + 0b12 =

0b0 +

4b1

+ 0b2 + 0b12 =

0b1

0b0 +

0b1

+ 4b2

+ 0b12 =

∑Y x
u =1

+ 4b12 =

u

0u

4

∑Y x
u

1u

(2.17)

4

∑Y x
u =1

+ 0b2

nên hệ phương trình

4

u =1

0b0 +

k

u

2u

4

∑Y x
u =1

u

1u

x 2u

Gải hệ phương trình (2.17) ta được:
b0

=

1 4
∑ x 0 u Yu
4 u=1

b1

=

1 4
∑ x 1u Y u
4 u=1

=

1 4
∑ x 2 u Yu
4 u=1

b2

b12 =

(2.18)

1 4
∑ x 1u x 2 u Y u
4 u=1

Từ công thức (2.18) ta suy ra công thức tổng quát để tính các hệ số b trong
PTHQ của qui hoạch trực giao cấp I như sau.
bj

=

1 N

∑ x ju Yu
N u=1

bi j =
bijl =
c)

1 N
∑ x iu x ju Yu
N u=1
1 N
∑ x iu x ju x lu Yu
N u=1

(2.19)
i ≠ j ≠ l = 1, k

Ý nghĩa của hệ số b trong PTHQ
- Giá trị của hệ số bj trong PTHQ đặc trưng cho sự đóng góp của yếu tố thứ
j vào đại lượng Y.


- Hệ số nào có giá trị tuyệt đối lớn nhất thì yếu tố tương ứng sẽ ảnh hưởng
đến quá trình là nhiều nhất.
- Xác định hệ số b trong phương trình hồi qui sẽ giúp cho người nghiên cứu
có định hướng để tiến tới miền tối ưu
1.1.3. Kiểm tra ý nghĩa của các hệ số b trong PTHQ
Để kiểm tra ý nghĩa của các hệ số b trong PTHQ trước tiên chúng ta phải
tìm phương sai tái hiện. Để xác định được phương sai tái hiện người nghiên cứu
phải làm thí nghiệm song song ở mỗi điểm thực nghiệm, hoặc chúng ta phải làm

thêm một số thí nghiệm ở tâm phương án. Vì ma trận thực nghiệm trong phương
án qui hoạch trực giao cấp I là ma trận trực giao và có tính quay được nên các hệ
số b trong PTHQ độc lập nhau và xác định với một độ chính xác (Sbj) như nhau:
Sbj =

Sth
N

(2.20)

Tính ý nghĩa của hệ b được kiểm định theo chuẩn student (t). Các bước
kiểm tra được tiến hành như mục kiểm định thống kê (chương1)
tj =

bj
Sbj

(2.21)

Trong đó: Sth là độ lệch chuẩn (xem chương 1)
N là số thí nghiệm ứng với mỗi phương án
bj là hệ số thứ j trong phương trình hồi qui tính theo cơng thức
(2.19)
Sbj là độ lệch qn phương của hệ số thứ j (sai số chuẩn)
Các bước kiểm tra được tiến hành như mục kiểm định thống kê (chương1).
Như vậy theo công thức (2.21) ta phải xác định được Sbj ứng với mỗi phương án
thực nghiệm.
a) Phương án thí nghiệm tại tâm
Trong phương án này sau khi hồn tất 2 k thí nghiệm ở nhân phương người
nghiên cứu phải làm thêm m (ít nhất 3) thí nghiệm ở tâm phương án.và giả sử ta

nhận được các giá trị ứng với thí nghiệm tại tâm như: Y10 , Y20 , Y30 ,...
-

Phương sai tái hiện


⎜
⎟
∑ ⎛ Yi0 − Y 0 ⎞
⎠
2
i =1 ⎝
Sth =
m −1
m

2

; i = 1, m

(2.22)

Trong đó: Yi0 là giá trị đo được ở lần lặp thứ i
Y 0 giá trị trung bình của m lần đo.

m là số lần lặp,
Thay cơng thức (2.22) vào (2.20) ta tìm được giá trị của Sbj.
b) Phương án thí nghiệm song song
Trong phương án này tại mỗi điểm thí nghiệm được làm lặp lại m lần.Trước
khi tính tốn hệ số b và kiểm định các thông số thống kê người ta phải kiểm tra

sự đống nhất của các phương sai (chương 1).
-

Tính phương sai tái hiện của từng thí nghiệm của một cuộc thí
nghiệm.

∑∑ (Yi − Yi )
N

S =
2
th

m

2

u=1 i =1

(2.23)

N(m − 1)

-

Tính phương sai kết quả trung bình của một cuộc thí nghiệm.

( )

S2

S Y = th
m
2
th

-

(2.24)
Tính phương sai của hệ số bj

( )

S2 Y
S = th
N
2
bj

-

(2.25)

Sai số chuẩn (độ lệch quân phương) của hệ số bj
Sbj =

( )

Sth Y
N

(2.26)

Sau khi kiểm tra ý nghĩa của các hệ số bj, ta viết PTHQ với các hệ số có
nghĩa.
1.1.4. Kiểm tra sự tương thích của PTHQ với thực nghiệm.


Sự tương thích của phương trình hồi qui với thực nghiệm được kiểm định
theo chuẩn Fisher (F). Các bước kiểm tra được trình bày ở mục kiểm định thống
kê (chương 1)
F=

S2
tt
2
Sth

(2.27)

2
2
Trong đó S2 chính là Sdu được tính theo cơng thức (1.16 ), cịn Sth được tính
tt

theo cơng thức (1.9) ; (2.22) đối với phương án thí nghiện tại tâm và được tính
theo cơng thức (1.15) ; (2.24 ) đối với phương án thí nghiệm song song song ở
mỗi điểm thực nghiệm.
Sau khi kiểm tra nếu phương trình tương thích với thực nghiệm được sử
dụng để tìm kiếm tối ưu. Cịn nếu khơng phù hợp người nghiên cứu phải xem
xét lại từng bước của bài qui hoạch hoặc chọn mô tả tốn học ỏ mức cao hơn.

1.2 Ví dụ minh họa
Ví du 2.2: Nghiên cứu ảnh hưởng của một số yếu tố cơng nghệ đến khả
năng biến hình tinh bột huỳnh tinh bằng phương pháp axít
1)

Đặt vấn đề cơng nghệ.
Tinh bột chưa biến hình thể hiện ở một số đặc điểm như: Chảy tự do, tính
kỵ nước của hạt tinh bột, tính khơng hịa tan, tính kém trương nở…Vì vậy khi sử
dụng trong công nghệ thực phẩm thường bị hạn chế. Để có được những loại hình
tinh bột phù hợp theo yêu cầu sử dụng, người ta tiến hành biến hình tinh bộ. Tức
là người ta sử dụng tác nhân vật lý, hóa học, sinh học để làm thay đổi cấu trúc
mạch phân tử tinh bột cũng như làm chuyển hóa nhóm chức trong phân tử tinh
bột.
Để nghiên cứu ảnh hưởng tương tác giữa các yếu tố công nghệ đến quá trình
biến hình tinh bột, ở đây người nghiên cứu đã chọn qui hoạch thực nghiệm yếu
tố toàn phần, với 2 mức và 3 yếu tố ảnh hưởng (TYT23). Sau khi làm thí nghiệm
thăm dị người nghiên cứu đã chọn điều kiện thí nghiệm như ở bảng 2.4
Bảng 2.4 Mức của các yếu tố ảnh hưởng
Các yếu tố Mức các yếu tố
ảnh hưởng
Mức cơ bản Mức cao

mức thấp

Khoảng
biến
thiên
λj

X1(%)

33

36

30

3

X2 (ml)

150

175

125

25

X3 (phút)

90

100

80

10

Từ phương án đã chọn và điều kiện thí nghiệm ở bảng 2.4 người nghiên cứu
xây dựng ma trận thực nghiêm và tiến hành thí nghiệm theo ma trận, kết quả
được biểu diễn ở bảng 2.5
Bảng 2.5 Ma trận thực nghiệm TYT23 và kết quả thí nghiệm.
STT

xo

x1

x2

x3

Y

1

+

+

+

+

945,917

2

+

-

+

+

912,572

3

+

+

-

+

952,791

4

+

-

-

+

935,718

5

+

+

+

-

982,823

6

+

-

+

-

929,651

7

+

+

-

-

1098,213

8

+

-

-

-

977,732

T1

0

0

0

0

944,822

T2

0

0

0

0

964,506

T3

0

0

0

0

964,502

Trong đó: T1, T2, T3 là 3 thí nghiệm tại tâm.
x0 x1, x2, x3 là biến không thứ nguyên.

y là mức độ trùng hợp, vậy y là hàm mục tiêu.
2)

Xây dựng mô tả tốn học cho q trình thực nghiệm.

•

Chọn dạng phương trình hồi qui.
~
Y = b0 + b1x1 + b2x2 + b3x3 + b12x1x2 + b23x2x3 + b13x1x3 + b123x1x2x3

(2.29)


•

Tính hệ số b
Vì ma trận bảng 2.5 trực giao nên hệ số b trong phương trình 2.29 được tính
theo công thức 2.19, ta được:
b0 =966,927; b1 = 28,010; b2 = -24,186; b3 = -30, 178
b12 = - 6,379; b23 = 16,681; b13 = - 15,404; b123 = 10,448

•

Kiểm tra ý nghĩa của hệ số b trong phương trình (2.29)
Đây là phương án thí nghiệm tại tâm, để kiểm tra ý nghĩa của các hệ số trong
PTHQ người nghiên cứu sử dụng 3 kết quả tại tâm thực nghiệm ở bảng 2.5 để
tính S2th và q trình kiểm tra được tuân theo các bước sau đây
Kết quả thí nghiệm tại tâm
0

0
y1 = 994,822; y 0 = 964,506; y 3 = 964,606
2

Kết quả trung bình tại tâm thực nghiệm
3

y0 =

∑ y 0u
u=1

3

= 957,9433

Phương sai tái hiện S2th
3

S2 =
th

∑ ( y 0u − y 0 ) 2
u=1

2

= 129,127

Phương sai tái hiện của hệ số bj (S2bj)

S =
2
bj

S2
th
N

=

129,127
= 16,1409
8

Sai số chuẩn của hệ số bj (Sbj)
Sbj = S2 = 16,1409 = 4,018
bj

Áp dụng cơng thức 2.21: t j =

bj
Sbj

, ta có:

t0 = 240,675; t1= 6,972: t2 =6,020 ; t3= 7,511
t12 = 1,587; t23 = 4,152 t13 = 3,834; t123 = 2,600


Tra bảng phân bố phân vị chuẩn student (tb)

tb (p,f); với p= 0,05 và f = 2 ta có: t0,05,2 = 4,3
So sánh t12 < tb , t13 < tb , t23 < tb , t123 < tb do đó các hệ số b12 , b13 , b23 , b123
bị loại khỏi phương trình hồi qui, vậy phương trình hồi qui có dạng.
~
Y = 966,927 + 28,010x1 –24,186x2 –30,178x3

•

(2.30)

Kiểm tra sự tương thích của phương trình (2.30) với thực nghiệm.
Sự tương thích của phương trình hồi qui với thực nghiệm được kiểm tra
Ftn =

theo chuẩn Fisher (F),

S2
tt
2
Sth

S2 là phương sai tái hiện ứng với phương án thí nghiệm tại tâm. S2 là
th
tt

phương sai tương thích được tính tốn theo số liệu bảng 2.6.

Bảng 2.6 Kêt quả tổng bình phương độ lệch giữa giá trị thực nghiệm và
PTHQ
STT

Yu

~
Yu

(Y

1

945,917

936,5726

87,317811

2

912,572

880,5526

1025,242

3

952,791

992,9454

1612,3758

4

935,718

936.9254

1,4578148

5

982,823

9969286

198,96795

6

929,651

9409086

126,73356

7

1098,213 1053,301

2017,0518

8

977,732

997,2814

382,17904

7735,417 7735,416

5451,3258

8

∑

u

~
− Yu

)

2

u =1

∑ (Y

N

S =
2
tt

u =1

u

~
− Yu

N−L

)

2

=

5451,3258
= 1362,83 ; N = 8, L= 4
4


Ftn =

1362,83
= 10,554

129,13

Tra bảng phân bố phân vị chuẩn Fisher Fp (f 1 , f 2 ) với mức ý nghĩa p = 0,05 f1
= 4 , f2 = 2. Fb = F0,05 (4,2) = 19,3
So sánh Ftn và Fb ta thấy Ftn < Fb vậy phương trình hồi qui 2.30 tương thích
với thực nghiệm và phương trình này được sử dụng để tìm kiếm tối ưu (xem
chương 5).

2.THỰC NGHIỆM YẾU TỐ TỪNG PHẦN
Nếu chỉ giới hạn trong việc sử dụng mơ hình tuyến tính để mơ tả q trình
thực nghiệm thì qui hoạch thực nghiệm yếu tố tồn phần TYT2k không hiệu quả
khi số yếu tố k khá lớn.
Với lý do là số yếu tố tăng chậm, số thí nghiệm tăng quá nhanh (N = 2k) và
sẽ còn rất nhiều bậc tự do để kiểm tra sự tương thích của PTHQ với thực nghiệm
k

N

Số hệ số tuyến tính Bậc tự do cịn lại
(f)
(bj)

2

4

3

1

3

8

4

4

4

16

5

11

5

32

6

26

6

64

7

57

Một lý do nữa là rất khó khăn và không kinh tế khi phải thực hiện một cuộc
thí nghiệm TYT2k khi mà số yếu tố k > 4. Số thí nghiệm sẽ giảm đáng kể nếu ta
dùng thực nghiệm yếu tố từng phần (lời giải từng phần) mà người nghiên cứu
vẫn thu được mơ hình thực nghiệm mơ tả tương thích q trình thực nghiệm.

Thực nghiệm chỉ tiến hành ở một số tổ hợp các mức của các yếu
tố gọi là thực nghiệm yếu tố từng phần TYT2 k-p
Trong đó: 2 là 2 mức mỗi yếu tố
k là số yếu tố ảnh hưởng


p đặc trưng cho mức độ từng phần, hay đặc trưng cho số hiệu ứng
tương tác thay thế bằng số hiệu ứng tuyến tính.
2.1. Xây dụng mơ hình thống kê thực nghiệm
2.1.1. Cách tổ chức trong phương án thực nghiệm từng phần
a)

Số thí nghiệm cần thực hiện:
N = 2 k−p

(2.31)

Số thí nghiệm thực hiện phụ thuộc vào k và p
Nếu p =1 số thí nghiệm trong qui hoạch phân bảng bằng một nửa số thí
nghiệm trong qui hoạch tồn phần tức là ta có qui hoạch 1/2 bảng
Ta xét k = 3, p = 1 số thí nghiệm trong phương án từng phần N = 23-1 = 4,
trong khi đó số thí nghiệm trong phương án tồn phần N = 23 = 8
Tương tự p = 2 ta có qui hoạch 1/4 bảng

p = 3 ta có qui hoạch 1/8 bảng
p = 4 ta có qui hoạch 1/16 bảng
b) Cơng thức tính hệ số hồi qui trong phương án TYT2k-p
Để cho lời giải từng phần là một phương án trực giao ta cần chọn phương án
TYT có yếu tố nhỏ hơn làm mức cơ sở.
Ví dụ (2.2), để xét ảnh hưởng của 3 yếu tố x1, x2 , x3 vào hàm y, mơ hình
tuyến tính có dạng:
~
Y = b0 + b1 x 1 + b 2 x 2 + b3 x 3

(2.32)

Để xác định hệ số bj trong phương trình (2.32) ta phải làm 8 thí nghiện. Tuy
nhiên, nếu chúng ta xác định bj nhờ vào lời giải từng phần thì số thí nghiệm
giảm chỉ cịn một nửa và ta tiến hành các bước như sau:.
Chon phương án TYT22 làm cơ sở
Xây dựng ma trận TYT22 với PTHQ có dạng
~
Y = b0 + b1 x 1 + b 2 x 2 + b12 x 1 x 2

(2.33)

thay x1x2 = x3 ta có ma trận của phương án TYT23-1 , PTHQ có dạng như
(2.32) bảng (2.8)
Bảng (2.8a.): Ma trận TYT22

B ảng(2.8b): Ma trận TYT23-1


ST

T

x0

x1

x2

x1x2 ST
T

x0

x1

x2

x3

1

+

+

+

+

1

+

+

+

+

2

+

-

+

-

2

+

-

+

-

3

+

+

-

-

3

+

+

-

-

4

+

-

-

+

4

+

-

-

+

Vì ma trận TYT23-1 là ma trận trực giao vì vậy cơng thức tính hệ số bj trong
PTHQ được áp dụng giống như trong qui hoạch TYT2k
bo =

1 N
∑ Yu x 0 u
N u=1

bj =

1 N
∑ Yu x ju
N u=1

(2.34)

u = 1,2,…,N; j = 1,2,..., k

Chú ý: Sau khi xác định hệ số b trong PTHQ chúng ta tiến hành kiểm định
thống kê như phương án qui hoạch TYT2k
2.1.2 Các bước thực hiện qui hoạch phân bảng

a) Xét trường hợp đơn giản nhất k = 3, p = 1
Lập qui hoạch và xây dựng ma trận TYT22
Thay cột có hiệu ứng tương tác bằng hiệu ứng tuyến tính (x1x2=x3)
Làm 4 thí nghiệm và dùng kết quả của 4 thí nghiệm để tính hệ số b0, b1, b2
và b3.
Sau khi làm 4 thí nghiệm đầu, vì một lý do nào đấy người nghiên cứu cho
rằng tương tác cặp có ý nghĩa thì làm 4 thí nghiệm của nửa bảng cịn lại, nhưng
lần này thay yếu tố bổ sung x3 = -x1x2 tức là qui hoạch với 2 nửa bảng.
x3 = x1x2
x3 = -x1x2
b)

Trường hợp k =4 , p =1.
Lập qui hoạch TYT23
Thay x3 = x1x2x3


Làm 8 thí nghiệm và sử dụng kết quả của 8 thí nghiện để tính hệ số b0
,b1 ,b2, b3 và b4
Qui hoạch phân bảng với 2 nủa bảng x4 = ± x1x2x3
b)

Trừơng hợp k = 5, p =2
Lập qui hoạch TYT23
Thay x4 = x1x2 , x5 (bỏ qua tương tác x1x2), x5 = x1x2x3
Làm 8 thí nghiệm và dùng kết quả của thí nghiệm đó để xác định hệ số b0 và
5 hệ số còn lại.
Qui hoạch phân bảng với 4 phần bảng
⎧x 4 = x 1 x 2
1⎨

⎩x 5 = x 1 x 2 x 3

⎧x 4 = − x 1 x 2
2⎨
⎩x 5 = − x 1 x 2 x 3

⎧x 4 = x 1 x 2
3⎨
⎩x 5 = − x 1 x 2 x 3

⎧ x 4 = − x1 x 2
4⎨
⎩ x 5 = x1 x 2 x 3

2.2. Khả năng giải của qui hoạch phân bảng
2.2.1. Đặt vấn đề
Trong mục trước, để có một qui hoạch phân bảng chúng ta đã giả thiết rằng
các hiệu ứng tương tác bằng khơng và thay cột có hiệu ứng tương tác bằng
những yếu tố mới.
Ta thay x3 = x1x2 trong phương án TYT23-1, thay x4 bằng một trong các cột
sau
⎡x 1 x 2 x 3 ⎤
⎢x x
⎥
⎢ 1 2 ⎥
x4 =
⎢x 2 x 3 ⎥
⎢
⎥
⎣x 1 x 3 ⎦

trong phương án TYT24-1

Trong những bài toán thực tế, hiệu ứng tương tác tuy rất nhỏ so với hiệu
ứng tuyến tính nhưng nó vẫn có ý nghĩa tức là nó vẫn có một giá trị nào đó khác
khơng. Do đó hệ số hồi qui tìm được ứng với yếu tố mới là hỗn hợp đồng thời
của hiệu ứng tuyến tính và hiệu ứng tương tác.
Ví dụ: Trong phương án TYT23-1 khi ta thay x3 = x1x3 thì hệ số b3 là hỗn
hợp của các hiệu ứng tương tác và hiệu ứng tuyến tính.


b3 → β3 + β12
Trong phương án TYT24-1 , nếu ta thay x4 bằng 4 tương tác ta nhận được
hiệu ứng sau:
x4 = x1x2x3; ta có b4 → β4 + β123
x4 = x1x2;

b4 → β4 + β12

x4 = x2x3;

b4 → β4 + β23

x4 = x1x3;

b4 → β4 + β13

Vì vậy khi tổ chức thực nghiệm TYP2k-p ta phải xét đến khả năng giải được
của lời giải từng phần. Tức là xác định hỗn hợp các hiệu ứng và chọn cách qui
hoach sao cho sự hỗn hợp đó là nhỏ nhất.

2.2.2 Cách xác định khả năng giải qui hoạch phân bảng
Ta xét một qui hoạch phân bảng đơn giản nhất: TYT24-1, vấn đề đặt ra ở đây
là ta chọn hiệu ứng tương tác nào trong 4 cột có hệ số tương tác và thay vào đó
bằng cột x4 để sao cho hỗn hợp các hiệu là nhỏ nhất. Để giải quyết vấn đề này
chúng ta tiến hành các bước sau.
Bườc1: Lập qui hoạch cơ sở TYT23
Bước2: Chọn hệ thức sinh, tức là ta thay hiệu ứng tuyến tính x4 vào hiệu
ứng tương tác
•

Trường hơp ta thay x4 = ± x1x2x3

(2.35)

Bước3 Lập bảng qui hoạch để tính các hiệu ứng trong qui hoach TYP24-1
STT

x0

x1

x2

x3

x1x2 x2x3 x1x3 x4

1

+

+

+

+

+

+

+

+

2

+

-

+

+

-

+

-

-

3

+

+

-

+

-

-

+

-

4

+

-

-

+

+

-

-

+

5

+

+

+

-

+

-

-

-

6

+

-

+

-

-

-

+

+

7

+

+

-

-

-

+

-

+


8

+

-

-

-

+

+

+

-

Bước4: Tạo tương phản xác định bằng cách nhân cả 2 vế (2.35) với x4
1= x4x4 = ± x1x2x3x4

(2.36)

x 2 = 1: gọi là độ tương phản xác định, độ tương phản xác định cho ta thấy được
4

khả năng giải được của lời giải từng phần.
Bước5: Xác định điều kiện hỗn hợp giữa các hiệu ứng bằng cách nhân 2 vế
của biểu thức (2.36) với biến mã của các cột trong bảng ma trận dùng để tính các
hiệu ứng (bước 3) ta được các kết quả sau:
1x1 = ± x1x1x2x3x4 = ±x2x3x4
x1 = ± x2x3x4

⇒

b1 → β1 ± β234

1x2 = ± x2x1x2x3x4 = ±x1x3x4
x2 = ± x1x3x4

⇒

b2 → β2 ± β134

1x3 = ± x3x1x2x3x4 = ±x2x1x4
x3 = ± x2x1x4

⇒

b3 → β3 ± β124

1x4 = ± x4x1x2x3x4 =± x2x3x1
x4 = ± x2x3x1

⇒

b4 → β4 ± β231

1x1x2 = ±x1x2x1x2x3x4 = ± x3x4
x1x2 = ± x3x4 ⇒

b12 →

β12

± β34

b23 →

β23

± β14

b13 →

β13

± β24

1x2x3 = ±x2x3x1x2x3x4 = ± x1x4
x2x3 = ± x1x4 ⇒
1x1x3 = ±x1x3x1x2x3x4 = ± x2x4
x1x3 = ± x2x4 ⇒

Trong thực tế hiệu ứng tương tác bậc 3 rất nhỏ so với hiệu ứng tương tác
đơi. Vì vậy nếu người nghiên cứu quan tâm hệ số tuyến tính thì sẽ chọn hệ thức

sinh
x4 = ± x1x2x3


•

Cũng ví dụ trên nhưng trong trường hợp này ta chọn hệ thức sinh x4 = x2x3,
từ đó ta
có phản xác định là: 1 = x4x2x3, làm các bước tương tự như trên ta nhận được
các hỗn hợp sau.
x1 = ± x1x2x3x4

⇒ b1 → β1 ± β1234

x2 = ± x2x2x3x4

⇒ b2 → β2 ± β34

x3 = ± x3x2x3x4

⇒ b3 → β3 ± β24

x4 = ± x4x2x3x4

⇒ b4 → β4 ± β23

x1x2 = ± x1x2x2x3x4 ⇒ b12 → β12 ± β134
x1x3 = ± x1x3x2x3x4 ⇒ b13 → β13 ± β124
Như vậy từ các biểu thức trên ta nhận thấy nếu người nghiên cứu quan tâm
đến hiệu ứng tương tác β12 , β13 thì chọn hệ thức sinh x4 = x2x3. Tương tự nếu

người nghiên cứu quan tâm đến các hiệu ứng β12 , β23 thì chọn hệ thức x4 = x1x3
và quan tâm β23, β13 thì hãy chọn hệ thức sinh x4 = x1x2.
2.2.3 Kết luận
1)
2)

Tùy theo việc lựa chọn hệ thức sinh mà các hệ số đặc trưng cho hiệu ứng
tuyến tính sẽ hỗn hợp với hiệu ứng bậc cao hay hiệu ứng tương tác.
Ưu điểm của qui hoạch phân bảng là giảm nhiều thí nghiệm.

3)

Ma trận trong qui hoạch phân bảng là ma trận trực giao, nên công thức tính
hệ số b trong PTHQ tương tự như cơng thức trong qui hoạch thực nghiệm toàn
phần.

4)

Qui hoạch phân bảng chỉ áp dụng cho giai đoạn đầu nghiên cứu, khi mà mặt
mục tiêu còn đang thoải.